《函数的单调性与最值》教案

函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。

2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性的概念及判断方法，函数最大值和最小值的求法及应用。

2. 教学难点：函数单调性的判断方法，求函数最大值和最小值的方法。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的单调性和最值的概念。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。

3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学准备1. 教学课件：函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。

2. 教学案例：实际问题涉及函数单调性和最值的解答。

3. 练习题：针对本节课内容的练习题，巩固所学知识。

六、教学过程1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾函数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解：讲解函数的单调性，通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义，介绍判断函数单调性的方法。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的单调性解决实际问题，体会函数单调性的重要性。

4. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍求函数最大值和最小值的方法。

5. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的最值解决实际问题，体会函数最值的重要性。

6. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。

七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性：1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值：1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。

高中数学教案函数的单调性与最值高中数学教案：函数的单调性与最值一、引言函数是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的关系。

而函数的单调性以及最值则是我们研究函数性质时的关键内容。

本教案将重点介绍函数的单调性以及最值的概念、性质和计算方法，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

二、函数的单调性1. 定义函数的单调性指的是在定义域上的变化趋势。

具体而言，若函数在其定义域上递增，则称为函数的单调递增；若函数在其定义域上递减，则称为函数的单调递减。

2. 判断方法（1）对于函数y=f(x)，当x1 < x2时，比较f(x1)与f(x2)的大小关系： - 若f(x1) < f(x2)，则函数递增；- 若f(x1) > f(x2)，则函数递减；- 若f(x1) = f(x2)，则函数不单调。

（2）对于一阶导数存在的函数，可以通过导函数的正负性判断函数的单调性：- 若导函数f'(x) > 0，则函数递增；- 若导函数f'(x) < 0，则函数递减；- 若导函数f'(x) = 0，可以进一步分析。

3. 经典例题（1）求函数f(x)=x^2的单调性。

解：由f'(x) = 2x，当x > 0时，f'(x) > 0；当x < 0时，f'(x) < 0。

因此，函数f(x)=x^2在x > 0时单调递增，在x < 0时单调递减。

（2）求函数f(x)=3x^4-4x^3的单调性。

解：由f'(x) = 12x^3-12x^2 = 12x^2(x-1)，可知当x < 0时，f'(x) < 0；当0 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。

因此，函数f(x)=3x^4-4x^3在x < 0时单调递减，在0 < x < 1时单调递增，在x > 1时单调递增。

函数单调性与最值教案教案标题：函数单调性与最值教案教案目标：1. 了解函数的单调性及其在数学和实际问题中的应用。

2. 掌握求解函数最值的方法和技巧。

3. 能够分析和解决与函数单调性和最值相关的问题。

教案步骤：步骤一：引入概念（15分钟）1. 引导学生回顾函数概念，并解释函数的单调性。

2. 通过示例图像展示函数的单调递增和单调递减的特点。

3. 提出问题：如何判断一个函数的单调性？步骤二：函数单调性的判断（20分钟）1. 介绍函数导数的概念，并解释导数与函数单调性的关系。

2. 讲解判断函数单调性的方法：a. 对函数求导，判断导数的正负性；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。

3. 通过练习题让学生巩固判断函数单调性的方法。

步骤三：函数最值的求解（20分钟）1. 引导学生思考如何求解函数的最值。

2. 解释求解函数最值的方法：a. 对函数求导，找出导数为零或不存在的点；b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。

3. 通过练习题让学生掌握求解函数最值的方法和技巧。

步骤四：综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生分析问题并应用函数单调性和最值的概念解决问题。

2. 引导学生讨论解决问题的思路和步骤。

3. 鼓励学生展示解决问题的过程和答案，并进行讨论和评价。

步骤五：总结与拓展（10分钟）1. 总结函数单调性和最值的概念和判断方法。

2. 引导学生思考函数单调性和最值在其他学科和实际问题中的应用。

3. 提供一些拓展问题，鼓励学生继续思考和研究相关概念。

教案评估：1. 在步骤二和步骤三的练习中，检查学生对函数单调性和最值的判断和求解能力。

2. 在步骤四的综合应用中，评估学生对函数单调性和最值在实际问题中的应用能力。

3. 在课堂讨论和总结中，评估学生对函数单调性和最值概念的理解和思考能力。

教案延伸：1. 鼓励学生独立研究更复杂的函数单调性和最值问题，拓展思维能力。

2. 引导学生探索函数单调性和最值在其他数学领域的应用，如微积分、优化问题等。

函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断简单函数的单调性。

2. 掌握利用单调性求函数的最值的方法。

3. 能够运用函数的单调性和最值解决实际问题。

二、教学内容：1. 函数单调性的定义与判断方法。

2. 利用单调性求函数的最值。

3. 函数单调性和最值在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 函数单调性的判断方法。

2. 利用单调性求函数的最值。

四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解函数单调性的定义与判断方法。

2. 利用数形结合法，结合图形讲解函数的单调性和最值。

3. 运用实例法，分析实际问题中的函数单调性和最值。

五、教学过程：1. 引入：通过举例，让学生感受函数的单调性和最值在实际问题中的重要性。

2. 讲解：讲解函数单调性的定义与判断方法，结合图形进行分析。

3. 练习：让学生练习判断一些简单函数的单调性。

4. 讲解：讲解如何利用单调性求函数的最值，结合实例进行分析。

5. 练习：让学生练习求解一些函数的最值。

6. 总结：总结本节课的主要内容，强调函数单调性和最值在实际问题中的应用。

7. 作业布置：布置一些有关函数单调性和最值的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。

2. 探讨函数单调性在高等数学中的应用，如微分方程、最优化问题等。

七、案例分析：1. 分析实际问题，引导学生运用函数的单调性和最值解决实际问题。

2. 举例说明函数单调性和最值在经济学、物理学、工程学等领域的应用。

八、课堂互动：1. 组织学生进行小组讨论，分享各自在练习中的心得体会。

2. 邀请学生上台展示自己的解题过程，互相学习和交流。

九、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对函数单调性和最值的理解程度。

2. 练习作业：评价学生运用函数单调性和最值解决实际问题的能力。

十、教学反思：1. 反思本节课的教学内容、教学方法是否适合学生的学习需求。

2. 针对学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。

《函数的单调性与最大值》教学设计教学设计：函数的单调性与最值一、教学目标：1.了解函数的单调性的概念，能够判断函数在一些区间内的单调性。

2.理解函数的最值的概念，能够求解函数在一些区间上的最大值和最小值。

3.能够运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的单调性：A.单调递增与单调递减的概念及判断方法。

B.设计一些示例，让学生观察函数图像，并判断函数在一些区间内的单调性。

2.函数的最大值和最小值：A.最大值和最小值的概念及求解方法。

B.设计一些函数并给出定义域，让学生求解函数在一些区间上的最大值和最小值。

3.实际问题的解决：A.设计一些实际问题，例如求解函数在一些时间段内的最大速度、最小成本等，让学生运用函数的单调性和最值的概念解决问题。

三、教学过程：1.引入：通过展示一个山峰的图片，并问：“在山峰的哪个位置有最高点？在山谷的哪个位置有最低点？”引导学生思考什么是最值。

2.导入函数的单调性概念：A.讲解函数的单调递增与单调递减的定义。

B.给出函数图像，让学生判断函数在一些区间内的单调性。

C.给出一些判断函数单调性的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。

3.引入函数的最值概念：A.讲解函数的最大值和最小值的定义。

B.给出一个函数图像，让学生找出函数在一些区间上的最大值和最小值。

C.给出一些求解函数最值的例题，让学生独立完成并讲解思路和答案。

4.实际问题的解决：A.给出一个实际问题，例如一辆汽车的速度随时间的变化函数，让学生运用函数的单调性和最值的概念求解汽车在一些时间段内的最大速度。

B.设计几个类似的实际问题，让学生分组讨论解决方法，并展示解决过程和答案。

5.小结与拓展：A.总结函数的单调性与最值的概念。

B.引导学生思考函数单调性与最值的应用领域，例如应用于经济学、物理学等领域。

C.布置相关的作业，要求学生运用函数的单调性和最值的概念解决实际问题。

四、教学评价与反思：1.对于函数的单调性的判断，可以通过让学生观察函数图像，找出函数的增减规律，提高学生的图形观察能力。

函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。

二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。

2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。

四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。

3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。

4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。

5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。

六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。

函数的单调性与最值教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）了解函数的最值概念，学会求解函数的最值；（3）能够运用单调性和最值解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，引导学生发现函数的单调性与最值之间的关系；（2）利用数形结合，让学生掌握函数单调性和最值的求解方法；（3）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对函数单调性和最值的兴趣，提高学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探索、合作学习的良好品质；（3）使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的数学素养。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数单调性的判断方法；（2）函数最值的求解方法；（3）单调性和最值在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）函数单调性在复杂函数中的判断；（2）多变量函数最值的求解；（3）实际问题中单调性和最值的运用。

三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数单调性和最值的相关知识；（2）准备典型的例题和习题；（3）制作PPT或黑板课件。

2. 学生准备：（1）预习函数单调性和最值的相关内容；（2）掌握基本函数的单调性和最值；（3）准备笔记本，做好笔记。

四、教学过程：1. 导入新课：（1）复习上节课的内容，回顾函数的性质；（2）提问：同学们认为函数有哪些重要的性质呢？（3）引导学生思考函数的单调性和最值在实际问题中的应用。

2. 知识讲解：（1）讲解函数单调性的定义和判断方法；（2）通过实例分析，让学生理解函数单调性与最值之间的关系；（3）讲解函数最值的概念和求解方法。

3. 课堂互动：（1）让学生举例说明函数的单调性；（2）分组讨论：如何求解函数的最值；（3）教师点评并总结。

4. 巩固练习：（1）出示典型习题，让学生独立解答；（2）讲解习题，分析解答过程；（3）让学生上台板演，互相评价。

5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结函数单调性和最值的关系；（2）强调单调性和最值在实际问题中的应用；（3）提醒学生做好课后复习。

公开课《函数的单调性与最值》教学设计（建阳一中市级公开周）函数的单调性是函数应用中最基本、最重要的知识点，求函数的最值都离不开单调性，而单调性的基础数形结合，这类题型是历年高考的热点，也是难点，针对这类基础薄弱的学生，起点不宜太高，只能从最基础的部分拾起，以题目贯穿内容，逐级而上.教学方法：提示练习探讨法教学过程一、复习引入1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值二、新课讲授典例讲解问题一：不含参数的函数的单调性例1.求函数 12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．.求函数 []10,2,16)(∈+=x xx x f 的最大值.例2.求下列函数的最值. （1）2)(x x f =(2)[)3,0,12)(2∈--=x x x x f2(3)()21[1,1]f x x ax =---求函数在上的最小值。

【题后感悟】(1)如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值？ 确定二次函数的对称轴，如x=a;根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论； 结合图象明确函数的单调区间进而求解.(2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的端点处及二次函数图象的对称轴处取得.跟踪练习.][)[][).()(1,3)(3,22)(0,2)1(,32)(2t g x f t t x x f x x f x x x f x的最小值时，求）当（的最值；时，求）当（的最值；时，求当已知二次函数+∈-∈-∈+-=课堂小结利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1. 利用图象求函数的最大(小)值2.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值 （1）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a 处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ；（2）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.。

函数的单调性和最值【第一课时】 【教材分析】函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单调性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习幂函数、指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。

【教学目标与核心素养】1．知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

2．核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。

【教学重难点】（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号的判断方法； （3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入初中学习了一次函数y kx b =+的图象和性质，当0k ＞时，直线是向右上，即函数值y 随x 的增大而增大，当0k ＜时，直线向右下，即函数值y 随x 的增大而减小。

同样二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。

思考讨论：（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。

（2）如图，是函数()[] 6,9f x x ∈-（）的图象，说出在各个区间函数值()f x 随x 的值的变化情况。

提示：在区间[][][][]6,52,13,4.57,8---、、、上，函数值()f x 都是随x 的值的增大而增大； 在区间[][][][]5,21,3 4.5,78,9--、、、上，函数值f (x )都是随x 的值的增大而减小。

、3.2.1单调性与最大（小）值（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用与实际意义；2.会用定义简单证明函数的单调性；3.通过函数的单调性可以画出函数图像;4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.二、教学重难点1.函数的单调性精确定义;2.利用函数定义判断函数单调性.三、教学过程1.研究函数单调性的过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】 前面我们学习了函数的定义、表示方法，知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系，这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢?比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值?总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.2019新型冠状病毒爆发（2019-nCoV ，世卫组织2020年1月命名；SARS-CoV-2，国际病毒分类委员会2020年2月11日命名 ）.面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措，不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康，也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献，给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.全国现有确诊趋势本土新增确诊趋势问题1：（1）请看这两幅函数图像,从中你发现了图像的哪些特征?你觉得他们反映了函数哪方面的性质?【预设的答案】第一幅函数图像是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.【设计意图】让学生从直观的图像上感知函数的单调性.问题2：下面我们进一步用符号语言刻画函数的单调性.我们先来看一个简单的例子：f(x) =x2,在初中的时候我们就学习了这函数图像，你能现在画出这个图像吗？请在草稿纸上画出来.我们一般都用的是五点作图,在(0,+∞]上我们取的两个点满足随自变量的增大而增大，你能能否证明在(0,+∞]上所有点变化趋势也是这样的吗?也就是说明我们还有必要用代数的方法证明一下.请大家思考一下如何证明.【活动预设】我们不可能把所有的点取一遍,因为区间上的点是有无穷多个,那我们怎么把”无限”的问题转化为一种”有限”的问题?(让学是感受数学符号语言的作用)那我们可以用x1, x2来表示,请大家看一下几何画板我们发现只要x1<x2时,都有f(x1)<f(x2).（这里可以让学生用之前学习的不等式的性质证明一下f(x1)<f(x2)）【设计意图】主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性，这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.体会形少数时难入微.同时感受符号语言巨大的作用.1.2探究典例，形成概念活动1：通过以上活动,请同学们用符号语言总结一下上面函数的性质.【活动预设】∀x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),这时我们就说函数在区间(0,∞)上是单调递增的.【设计意图】让学生更加熟悉符号语言的表示方法.问题3：通过上述例子给出函数f(x)在区间D上单调性的符号表述.【活动预设】一般的,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 活动2：请同学们判断下列命题知否正确(1) 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能说明理由吗？(2) 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(3) 如果∀x,x+1∈D, 都有f(x)<f(x+1),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗？(4) 函数的单调性是对定义域的某个区间而言，您能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的例子吗？【活动预设】（1）第一问构造了函数f(x)=xsinx+2x,取整函数就可以说明(2)和(3)不正确.(4)让学进一步感知“增函数”、“单调递增”的概念，以及在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.【设计意图】（1）引导学生辨析概念中“任意”两个字；（2）在不同区间上单调递增时，它们的并集不一定保证单调递增，递减同理.2.初步应用，理解概念例1 根据定义证明函数y=1在区间(0，+∞)上是单调递减的.x【预设的答案】略【设计意图】（1）进一步的熟悉定义，通过定义画出图像（2）单调区间不能并.练1 根据定义证明函数y=x+1在区间(1，+∞)上单调递增.x【预设的答案】略【设计意图】（1）让学生自己动手练习；（2）进一步熟悉定义.例2 根据定义,研究f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.【预设的答案】略【设计意图】体会如何求解含参函数的单调性.3.归纳小结，文化渗透1. 什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？2. 你认为在理解函数单调性的时候应把握好哪些关键问题？3. 结合本节课学习过程你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？【设计意图】（1）进一步让学生强化对单调性定义的准确把握；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会函数性质的研究方法,体会数学语言的强大,体会数形结合的重要.四、课外作业。

3 函数的单调性和最值-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案课程目标本课程的主要目标是让学生了解函数的单调性和最值的概念，并能够运用所学知识解决实际问题。

具体目标包括：1.掌握函数单调性的定义和判别方法；2.掌握函数最值的概念和求解方法；3.能够应用函数的单调性和最值解决实际问题。

课程内容一、函数的单调性1.函数的单调性概念：如果一个函数在其定义域上任意两点的函数值的大小关系都相同，那么这个函数就是单调的。

2.单调性判定方法：可以通过研究函数的导数或者函数的一阶差分值来判断一个函数的单调性。

3.单调性的应用：函数的单调性可以应用于最值的求解、不等式的证明等问题中。

二、函数的最值1.函数最大值和最小值的概念：在函数定义域内，函数值最大的数就叫做函数的最大值；函数值最小的数就叫做函数的最小值。

2.最值的求解方法：可以通过求解导数或者利用单调性来确定函数的最值。

3.最值的应用：最值可以应用于最优化问题、优化设计等方面。

教学方法1.讲解法：通过案例分析，教师介绍单调性和最值的概念和判定方法。

2.组合式教学：学生分组协作，通过完成练习题来深化对单调性和最值的认识。

3.实践教学：通过实际问题的解决，来锻炼学生应用所学知识解决实际问题的能力。

教学设计一、引入教师通过实际生活中的例子，引导学生认识单调性和最值，并且让学生思考，如果需要求解最优解，我们应该怎么办？二、知识点讲解1.函数的单调性概念、判定方法和应用；2.函数的最值的概念、求解方法和应用。

三、分组练习教师组织学生进行分组协作练习，通过练习题来复习和深化所学知识。

四、实践应用教师通过实际问题的讨论，让学生应用所学知识解决实际问题。

总结通过本课程的学习，学生将会掌握函数单调性和最值的概念和应用，以及运用所学知识解决实际问题的能力。

同时，本课程也将为学生今后的学习打下坚实的基础。

《函数的单调性和最值（1）》教学设计1．理解增函数、减函数、最值等概念．2．培养学生利用函数概念进行判断推理的能力及数形结合的能力．3．使学生养成细心观察、认真分析的良好思维习惯．重点：函数单调性的概念．难点：对函数单调性概念中关键词的理解． 一、新课导入 复习函数的概念，回答以下问题： 1．函数是如何定义的?函数概念包含几个要素?各是什么?2．函数常见的表示法有几种?各有什么特点?3．函数的定义域怎样确定?如何表示?4．函数研究的主要内容是什么?5．下列函数具有什么特征?如何说明函数具有这些特征?为什么具有这些特征?（1）y =2x +1 （2）y =−x 2+1 （3）y =1x1．函数概念：给定实数集R 中的两个非空数集A 和B ，如果存在一个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A 上的一个函数，记作y =f (x )，x ∈A ．函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2．解析法的特点：简明、全面地概括了变量间的关系；图象法的特点：直观形象地表示出函数变化的趋势；列表法的特点：不需计算直接就可看出自变量相应的函数值．3．函数的定义域：使函数有意义的自变量的取值范围．通常用集合或者区间来表示．4．函数研究的主要内容是函数的概念与性质．5．(1)中函数值随自变量的增大而增大；随自变量的减小而减小．(2)中，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而增大；在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而减小．(3)中在第一象限和第三象限，函数值均随自变量的增大而减小．设计意图：(1)复习函数概念及函数的表示法，引导学生从概念出发研究函数的性质;(2)回顾初中对函数性质的认识及研究方法，与本节课的学习内容形成对比． ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程二、新知探究问题1：（展示某只股票在某一天内的变化图）请学生观察股市图，说一说这只股票当天的走势．答案：随着时间的增加，股票价格不断增长，最后随着时间的增加，价格稳定不变．问题2：观察函数图象，分析当自变量x变化时，函数值f(x)是怎样随之变化的．答案：从左至右观察函数f(x) (x∈[-6，9])的图象上点的位置变化，可以看出：对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值f(x)都随x值的增大而减小．函数值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的增大而减小，这种变化规律称为函数的单调性．追问：怎样用数学的符号语言来表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢?答案：对于任意的x1、x2∈[-6，-5]．当x1<x2时，f(x1)< f(x2)．设计意图：在观察分析的过程中，将点的位置变化转化为随自变量的变化函数值的变化，由对函数图象的观察转化为对函数性质的研究．问题３：通过上面的学习，我们如何用数学的符号语言表达函数的单调性呢？一般地，设函数f(x)的定义域D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y= f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．追问１：如何理解函数单调性定义中的关键词“任意的”“都有”？答案：“任意的”“都有”指的是在定义域当中存在两个变量满足条件，是不能确定函数的单调性的，需要对定义域内任意选取的所有x1、x2，只要满足x1<x2都有f(x1)< f(x2)或者f(x1)> f(x2)成立，才能确定函数的单调性．追问２：函数单调递增或者单调递减还有其他表示形式吗？答案：在函数y=f(x)定义域内的一个区间I上，对于任意的x1、x2∈I且x1≠x2，>0，则称函数y=f(x)在区间I上是增函若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)>0或f(x1)－f(x2)x1−x2数或函数y=f(x)在区间I上单调递增．若[f(x1)－f(x2)](x1−x2)＜0或f(x1)－f(x2)＜0，则称函数y=f(x)在区间I上是减函数x1−x2或函数y=f(x)在区间I上单调递减．问题４：观察问题２中函数的图象，函数值f(x)在哪个范围内变化？从函数图象上看，函数的最大值（最小值）在哪个自变量处取到？答案：根据函数图象，函数值在f(3)和f(2)这两个函数值之间变化，其中在x=3处取得最小值，在x=2处取得最大值．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．总结：（1）M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素；（2）最大（小）值定义中的“对所有的”是说对于定义域内的每个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上（下）方．三、应用举例例1．设f(x)是定义在R上的函数，判断下列命题是否成立，并说明理由．（1）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1)< f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（2）若存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减；（3）若存在x2>0，对于任意的x1∈R，都有f(x1)< f(x1+x2)成立，则函数f(x)在R上单调递增；（4）对任意的x1、x2∈R，且x1<x2，都有f(x1) ≥f(x2)成立，则函数f(x)在R上单调递减．解：（1）不成立，比如函数y=−x2−1<0，f(−1)< f(0)．函数在对称轴的左侧单调递增，右侧单调递减，并不是在R上单调递增．（2）成立，由函数单调递减的定义可知，在给定区间上，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)．所以存在x1、x2∈R，且x1<x2，使得f(x1) ≤f(x2)成立，则函数f(x)在R上不可能单调递减．（3）成立，当x2>0时，x1<x1+x2恒成立，且满足f(x1)< f(x1+x2)，根据函数单调递增的定义可知成立．（4）不成立，由函数单调递减的定义可知当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，不能带等号．设计意图：（1）改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素是重要的，起关键作用的，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面理解和认识．（2）引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识．例2．设f(x)=1x(x<0)画出f(x+3)(x<−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．解：依题意知f(x)=1x+3(x<−3)其图象可由f(x)=1x(x<0)的图象向左平移3个单位长度得到．该函数在区间(−∞，−3)上单调递减．探究：对于f(x)=1x+3，(−∞，−3)和(−3，+∞)都是它的单调区间，并且函数f(x)=1x在这两个区间上都是单调递减，那么能否说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数?解：不能，因为函数f(x)=1x+3的定义域不连续，当我们在区间(−3，+∞)上取一个数比如1，在区间(−∞，−3)上取一个数比如−4，我们知道−4<1，但f(−4)=1−1=−1<f(1)=11+3=1 4，即不能说函数f(x)=1x+3在整个定义域上是减函数．例３．根据函数图像直观判断y=|x−1|的单调性，并求出最小值．解：函数y=|x−1|可以表示为y={1−x，x≤1，x−1，x>1．画出该函数的图象．由图象可知该函数在区间（-∞，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时，y=|x−1|取得最小值，最小值为0．探究：函数在区间[1，+∞）上是否存在最大值？为什么？答案：函数在区间[1，+∞）上不存在最大值，因为函数在区间上单调递增，因此不存在函数值M使得对于定义域内的每个值都满足不等式f(x)≤M．四、课堂练习1．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值：（1）y=−5x，x∈[2，7]（2）f(x)=3x2−6x+1，x∈[3，4)；（3）y=|x2−2x|，x∈[−1，3]．2．某型号汽车使用单位体积燃料行驶的路程f（x）（单位：km）是行驶速度x（单位：km/h）的函数．由实验可知，这一函数关系是f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8．（1）求f（50），并说明它的实际意义；（2）当速度x为多少时，汽车最省油？参考答案：1．．解析：（1）y=−5x在区间[2，7]单调递减．最小值是f(7)=−35，最大值是f(2)=10．（2）函数f(x)=3x2−6x+1的开口向上，对称轴为x=1，所以在区间[3，4)单调递增．最小值是f(3)=10，无最大值．（3）由题意，函数y=|x2−2x|，在区间[−1，0]和[1，2]上单调递减；在(0，1)和(2，3]单调递增．最小值是0，最大值是f(3)=f(−1)=3．2．解析：（1）f(50)=29.2，表示当行驶速度为50km/h时，行驶路程是29.2km．(2)由题意，函数f（x）=−0.01x2+1.2x−5.8的对称轴为x=60，此时函数最大值为f(60)=30.2，即速度为60km/h时，汽车最省油．五、课堂小结1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)< f(x2)，那么就称函数y=f(x)是增函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递增．如果对于任意的x1、x2∈D，当x1<x2，都有f(x1)> f(x2)，那么就称函数y=f(x)是减函数，特别的，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y=f(x)在区间I上单调递减．2．函数的单调区间：如果函数y=f(x)在区间上单调递增或递减，那么就称函数y= f(x)在区间I上具有单调性．此时I为函数y=f(x)的单调区间．3．函数的最值：若存在实数M，对所有的x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0≤D，使得f(x0)=M，则称M为函数y=f(x)的最大值．同样的，可以定义函数y=f(x)的最小值．函数的最大值和最小值统称为最值．六、布置作业教材第60页练习题第2~4题．。

第三节函数的单调性与最值一、函数的单调性 1．单调函数的定义自左向右看图象自左向右看图象若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的 ．3.函数单调性的性质①、奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ； ②、偶函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ；③、在公共定义域内：增函数+增函数是 ，减函数+减函数是 增函数—减函数是，减函数—增函数是 。

二、函数的最值 预习演练1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.4．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，则实数x 的取值范围是______．5.写出下列函数的单调区间：⑴ 函数y =2x +x 2-3单调递增区间为________,单调递减区间为_______; ⑵ 函数y =x1的单调区间为______________, 6.函数)(x f =-2x +ax 2⑴若)(x f 的减区间为[1,+∞），a 的取值范围是_______；⑵若)(x f 的在[1,+∞）上是减函数，则a 的取值范围是____________ 注：1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 题型一:函数单调性的判断[例1] 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．小结:对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 变式1．判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．题型二：求函数单调区间[例2] 函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)小结：求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 题型三:复合函数单调区间的求解例3：求函数()f x =变式3：求解函数()f x 的单调区间 小结:对于复合函数()y fg x =⎡⎤⎣⎦，其单调性质如下：复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时增；相异时减.题型四：函数单调性的应用[例4] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. (3)(2013·孝感调研)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (4)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.题型五：抽象函数的单调性例5. 定义在R 上的函数()y f x =，()00f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈,有()()()f a b f a f b +=. ⑴求证： ()01f =；⑵求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； ⑶证明：()f x 是R 上的增函数； ⑷若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围变式5：已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x < ⑴求()1f 的值；⑵判断函数()f x 的单调性； ⑶若()31f =-，解不等式()2f x <-。

函数单调性与极值（三课时)第一课时教学目的：进一步熟悉函数单调性的定义，熟悉用定义证明函数单调性；直观地理解导数的符号与单调性的关系，能用求导的方法判断函数单调性以及求函数单调区间教学重点：导数与函数单调性的关系教学难点：导数与函数单调性的关系教学过程：一、复习：1．多项式的导数求法，函数在某一点处的导数与这一点处的切线斜率的关系巩固练习：(1)若曲线y=x 3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( )(A) (2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)(2)若曲线y=x 5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x 垂直，则此切线方程为( )(A) 5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非(3)曲线y=x 3/3-x 2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .2．调递增与单调递减的意义3．如何用定义法证明函数的单调性例1 已知函数y=2x 3-6x 2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.引入：在上述运算过程中我们发现运算量比较大，而且还涉及到符号判断，有一定的难度。

但是函数单调性体现出了函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，则当x 增大时，y 变小，因此当自变量x 的增量△x 大于0时，函数值y 的增量△y 也大于零，于是为正，当△x 无限趋x y ∆∆近于零时，的根限值为正，因此对应的导数值为正，反之亦然.xy ∆∆同理，若函数在区间(a,b)内单调递减，则在(a,b)内的每一点处的导数值为负，反之亦然.说明：引入时可用几何画板演示说明：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么'y y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么y=f(x)为这个区间'y内的减函数.回顾：证明函数在某区间上的单调性的常用方法：(1)单调性定义法(2)导数判断法二、例题例2 确定函数y=2x 3-6x 2+7的单调区间，并分别说明在各单调区间内的单调性回顾：用导数法确定函数的单调性时，一般的步骤是：(1)求出函数的导函数)('x f (2)求解不等式>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间)('x f (3)求解不等式<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间)('x f 值得注意的是不等式的解集与单调区间不是同一个概念，若解是由几部份的“并”组成的，则单调区间不应有“并集”运算出现。

高中数学教案——函数的单调性与极值教案概述：本教案旨在帮助学生理解并掌握函数单调性的概念，以及如何利用导数研究函数的单调性和极值。

通过具体的例题和练习，使学生能够熟练运用单调性和极值的性质解决实际问题。

教学目标：1. 了解函数单调性的概念，理解单调增和单调减的定义。

2. 学习利用导数判断函数的单调性。

3. 学习函数的极值概念，理解极大值和极小值的区别。

4. 学会利用导数研究函数的极值问题。

5. 能够运用单调性和极值的性质解决实际问题。

教学重点：1. 函数单调性的定义及其判断方法。

2. 导数与函数单调性的关系。

3. 函数极值的定义及其求法。

4. 利用单调性和极值解决实际问题。

教学难点：1. 导数在判断函数单调性中的应用。

2. 函数极值的求解和应用。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 相关例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数单调性的概念，让学生回顾初中阶段学习的单调增和单调减的概念。

2. 提问：同学们认为函数的单调性有哪些实际应用呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数单调性的定义，通过具体例子让学生理解单调增和单调减的概念。

2. 引入导数的概念，讲解导数与函数单调性的关系。

3. 举例说明如何利用导数判断函数的单调性。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固对函数单调性的理解。

2. 引导学生思考练习题背后的原理和方法。

四、讲解函数极值（15分钟）1. 引入函数极值的概念，让学生理解极大值和极小值的区别。

2. 讲解如何利用导数研究函数的极值问题。

3. 通过具体例子演示如何求解函数的极值。

五、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固对函数极值的理解。

2. 引导学生思考练习题背后的原理和方法。

教学反思：通过本节课的教学，学生应掌握函数单调性的概念和判断方法，以及如何利用导数研究函数的单调性和极值。

在教学过程中，要注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力。

2．1．3 函数的单调性教学目标1．理解单调函数、单调区间的概念，能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性．2．通过对函数单调性的学习，让学生体会数形结合的思想．3．培养学生养成由特殊到一般，再由一般到特殊来研究问题的思维习惯．教学重点与难点本节课的重点是函数单调性的概念，教学难点是函数单调性的判断和证明．一．问题情景结合成语“蒸蒸日上”“跌宕起伏”“每况愈下”的含义，画出相应的图象，并用数学语言叙述一下图象的变化规律．二．学生活动语言来准确地表达函数的这种变化？三．建构数学四．数学理论1、单调增函数、单调减函数设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间．．I 内的任意．．两个值1x ，2x ，若当12x x <时，都有．．12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间．如果对于区间．．I 内的任意．．两个值1x ，2x ，若当12x x <时，都有．．12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间．想一想：如何用两句通俗的话来概括上面的定义？ 注意：①定义域优先；②自变量的任意性．增函数：对于区间．．I 内的任意．．两个值1x ，2x ，1212[()()]()0f x f x x x -->，即1212()()0f x f x x x ->-；减函数：对于区间．．I 内的任意．．两个值1x ，2x ，1212[()()]()0f x f x x x --<，即1212()()0f x f x x x -<-；2、单调性、单调区间若函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．几何意义：在单调区间上是增函数的图象是上升的；在单调区间上是减函数的图象是下降的．五．数学运用 ㈠单调性的概念问题：①函数1,0y x x=≠在定义域上单调吗？②画出函数22,0,,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的图像，问它在R 上单调吗？③画出函数1,0,1,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩的图像，问它在R 上单调吗？例1．如下图是定义在闭区间[－5，5]上的函数()y f x =的图象，根据图象说出()y f x =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数()y f x =是增函数还是减函数．【解】函数()y f x =的单调区间有[－5，－2]，[－2，1]，[1，3]，[3，5]，其中()y f x =在区间[－5，－2]，[1，3]上是减函数，在区间[－2，1]，[3，5]上是增函数． 思考：⑴()y f x =在区间[5,2][1,3]--上是减函数，对吗？如果函数在定义域的每个单调区间上都是单调减函数，那么能否说此函数在定义域上是减函数？ ⑵在定义域内有(3)(4)f f -<能否说函数()y f x =在定义域内是增函数？在定义域内有(5)(1)f f ->-能否说函数()y f x =在定义域内是减函数？ ⑶是否所有的函数都具有单调性？在判断函数单调性时是否都要画图？例2．⑴．证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数．⑵．证明函数1()1f x x=--在(,0)-∞上是增函数．证：⑴．设1x ，2x 是R 上的任意两实数，且12x x <，则120x x -<，1212()()3()0f x f x x x -=-<，即12()()f x f x <，故23)(+=x x f 在R 上是增函数．⑵．设1x ，2x 是(,0)-∞上的任意两个实数，且21x x <，则121211()()(1)(1)f x f x x x -=-----= 1212x x x x -，由12,(,0)x x ∈-∞得，021>x x ，且120x x -<，于是12()()0f x f x -<，故1()1f x x=--在(,0)-∞上是增函数．数．利用定义证明函数单调性的步骤： ⑴．取值：对任意1x ，2x I ∈，且12x x <； ⑵．作差：12()()f x f x -；⑶．变形：(通分、因式分解、配方、分子分母有理化等) (注意①同类项相减，才能得到：12x x -)；⑷．定号：判定差的正负(注意理由的充分性)； ⑸．判断、下结论．【例3】已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有()()f x d f x +<，求满足(1)(21)f a f a -<-的a 的取值范围．【解】令x 1＝x ＋d ，x 2＝x ，因d >0，故x 1>x 2，由f (x ＋d )<f (x )知，f (x 1)<f (x 2)．故()y f x =在定义域R 上是减函数．因f (1－a )<f (2a －1)，故1－a >2a －1，即23a <．故a 的取值范围为(－∞，23)．反思与感悟 如果由函数()y f x =在区间M 上的任意两个数x 1<x 2推出f (x 1)<f (x 2)，则函数()y f x =是增函数；反之，如果已知函数()y f x =在区间M 上是增函数，若f (x 1)<f (x 2)成立，则x 1<x 2也成立．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维．跟踪训练3 已知函数()y f x =是区间(0,)+∞上的减函数，判断f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系．【解】因a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，又函数()y f x =是区间(0,)+∞上的减函数，故f (a 2－a ＋1)≤f (34)．二、 回顾反思本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用⑴．图象法；⑵．定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题． 课后作业1．教材第43页，第1题（做书上）考虑二次函数的相应问题．2．教材第43页，第4题、第7题．函数的单调性⑵一．划分单调区间【例1】画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．【解】y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0)．函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．故函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．【练习1】课本44页习题2.2 EX3 ⑶，⑷，⑸，⑹．二．证明单调性【例2】证明：函数1()f x x x =+在(1，＋∞)上是增函数． 【练习2】证明函数1()f x x x=在(0，＋∞)上是增函数．小结：⑴．22121212()()x x x x x x -=+-； ⑵．332212121122()()x x x x x x x x -=-++；====；单调性的判断方法：⑴．图像法；⑵．已知函数单调性；⑶．复合函数的单调性：同增异减三．已知单调性，求参数范围【例3】⑴．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1，2]上单调，则m的取值范围是________．【解】二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1，2]上单调，则m≤1或m≥2．⑵．函数()af x xx=+在(1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．【练习3】已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x＋3a，x≥0，x2－ax＋1，x<0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．【解】当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤13，故0≤a≤13．9．若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0，2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是________．答案0≤m≤4【解】由于()y f x=在区间[0，2]上是增函数，故f(2)＞f(0)，解得a＜0．又因()y f x=图象的对称轴为x＝－－4a2a＝2．故()y f x=在[0，2]上的值域与在[2，4]上的值域相同，故满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4．四．含参单调性讨论13．讨论函数f(x)＝ax＋1x＋2⎝⎛⎭⎪⎫a≠12在(－2，＋∞)上的单调性．【解】f(x)＝ax＋1x＋2＝a＋1－2ax＋2，设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)x2－x1(x2＋2)(x1＋2)，因－2<x1<x2，故x2－x1>0，又(x2＋2)(x1＋2)>0．⑴．若a <12，则1－2a >0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即12()()f x f x >，则()y f x =在(－2，＋∞)上为减函数．⑵．若a >12，则1－2a <0．故f (x 1)－f (x 2)<0，即12()()f x f x <，故()y f x =在(－2，＋∞)上为增函数． 综上，当12a <时，()y f x =在(－2，＋∞)上为减函数； 五．单调性的应用 解不等式、求最极值【例4】已知函数()y f x =在R 上是减函数，A (0，－2)、B (－3，2)在其图象上，则不等式－2<f (x )<2的解集为________．答案 (－3，0) 解析 画出草图，数形结合，得不等式的解集为(－3，0)．6．已知()y f x =是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．【解】由题意，得⎩⎨⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32．函数的最大、最小值教学目标4．了解函数的最大值与最小值概念，理解函数的最大值和最小值的几何意义，能求一些常见函数的最值和值域．5．掌握二次函数在闭区间上的最值的求法． 教学重点与难点本节课的重点是二次函数在闭区间上的最值，教学难点是函数最值的判断． 三、 问题情景看课本34页图2113--的气温变化图，说出气温在何时最高，何时最低？．四、 学生活动、建构数学问题1：观察下列函数的图象，并指出对于任意x R ∈，()f x 与(1)f 的大小关系．观察得到：图⑴中，对于任意x R ∈，都有()f x ≥(1)f ；图⑵中，对于任意x R ∈，都有()f x ≤(1)f ．问题2：如何用数学语言来准确地表达函数的最大值和最小值呢？ 通过讨论，给出()y f x =的最大值和最小值的定义． 五、 数学理论、数学运用 函数最值的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，都有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为()y f x =的最大值(maximum value)，记为max 0()y f x =；如果存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，都有0()()f x f x ≥，则称0()f x 为()y f x =的最小值(minimum value)，记为min 0()y f x =；问题3：设函数()y f x =的定义域为[,]a b ，若()y f x =是增函数，则max y = ，min y = ； 若()y f x =是减函数，则max y = ，min y = ．问题4：判断下列说法是否正确：⑴．单调函数一定有最大值和最小值；⑵．在定义域内不具有单调性的函数一定没有最大值和最小值．(1)(2)2(1)5y x =--+ 2(1)1y x =--【例1】教材P36，如图为函数(),[4,7]y f x x =∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．一．求已知函数的最值例2．教材P36，求下列函数的最小值：⑴．22y x x =-； ⑵．1(),[1,3]f x x x=∈．变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；（即要考虑函数是否有最大值）． 变题2：求下列函数的值域：⑴．2()2,[0,4]f x x x x =-∈； ⑵．2()2,[0,4)f x x x x =-∈． 【例3】教材P37例5问题：函数的最值与什么因素有关？单调性！ 二．含有参数的最值问题讨论变题3：求2()2,[0,4)f x x ax x =-∈的最小值．【解】22()()f x x a a =--，其图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线． ①若0a ≤，则()y f x =在[0,4)上是增函数，故min ()(0)0f x f ==； ②若04a <<，则2min ()()f x f a a ==；③若4a ≥，则()y f x =在[0,4)上是减函数，故()y f x =的最小值不存在．变题4：求2()2,[0,]f x x x x m =-∈的最值．【解】2()(1)1f x x =--，其图象是开口向上，对称轴为1x =的抛物线．①若01m <<，则()y f x =在[0,]m 上是减函数，故max ()(0)0f x f ==，2min ()()2f x f m m m ==-．②若12m ≤<，则()y f x =在[0,1]上是减函数，在[1.]m 上是增函数，且(0)()f f m >，故min ()(1)1f x f ==-，max ()(0)0f x f ==．③若2m ≥，则()y f x =在[0,1]上是减函数，在[1.]m 上是增函数，且(0)()f f m ≤，故min ()(1)1f x f ==-，2max ()()2f x f m m m ==-．三．已知最值，求参数值或参数取值范围变题5：函数2()2,[0,4]f x x ax x =-∈有最大值8，求a 的值．【解】22()()f x x a a =--，其图象是开口向上，对称轴为x a =的抛物线．故()y f x =在[0,4]x ∈的最大值只可能是(0)f 或(4)f ，又(0)0f =，故(4)8f =，故1a =经检验符合题意．思考：若已知函数2()2,[0,4]f x x ax x =-∈有最小值8-，如何求a 的值．8．函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是________．【解】由f (x )＝(x －2)2＋1知，当x ＝2时，()y f x =的最小值为1，当f (x )＝5时，即x 2－4x ＋5＝5，解得x ＝0或x ＝4．依据图象得，2≤m ≤4．四．最值应用11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))．⑴．求()y f x =的最小值；⑵．若()f x a >恒成立，求a 的取值范围．【解】⑴．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2．则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 1x 2，因x 1<x 2，故x 1－x 2<0，又因x 1≥2，x 2>2，故x 1x 2>4，1－3x 1x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即12()()f x f x <．故()y f x =在[2，＋∞)上是增函数，故当x ＝2时，()y f x =有最小值，即f (2)＝112．⑵．因()y f x =的最小值为f (2)＝112，故()f x a >恒成立，只须f (x )min >a ，即a <112．13．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1．⑴．求()y f x =的解析式；⑵．若在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】⑴．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因f (0)＝1，故c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1．因f (x＋1)－f (x )＝2x ，故2ax ＋a ＋b ＝2x ，故⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，故⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1． ⑵．由题意得：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，故()y g x =在区间[－1，1]上是减函数，故g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，故m <－1．六、 回顾反思本节课主要学习了函数的最大值和最小值的概念．求函数的最大值和最小值，要充分发挥函数的单调性和函数图象的作用．对于含参的二次函数我们要注意分类讨论． 课后作业1．教材第43页，第3题．2．已知二次函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上有最大值4，求实数a 的值．3．已知函数f (x )＝－x ＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若()y f x =有最小值－2，则()y f x =的最大值为______．【解】f (x )＝－(x －2)2＋a ＋4，故()y f x =在[0，1]上单调递增．故f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2，故f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1．4．已知函数()a f x x x =+，()a g x x x=-，3a <． ⑴．求证：函数()y f x =在(0,1]上单调递增；⑵．函数()y g x =在(0,1]上单调递减，求a 的取值范围； ⑶．若对任意(0,1]x ∈，函数()||h x x x b a =-+的图象在x 轴下方，求b 的取值范围．【解】设1201x x <<≤．⑴．因0a <，故121212()()()(1)0a f x f x x x x x -=--<，故()y f x =在(0,1]上递增． ⑵．因121212()()()(1)0a g x g x x x x x -=-+>，故1210a x x +<，12a x x <-，而121x x -→-，故1a ≤-． ⑶．因()0h x <，即||a x b x -<-，故a a x b x x x+<<-，即()()f x b g x <<，故max min ()()((0,1])f x b g x x <<∈．1°当13a -<<时，由⑴知，max ()(1)1f x f a ==+，而()a g x x x=-≥1a b +<<． 2°当1a <-时，由⑵结论的可逆性可得，()y g x =最小值为(1)1g a =-，又由⑴知，()y f x =最大值仍为(1)1f a =+，故11a b a +<<-．综上所述，当13a -<<时，故1a b +<<；当1a <-时，11a b a +<<-． 题型⑴．求已知函数在闭区间上的最值(值域)题型⑵．含参的最值讨论题型⑶．已知最值求参数值题型⑷．已知最值求参数的范围最值应用方程有解问题，恒成立及存在性问题。

高一数学《函数的单调性与极值》函数分析教案一、教学目标1. 掌握函数的单调性与极值的概念及其判定方法；2. 理解函数单调性与极值的几何含义；3. 能够应用函数的单调性与极值解决实际问题。

二、教学内容1. 函数的单调性a. 单调增函数的定义与判定方法；b. 单调减函数的定义与判定方法；c. 单调性的几何含义。

2. 函数的极值a. 极大值与极小值的定义与判定方法；b. 极值的存在性与计算方法；c. 极值的几何含义。

三、教学过程1. 导入引入函数单调性与极值的概念，提出学生对函数单调性与极值的理解与疑惑。

2. 理论讲解a. 函数的单调性i. 单调增函数的定义与判定方法- 若对于定义域内的任意两个实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)，则函数f(x)在该区间上是单调增的；- 判断方法：函数的导数是否大于零。

ii. 单调减函数的定义与判定方法- 若对于定义域内的任意两个实数x₁和x₂，当x₁<x₂时，有f(x₁)>f(x₂)，则函数f(x)在该区间上是单调减的；- 判断方法：函数的导数是否小于零。

iii. 单调性的几何含义- 单调增函数的图像在坐标系中逐渐上升；- 单调减函数的图像在坐标系中逐渐下降。

b. 函数的极值i. 极大值与极小值的定义与判定方法- 设函数f(x)在x₀处连续，且在x₀的某个去心邻域内，对任意x≠x₀有f(x)≤f(x₀)，则f(x₀)称为函数的极大值；- 设函数f(x)在x₀处连续，且在x₀的某个去心邻域内，对任意x≠x₀有f(x)≥f(x₀)，则f(x₀)称为函数的极小值；- 判断方法：求解导数为零的点，并进行二阶导数判定。

ii. 极值的存在性与计算方法- 函数在闭区间上连续，则函数在该区间上必有最大值和最小值；- 极值的计算方法：求解导数为零的点，并判断边界值是否为极值点。

iii. 极值的几何含义- 极大值对应函数图像的山峰顶点；- 极小值对应函数图像的山谷底点。