《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件(第1课时)

北师大版九下《圆周角和 圆心角的关系》ppt课件
这个课件将带你深入了解圆周角和圆心角的关系，以及它们在几何学中的应 用。准备好跟上了吗？让我们开始吧！
引言和背景
在几何学中，我们经常遇到与圆形相关的问题。掌握圆周角和圆心角的关系， 能够帮助我们解决这些问题，进一步理解和应用几何学的知识。
圆周角的定义
圆周角是指其两边都与圆的圆周相交，通常用度数或弧度来表示。圆周角是 一个重要的几何概念，它有着独特的性质和特点。
圆心角的定义
圆心角是指其两边都与圆的圆周相交，并且顶点位于圆的中心。圆心角是圆形的一个特殊角度，对于我们理解 圆形的性质非常重要。
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角之间存在着紧密的关联。它们的度数或弧度有一定的规律和 对应关系，我们可以通过推导和证明来进一步揭示它们之间的联系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结和应用
通过对圆周角和圆心角的学习，我们掌握了它们的定义、关系和应用。这些 知识将帮助我们更好地解决与圆形相关的几何问题，并且在实际生活中应用 几何学的原理和方法。
推导和证明
通过一些基本的几何性质，我们可以推导出圆周角和圆心角的具体关系。这个过程需要一些数学推理和运算， 但是它将帮助我们更深入地理解这两个角度之间的联系。
用例和示例
通过一些实际的案例和具体的示例，我们可以更好地理解圆周角和圆心角的 关系，并且看到它们在几何学中的应用。让我们一起来看几个有趣的例子吧！

= 2∠COD,
1
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
B
你能写出这个命题吗?
议一议
6
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A

老师提示:能否也转化为1的情况?
A C
●
A
A C C B
●
O
B
●
O
OBLeabharlann 教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
议一议
4
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 A ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C ∵∠AOC是△ABO的外角， 老师期望: ∴∠AOC=∠B+∠A. 你可要理 O ∵OA=OB， 解并掌握 ∴∠A=∠B. 这个模型. B ∴∠AOC=2∠B. 1 一条弧所对的圆周角等于它所 即 ∠ABC = ∠AOC. 对的圆心角的一半. 2 你能写出这个命题吗?
C


过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
B
●
O
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
= 2∠COD, 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
1
你能写出这个命题吗?
议一议
7
圆周角定理
驶向胜利 的彼岸
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 • : 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半. 即 ∠ABC =

归纳新知
由上面的问题可以看出，∠ABC是圆上的一种新的 角，这种角我们称为圆周角.你能归纳出其完整定义吗？
定义：顶点在圆上，且角的两边分别与圆还有另
一个交点的角叫做圆周角.
A
C
圆心角和圆周角 有什么关系吗？
E
B D
归纳新知
A
C
E
B D
（1）在上图中，当球员在B，D，E处射门时，他所 处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC，∠ADC， ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
第3章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第1课时 圆周角定理
复习导课
请画出一个圆心角，并说明圆心角的特点.
O
A
B
特点：顶点在圆心，角的两边与圆相交.
复习导课
A
C
E
B D
图中∠ABC的顶点位置与圆心角的顶点位置有什么 不同？它的两边与圆有什么位置关系？
∠ABC的顶点在圆上，而圆心角的顶点在圆心； ∠ABC的两边与圆相交.
是△ABO的外角，
O
∴∠AOC=∠A+∠B.
∵OA=OB，∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠A. 即 ABC = 1 AOC .
B
2
归纳新知
如果∠ABC的两边都不经过圆心，那么结果会怎样？ 你能利用特殊结果把问题解决吗？
① 点 O 在 ∠ ABC 内 部 时 ， 只要作出直径BD，将这个角转 化为上述情况的两个角的和即 可证出.
归纳新知
A
三个张角∠ABC，∠ADC 和∠AEC有什么关系呢？它们 会相等吗？
C O
E
B
D
∠ABC，∠ADC和∠AEC是同弧（弧AC）所对 的圆周角，根据我们所学的圆周角定理可知，它们 都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相 等.即∠ ABC=∠ADC=∠AEC.

径。求证：AB ·AC = AE ·AD
分析：要证AB ·AC = AE ·AD
A
AC AD AE AB
O
△ADC∽ △ABE B
DC
或△ACE∽ △ADB E
题后思：1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法； 3、辅助线的思考方法。
讨论与思考 C
如图，CD是⊙O的直径，
弦AB⊥CD于E，那么你
问题讨论
问题1、如图1，⊙O中，∠C与∠D相等吗？为什么？ 由此你得到什么结论？ ∠C = ∠D
问题2、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点， 那么你发现了些什么结论？ ∠ACB =90º
问题3、如图3，△ABC中，OC是AB边上的中线，且
OC = 1 AB，那么你发现了什么样的结论？
D2
C
∠ACB =90º C
O
能得到什么结论？
结论：Βιβλιοθήκη AEB（1）AE = BE，AC = BC，AD = BD D
（2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D，
∠ACE =∠BCE =∠DAB
（3）BC2 = AC2 = CE ·CD，AD2 = DE ·DC
BE2 = AE2 = DE ·CE
小结与作业
1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？ 3、证明题思路的寻找方法如何？ 4、证明等积式的一般思路你掌握了吗？
O
C A
O
B
A
B
AO
B
图1
图2
图3
自学与思考
1、圆周角定理的推论1、2、3的内容分别是什么？ 你是怎样理解这些推论的？
2、从课本例2的学习中你认为证明等积式的一般思 路是怎样的？

A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
合作探究
如图，已知圆心角∠AOB＝100°，求圆周角∠ACB、
∠ADB的度数.
合作探究
解:设优弧ADB所对的圆心角为∠1，∵∠AOB＝100°，

∴∠D＝ ∠AOB＝50°，∠1＝360°－∠AOB＝260°，


∴∠ACB＝ ∠1＝130°，

因此∠ACB、∠ADB的度数分别为130°、50°.
预习导学
1.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、
O是小正方形顶点，☉O的半径为1，P是☉O上的点，且位于右
上方的小正方形内，则∠APB等于( B )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
预习导学
2.如图，AB、CD是☉O的两条弦，连接AD、BC.若∠BAD
＝70°，则∠BCD的度数为( D )
合作探究
如图，点A、B、C都在圆O上，OC⊥OB，点A在劣弧
BC上，且OA＝AB，求∠ABC的度数.
合作探究
解:∵OA＝OB，OA＝AB，
∴OA＝OB＝AB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°.
∵OC⊥OB，
∴∠COB＝90°，
∴∠COA＝90°－60°＝30°，
∴∠ABC＝15°.
合作探究
圆内的部分是圆的两条弦
.
；(2)
两边在
预习导学
圆周角定理及其推论
1.同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.在
等.
同圆或等圆 中，同弧或等弧所对的 圆周角 相
预习导学
·导学建议·
在知识点二圆周角定理的得出和证明中，先把学生所画出

圆心角和圆周角
第1课时
-.
知识回顾 1.圆是不是中心对称图形?对称中心是什么?
(圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心)
2.将课前准备的两个圆形纸片重合在一起,绕圆心 转动其中一个圆,你发现什么现象?
(把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形与原图形 重合,即圆有旋转不变性)
获取新知 知识点一：圆心角的概念
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，A⌒D=B⌒C.
求证:AB＝CD. 证明：连接AO，BO，CO，DO ∵A⌒D=B⌒C
∴∠AOD＝∠BOC ∴∠AOD+∠BOD＝∠BOC+∠BOD 即∠AOB＝∠COD
∴AB＝CD
C B
O.
D A
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
2.下列说法中，正确的是( C ) A．弦等所对的弧相等 B．弧相等所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦． (1)∵∠AOB＝∠COD，∴____A_⌒B_=_C_⌒D_，____A_B_=_C_D． (2)∵AB＝CD，∴___∠_A_O__B_＝__∠_C__O_D_，___A_⌒B_=_C_⌒D___． (3)∵AB⌒＝C⌒D，∴___∠_A__O_B_＝__∠__C_O_D_，__A__B_=_C_D_,．
弦AB与弦A'B'有怎样的数量关系？
（同圆）由圆的旋转不变性，我们发现： A
在⊙O中，如果∠AOB= ∠A'OB'， 那么，A⌒B=A⌒'B'，弦AB=弦A'B'
B C
·
O

解：PA＋PB＝PC.证明如下： 如图①，在 PC 上截取 PD＝PA，连接 AD. ∵∠APC＝60°，∴△PAD 是等边三角形． ∴PA＝DA，∠PAD＝60°. ∵∠CPB＝60°，∴∠BAC＝60°. ∴∠PAD＝∠BAC. ∴∠PAB＝∠DAC. 由(1)知 AB＝AC，∴△PAB≌△DAC(SAS)．∴PB＝DC. ∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
则易得 PD＝ 3，PA＝PB＝PC＝2 3. ∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°， ∴四边形 PEOD 是矩形． ∴OE＝PD＝ 3，PE＝OD＝3－1＝2. ∴CE＝ PC2－PE2＝ 12－4＝2 2. ∴OC＝CE＋OE＝2 2＋ 3. ∴点 C 的纵坐标为 2 2＋ 3. 【答案】B
当点 P 为A︵B的中点时，E 与 F 重合，PE＋CF＝PC， 即 PC 为⊙O 的直径． ∴此时四边形 APBC 的面积最大． 易求得 AB＝ 3， ∴S 四边形 APBC＝12× 3×2＝ 3.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
答案显示
1．顶点_在__圆__上___，并且__两__边____都与圆相交，这样的角叫做圆 周角．
2．在⊙O 中，A，B 是圆上任意两点，则A︵B所对的圆心角有 ___1_____个，所对的圆周角有__无__数____个；弦 AB 所对的圆 心角有___1___个，所对的圆周角有__无__数____个．
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类

50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）

圆周角和圆心角的综合应用
总结词
定理、综合、应用、解题。
详细描述
圆周角和圆心角在几何学中有着广泛的应用，它们可以 单独使用，也可以综合使用来解决一些复杂的几何问题 。首先，我们可以利用圆周角和圆心角定理的综合应用 来解决一些几何问题。其次，我们可以通过一些解题方 法，如分析法、综合法和作图法等，来解决一些涉及圆 周角和圆心角的复杂问题。此外，我们还可以通过一些 实际问题的应用，来进一步理解圆周角和圆心角的重要 性和实际价值。
圆周角和圆心角的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的圆周角也相等，但相等的圆周角所对的圆心角不一定相等。
运用圆周角和圆心角的关系解题的方法
利用圆心角和圆周角的关系，可以解决一些与圆有关的几何问题。在解题时，需要先找到所求问题的圆心角和圆周角，然 后利用其关系进行求解。
学习方法的总结
01
学习重点
本节课的重点是掌握圆周角和圆心角 的关系及其应用。
利用角的平分线性质定理可以证明，一个角平分线分一个角为两个相等的角，而同弧所对 的圆周角等于圆心角的一半。因此，同弧所对的圆周角相等。
应用
可以利用定理来解决一些有关圆的问题，如求角度、弧长、弦长等。同时，在圆的几何证 明题中，也可以利用定理来寻找突破口。
03
圆周角和圆心角的应用
圆周角在圆内的应用
圆周角和圆心角的关系定理
定理1
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的圆周 角也相等。
定理2
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半。
定理的证明和应用
定理1的证明
利用圆的旋转对称性，可以通过将圆心角对折，使它与弧重合，从而得到弧所对的圆周角 也相等。

第 三章 圆
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系 （第1课时）
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
关系”.（难点）
情景导入
如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与 他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B 、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张 角∠BAC，∠BAC，∠BAC．这三个角的大小有什么关系？在 这三点射门的效果一样吗？
B
O
C
B
（2） 圆心角
O （3）
B
C
A（5）Biblioteka CO·B （6）
边AC没有与 圆相交
圆周角 A
合作探究
活动1： 圆周角与圆心角的关系
做一做: 如图，∠AOB=80°．
（1）请你画几个 A B 所对的圆周角？这几个圆
周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么
关系？你是怎么发现的？与同伴进行交流．
求证： ∠C= 1 ∠AOB ． 2
分析：根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论： （1）圆心O在圆周角∠C的一边上，如图（1）； （2）圆心O在圆周角∠C的内部，如图（2）； （3）圆心O在圆周角∠C的外部，如图（3）．
证明：（1）当圆心O在圆周角∠C的一边上时，如图（1）．
∵∠AOB是△ACO的外角，
∠1=∠4，∠2=∠7， ∠3=∠6，∠5=∠8，
△AEB∽△DEC △AED∽△BEC
课堂小结
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和 圆相交的角叫圆周角. 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理推论:同弧（或等弧）所对的圆周角相等 .