专题突破热点小专题三圆锥曲线的离心率一、选择题1.(2019浙江卷,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A.√22B.1C.√2D.22.(2019北京卷,理4)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b3.(2019安徽淮南高三第二次模拟考试)已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x+a)2+y2=14a2相切,则双曲线的离心率等于()A.√2B.√3C.2D.2√334.(2019广东深圳高级中学高三适应性考试(6月))在平面直角坐标系xOy中,已知点A,F分别为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和右焦点,过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点,线段AP的中点为M,若Q,F,M三点共线,则椭圆C的离心率为()A.13B.23C.83D.32或835.(2019重庆巴蜀中学高三适应性月考(七))已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为45°的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P,Q,若OP∥QF2(O是坐标原点),则此双曲线的离心率等于()A.2B.√5C.3D.√106.(多选题)已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是()A.√2-1B.√2C.√2D.√2+17.(2019山西长治学院附属太行中学高二下学期第二次月考)椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点,分别为F1,F2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,且两曲线在第一象限的公共点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则e2+e12-e1的值为()A.2B.3C.4D.68.(2019安徽芜湖高三模拟考试)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),直线y=x与椭圆相交于A,B两点,若椭圆上存在异于A,B两点的点P,使得k PA k PB∈-13,0,则离心率e的取值范围为()A.0,√63B.√63,1 C.0,23D.23,19.(2019北京昌平区5月综合练习)嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道③所示,其近月点与月球表面距离为100公里,远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3 476公里,则该椭圆形轨道的离心率约为()A.125B.340C.18D.3510.(2019重庆第八中学高二下学期第二次月考)设F1,F2是双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PA|=2|PF2|,则C的离心率为() A.1+√3 B.1+√2C.1+√3D.1+√211.(2019湖南长沙湖南师范大学附属中学高三模拟)已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:x2+(y-b)2=4与l交于第一象限内的A,B两点,若∠ACB=π3,且|OB|=3|OA|(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率为()A.2√13B.√13C.2√13D.√21二、填空题12.若双曲线x 2−y2=1(a>0)的离心率为√5,则渐近线方程为,若b=4,则a=.13.(2019江苏南通高三下学期4月阶段测试)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足AF⊥BF,当∠ABF=π12时,椭圆的离心率为. 14.(2019福建厦门外国语学校高三最后一模)双曲线M的焦点是F1,F2,若双曲线M上存在点P,使△PF1F2是有一个内角为2π3的等腰三角形,则M的离心率是.15.(2019浙江湖州三校模拟)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点A(a,0),B(0,b),过A,B两点分别作AB的垂线交该椭圆于不同于顶点的C,D两点,若2|BD|=3|AC|,则椭圆的离心率是.参考答案专题突破练23热点小专题三圆锥曲线的离心率1.C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1.所以c=√a2+b2=√2,双曲线的率心率e=ca=√2.2.B解析椭圆的离心率e=ca =12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.3.D解析双曲线的渐近线的方程为bx±ay=0,因其与圆相切,故|-ab|c =12a,所以c=2b,则a=√3b.故e=2√33.故选D.4.A解析如图,设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),又A(a,0),F(c,0),∴M x0+a2,y0 2.∵Q ,F ,M 三点共线,k QF =k MF , ∴y 0c+x 0=y 02-0x 0+a 2-c ,即y 0c+x 0=yx 0+a -2c ,∴c+x 0=x 0+a-2c.∴a=3c.∴e=c a =13.故选A .5.D 解析 过F 1且倾斜角为45°的直线方程设为y=x+c ,双曲线的渐近线方程为y=±ba x ,由OP ∥QF 2,可得Q 在第一象限,由y=x+c 和y=ba x ,解得Q acb -a ,bcb -a ,QF 2的斜率为bcac -bc+ac=b 2a -b ,可得-b a=b2a -b,可得b=3a ,则e=c a=√1+b 2a2=√10.故选D .6.ABD 解析 因为△ABC 为等腰直角三角形,其顶点为A ,B ,C ,圆锥曲线E 以A ,B 为焦点,并经过顶点C ,所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=π2时,离心率e=2c2a =ABCA+CB =√22,当C=π4时,离心率e=ABCA+CB =√2+1=√2-1.(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,只有C=π4, 此时,离心率e=2c2a =AB|CA -CB |=√2-1=√2+1.故选ABD .7.A 解析 因为F 1,F 2为椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点,且两曲线在第一象限的公共点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|=4∶3∶2,所以椭圆C 1的离心率为e 1=|F 1F 2||PF 1|+|PF 2|=34+2=12,双曲线C 2的离心率为e 2=|F 1F 2|12=34-2=32,因此,e 2+e 1e 21=32+1232-12=2.故选A .8.B 解析 设P (x 0,y 0),直线y=x 过原点,由椭圆的对称性设A (x 1,y 1),B (-x 1,-y 1),k PA k PB =y 0-y1x 0-x 1×y 0+y 1x 0+x 1=y 02-y 12x 02-x 12.又x 02a 2+y 02b 2=1,x 12a 2+y 12b2=1,两式作差,代入上式得k PA k PB =-b 2a 2∈-13,0,故0<b 2a2<13.所以e=√1-b2a2∈√63,1.故选B .9.B 解析如图,设椭圆的长半轴长为a ,半焦距为c ,月球的半径为R ,F 为月球的球心,R=1×3 476=1 738.依题意,|AF|=100+1 738=1 838,|BF|=400+1 738=2 138.则2a=1 838+2 138,解得a=1 988,a+c=2 138,c=2 138-1 988=150,故椭圆的离心率为e=c=150≈3.故选B . 10.A 解析 由题设知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线方程为l :y=ba x.右焦点F (c ,0),|PF 2|=|bc -0|√a 2+b =|bc -0|c=b.∴|OP|=a ,∴P a 2c ,abc .∴|PA|=√(a 2c +a) 2+(abc ) 2=2|PF 2|=2b ,平方化简得(a 2+ac )2+a 2b 2=4b 2c 2,又c 2=a 2+b 2, ∴a 2(a+c )=(c-a )(4c 2-a 2), ∴a+c c -a=4c 2-a 2a 2,即e+1e -1=4e 2-1, 又0<e<1,解得e=1±√32, 又e>1,故得e=1+√32.故选A . 11.D解析 双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=ba x ,圆C :x 2+(y-b )2=4的圆心坐标为(0,b ),半径为2,∵∠ACB=π3,∴△ABC 是边长为2的等边三角形.∴AB=2,圆心到直线y=ba x 的距离为√3.又|AB|=|OB|-|OA|=2|OA|,∴|OA|=1,|OB|=3.在△OBC ,△OAC 中,由余弦定理得cos ∠BOC=cos ∠AOC=32+b 2-46b =b 2+1-42b,解得b=√7.由圆心到直线y=ba x 的距离为√3,有√a 2+b=ab c =√3,∴e=c a =√7√3=√213.故选D .12.y=±12x16解析 因为双曲线x 2a−y 2b =1(a>0)的离心率为√52,所以e=√a+b a=√52⇒b a =14.所以双曲线x 2a −y 2b =1的渐近线方程为y=±√ba x=±12x ,若b=4,则4a =14,可得a=16.13.√63 解析 设F 1为椭圆的左焦点,连接AF 1,BF 1.由椭圆对称性及AF ⊥BF 可知,四边形AFBF 1为矩形,∴AB=FF 1=2c.又∠ABF=π12,∴AF=AB sin π12=2c sin π12,AF 1=BF=AB cos π12=2c cos π12,由椭圆定义可知:AF+AF 1=2c sin π12+cos π12=2√2c sin π3=2a ,∴e=c a =2√2sin π3=√63. 14.√3+12 解析 根据双曲线的对称性可知,等腰三角形的两个腰应为PF 2与F 1F 2(或PF 1与F 1F 2),不妨设等腰三角形的两腰为PF 2与F 1F 2,且点P 在第一象限,故PF 2=F 1F 2=2c.等腰三角形PF 1F 2有一个内角为2π3,即∠PF 2F 1=2π3.由余弦定理,可得|PF 1|=√(2c )2+(2c )2-2×2c ×2c ×cos 2π3=2√3c ,由双曲线的定义,可得|PF 1-PF 2|=2√3c-2c=2a ,即(√3-1)c=a ,解得e=√3+12.15.√33 解析 过点A 作出的AB 的垂线的方程为y=a b (x-a ),与x 2a 2+y 2b2=1联立方程组解得x C =a (a 4-b 4)a 4+b 4,过点B 作出的AB 的垂线的方程为y=a x+b ,与x 22+y 2b2=1联立方程组解得x D =-2a 3b 2a 4+b 4,∵2|BD|=3|AC|,∴2|x D -0|=3|x C -a|.∴4a 3b2a 4+b4=3×2a b 4a 4+b4.∴2a 2=3b 2=3a 2-3c 2,a 2=3c 2.∴e 2=13,解得e=√33.。
