第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

函数的单调性与最值课前双击巩固1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2当x 1<x 2时,都有 ,那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时,都有 ,那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图像 描述自左向右看图像是自左向右看图像是2.单调区间的定义如果函数y=f (x )在区间D 上是 ,那么就说函数y=f (x )在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f (x )的单调区间. 3.函数的最值 前提设函数y=f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ,都有f (x )≤M ; (2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M(1)对于任意x ∈I ,都有 ; (2)存在x 0∈I ,使得结论 M 为最大值 M 为最小值常用结论1.复合函数的单调性函数y=f(u),u=φ(x),在函数y=f[φ(x)]的定义域上,如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相同,则y=f[φ(x)]单调递增;如果y=f(u),u=φ(x)的单调性相反,则y=f[φ(x)]单调递减.2.单调性定义的等价形式设任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x1-x2>0,则f(x)在闭区间[a,b]上是增函数.(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.3.函数单调性的常用结论(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同,若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=1f(x)的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=√f(x)的单调性相同.题组一常识题1.函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是.2.函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是;单调递减区间是.3.函数f(x)=3x+1(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.4.函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.题组二常错题◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.5.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.6.已知函数f(x)={(a-2)x,x≥2,(12)x-1,x<2满足对任意的实数x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0成立,则实数a的取值范围为.7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是.8.(1)若函数f (x )=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是 . (2)若函数f (x )=x 2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a 的值为 .课堂考点探究探究点一 函数单调性的判断与证明 1 判断函数f (x )=ax x 2-1(a>0),x ∈(-1,1)的单调性,并加以证明.[总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2;②作差f (x 1)-f (x 2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f (x 1)-f (x 2)的正负);⑤下结论(即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性).(2)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 式题 下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( )A .y=-x 2+1 B .y=|x-1| C .y=x 3 D .y=2-x探究点二 求函数的单调区间2 (1)函数f (x )=ln (x 2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,-2)B .(-∞,1)C .(1,+∞)D .(4,+∞)(2)设函数f (x )={1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x-1),则函数g (x )的单调递减区间是 .[总结反思] 求函数单调区间的常见方法:(1)定义法;(2)图像法;(3)导数法.求复合函数单调区间的一般解题步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”. 式题 (1) 函数y=(14)2x 2-3x+2的单调递增区间为 ( )A .(1,+∞)B .(-∞,34]C .(12,+∞) D .[34,+∞)(2)函数f (x )=(a-1)x+2在R 上单调递增,则函数g (x )=a |x-2|的单调递减区间是 .探究点三 函数单调性的应用考向1 利用函数的单调性比较大小3 (1)设a=log 52,b=(32)57,c=log 73,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A .b>a>cB .a>c>bC .b>c>aD .a>b>c(2)已知f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意x ∈(0,+∞),f [f (x )-ln x ]=e +1,设a=f [(12)13],b=f [(13)12],c=f (log 2π),则a ,b ,c 的大小关系是 .(用“>”号连接表示)[总结反思] 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.考向2 利用函数的单调性解决不等式问题4 (1)已知函数f (x )的定义域为R ,对任意x 1<x 2,都有f (x 1)-f (x 2)<x 1-x 2,且f (-3)=-4,则不等式f (log 12|3x -1|)>lo g 12|3x-1|-1的解集为 ( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .(0,1)∪(1,2)D .(-∞,0)∪(0,2)(2)已知函数f (x )=e x+x 3,若f (x 2)<f (3x-2),则实数x 的取值范围是 .[总结反思] 解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f (x 1)>f (x 2)的形式;(2)考查函数f (x )f (x )的单调性去掉法则“f ”,转化为形如“x 1>x 2”或“x 1<x 2”的常规不等式,从而得解. 考向3 利用函数的单调性求最值问题 5 设函数f (x )=2017x+1+20162017x +1+2016sin x ,x ∈-π2,π2的最大值为M ,最小值为N ,那么M+N= .[总结反思] 若函数在区间[a ,b ]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数在区间[a ,b ]上不单调,则最小值为函数在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值. 考向4 利用函数的单调性求参数6 已知f (x )={(3-a)x,x ∈(-∞,1],a x ,x ∈(1,+∞)是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a 的取值范围是 ( )A .(0,3)B .(1,3)C .(1,+∞)D .[32,3)[总结反思] (1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的. 强化演练1.【考向1】已知函数f (x )满足对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),恒有(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0成立.若a=f (log 47),b=f (log 23),c=f (0.20.6),则a ,b ,c 的大小关系是 ( ) A .c<b<a B .b<a<c C .b<c<a D .a<b<c2.【考向2】已知函数f (x )=ln x+2x,若f (x 2-4)<2,则实数x 的取值范围是 .3.【考向3】 已知函数f (x )={log 13x,x >1,-x 2+2x,x ≤1,则函数f (x )的最大值是 .4.【考向4】若函数f (x )=2|x-a|(a ∈R )满足f (1+x )=f (1-x ),且f (x )在[m ,+∞)上单调递增,则实数m 的最小值等于 .5.【考向4】 若函数f (x )=ln (ax 2+x )在区间(0,1)上单调递增,则实数a 的取值范围为 .参考答案【课前双基巩固】 知识聚焦1.f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 上升的 下降的2.增函数或减函数 区间D3.f (x )≥M f (x 0)=M 对点演练1.a<12 [解析] 当2a-1<0,即a<12时,f (x )是R 上的减函数.2.(2,3] [-3,2] [解析] 由函数f (x )=(x-2)2+5(x ∈[-3,3])的图像即可得到单调区间. 3.32 [解析] 函数f (x )=3x+1在[2,5]上是减函数,所以最大值为f (2)=1,最小值为f (5)=12.所以最大值与最小值之和为1+12=32.4.a ≤2 [解析] 因为函数f (x )=|x-a|+1的单调递增区间是[a ,+∞),当f (x )在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a ,+∞),所以a ≤2.5.[32,4) [解析] 函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x+4=-(x -32)2+254,x ∈(-1,4)的单调递减区间为[32,4),∴函数f (x )的单调递减区间为[32,4).6.(-∞,138] [解析] 由题知函数f (x )是R 上的减函数,于是有{a -2<0,(a -2)×2≤(12)2-1,由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围是(-∞,138] .7.[-1,1) [解析] 由条件知{-2≤a +1≤2,-2≤2a ≤2,a +1>2a,解得-1≤a<1.8.(1)a ≤-3 (2) -3 [解析] (1)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a ≥4,得a ≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线x=1-a ,由1-a=4,得a=-3. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 直接判断单调性即可,按照单调性的定义证明单调性. 解:该函数在(-1,1)上单调递减.证明如下: 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 12-1-ax2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 12+ax 2(x 12-1)(x 22-1)=a(x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 12-1)(x 22-1).∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 12-1)(x 22-1)>0.又a>0,∴f (x 1)-f (x 2)>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减.变式题 C [解析] 对于A ,在(0,+∞)上单调递减,故A 错;对于B ,在(0,+∞)上先减后增,故B 错;对于C ,在(0,+∞)上单调递增,故C 对;对于D ,在(0,+∞)上单调递减,故D 错.选C .例2 [思路点拨] (1)先求出函数y=x 2-2x-8在y>0时的单调递增区间,再根据复合函数的单调性的性质判断f (x )的单调性;(2)作出函数g (x )的图像,由图像可得单调区间.(1)D (2)[0,1) [解析] (1)函数y=x 2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x 2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x 2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f (x )=ln (x 2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)由题意知g (x )={x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1,该函数图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题 (1)B (2)(-∞,2] [解析] (1)令t=2x 2-3x+2,则y=(14)t,由复合函数的单调性易知在(-∞,34]上单调递增,故选B .(2)因为f (x )在R 上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g (x )的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].例3 [思路点拨] (1)转化为同底的指数函数、对数函数,依据它们的单调性比较大小;(2)由已知可知f (x )-ln x 为定值,设为t ,则f (x )=ln x+t ,求出t ,再结合函数的单调性分析可得答案. (1)C (2)c>a>b [解析] (1)因为a=log 52<log 5√5=12,b=(32)57>(32)0=1,c=log 73∈(log 7√7,log 77)即c ∈12,1,故b>c>a.故选C .(2)根据题意,对任意的x ∈(0,+∞),都有f [f (x )-ln x ]=e +1,又由f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f (x )-ln x 为定值,设t=f (x )-ln x ,则f (x )=ln x+t.又由f (t )=e +1,即ln t+t=e +1,解得t=e ,则f (x )=ln x+e (x>0),则f (x )为增函数.又由(12)13=√123=√146,(13)12=√13=√1276,log 2π>1,则有(13)12<(12)13<log 2π,则有c>a>b.例4 [思路点拨] (1)构造函数,利用单调性把求解的不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式;(2)可判断出f (x )为增函数,于是可将函数不等式转化为常规不等式. (1)D (2)(1,2) [解析] (1)由已知条件知,f (x 1)-x 1<f (x 2)-x 2对任意x 1<x 2恒成立,故函数g (x )=f (x )-x 为R 上的增函数,且g (-3)=f (-3)-(-3)=-1.不等式f (log 12|3x -1|)>lo g 12|3x -1|-1,即f (log 12|3x -1|)-lo g 12|3x -1|>-1,即g (lo g 12|3x -1|)>g (-3),所以lo g 12|3x -1|>-3,得0<|3x -1|<8,解得x<2且x ≠0,故所求不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2).(2)因为y=e x,y=x 3在R 上均为增函数,所以函数f (x )为增函数,所以不等式f (x 2)<f (3x-2)等价于x 2<3x-2,即x 2-3x+2<0⇔1<x<2,故x ∈(1,2).例5 [思路点拨] 变换函数解析式,利用常见函数的单调性确定f (x )的单调性,从而得到函数的最大值和最小值. 4033 [解析] f (x )=2017x+1+20162017x +1+2016sin x=2017x+1+2017−12017x +1+2016sin x=2017-12017x +1+2016sin x.显然该函数在区间-π2,π2上单调递增,故最大值为f π2,最小值为f -π2,所以M+N=fπ2+f -π2=2017-12017π2+1+2016+2017-12017-π2+1-2016=4034-12017π2+1-2017π21+2017π2=4034-1=4033.例6 [思路点拨] 根据一次函数以及指数函数的单调性得到不等式组,解出即可. D [解析] 由题意得{3−a >0,a >1,3−a ≤a,解得32≤a<3,故选D .强化演练1.B [解析] 根据题意可知,函数f (x )在(0,+∞)上单调递减.而1<log 47<log 49=log 23,0<0.20.6<0.20=1,所以log 23>log 47>0.20.6,所以b<a<c.2.(-√5,-2)∪(2,√5) [解析] 因为函数f (x )=ln x+2x在定义域上单调递增,且f (1)=ln 1+2=2,所以由f (x 2-4)<2得f (x 2-4)<f (1),所以0<x 2-4<1,解得-√5<x<-2或2<x<√5.3.1 [解析] 当x>1时,y=lo g 13x 是减函数,得y<0;当x ≤1时,y=-x 2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,得y ≤1.综上得f (x )的最大值是1.4.1 [解析] ∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称,∵函数f (x )=2|x-a|(a ∈R )的图像以直线x=a 为对称轴,∴a=1,∴f (x )在[1,+∞)上单调递增.∵f (x )在[m ,+∞)上单调递增,∴m ≥1,则m 的最小值为1.5.a ≥-12 [解析] 若函数f (x )=ln (ax 2+x )在区间(0,1)上单调递增,则函数g (x )=ax 2+x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0恒成立.当a=0时,g (x )=x 在(0,1)上单调递增且g (x )>0,符合题意;当a>0时,g (x )图像的对称轴为x=-12a<0,且有g(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g(x)图像的对称轴x=-12a ≥1,且有g(x)>0,解得a≥-12,则-12≤a<0.综上,a≥-12.。

函数及其应用函数的单调性与最值课件理xx年xx月xx日contents •函数的基本概念•函数的单调性•函数的最值•函数的实际应用•总结与展望目录01函数的基本概念1函数的定义23如果对于每个x属于A，存在唯一的y使得y=f(x)，则称y是x的函数，记作y=f(x)。

函数在函数关系中，某特定的输入值x会对应唯一的一个输出值y，我们将x称为自变量。

自变量在函数关系中，会因自变量的取值有所改变而变动的量称为因变量。

因变量解析法列表法图象法列出f(x)在定义域D内的某些特定x值所对应的y值。

用图象表示函数f(x)。

03函数的表示方法02 01用一个等式表示f(x)并给出定义域D。

定义域自变量x的取值范围。

值域函数f(x)的所有可能取值的集合。

函数的定义域与值域02函数的单调性•函数单调性的定义：对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$满足$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) \leq f(x_2)$（或$f(x_1) \geq f(x_2)$），则称$f(x)$在区间$I$上单调递增（或单调递减）。

单调性的定义单调性的判断方法根据函数单调性的定义进行判断。

定义法图像法复合函数法导数法观察函数的图像，看其是否单调上升或下降。

对于复合函数，可根据复合函数的单调性法则进行判断。

对于可导函数，根据导数的正负来判断函数的单调性。

单调性的应用单调性有助于我们找到函数的最大值和最小值。

函数的最值利用单调性可以判断函数的零点是否存在。

函数的零点在解决一些优化问题时，可以利用单调性来找到最优解。

优化问题在解决一些实际问题时，如物价变化、人口增长等，可以利用单调性来进行分析。

实际问题03函数的最值最大值在给定区间上，一个函数的所有函数值中最大的那个函数值。

最小值在给定区间上，一个函数的所有函数值中最小那个函数值。

最值的定义对于一些简单的函数，可以通过观察来找出最值。

观察法对于一些复杂的函数，可以通过求导数来找到极值点，再通过极值点来找到最值。

函数的单调性与最值教学讲义‖知识梳理‖1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值与值域(1)最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值①函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．②常见函数的值域一次函数的值域为R；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{y ∈R|y≠0}；指数函数的值域是{y|y>0}；对数函数的值域是R；正、余弦函数的值域是[－1,1]，正切函数的值域是R.| 微点提醒|1．对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．2．对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．3．若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数． 4．若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反． 5．函数f [g (x )]的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(×) (3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×) (4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(6)所有的单调函数都有最值．(×)‖自主测评‖1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.2．(教材改编题)y ＝x 2－6x ＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，3] C ．[－3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：选B y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，表示开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]，故选B.3．(教材改编题)若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：选D 因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以2k ＋1<0，即k <－12. 4．(教材改编题)函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]的单调递增区间为________，f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴为x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 85．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]，[5,7]………………考点一 确定函数的单调性…………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 求函数的单调区间【例1】 (1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________． [解析] (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－(x 2－3x ＋2)，1<x <2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6， 则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．[答案] (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参数的函数的单调性【例2】 (一题多解)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．[解] 解法一(定义法)：函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明如下：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1<x 2≤2， 得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3， 所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 解法二(导数法)：因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8， 又1<a <3，所以2ax 3－1>0， 所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.判断函数单调性的常用方法2．确定函数的单调区间的方法[提醒]对于函数y ＝f [φ(x )]的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时为增函数；单调性不同时为减函数．|变式训练|1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 2的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，求得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递减区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤12，1，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤12，1.故选D. 2．作出函数y ＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x ≥1或x ≤－1时，y ＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54；当－1<x <1时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54.画出函数图象如图所示，由函数图象可知，函数的减区间为(－∞，－1]，⎣⎡⎦⎤12，1，函数的增区间为⎣⎡⎦⎤－1，12，[1，＋∞)．3．判断函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．解：任取x 1，x 2，满足－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1) ＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. 又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．………………考点二 函数单调性的应用……………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 比较函数值的大小【例1】 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c[解析] 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立， 知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， 所以b >a >c . [答案] D角度二 解函数不等式【例2】 (1)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)[解析] (1)由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0.所以－1<x <0或0<x <1.故选C.(2)函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增， 所以－2≤2a －2<a 2－a ≤2， 解得0≤a <1，故选C. [答案] (1)C (2)C角度三 已知函数的单调性求参数【例3】 (1)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫18，13 B.⎣⎡⎦⎤0，13 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13 [解析] (1)因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1，故选A.(2)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎨⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13，故选A.[答案] (1)A (2)A『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|函数单调性应用问题的常见类型及解题策略1．比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的值或取值范围．(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的． (3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．|变式训练|1．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B 因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.2．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (log 19x )>0的解集为________．解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上也是增函数． 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，知f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 故原不等式f (log 19x )>0可化为f (log 19x )>f ⎝⎛⎭⎫12或f ⎝⎛⎭⎫－12<f (log 19x )<f (0)， ∴log 19x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3. 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 …………考点三 函数的最值…………………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (1)(2018届福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x >0有最小值，则实数a的取值范围是( ) A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)(2)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． [解析] (1)由题意知，当x >0时，f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a,1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4，故选B. (2)解法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.解法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1. [答案] (1)B (2)1『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|求函数最值的5种常用方法|变式训练|1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. 答案：22．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．解析：因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1，x 2－x ＋1，x <1，所以f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x ＋122－54，x ≥1，⎝⎛⎭⎫x －122＋34，x <1，作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.答案：⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 核心素养系列 逻辑推理——抽象函数的性质【典例】 已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数．(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4.[解] (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以，函数f (x )在R 上是单调增函数．(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。

函数讲函数的单调性与最值课件pptxxx年xx月xx日contents •函数的单调性•函数的单调性的判定方法•函数的最值•函数最值的求法•典型例题分析目录01函数的单调性单调性的概念单调函数是指在其定义域内，对于任意自变量x，都有f'(x) > 0 (或f'(x) < 0)，即函数值y与自变量x之间呈单调递增（或递减）的关系。

严格的单调性在单调区间内，函数值y与自变量x之间为严格单调递增（或递减）的关系，即不存在自变量x1和x2，使得f'(x1) = f'(x2) = 0。

定义如果对于函数f(x)在定义域内的任意自变量x，都有f'(x) > 0，那么函数f(x)在该定义域内单调递增。

图形表现函数图像从左到右逐渐上升。

定义如果对于函数f(x)在定义域内的任意自变量x，都有f'(x) < 0，那么函数f(x)在该定义域内单调递减。

图形表现函数图像从左到右逐渐下降。

单调区间的概念单调区间是指函数在某个区间内具有单调性，即在这个区间内，函数值y与自变量x之间呈单调递增或递减的关系。

要点一要点二求法对于一个给定的函数f(x)，可通过求解不等式f'(x) > 0或f'(x) < 0来确定其单调区间。

函数的单调区间02函数的单调性的判定方法总结词最基础、最直观详细描述定义法是判断函数单调性的最基础方法，也是最直观的方法。

通过观察函数在某区间上的变化趋势，可以得出函数在该区间上的单调性总结词形象、简单详细描述图像法是通过观察函数图像来判断函数单调性的简单方法。

如果函数图像从左到右是上升的，则函数在该区间上单调递增；如果函数图像从左到右是下降的，则函数在该区间上单调递减。

需要注意的是，图像法只适用于一些简单函数，对于复杂函数不适用。

总结词适用范围广、复杂详细描述复合函数法是通过将一个函数作为另一个函数的自变量，将函数嵌套起来，来判断函数单调性的方法。

函数讲函数的单调性与最值课件pptxxx年xx月xx日contents •函数的单调性•函数的单调性的判定•函数的最值•函数最值的应用•求函数最值的常用方法•利用导数判定函数的单调性和最值目录01函数的单调性设函数f(x)在区间[a,b]上，若对于任意x1,x2∈[a,b]，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在[a,b]上单调递增；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在[a,b]上单调递减。

几何意义单调性是函数的一种基本性质，它反映了函数在自变量变化时函数值的变化情况。

定义单调性的定义VS增函数和减函数定义设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1,x2∈D，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在D上为增函数；如果对于任意的x1,x2∈D，且x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在D上为减函数。

特点增函数在定义域内每一点对应的函数值都随着自变量的增加而增加；减函数在定义域内每一点对应的函数值都随着自变量的增加而减小。

函数的单调区间定义设函数f(x)在区间(a,b)上，如果对于任意x1,x2∈(a,b)，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递增；当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间(a,b)上单调递减。

求法一般通过求导数或利用函数的单调性的定义来解决。

02函数的单调性的判定总结词最基本、最直接的定义方法，分步骤进行判断。

详细描述定义法是通过定义来判断函数的单调性，首先将函数进行分段，然后对每一段进行单调性的判断。

在判断过程中，要分步骤进行，先确定函数的定义域，然后对每一段进行判断。

定义法总结词以形助数，通过观察图像的变化趋势来判断函数的单调性。

详细描述图像法是通过画图来判断函数的单调性，根据函数的图像，可以直观地看出函数的单调性。

第05讲-函数的单调性与最值一、考情分析借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．二、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)上是增函数或是减函数，性，区间M称为单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].三、 经典例题考点一 确定函数的单调性(区间)【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．()()1212f x f x x x -->0B ．f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0D ．()()2121x x f x f x -->0【答案】B 【解析】试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此()()12120f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0，()()21210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的大小，因此f(a)<f(x 1)<f(x 2)<f(b)不正确【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．(,)-∞+∞【答案】A 【分析】由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二 求函数的最值【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22231x f x x+=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞【答案】C 【分析】利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】()22222232(1)112111x x f x x x x+++===++++， 又22211110122311x x x +≥⇒<≤⇒<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C.【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )A ．当2x ≥时，1xx+的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1x x-无最大值D ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ 【答案】B 【分析】结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x +1x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52，故A 错误；对于B ，当x ＞0时，2x x+≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1x x-取得最大值，故C 不成立；对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1lg x＜0，结论不成立；规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞C ．(01]，D ．(0,]e【答案】B 【分析】分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】作出32,1()3,1x e x f x x x x ⎧>=⎨-+≤⎩的图象：当1x >时，()f x =x e a e a ->-，当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0,<f x 在 ()0,1上'()0,f x > 则()f x =323x x -+在(),0-∞上单调递减，在 ()0,1上单调递增，又(0)0f = ∴()0f x ≥，函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11xxe f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ）. A ． B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用分离常数的方法，将式子化简，可得()211x f x e =-++，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()11211x x x x e e f x e e -+-==-++ 所以()211xf x e =-++， 可知y=x e 是递增的函数，所以2y=1x e +为递减的函数， 则()211x f x e =-++是递减的函数，且0,1x x e >>所以1112,012xxe e +><<+ 则21101x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ．规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.四、 课时作业1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-【答案】B 【分析】根据递减区间的性质分析即可. 【详解】由图像可得,函数在[1,3]内单调递减.2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2y x=【答案】A 【分析】根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，23y x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2y x=在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A.3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x=，24y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数；13,y x y x=-=在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确．故选：A4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1y x=-C ．1y x =-D ．2yx x【答案】B 【分析】A 选项讲0x >的表达式写出易判断；B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断；C 选项一次函数看斜率正负，易判断；D 选项二次函数看对称轴，易判断。