《圆内接正多边形》圆PPT课件

1. 用量角器等分圆：
知2－讲
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可
以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个
360 n
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”，这
种方法简便，误差小，且可以画任意正多边形．
2. 用尺规等分圆：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤正n边形的中心角αn＝
360，且与每一个外角相等． n
其中正确命题有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知1－练
2 (202X·南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆 的半径为( )
A．1
B. 3
C．2
D．2 3
3 一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是 ()
A．1∶ 2 B．1∶2 C．2∶3 D．2∶π
知1－练
4 (2015·青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O， 若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB等于( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
知1－练
5 (202X·泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方
各边相等 各角相等
⇒正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①
利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多
边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连
接各等分点，所得多边形即为正多边形．
知1－练
1 给出下列五个命题：
①各多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
知识点 2 圆内接正多边形的画法

8 圆内接正多边形（2） （第2课时）
实际生活中，经常会遇到画平面正多边形的问题，比如画一个六角 螺帽的平面图，画一个五角形等，这些问题都与等分圆周有关，要 制造如图以这样来画一个边长为2cm的正六边形．
3第60一 种方60法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于
O·
探究
参照图，按照一定比例，画一 个停车让行的交通标志的外缘．
练习
用等分圆周的方法画出下列图案：
6
的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这
条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得出
正六边形．
O·
60°
利用这种 方法可以 画出任意 的正n边 形.
第二种方法，如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六边形的半径等 于边长，所以在圆上依次截取等于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺 次连接各分点即可．

是_________，所以在圆内依次截取等于_________的。D。2.圆的两条弦AB，AC分别是它的内接正 三角形与内接正。★★3.(2019·徐州鼓楼区模拟(mónǐ))正六边形的周长为12，
Image
12/10/2021
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当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
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【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
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内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
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这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
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【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.

解：(1)连接 OB、OC.∵正△ABC 内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°， ∠BOC＝120°，又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM ＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°； (2)90° 72°；
(3)∠MON＝36n0°.
C． 3
D．2
10．已知正方形的周长为 x，它的外接圆的半径为 y，则 y 与 x 的函数关系 式是 y＝ 82x .
11．如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，四边形 BCFG 的面积为 20 cm2， 则正八边形的面积为 40 cm2 .
12．如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交 于点 M. 求证：(1)AC∥DE； (2)ME＝AE. 证明：(1)由题意得∠EDC＝180°×55－2＝108°，∠DCA＝108°－12×(180° －108°)＝72°，∴∠EDC＋∠DCA＝108°＋72°＝180°，∴AC∥DE； (2)易得∠DEB＝∠EAC＝108°－21×(180°－108°)＝72°，∵AC∥DE，∴∠ AME＝∠DEB＝72°，∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE.
A.
2 2
B．
3 2
C． 2
D． 3
5．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边 重合并叠在一起，如图，∠3＋∠1－∠2＝ 24° . 6．如图，将正六边形 ABCDEF 的中心为原点，建立直角坐标系，且 BC∥ x 轴，若 OA＝4，则 D 点坐标为 (4,0) ，E 点坐标为 (2,2 3) .
8．如图，工人师傅欲从块边长为 60 cm 的正三角形木板上锯出一块正六边
形木板，则木板边长为( B )
A．15 cm
B．20 cm

什么，这是解决此类问题 的一个捷径。
利用尺规作图，作已知圆的内接正六边形。
A F
B
o
C
D
（1）以圆周上任意一点为圆 心，以圆的半径为半径作弧， 与圆周交于一点； （2）以得到的交点为圆心， 以圆的半径为半径作弧与圆周 E 交于另一点，依次下去，在圆 周上得到六个点； （3）依次连接这六个点，就 得到了这个圆的一个内接正六 边形．
（第3题）
顶点都在同一个圆上的正多边形叫圆内接正多 边形，这个圆叫正多边形的外接圆.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径:外接圆的
半径 正多边形的中心角:正多边形 的每一边所对的圆心角. 正多边形的边心距：中心到正 多边形的一边的距离.
如图在圆内接正六边形ABCDEF中，半 径OC＝4，OG⊥BC,垂足为G，求这个 正六边形的中心角、边长和边心距.
1.正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心 距是____ 8 cm. 五 边形的中心角为72度。 2.正 ____
3.如图，把边长为 的正三角形剪去三个三角形得 一个正六边形 DFHKGE，这个正六边形的面积 是____. 6 3
4.半径为 6 cm 、边长为 6 2cm的圆 内接正多边形有____ 四 条边.
⊙O 半径为r，其内接正三角形、正方形、正六边形 的边长分别为a，b，c. （1）求a，b，c； （2）以a，b，c为边可否构成三角形？如果能，构成的 是什么三b＝ 2r
r
（2）能构成三角形，直角三角形
c＝r
把边心距、半径、边长的
一半三者同时处于一个直
角三角形中，缺什么补出
解：连接 OC，OD． ∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴ ∠ COD ＝

“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.

2. 正 n 边形的每个中心角都等于

3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的__中__心__．
4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的
_边__心__距___．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是_6__0_度，
半径是__1_，边心距是
，它的每一个内角是
_1_2_0_°．
6.正n边形的一个外角度数与它的__中__心__角的度数相等．
A
B O
A
E
B
F
O
C
C
D
E
D
知识讲授
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成 n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个 圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么 它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n， 每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形类似，周长比、边长比、半 径比、边心距比、对应对角线比都等于类似比，面 积比等于类似比的平方.
A
..O
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，
D
边长为4，边心距为 2 3.
B GC
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多 边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心 距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多 边形的边心距之间的等量关系．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 72 度,
才能与本来的图形位置重合.

CF
E D
想一想：
正n边形的一个内角的
(n 2)180
度数是______n______;
360
中心角是_____n______;
正多边形的中心角与外角的 大小关系是__相__等____.
A BOE
CF D
中心角与内角互补.
例 有一个亭子,它的地基半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边
知识点3 有关正多边形的作图
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三
角形. A
①用量角器度量，使∠AOB=
120° ∠BOC=∠COA=120°．
O
②用量角器或30°角的三角板度
C
B 量，使∠BAO=∠CAO=30°．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个 圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接 正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点
得到正五边形ABCDE.
∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个
多边形的中心角等于( A )
A.36°
B.18°
C.72°
D.54°
3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角
板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个
正六边形的面积n等分，那么n的所有可能

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它 还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n， 每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径 比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积 比等于相似比的平方.
➢书本P96. 习题3.9 第2,4题
因此,亭子地基的周长 L =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理, F
E
可得边心距 r 42222（ 3m ） .
A
O
D
亭子地基的面积
S1 2lr1 2 2 4 234 1 .6 (m 2) B.
r P
R C
正多边形的性质 1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成 n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个 圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.

解：连接OD.
∵六边形ABCDEF为正六边形. ∴∠COD=60°，
∴△COD为等边三角形， CD=OD=4
F
E
∴在OGRt△COOCG2 中C,GO2C=44,2CG2=2 22. 3.
A
..O
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，
D
边长为4，边心距为 2 3.
B GC
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八 边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边 形.是轴对称图形的有__①__②__③__④__,是中心对称图形的 有__③__④__⑤___,既是中心对称图形，又是轴对称图形的 有___③__④____. 2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比 为_3__:4__，面积比为_9_:_1_6_，外接圆周长比是__3_:_4__，中 心角度数比是__1_:_1__.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边
形叫做正n边形.
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
顶点都在同一圆上的正多边形叫
做圆内接正多边形。这个圆叫做该
正多边形的外接圆。
E
D
F
.
C
怎样找圆的内接正三角形？
怎样找圆的外切正三角形？
A
D
A E
B
H
B
C
D
怎样找圆的内接正方形？
0
G 怎样找圆的外切正方形？
把一个圆n等分【n不小于
3】，依次连接各等分点，
F 我们就可以作出一个圆内
接正多边形。
做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形。正多边Fra bibliotek的中心:E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.

2
2
22
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
知识点一：圆内接正多边形的相关概念
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为 2 3 .
获取新知 知识点二：正多边形的作图 已知⊙O的半径为R，求作⊙O的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 60º， 所以正六边形的边长与圆的半径 相等. 因此，在半径为R的圆上依次截取等于 R 的弦， 即可将圆六等分.
正 多 边 形 的 所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°. 圆内接正 例2 用尺规作圆的内接正方形. 有 关 概 念 所以正六边形的边长与圆的半径 . 多边形 各边都相等的多边形是正多边形
解:(1)如图①,点O即为所求.
C．2∶3
D．2∶π
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是( )
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
随堂演练 1.下列说法正确的是（ D ） A.各边都相等的多边形是正多边形 B.一个圆有且只有一个内接正多边形 C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
2. 一个圆的内接正四边形和外切正四边形
例2 用尺规作圆的内接正方形. 已知：如图，⊙O. 求作：正方形ABCD内接于⊙O.
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA. 因为AC，BD都是直径，
你能简单说明下如 何用尺规做出两条 垂直的直径吗？
F
类比学习