离心率的求法总结[精]

离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一椭圆离心率的求值方法一定义法求离心率1.已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（）A .31B .21C .22D .322【解析】14222=+y a x ，∵，则，选C 2.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A ．13B ．12C ．23D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A .45B .35C .25D .15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-.整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4.椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，所以（a ﹣c ）（a +c ）=4c 2，即a 2=5c 2，所以e =55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C 2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a =1，则F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），当x =c 时，由2222x y a b +=1得y =ab 2=b 2，即A （c ，b 2），B （c ，﹣b 2），设D （0，m ），∵F 1，D ，B三点共线，∴，得m =﹣2b 2，即D （0，﹣2b 2），∴若AD ⊥F 1B ，在，即=﹣1，即3b 4=4c 2，则3b 2=2c =3（1﹣c 2）=2c ，即3c 2+2c ﹣3=0，解得c==，则c =，∵a =1，∴离心率e =a c =336.从椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥O P (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A (a ,0)，B (0，b )，P 2,b c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵AB ∥O P ，∴2b b ac a -=-.∴b ＝c ；又∵a 2＝b 2＋c 2，∴22212c e a ==.∴2e =7.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c -，2(,0)F c ，由题意易知，21212,PF F F c PF ===，1212212F F c e a PF PF ∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF F F c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三运用e =e =求离心率8.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9.经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。

1双曲线离心率求法 在双曲线中，1c e a =>，c e a ===== 方法一、直接求出a c ，或求出a 与b 的比值，以求解e1．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为 . 2．已知双曲线22212x y a -=(a >)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为 .3．已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .4．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e .5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 .6．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 . 7．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C 的离心率为 .8．已知双曲线的渐近线方程为125y x =±，则双曲线的离心率为 . 9.过双曲线12222=-by a x 的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a ，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 .10．双曲线两条渐近线的夹角等于90，则它的离心率为 ．方法二、构造,a c 的齐次式，解出e1．过双曲线22221x y a b-=((0,0)a b >>)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________．2．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若1F 、2F ，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为________．3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．方法三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形1．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为________．2．双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上一点，且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为________．3．设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且12||3||AF AF =，则双曲线离心率为________．4．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．5．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为________．6．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，离心率为e ，若12||||PF e PF =，此离心率的取值范围为________．方法四、双曲线离心率取值范围问题例1.(本题需要使用双曲线的第二定义解决)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．例 4.已知点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上，双曲线两焦点为12,F F ，2221||||PF PF 最小值是8a ，则此双曲线的离心率的取值范围是 ． 例 5.双曲线2222222211x y y x a b b a-=-=与的离心率分别是12,,e e 则12e e +的最小值为 ．与准线有关的题目1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 .2．已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为 . 3.设点P 在双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左支上，双曲线两焦点为12,F F ，已知1PF 是点P 到左准线l 的距离d 和2PF 的比例中项，则此双曲线的离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是_______.。

高考离心率知识点总结高考是对学生十几年学习成果的一次总结和检验。

其中，数学作为高考的一门重要科目，对于许多学生来说，是十分关键和困惑的。

而在数学中，离心率是一个涉及到椭圆、抛物线和双曲线的重要概念。

本文将对高考中常见的离心率知识点进行总结。

离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它是椭圆、抛物线和双曲线的特征之一。

一般来说，离心率越大，圆锥曲线形状越扁平。

离心率的计算公式如下：离心率=√(1-(b²/a²))其中，a是椭圆的长半轴长度，b是椭圆的短半轴长度。

接下来，我们将通过具体的例子来讨论高考中可能遇到的离心率问题。

1. 椭圆的离心率求解假设有一个椭圆的长轴长度为8，短轴长度为6。

我们可以先计算出椭圆的离心率。

离心率=√(1-(6²/8²))=√(1-36/64)=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个椭圆的离心率为√(7/16)。

2. 抛物线的离心率求解抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其离心率定义为1。

所以，无论抛物线的形状如何，其离心率始终为1。

3. 双曲线的离心率求解对于双曲线，其离心率的计算稍微复杂一些。

假设有一个双曲线的方程为x²/16 - y²/9 = 1，我们可以通过方程来求解其离心率。

首先，将方程化简为标准形式，即(x²/16) - (y²/9) = 1。

然后，我们将方程与椭圆的标准方程进行比较，可以发现椭圆的长半轴为4，短半轴为3，进而计算出椭圆的离心率。

离心率=√(1-(3²/4²))=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个双曲线的离心率为√(7/16)。

综上所述，离心率是数学中重要的概念之一，对于高考尤为重要。

本文通过椭圆、抛物线和双曲线的例子，展示了离心率的计算方法。

希望通过这篇文章的阅读，学生们能够对离心率有一个更加清晰的理解，从而在高考中能够更好地应用和运用相关知识。

离心率的常见求法
离心率是一个有重要意义的机械物理概念，是描述物质或者物体在离心力作用下运动的特性。

常见的离心率求法有：
1、对角法：对角法测量离心率的原理是：根据观察介质的同心圆状态，用视线衡量介质的对角线，从而获得两个半径，离心率就是两个半径之比。

3、椭圆法：椭圆法测量离心率的原理是：由介质形成的椭圆形折线变化，衡量介质的长轴和短轴，利用椭圆长轴和短轴之比，进行求解离心率。

4、三角法：三角法测量离心率的原理是：根据三角形的相关公式，利用介质的试样在极坐标系下的不同的极坐标点的坐标，计算出夹角的正弦、余弦，再求出离心率。

离心率的测量方法有很多，上述的这五种比较常用，其中对角法和三角法最为简单方便，但测量精度较低，旋转法和椭圆法测量精度较高，但较复杂，重力法测量不受介质的影响，推荐使用。

圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）2. 几何法3. 与其它知识点结合、不等关系求解.求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c、不等关系求解2. 运用数形结合建立a c3. 利用曲线的范围，建立不等关系4. 运用函数思想求解离心率5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用a与c的关系式（或齐次式）题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为．题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为62题3：设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）5 （D ）6解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c ，故选择C 。

题4：(2009浙江理) 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3（C ）5（D ）102. 几何法题1： 以椭圆的右焦点F ，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线MF l (F l 为左焦点)是圆F2的切线，M 是切点，则椭圆的离心率是11211,2,3,31MF F F MF e题2： Fl ，F 2为椭圆的左、右两个焦点，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，PF 1PQ ，且1PF PQ ，求椭圆的离心率．题3：12212(05,,221A.B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF 全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－∆（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有12222||||2122221c c cea a PF PF c c ===+===-++离心率的定义椭圆的定义故选D3. 与其它知识点结合题1：已知M 为椭圆上一点，F l ，F 2是其两个焦点，且∠MF l F 2= 2，∠MF 2F l =(≠ 0)，则椭圆的离心率为( )(A)1—2sin (B)l —sin 2 (C)1-cos2 (D)2cos -1题2：已知P 为双曲线右支上一点，F l 、F 2是其左、右两焦点，且∠PF l F 2= 15°，∠PF 2F l =75°，则双曲线的离心率为 ．2练习：.22221(0),34x y a b ab c 1.设双曲线半焦距为c,直线l 过点(a,0),(0,b)两点，已知原点到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A232.已知双曲线的渐近线为34yx ，则双曲线的离心率为 55,343.过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦MN ，A 为双曲线的距F 较远的顶点，∠MAN=90°，双曲线的离心率等于 22b a ca221212224.(071(0,0)||5A. 3B. 5C.D. 13x y F F a b A B O OF a bF AB 安徽卷)和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ D ）＋-=>>∆22121222125.(07190,||3||,51015A. B. C. D. 5x y F F A F AF a bAF AF 全国Ⅱ)设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且则双曲线的离心率为（ B ）-=∠==二、求离心率的取值范围1. 利用圆锥曲线相关性质建立a c 、不等关系求解.题1：（2008福建）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.题2：（04重庆）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A 43B 53C 2D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B.练习：1. 已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞解析2221222222(2)442448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.2. 利用曲线的范围，建立不等关系题1． 设椭圆22221(0)x y a b ab 的左右焦点分别为F 1、F 2，如果椭圆上存在点P ，使1290F PF ，求离心率e 的取值范围。

离心率秒杀36个公式常见的离心率公式：一、经典离心率公式：1. 离心率公式一：Vr=n*r*h2. 离心率公式二：R=n*h*ρ3. 离心率公式三：ω2=n2*g*ρ4. 离心率公式四：ω2=g*ρ二、球形离心率公式：1. 球形离心率公式一：ω2=4π2*R3*ρ2. 球形离心率公式二：ω2=4π2*n2*h3*ρ3. 球形离心率公式三：mω2=G(M+m)r4. 球形离心率公式四：vR=nR*ha三、重力离心率公式：1. 重力离心率公式一：Vr=Gmh2. 重力离心率公式二：Vr=Gmh/a3. 重力离心率公式三：Vr=mgsinθ4. 重力离心率公式四：Vr=φmv2/R四、其他离心率公式：1. 其他离心率公式一：r=∛M/ρ2. 其他离心率公式二：mω2=mgl3. 其他离心率公式三：v2=2gh4. 其他离心率公式四：vR=gRm/h离心率是极重要的物理参数，作为物理运动活动的基础，它影响着物体运动的速度和轨迹的形状。

这意味着，通过熟练掌握离心率的相关公式，我们就能解答许多有关物理运动问题的疑惑。

常见的离心率公式总结如上所示，分别是：经典离心率公式、球形离心率公式、重力离心率公式和其他离心率公式，每种分类共包括四个公式。

首先，经典离心率公式中，公式一Vr=n*r*h 是计算实验室中半径为r、角速度为n（弧度/秒）、水深为h的叶片转速下离心率的公式；公式二R=n*h*ρ 是计算圆柱体半径为R、角速度为n（弧度/秒）、滞流的平均密度为ρ的离心率的公式；公式三ω2=n2*g*ρ 以及公式四ω2=g*ρ 都是计算圆柱容器半径为R、角速度为n （弧度/秒）、滞流的平均密度为ρ的离心率时采用的公式，其中g是由重力提供的加速度。

其次，球形离心率公式中，公式一ω2=4π2*R3*ρ用于计算球形滞流转速ω、球形容器半径R以及滞流的平均密度ρ时的离心率；公式二ω2=4π2*n2*h3*ρ是计算球形滞流的角速度n、球形容器的半径R以及滞流的平均密度ρ的离心率的公式；公式三 mω2=G(M+m)r 能够用来计算太阳系中太阳的质量M、行星质量m、球形太阳系的半径r以及滞流的角速度ω时的离心率；而公式四 vR=nR*ha 则是用于计算太阳系中太阳的质量M、行星质量m、球形太阳系的半径r以及滞流的角速度ω时的离心率的公式。

求离心率方法归纳总结离心率是描述一个椭圆轨道与圆轨道之间的偏离程度的参数，它在天文学、航天科学等领域中具有重要的应用价值。

本文将对多种求离心率的方法进行归纳总结。

一、通过轨道要素计算离心率离心率可以通过轨道的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。

公式为：e = √(1 - (b^2/a^2))二、通过观测数据计算离心率1. 天文观测法通过观测行星或天体在不同时刻的位置，可以推导出轨道要素，进而计算离心率。

2. 航天器轨道测量法使用航天器的测距、测速和测向数据进行轨道计算，从而得到离心率。

三、通过物理定律计算离心率1. 能量守恒法利用能量守恒定律，通过测量天体的速度和位置信息，推导出离心率。

2. 角动量守恒法利用角动量守恒定律，通过测量天体的质量、速度和距离信息，计算出离心率。

四、通过数值模拟计算离心率1. 数值积分法利用数值积分方法，对天体在重力场中的运动进行模拟计算，从而得到离心率。

2. 万有引力定律法根据万有引力定律，利用数值解的方法，计算天体在引力作用下的运动轨迹，并通过轨迹数据推导出离心率。

五、通过实验测定离心率1. 实验观测法通过精密实验测量天体的运动参数，然后根据测量数据计算离心率。

2. 探测器测量法利用探测器对天体进行观测和测量，通过测量数据计算离心率。

综上所述，求离心率的方法主要包括通过轨道要素计算、观测数据计算、物理定律计算、数值模拟计算和实验测定。

不同的方法适用于不同的情况和领域，选择合适的方法可以提高准确性和可靠性，为相关研究提供有力支持。

离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。

例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。

解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。

变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。

解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。

因此，选C。

变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。

变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。

设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。

设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。

其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。

. 离心率求解总结一．椭圆的离心率1.离心率e=a c=21）（a b -、e 2=1-2）（ab 2.焦半径︱P F 1︱=a+ex 0 ︱P F 2︱= a-ex 0 2,1cos ep b MF p e aθ==-3.∠F 1BF 2 ， ∠A 1BA 2为最大张角4.P 是椭圆上一点，∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β， 则e=βαβαsin sin sin ++）（=cos2cos2e αβαβ+=- 5.AF FB λ=u u u r u u u r 2221cos 1e λθλ-⎛⎫= ⎪+⎝⎭6.e = 其中P 为椭圆上任意一点，A,B 为顶点12,k kx二．双曲线的离心率①e == ② e = 其中P 为双曲线上任意一点，A,B 为顶点12,k k 为斜率 ③sin2sin2e αβαβ+=- ∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β 一．含直角三角形及夹角的离心率例1在椭圆中有一点P 12PF PF ⊥求椭圆的离心率0,0a b a c >>>>OM b≥分析: b<OP<c例2．过椭圆右焦点1F 的直线交椭圆与P,Q 两点且满足1PF PQ ⊥ 若15sin 13FQP ∠=，求椭圆的离心率 分析：1PF =5x, 1F Q =13x PQ =12x, 11PQ PF FQ ++=4a 例3椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。

数学离心率知识点总结一、离心率的定义离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它反映了椭圆的偏心程度。

在数学中，离心率通常表示为e，对于一个给定的椭圆，离心率e的定义如下：e = c / a其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距之一。

从定义可以看出，离心率e是一个无单位的数值，它的取值范围是[0,1)，当e=0时，表示椭圆退化为一个圆，当e=1时，表示椭圆退化为一条直线。

离心率e越接近0，表示椭圆越接近圆形；离心率e越接近1，表示椭圆的偏心程度越大。

二、离心率的计算对于一个给定的椭圆，要计算其离心率，可以根据椭圆的半长轴a和焦距c来确定。

首先确定椭圆的焦点F1和F2，然后计算焦距c，最后根据离心率的定义计算出离心率e。

具体的计算步骤如下：1. 确定椭圆的焦点F1和F2对于一个给定的椭圆，其焦点F1和F2的坐标可以通过椭圆的标准方程确定。

2. 计算焦距c椭圆的焦距c可以通过半长轴a和半短轴b来计算得到：c = √(a^2 - b^2)3. 计算离心率e根据离心率的定义，离心率e可以通过焦距c和半长轴a计算得到：e = c / a通过以上计算步骤，就可以得到一个给定椭圆的离心率e。

三、离心率的性质离心率在椭圆的研究中有着重要的作用，它的一些性质也是非常有用的。

下面将介绍一些关于离心率的性质：1. 离心率与椭圆形状的关系离心率e反映了椭圆的偏心程度，当e=0时，表示椭圆为圆；当0 < e < 1时，表示椭圆为椭圆；当e=1时，表示椭圆为抛物线；当e>1时，表示椭圆为双曲线。

2. 离心率与周长的关系对于一个给定的椭圆，其周长L可以通过椭圆的半长轴a和离心率e来计算得到：L = 4aE(e)其中E(e)表示第二类椭圆积分，它是一个与离心率e有关的特殊函数。

3. 离心率与焦点之间的距离对于一个给定的椭圆，其焦点F1和F2到椭圆上任意一点P的距离之和是一个常数，这个常数就等于椭圆的长度轴2a。

具体的关系可以表示为：PF1 + PF2 = 2a通过上述性质，可以看出离心率在描述椭圆形状以及计算其周长等方面都有着重要的作用。

高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，求椭圆离心率。

分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到2221222222=⇒=⇒=+=e e c c b a 的结论。

变式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P 外〕，若21PF PF ⊥，求椭圆离心率取值X 围。

分析：点P 在椭圆上⇒b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上⇒c OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⇒>⇒<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。

变式2.满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a bya x 内，求椭圆离心率取值X 围。

分析：满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆内⇒以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内⇒b c <，进而得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⇒<⇒>+=22,021222222e e c c b a 的结论。

变式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 右焦点2F 的直线交椭圆于P 、两点且满足PQ PF ⊥1，若135sin 1=∠QP F ，求该椭圆离心率。

分析：在前面例题1和变式的基础上，将线段2PF 拉长和椭圆交于点Q ，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。

求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。

解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。

在解题思维的迁移上，通过分析和探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析，清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。

离心率四种考法及其方法技巧1.方程思想：齐次方程、不等式（1）若给定椭圆（双曲线）的方程，则根据椭圆方程确定2a ，2b ，进而求出a ，c 的值，从而利用公式ce a =直接求解；（2）若椭圆（双曲线）方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式（或不等式），化为关于a ，c 的齐次方程（或不等式），进而化为关于离心率e 的方程（或不等式）进行求解.椭圆经典例题铺垫：（1）设椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 与C相交于P 、Q 两点，若1PQF ∆的周长为短轴长的倍.则C 的离心率e =________.（2）椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点为1F ，2F ，直线2a x c =-与直线2a x c =和轴的交点分别为M ，，若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是__________.例1（1）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是_________．（2）若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_________．几何条件 例2（1）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是____________.（2）椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的右顶点为A ，经过原点的直线交椭圆C 于P 、Q 两点，若PQ a =，AP PQ ⊥，则椭圆C 的离心率为__________.（3）如图，12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，A 和B 是以O （O 为坐标原点）为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则椭圆的离心率为_________．双曲线经典例题 例1（1）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等比数列，则该椭圆的离心率是_________． （2）若一个椭圆的焦距、实轴长和虚轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是_________． 例2（1）设12,F F 分别是双曲线:C ()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点，点(),M a b ．若1230MF F ∠=︒，则双曲线的离心率为_________．（2）已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且1223PF PF =，则双曲线的离心率为________．（3）（文讲义例8（3））已知点12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF △是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是_________．方法2：焦点三角形中的角知识点1：椭圆()222210x y a b a b+=>>中，设12F F 、是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上任一点.若1221,,PF F PF F αβ∠=∠=则cossin 2;sin sin cos 2e αβθαβαβ+==-+双曲线中的结论为：sinsin 2=.sin sin sin 2e αβθαβαβ+=--经典例题 椭圆例题 例12013-2014学年吉林省吉林市实验中学高二（上）模块检测数学试卷（二）（理科 椭圆()222210x y a b a b +=>>，左右焦点分别是焦距为2c，若直线)y x c +与椭圆交于M 点，满足12212MF F MF F ∠=∠，则离心率是( )A.211275F =︒,2115PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为（ ）例3（讲义例7（3）） ABC △中，1tan 3A =，π4B =，若椭圆E 以AB 为焦距，且过点C ，则椭圆E 的离心率是________．例4（讲义例9（2））已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，若12060PF F ︒<∠<︒，则该椭圆的离心率的取值范围是________．练习双曲线例题 例5双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )例62016-2017学年湖北省襄阳市枣阳一中高三（上）开学数学试卷（理科） 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两个焦点，M 为双曲线上的点，若1221,60,MF MF MF F ⊥∠=︒则双曲线的离心率为( )1 1例7设A 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为B ，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ,126α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线离心率的取值范围是________．结论2：椭圆最大顶角与离心率 最大顶角 椭圆：sin2e θ≥，2cos 12e θ≥-例12016-2017学年辽宁省盘锦高中高二（上）期中数学试卷（文科）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别是12,F F ，如果在椭圆上存在一点P ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是_________．例2已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），1F ，2F 为两焦点，若椭圆上存在P ，使得110PF PF ⋅<．则椭圆离心率的取值范围是________．拓展 长轴三角形最大顶角设12A PA θ∠=，12,A A 为左右顶点e ≥设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右端点分别是,A B ，如果在椭圆上存在一点P ，使120APB ∠=︒则椭圆离心率的取值范围是_________．方法3：焦半径知识点1.焦半径公式与范围（1）椭圆公式：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-； 焦半径范围：[],a c a c -+；12PF PF 的范围：222,a c a ⎡⎤-⎣⎦12PF PF ⋅的范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦（2）双曲线：焦半径10PF a ex =+，20PF a ex =-;范围：短焦半径[),a c -+∞，长焦半径[),a c ++∞，其中一个成立，另一个自然成立12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤+∞⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题：铺垫 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为2F ，直线2a x c =与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围____________.重点题型1：12PF PF λ=例1 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得12PF ePF =，求椭圆离心率e 的范围.例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围是___________.例3 已知点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，若212PF PF 的最小值是8a ，则双曲线离心率的取值范围为____________；例4 设点P 在双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支上，双曲线的两焦点为1F ，2F ，124PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为____________.例5 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个焦点是()1,0F c -，()2,0F c ，若双曲线上存在一点P ，使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.经典题型2：已知12PF PF ⋅的范围椭圆12PF PF ⋅范围：22222,a c a c ⎡⎤--⎣⎦ 双曲12PF PF ⋅范围：2,b ⎡⎤-+∞⎣⎦例题例6（讲义例9（3））已知()1,0F c -，()2,0F c 为椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅=，则此椭圆离心率的取值范围是________．（强化班讲义例9（1））例7 设点()1,0F c -、()2,0F c 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，P 为双曲线上的一点，且21223c PF PF ⋅=-，则其离心率的取值范围是________．知识点2：设点F 是离心率为e ，焦点x 轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F 的线AB 与x 轴的夹角为α，F 分AB 所成的比为λ，则1cos 1e λαλ-=+ 若焦点在y 轴上，1sin 1e λαλ-=+ 重点题型3：()0AF FB λλ=>或1cos 1AF BF e λλαλ-=⇒=+经典例题例1 经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线和椭圆相交于A ，B两点，若112AF BF =，求椭圆的离心率．例2 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A B C D例3 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为多少？例4已知双曲线C ：22221x y a b-=（00a b >>,）的右焦点为F ，过F 直线交C 于A ，B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为 （ ） A ．65B ．75C ．85D ．95例5 （2008全国卷）过抛物线24y x =的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于,A B 两点，设FA FB >，则FA FB的值为_________.1cos 31FAe FBλαλλ-===++方法4：以b a求离心率e主要包括：（1）椭圆垂径定理（由点差法推导），（2）第三定义（类比圆）； （3）渐近线与双曲线关系（1）点差法与中点弦（椭圆中的垂径定理）AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的任意一条弦，O 为椭圆的中心，M 为AB 的中点，则.222 1.AB OMb k k e a⋅=-=-.AB 是双曲线22221x y a b -=的任意一条弦，O 为双曲线的中心，M 为AB 的中点，则222 1.AB OMb k k e a⋅==-（2）第三定义AB 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上过原点的弦，P 是椭圆上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅=-=-AB 是双曲线22221x y a b -=上过原点的弦，P 是双曲线上异于A B 、的任意一点，则222 1.PA PBb k k e a⋅==-（3）双曲渐进线经典例题椭圆垂径定理 例12016-2017湖北省宜昌市夷陵中学高三期末练习试卷（1）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，直线:240l x y +-=与椭圆相交于,A B 两点，且AB中点M 坐标为()2,1，则椭圆的离心率为___________.（2）过点()1,1作斜率为12-的直线与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M是线段AB 中点，求椭圆离心率.第三定义 例2（1）2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高二（上）期中数学试卷（文科）已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一个动点，且点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为( )C.12（2）已知12,A A 分别椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，点P 为椭圆C 上一点(点P 与12,A A 不重合)，点M 为P 点关于x 轴对称点，若直线1PA 与2MA 的斜率乘积是34，则椭圆的离心率为( )A.14D.12例32016-2017学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷已知椭圆的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为_________．例42015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）已知A B ，为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，顶角为120︒，则E 的离心率为( )B.2离心率与渐近线 铺垫：已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（ ）A ．5B C D例5（1）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为________. （2）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线的离心率为____________. 例6（1）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（2）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的右支交于不同的两点，则双曲线离心率的取值范围是_________.（3）已知斜率为2的直线l 过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的取值范围是_________. 例7设双曲线C 的中心为点，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60︒的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A ，1B 和2A ，2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A.⎤⎥⎝⎦B.⎫⎪⎪⎣⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎣⎭。

求离心率的八种方法求解离心率是天文学和航天学等领域中经常涉及到的问题。

离心率是描述椭圆轨道形状的参数，它是轨道长半径与短半径之差的一半与轨道长半径之和的比值。

在本文中，我们将介绍八种不同的方法来求解离心率。

方法一：利用轨道能量和角动量轨道能量和角动量是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e 等于角动量L和轨道能量E的平方差除以质量m和引力常数G的平方根。

因此，我们可以通过求解轨道能量和角动量来计算离心率。

方法二：利用轨道速度和距离轨道速度和距离也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e 等于轨道速度v和距离r的平方差除以引力常数G乘以质量m。

因此，我们可以通过求解轨道速度和距离来计算离心率。

方法三：利用轨道周期和半长轴轨道周期和半长轴也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以半长轴a的立方和2π的商减去1。

因此，我们可以通过求解轨道周期和半长轴来计算离心率。

方法四：利用轨道偏心率和半长轴轨道偏心率和半长轴也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道偏心率ε除以半长轴a加上1的和。

因此，我们可以通过求解轨道偏心率和半长轴来计算离心率。

方法五：利用轨道倾角和升交点距角轨道倾角和升交点距角也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于1减去升交点距角ω的正弦值除以轨道倾角i的正弦值。

因此，我们可以通过求解轨道倾角和升交点距角来计算离心率。

方法六：利用轨道速度和半长轴轨道速度和半长轴也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道速度v的平方除以引力常数G乘以质量m乘以半长轴a 减去1的平方根。

因此，我们可以通过求解轨道速度和半长轴来计算离心率。

方法七：利用轨道周期和轨道偏心率轨道周期和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。

根据公式，离心率e等于轨道周期T的平方除以轨道偏心率ε乘以4π的平方根。

因此，我们可以通过求解轨道周期和轨道偏心率来计算离心率。

方法八：利用轨道速度和轨道偏心率轨道速度和轨道偏心率也是求解离心率的重要参数。

离心率的五种求法椭圆的离心率0<e<1，双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。

ax2例1：已知双曲线2-y2=1（a>0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为a（） 3233 B. C. D. 2322223ac-132解：抛物线y=-6x的准线是x=，即双曲线的右准线x===，则2c2-3c-2=0，解得2cc2A.c=2，a=，e=c2，故选D =a3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(3,0)，则其离心率为（）3211 B. C. D. 4324解：由F1(1,0)、F2(3,0)知 2c=3-1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=3，∴a=2，c=1，c1所以离心率e==.故选C. a2A.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（） A. 36 B. C. D 2 222c3=，因此选C a2解：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=x2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆2+2=1（a>b>0）的左准线上，过点P且方向为=(2,-5)的光线，ab经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A 112BCD 32325(x+3)，关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y+5=0，则2解：由题意知，入射光线为y-1=-⎧a2c⎪=3c=1a=e==解得，，则，故选A ⎨ca3⎪-5c+5=0⎩二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线2-2=1（a>0,b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若ab边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） +1 D. +1 2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为-，由焦半径公式2PF1=-exp-a， A. 4+2 B. 3-1 C.2c⎛c⎫c⎛⎫⎛c⎫即c=-⨯ -⎪-a，得⎪-2 ⎪-2=0，解得 a⎝2⎭⎝a⎭⎝a⎭ce==1+（1-3舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线2-2=1（0<a<b）的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线ab的距离为3c，则双曲线的离心率为( ) 4A. 2B.C. 2D. 2 3解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得aba2+b2=c， 422242又c=a+b, ∴4ab=3c,两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得3e-16e+16=0， 2() c2a2+b2b2422=1+>2e=4，∴e=2，故选A 得e=4或e=，又0<a<b ，∴e=2=，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，则双曲线的离心率为（）∠F1MF2=1200，A B 6 C D 323解：如图所示，不妨设M(0,b)，F1(-c,0)，F2(c,0)，则MF1=MF2=c2+b2，又F1F2=2c，在∆F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2= MF1+MF2-F1F22MF1⋅MF2222,b2-c211c2+b2+c2+b2-4c2即-=，∴， =-22222b+c22c+b()()-a213222∵b=c-a，∴2，∴，∴，∴，故选B e==-3a=2ce=22222c-a222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∆F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26C. 23 D 2解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310 D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B)1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。

二、变用公式)c e a==双曲线，)c e a==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23分析：本题已知b a =34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。

1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即224b a =e ∴===2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A D 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．2 B ．3 C ．12 D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =即2223b a =从而可得3e ∴===，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

离心率的求解方法
离心率的求解方法
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D. 2－1
2。已知点 A1, A2 为双曲线
的左右顶点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足
A1A2 PA2 ,A1A2P 1200 ,则双曲线的离心率为_________。
3。已知点 为双曲线
的左右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足
离心率的求解方法
，则双曲线的离心率为（ )
A．
B．
3。椭圆 则椭圆 的离心率为
的右顶点为 ，是椭圆 上一点，为坐标原点．已知
小结：将点基本量化代入标准方程求离心率。
，且
，
课后练习：
1.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,
若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A. 2 2
B. 2－1 2
C. 2－ 2
2。设椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1 的左焦点 F
到过顶点
A(a, 0) 与 B(0,b) 的直线的距离为
b ，则椭圆的 7
离心率为_______。
方法二：利用定义求离心率
1.过椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2