华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测高二数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1()AA AD CD +-运算的结果为A ．ACB ．BDC ．1AC D ．1AD 2．已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为A ．8B ．1C ．16D ．3．已知椭圆22194y x +=与直线l 交于A ，B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是A ．94130x y +-=B ．94130x y -+=C ．49130x y -+=D ．4930x y -+=4．如图所示，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AB =2，则异面直线A 1C 与AB 1所成角的余弦值为A ．12B ．2C ．14D ．245．已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆C 1与圆C 2恰有三条公切线，则实数t的值为A ．±B ．±C ．±D ．06．已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为A ．0B ．12C ．D 7．已知F 1，F 2，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接BF 1并延长交椭圆C于点P ，若△PF 2B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为A ．12B ．13C ．2D8．设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是A ．当b <-或b >-时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B ．当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C ．当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D ．当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于110．将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，长轴两端点分别为A ，B ，则A ．椭圆的标准方程为221168x y +=B ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在F 1M 的延长线上，MN 是∠PMF 2的角平分线，过F 2作F 2Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C ．椭圆上恰有四个点M ，使得122F MF π∠=D ．若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则△MF1F 2内切圆半径的最大值为6-11．如图，正方体透明容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为AA 1，AD ，CC 1，A 1B 1的中点，点N 是棱C 1D 1上任意一点，则下列说法正确的是A ．B 1C ⊥BNB ．向量EM 在向量FG 上的投影向量为13FGC ．将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D ．向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．对于任意实数,,x y z ________．13．已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．14．已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当||||PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点()4,2N ，求反射光线所在的直线方程．16．（15分）已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．17．（15分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为1，△A 1BC 的面积为2．（1）求点A 到平面A 1BC 的距离；（2）设D 为A 1C 的中点，AA 1=2AB ，平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1，求二面角A -BD -C 的正弦值．18．（17分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求△OMN 面积的最大值．19．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，且点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅的取值范围．华师一附中2024-2025学年度上学期期中高二数学一、单选题1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1()AA AD CD +-运算的结果为（）A.ACB.BDC.1AC uuur D.1AD uuur 【答案】C【解】如下图示，1111()AA AD CD AD DC AD AB AC +-=+=+=.2.已知圆22:(2)(4)4C x y -+-=，若圆C 关于直线:2(0,0)l ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为（）A.8B.1C.16D.【答案】A【解】直线:2l ax by +=过圆心(2,4)C ，则24221a b a b +=⇒+=，且0,0a b >>，所以2121(2)4484b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当11,24a b ==时取等号，故21a b+的最小值为8.3.已知椭圆22194y x +=与直线l ,A B 两点，若点(1,1)P -为线段AB 的中点，则直线l 的方程是（）A.94130x y +-=B.94130x y -+=C.49130x y -+=D.4930x y -+=【答案】B【解】设点1122()A x y B x y ,,(,)，因点(1,1)P -为线段AB 的中点，则12122,2,x x y y +=-+=（*）又1122()A x y B x y ,,(,)在椭圆224936y x +=上，则22114936y x +=①，22224936y x +=②，由-①②，可得121212124()()9()()0y y y y x x x x +-++-=，将（*）代入，化简得12124()9()y y x x -=-，即121294y y x x -=-，可知直线l 的斜率为94，故直线l 的方程为：91(1)4y x -=+，即94130x y -+=.4.如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB ==，则异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为（）A.12B.22C.14D.24【答案】C【解】由1111A C A C A A =+ ，1111A A B A A B =-，而111111,A C A A A B A A ⊥⊥且11160B AC ∠=︒，则21111111111111111111()()AC AB AC A A A B A A AC A B AC A A A A A B A A⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 20042=-+-=-，11||||22A C AB == ，则1111111cos ,4||||A C AB AC AB A C AB ⋅==-，所以异面直线1AC 与1AB 所成角的余弦值为14.5.已知圆2221:104t C x y tx +-+-=与圆222:230C x y y +--=，若圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，则实数t 的值为（）A.22± B.42± C.46± D.0【答案】B【解】由圆1C 与圆2C 恰有三条公切线，可知圆1C 与圆2C 外切.由2221:104t C x y tx +-+-=配方得：221:()12t C x y -+=，知圆心1(,0),2t C 半径11r =；由222:230C x y y +--=配方得：222:(1)4C x y +-=，知圆心2(0,1),C 半径22r =.由1212||C C r r =+，可得2()132t+=，解得42t =±.6.已知椭圆22:154x y C +=，M 为椭圆C 上的一点，则点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为（）A.0B.12C.22D.2【答案】C【解】与:40l x y -+=平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线l 的距离最小，令切线为0x y t -+=，联立椭圆方程有22()154x x t ++=，整理得229105020x tx t ++=-，所以2210036(520)0t t ∆=-⨯-=，则3t =±，对于30x y -+=，其切点到l 的距离为22，对于30x y --=，其切点到l 的距离为722，点M 到直线:40l x y -+=距离最小值为2.7.已知12,,F F B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和上顶点，连接1BF 并延长交椭圆C 于点P ，若2PF B 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.13C.22D.3【答案】D【解】由2PF B 为等腰三角形，则有2||||PB PF =，而1212||||||||2PF PF BF BF a +=+=，又12||||BF BF a ==，11||||||PB PF BF =+，若1||PF m =，则||PB a m =+，2||2PF a m =-，所以22aa m a m m +=-⇒=，在12BF F △中222112212112||||||cos 2||||BF F F BF c BF F BF F F a +-∠==，在12PF F 中22222112212112||||||2cos 2||||PF F F PF c a PF F PF F F ac+--∠==，1212cos cos 0PF F BF F ∠+∠=，即222c a c a ac -=，整理得223c a =，则33c e a ==.8.设a 为实数，若直线1:10l ax y ++=，2:10l x y ++=，23:(5)330l a a x ay +-+-=两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的1l ，2l ，3l 有（）A.2组B.3组C.4组D.5组【答案】B【解】123,,l l l 的方向向量分别为1(1,)m a =- ，2(1,1)m =- ，23(3,5)m a a a =--+，若12l l ⊥，则12(1,)(1,1)101m m a a a ⋅=-⋅-=+=⇒=-，此时1:10l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5330l x y ---=，它们交于一点(0,1)-，不符；若13l l ⊥，则2213(1,)(3,5)(2)0m m a a a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒2a =-或0a =或1a =，当2a =-时，1:210l x y -++=，2:10l x y ++=，3:210l x y ++=，满足题设；当0a =时，1:10l y +=，2:10l x y ++=，3:530l x --=，满足题设；当1a =时，1:10l x y ++=，2:10l x y ++=重合，不符；若23l l ⊥，则2223(1,1)(35)450m m a a a a a ⋅=-⋅--+=+-=⇒5a =-或1a =，当5a =-时，1:510l x y -++=，2:10l x y ++=，3:5510l x y --=，满足题设；当1a =时，同上分析，不符.综上，5a =-、2a =-、0a =时满足要求，故有3组.二、多选题9.已知圆22:4O x y +=，直线:l y x b =+，下列说法正确的是（）A.当b <-b >时，圆O 上没有点到直线l 的距离等于1B.当1b =±时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1C.当b =时，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1D.当1b =±时，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1【答案】CD【解】由题设条件，圆的半径为2，圆心O 到直线:0l x y b -+=的距离为d =对于A ，当b <-或b >时,||b >2>d ，当b =由图1知，圆O 上有一点到直线l 的距离等于1，故A 错误；对于B ，D ，当1b =±时，12d =<，由图2知，圆O 上恰有四个点到直线l 的距离等于1，故B 错误，D 正确；对于C ，当b =时，1d =，由图3知，圆O 上恰有三个点到直线l 的距离等于1，故C 正确.选：CD.10.将圆2216x y +=上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，得到椭圆C ，若该椭圆的两个焦点分别为12,F F ，长轴两端点分别为A ，B ，则（）A.椭圆的标准方程为221168x y +=B.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），P 在1F M 的延长线上，MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，则线段OQ 长为定值4C.椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=D.若点M 是椭圆C 上任意一点（与A ，B 不重合），则12MF F △内切圆半径的最大值为6-【答案】BCD【解】若椭圆上点为(,)m n ，则(,2)m n 在2216x y +=上，故22416m n +=，所以椭圆22:1164x y C +=，A 错；假设P 是直线1F M 与2F Q 交点，因为MN 是2PMF ∠的角平分线，过2F 作2F Q 垂直MN 于点Q ，所以Q 为线段2PF 的中点，且2||||MF MP =，而O 是12F F 的中点，故12PF F 中OQ 为中位线，故1112111||||(||||)(||||)4222OQ PF MF PM MF MF a ==+=+==为定值，B 对；当M 为椭圆上下顶点时12F ∠最大，此时2222212224216241cos 2162a a c a c F MF a a +---∠====-，又12(0,π)F MF ∠∈，故122π3F MF ∠=，结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M ，使得12π2F MF ∠=，C 对；若12MF F △内切圆半径为r ，则12121211(||||||)||||()||22M M r MF MF F F y F F a c r c y ++=⋅⇒+=，所以||M c y r a c ==+r 最大，只需||M y 最大，为2b =，所以最大6r ==，D 对.故选：BCD11.如图，正方体透明容器1111ABCD A B C D -的棱长为8，E ，F ，G ，M 分别为1111,,,AA AD CC A B 的中点，点N 是棱11C D 上任意一点，则下列说法正确的是（）A.1B C BN⊥B.向量EM 在向量F G 上的投影向量为13FG C.将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为D.向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个【答案】AC【解】A ：由正方体性质知：11111,B C BC B C D C ⊥⊥且1111BC D C C ⋂=都在面11ABC D 内，所以1B C ⊥面11ABC D ，BN ⊂面11ABC D ，则1B C BN ⊥，对；B ：1//EM AB 且112EM AB =，若O 是11,B C BC 交点，连接OG ，所以1////,2OG BC AF OG BC AF ==，故AFGO 为平行四边形，则//AO FG 且AO FG =，所以,EM FG 所成角，即为1,AB AO 所成角，由题设，易知11AB AO OB ===，在1AOB 中22211113|cos |||22AO AB OB OAB AO AB +-∠==⋅，即1,AB AO 夹角为π6，所以,EM FG 夹角为π6，故向量EM 在向量F G上的投影向量为|π|61|cos 2|FG EM FG FG ==⋅ ，错；C ：令放在桌面上的顶点为A ，若1AC ⊥桌面时正方体的各棱所在的直线与桌面所成的角都相等，此时要使容器内水的面积最大，即垂直于1AC的平面截正方体的截面积最大，根据正方体的对称性，仅当截面过111111,,,,,A B BB BC CD DD A D 中点时截面积最大，此时，截面是边长为的正六边形，故最大面积为216sin 602⨯⨯⨯︒=，对；D ：由题意，第一层小球为8864⨯=个，第二层小球为7749⨯=，且奇数层均为64个，偶数层均为49，而第一层与第二层中任意四个相邻球的球心构成一个棱长为1的正四棱锥，故高为2，假设共有n 层小球，则总高度为()112n -+，且n 为正整数，令()1182n -+≤，则1n ≤+，而10111<<，故小球总共有10层，由上，相邻的两层小球共有113个，所以正方体一共可以放1135565⨯=个小球，错.故选：AC三、填空题12.对于任意实数,,x y z______．【解】由目标式的几何意义为空间任意点(,,)A x y z 到定点(1,2,3),(3,2,1)B C 距离的和，要使它们的距离和最小，只需A 在线段BC 上，此时最小值为||BC ==.13.已知正方形ABCD 中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3420x y ++=，则与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为________________．【答案】43210x y -+=和43190x y --=【解】由:3420AB l x y ++=,可得34AB k =-，则与AB 边垂直的两条边所在的直线的斜率为43，其方程可设为：14:3l y x b =+，即1:4330l x y b -+=.由正方形的性质，可知点(2,3)M 到直线:3420AB l x y ++=的距离等于它到直线1:4330l x y b -+=的距离，故有312055b -=，解得7b =或193b =-，故与AB 边垂直的两条边所在的直线方程为43210x y -+=和43190x y --=.故答案为：43210x y -+=和43190x y --=.14.已知点P 是椭圆22:143x y C +=上一动点，过点P 作221:(1)4G x y ++= 的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，当PG AB ⋅最小时，线段AB 的长度为________________．【解】由椭圆方程可知：2,1a b c ===，圆221:(1)4G x y ++= 的圆心为()1,0G -（也为椭圆的左焦点），半径12r =，因为PG AB ⊥，可知四边形PAGB 的面积12PAGB S PG AB =⋅，当PG AB ⋅最小时，即为四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，又因为1222PAGB PAG S S r PA ==⨯⋅=△，可知当PG 取到最小值时，四边形PAGB 的面积PAGB S 最小，即PG AB ⋅最小，且点P 是椭圆C 上一动点，由椭圆性质可知：当且仅当点P 为左顶点时，PG 取到最小值1a c -=，此时3π26PA APG =∠=，由对称性可知：3π26PB BPG =∠=，即π3APB ∠=，PAB 为等边三角形，则32AB =.三、解答题：15.已知△ABC 的顶点(2,1)A ，边AB 的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，边AC 的高BH 所在直线方程为220x y -+=．（1）求点B 的坐标；（2）若入射光线经过点(2,1)A ，被直线CM 反射，反射光线过点(4,2)N ，求反射光线所在的直线方程．【解】可设点()22,B a a -，因为(2,1)A ，则AB 的中点1,2a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线10x y -+=上，可得1102a a +-+=，解得1a =-，所以点B 的坐标为()4,1B --.【2】设(2,1)A 关于直线10x y -+=的对称点为(),A m n '，则112211022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得03n m =⎧⎨=⎩，即()0,3A '所以反射光线所在的直线方程为243204y x --=--，可得4120x y +-=.16.已知圆22:64120M x y x y +--+=和(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ．（1）求过点(2,4)C 且与圆M相切的直线方程；（2）试求直线AC 上是否存在点P ，使得314PA PB ⋅= ？若存在，求点P 的个数，若不存在，请说明理由．【解】由2264120x y x y +--+=，可得22(3)(2)1x y -+-=，如图1，因过点(2,4)C 且斜率不存在的直线2x =恰与圆M 相切，故有一条切线方程为2x =；设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-，即240kx y k --+=，由圆心(3,2)M 到直线240kx y k --+=的距离1d =，解得34k =-，故另一条切线方程为：34220x y +-=.综上，过点(2,4)C 且与圆M 相切的直线方程为2x =或34220x y +-=；【2】解法一：如图2，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=，设在直线AC 上存在点44(,)3t P t +，满足314PA PB ⋅= ，则有444131(1,)(1,334t t t t ++---⋅--=，即2100802990t t +-=，因2804100(299)0∆=-⨯⨯->，方程有两个不等根，即在直线AC 上存在两个点P ，满足314PA PB ⋅= .故符合题意的点P 有两个.解法二：设在直线AC 上存在点P ，其坐标为(,)P x y ，因(1,0)A -，(1,1)B ，(2,4)C ，故43AC k =,则直线AC 的方程为：4340x y -+=.由314PA PB ⋅= ，可得31(1,)(1,1)4x y x y ---⋅--=，化简得：22354x y y +-=，即221()92x y +-=，故点P 的轨迹是以1(0,)2M 为圆心，半径为3r =的圆（如图3），故要判断点P 的个数，只需判断直线AC 与圆M 的位置关系即可.因圆心1(0,2M 到直线4340x y -+=的距离为3|4|12352d r -==<=，可知直线AC 与圆M 相交，即满足题意的点P 有两个.17.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，1A BC 的面积为52．（1）求点A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1AC 的中点，12AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【解】因为直三棱柱111ABC A B C -的体积为1，则三棱锥1A ABC -的体积为13，设点A 到平面1A BC 的距离为d ，则11113A ABC A A BC A BC V V d S --==⋅△，即115332d =⨯，解得5d =，所以点A 到平面1A BC 的距离为255.【2】过A 作1AE A B ⊥，垂足为E ，又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面1A BC ，⊂BC 平面ABC ，可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又因为1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以⊥BC 平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，设122AA AB a ==，则1A B =，由1AA B 的面积可得111122AA AB d A B ⋅=⋅，即11252225a a ⨯⨯=⨯⨯，解得1a =，即122AA AB ==，1A B =又因为1A BC 的面积为1115222A B BC BC ⋅==，解得1BC =，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()1110,1,0,0,1,2,0,0,0,1,0,0,,,122A A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,,122BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()0,1,0,1,0,0BA BC == ，设平面ABD 的一个法向量 =s s ，则110220m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2x =，则0,1y z ==-，可得()2,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量 =s s ，则110220n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2y =，则0,1x z ==-可得()0,2,1n =- ，则1cos ,5m n m n m n ⋅===⋅ ，设二面角A BD C --为()0,πθ∈，则1cos 5θ=，可得26sin 5θ==所以二面角A BD C --的正弦值为265.18.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ，此时圆周上与点F 重合的点记为A ；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P ．现取半径为8的圆形纸片，设点F 到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE 的中点为原点，FE 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若点Q 为曲线C 上的一点，过点Q 作曲线C 的切线y kx m =+交圆22:16O x y +=于不同的两点M ，N ．（ⅰ）试探求点Q 到点40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由；（ⅱ）求OMN 面积的最大值．【解】：()(),E F -，则8PF PE PA PE AE EF +=+==>，可知动点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，且2224,4a c b a c ===-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=.【2】①联立方程2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2224384480k x kmx m +++-=，因为直线y kx m =+与曲线C 相切，则()()2222Δ644434480k m k m =-+-=，整理可得221612m k =+，则原方程为222322560m x kmx k ++=，解得16k x m=-，将16k x m=-代入直线y kx m =+，可得222161612k m k y m m m m -=-+==，可知1612,k Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且40,D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则DQ ====②由题意可知：圆22:16O x y +=的圆心为s ，半径4r =，因为s 到直线0kx y m -+=的距离d =，可得2222221612416111m k d k k k +===-+++，因为20k ≥，则22411401k k +≥⇒-≤-<+，可得[)2241612,161d k =-∈+，则OMN面积1122OMN S d MN d =⋅=⨯= ，可知当212d =，即0k =时，OMN S△取到最大值【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．19.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为32，且点31,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆M 的方程；（2）过x 轴上的一定点(1,0)P 作两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆M 交于A 、B 两点，2l 与椭圆M 交于C 、D 两点，（A ，C 在x 轴上方，B ，D 在x 轴下方），如图所示．（ⅰ）已知(2,0)Q ，直线QA 斜率为1k ，直线QC 斜率为2k ，且121k k ⋅=，求证：直线AC 过定点；（ⅱ）若直线1l ，2l 相互垂直，试求AC BD ⋅ 的取值范围．【解】22222321314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，可得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆方程为22:14x M y +=；【2详】（ⅰ）令:AC y kx m =+，1122(,),(,)A x y C x y ，且12,0y y >，12x x ≠且均不为2，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则222(14)8440k x kmx m +++-=，且22226416(1)(14)0k m m k ∆=--+>，所以2214k m +>，则122814km x x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，由221212121212121212()1222()4y y k x x km x x m k k x x x x x x +++⋅=⋅===---++，所以2222222222222241(1)8414144(1)164161614144m k m m k k m km m km k k k m k k --+++-++++-+==++，则2222416164km k m k m ++=-，所以2231620(310)(2)0m km k m k m k ++=++=，故103m k =-或23m k =-，当103m k =-时，10:()3AC y k x =-，此时过定点10(,0)3；当23m k =-时，2:()3AC y k x =-，此时过定点2(,0)3，而该点在椭圆内，与,A C 在同侧矛盾；综上，直线AC 过定点10(,0)3，得证.（ⅱ）由AC AP PC =+ ，BD BP PD =+ ，又直线1l ，2l 相互垂直，即,AP PD PC BP ⊥⊥ ，第17页/共17页所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC BP AP PD PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ AP BP PC PD =⋅+⋅ ，若11223344(,),(,),(,),(,)A x y C x y B x y D x y ，则11332244(1,),(1,),(1,),(1,)AP x y BP x y PC x y PD x y =--=--=-=- ，所以131313242424()()2AC BD x x x x y y x x x x y y ⋅=-+++-+++，令:1AB x ty =+，则:1y CD x t=-+，且0t ≠，联立22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(4)230t y ty ++-=，显然0∆>，则13224t y y t +=-+，13234y y t =-+，同理242241t y y t +=+，2242341t y y t =-+，所以2222131313222324(1)()11444t t t x x t y y t y y t t t -=+++=--+=+++，131328()24x x t y y t +=++=+，2242424222211324(1)()11414141t x x y y y y t t t t t -=-++=--+=+++，22424218()241t x x y y t t +=-++=+，所以222222222222224(1)834(1)83477422444414141441t t t t t t AC BD t t t t t t t t --++⋅=--+-+=--++++++++ 422242222236423(1)21541744(1)9(1)9t t t t t t t +++=-=-⨯+++++-，令211m t =+>，则1(0,1)m∈，所以()()()22222222211141,994992541125419194924t m m m t t m m m +⎛⎤==-=-∈ ⎥+-⎝⎦⎛⎫+++----- ⎪⎝⎭，综上，1512,45AC BD ⎛⎤⋅∈-- ⎥⎝⎦。
