5.第二节 函数的单调性与最值

第二节 函数的单调性与最值

一、基础知识

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征

一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

有关单调区间的两个防范

(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．

(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．

二、常用结论

在公共定义域内：

(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数； (2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；

(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；

(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；

(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1fx的单调性相反；

(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．

考点一 确定函数的单调性区间

[典例] (1)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

(2)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

[解] (1)易知f(x)＝ －x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x<0

＝ －x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x<0.

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

(2)法一：定义法

设－1

f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，

则f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1

＝ax2－x1x1－1x2－1.

由于－1

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

法二：导数法 f′(x)＝ax′x－1－axx－1′x－12

＝ax－1－axx－12＝－ax－12.

当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法

(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．

(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．

[题组训练]

1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )

A．f(x)＝2x B．f(x)＝|x－1|

C．f(x)＝1x－x D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：选C 由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝1x－x，因为y＝1x与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

2．函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间是( )

A．(0，＋∞) B．(－∞，0)

C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)

解析：选D 令t＝x2－4，则y＝log12t.因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．

3．判断函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．

解：设x1，x2是任意两个正数，且x1

则f(x1)－f(x2)＝x1＋ax1－x2＋ax2＝x1－x2x1x2(x1x2－a)．

当00，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0，a

]上是减函数；

当a≤x1a，x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数．

综上可知，函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，a ]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．

考点二 求函数的值域最值

[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

(2)若函数f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上的值域为12，2，则a＝________，b＝________.

(3)函数f(x)＝ －x2－4x，x≤0，sin x，x>0的最大值为________．

[解析] (1)图象法

函数y＝ －2x＋1，x≤－1，3，－1

作出函数的图象如图所示．

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．

(2)单调性法

∵f(x)＝－ax＋b(a>0)在12，2上是增函数，

∴f(x)min＝f12＝12，f(x)max＝f(2)＝2.

即 －2a＋b＝12，－a2＋b＝2，解得a＝1，b＝52.

(3)当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值，且f(－2)＝4；当x>0时，f(x)＝sin x，此时f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.

[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4

[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域． (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．

[题组训练]

1．函数f(x)＝x2＋4x的值域为________．

解析：当x>0时，f(x)＝x＋4x≥4，

当且仅当x＝2时取等号；

当x<0时，－x＋－4x≥4，

即f(x)＝x＋4x≤－4，

当且仅当x＝－2取等号，

所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)

2．若x∈－π6，2π3，则函数y＝4sin2x－12sin x－1的最大值为________，最小值为________．

解析：令t＝sin x，因为x∈－π6，2π3，

所以t∈－12，1，y＝f(t)＝4t2－12t－1，

因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝32，所以当t∈－12，1时，函数f(t)单调递减，

所以当t＝－12时，ymax＝6；

当t＝1时，ymin＝－9.

答案：6 －9

3．已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)，且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．

又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，

∴(－x2－2x)max＝－3，故a>－3， 又∵a≤1，∴－3

答案：(－3,1]

考点三 函数单调性的应用

考法(一) 比较函数值的大小

[典例] 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )

A．f(π)>f(－3)>f(－2)

B．f(π)>f(－2)>f(－3)

C．f(π)

D．f(π)

[解析] 因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．

又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．

所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．

[答案] A

[解题技法] 比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

考法(二) 解函数不等式

[典例] 设函数f(x)＝ 2x，x<2，x2，x≥2.若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1] B．(－∞，2]

C．[2,6] D．[2，＋∞)

[解析] 易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，

∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．

[答案] B

[解题技法] 求解含“f”的函数不等式的解题思路

先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)

考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)