2017年高考全国Ⅰ卷理科数学第20题解法探究

２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题解法赏析

陈志年

(安徽省合肥市肥西中学　２３１２００)

摘　要:本文给出２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题的多种解法及评析.

关键词:解析几何ꎻ直线过定点ꎻ引进参数ꎻ参数的去留.

中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００３８－０２

收稿日期:２０２０－０８－０５

作者简介:陈志年(１９６２.４－)ꎬ男ꎬ安徽人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究. ２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题是一道解析几

何题ꎬ其中第二问是证明直线过定点.虽然是一类常见常

考的题型ꎬ但是解决起来有一定的难度.难点在于:引进

一个参数ꎬ思路简单ꎬ可运算量大ꎬ要求运算流畅、准确ꎻ

引进多个参数ꎬ最后涉及到参数的消去与保留ꎬ要求思维

灵活、缜密.下面给出该题的多种解法及评析ꎬ欣赏一题

多解的妙趣ꎻ领略难点突破的秘诀.

题目　已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２

ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的

左右顶点ꎬＧ为Ｅ的上顶点ꎬＡＧ→􀅰ＧＢ→＝８.Ｐ为直线ｘ＝６

上的动点ꎬＰＡ与Ｅ的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点

为Ｄ.

(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.

解　(１)由题设得Ａ(－ａꎬ０)ꎬＢ(ａꎬ０)ꎬＧ(０ꎬ１)ꎬ则ＡＧ→

＝(ａꎬ１)ꎬＧＢ→＝(ａꎬ－１).由ＡＧ→􀅰ＧＢ→＝８得ａ２－１＝８ꎬ即ａ

＝３.所以Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.

(２)解法１　由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ设Ｐ(６ꎬｔ)

则ＰＡ的方程为ｙ＝ｔ９(ｘ＋３).将ｙ＝ｔ９(ｘ＋３)代入ｘ２９＋

ｙ２＝１得(ｔ２＋９)ｘ２＋６ｔ２ｘ＋９ｔ２－８１＝０ꎬ则－３ｘ

ｃ＝９ｔ２－８１

ｔ２＋９ꎬ

所以ｘｃ＝－３ｔ２＋２７

ｔ２＋９ꎬＣ点的坐标为(－３ｔ２＋２７

ｔ２＋９ꎬ６ｔ

ｔ２＋９)ꎻ同

样求得Ｄ点坐标为(３ｔ２－３

ｔ２＋１ꎬ－２ｔ

ｔ２＋１).当ｔ２≠３时ꎬ直线

ＣＤ的斜率ｋＣＤ＝４ｔ

－３ｔ２＋９ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＋２ｔ

2010年高考数学江苏卷第20题的解法探究与教学启示

郝志刚

【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》

【年(卷),期】2010(000)011

【摘 要】"新定义"类试题在近几年的解决实际问题的高考试题中屡见不鲜,已成为考查学生独立获取、理解和应用新知识的能力的重要题型之一.2010年高考数学江苏卷第20题就是一道典型的在"新定义"的背景下的压轴题.探究本题的解题思路对今后的高中数学教学工作有重要的指导意义.

【总页数】2页(P32-33)

【作 者】郝志刚

【作者单位】江苏省连云港外国语学校

【正文语种】中 文

【相关文献】

1.一道高考题的解法探讨与教学启示——2010年高考数学福建卷文科第16题 [J],

宋建辉

2.2017年高考数学江苏卷第12题的解法探究 [J], 丁辉华

3.2010年高考数学四川卷理科(20)题解法探究 [J], 何代森

4.2010年辽宁卷理科第20题的解法探究 [J], 黄润华

5.做一名有思想的计算者——2017年全国高考数学Ⅰ卷理科20题第二问解法探究 [J], 赵嫣然

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多视角探究２０２２年全国高考甲卷理数第２０题

贺凤梅１　李昌成２

(１.新疆伊犁巩留县高级中学ꎬ新疆伊犁８３５４００ꎻ

２.新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)

摘　要:蝴蝶定理是平面几何中的一个经典问题ꎬ其意境优美ꎬ结论简洁ꎬ蕴理深刻.在２００３年

高考北京卷、２００８年高考江西卷、２０１０年江苏卷中均出现了以其为背景命制的高考题[１].２０２２年

全国甲卷理科圆锥曲线压轴题是在抛物线中以蝴蝶定理为背景的试题.文章通过对其深入研究ꎬ弄

清其问题本质.

关键词:圆锥曲线ꎻ蝴蝶定理ꎻ研究

中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－０００２－０４

收稿日期:２０２３－０７－０５

作者简介:贺凤梅(１９７９－)ꎬ女ꎬ湖北省随州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究. 题目　(２０２２年全国高考甲卷理科数学第２０

题)设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ点

Ｄ(ｐꎬ０)ꎬ过点Ｆ的直线交Ｃ于ＭꎬＮ两点ꎬ当直线

ＭＤ垂直于ｘ轴时ꎬＭＦ＝３.(１)求Ｃ的方程ꎻ

(２)设直线ＭＤꎬＮＤ与Ｃ的另一个交点分别为

ＡꎬＢꎬ记直线ＭＮꎬＡＢ的倾斜角分别为αꎬβꎬ当α－β

取得最大值时ꎬ求直线ＡＢ的方程.

１总体分析

本题是２０２２年全国甲卷理科数学第２０题ꎬ

是本卷压轴题之一ꎬ第(２)问是蝴蝶定理背景下

的直线与抛物线的综合题.试题命题立意新颖ꎬ

低起点、入口宽ꎬ适合多视角探究解答.试题能

充分考查学生的运算能力、转化与化归的能力ꎬ

属于难题.笔者针对此题ꎬ拟从不同的角度进行

分析解答ꎬ不断优化解题思路ꎬ揭示问题的本质ꎬ

先分享于此ꎬ以飨读者.２试题解答

２.１第(１)问解析

解析　Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ则Ｆ(ｐ２ꎬ０)ꎬＭＤ⊥ｘ

轴时ꎬｘＭ＝ｐꎬ由抛物线的定义ꎬ得ＭＦ＝ｘＭ＋ｐ２＝３２ｐ＝３ꎬ

解得ｐ＝２ꎬ所以Ｃ:ｙ２＝４ｘ.

当直线ＭＮ⊥ｘ轴时ꎬ由对称性知ＡＢ⊥ｘ轴ꎬ此

时α＝β＝π２ꎬ所以α－β＝０.

文章标题：2023年全国卷1卷第20题解法探讨与总结

在2023年的全国卷1中，第20题涉及到了一个较为复杂的数学问题，需要考生具备一定的数学基础和解题技巧才能得到正确答案。本文将从不同角度深入探讨该题的解法，帮助学生更好地理解并掌握解题方法。

1. 题目内容回顾

2023年全国卷1卷第20题主要涉及到了概率和统计的知识，要求考生通过一组数据来计算某一事件发生的概率，并进行推断分析。在题目中，给出了一组情境和相关数据，考生需要理解问题的要求，并根据给定的条件进行计算和推理。

2. 解题思路分析

在解答这道题目时，考生首先需要明确题目所涉及的数学知识点，包括条件概率、事件的独立性等概念。根据题目给出的具体数据和情境，可以分步进行推理和计算，得出最终的结果。在这个过程中，考生需要运用到概率统计的相关公式和方法，同时进行逻辑推理和分析，确保解题过程的正确性和合理性。

3. 解题方法探讨

针对这道题目，可以采用几种不同的解题方法，比如基于条件概率公式的推导计算，或者通过树状图、表格等方式来展现事件发生的可能性。还可以运用到统计学的相关知识，对数据进行分析和推断。在具体的解题过程中，要注意逻辑严谨，思维清晰，避免漏算和错误推断。

4. 个人观点和理解

对于这道题目，我认为学生在备考的过程中，除了掌握基础的数学知识外，还需要具备一定的解题技巧和灵活思维。解决复杂的概率统计问题，需要有较强的逻辑推理能力和数学建模能力，这也是考验学生综合能力的一种方式。建议学生在备考过程中，多进行练习和思考，加强对数学问题的分析和解决能力。

总结回顾

通过对2023年全国卷1卷第20题的探讨和分析，我们可以发现这道题目涉及到了多个数学知识点，具有一定的难度和挑战性。在解题过程中，除了熟练掌握基础知识外，灵活运用概率和统计的方法，以及合理推理和分析能力同样重要。希望学生们能够通过不断的练习和思考，提升自己的数学解题能力，更好地迎接考试的挑战。