第12讲 随机信号正交分解

信号与系统教案（第12次课）

§4.8 LTI 系统的频域分析

傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。 对周期信号： 对非周期信号：

其基本信号为 e j ωt

基本信号e j ωt 作用于LTI 系统的响应

一般信号f(t)作用于LTI 系统的响应

频率响应H(j ω)的求法

无失真传输与滤波

一．基本信号e j ωt 作用于LTI 系统的响应

而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j ω)，称为系统的频率响应函数。

y(t) = H(j ω) e j ωt

H(j ω)反映了响应y(t)的幅度和相位随频率变化情况。

二、一般信号f(t)作用于LTI 系统的响应

Y(j ω) = F(j ω)H(j ω) ?H(j ω)?称为幅频特性（或幅频响应）；θ(ω)称为相频特性（或相频响应）三、频率响应H(j ω)的求法

1. H(j ω) = F [h(t)]

2. H(j ω) = Y(j ω)/F(j ω)

（1）由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。

（2）由电路直接求出。

四、无失真传输与滤波

系统对于信号的作用大体可分为两类： 信号的传输、滤波

传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。

1、无失真传输

（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即

输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(t –td)

其频谱关系为 Y(j ω)=Ke – j ωtd F(j ω)

(2)无失真传输条件：

系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j ω)的要求是：

(a)对h(t)的要求：

h(t)=K δ(t – td)

∑∞

-∞=Ω=n t

jn n F t f e )(?∞∞-=ωωπωd e )(21)(t j j F t f j j ()j ()()e d ()e d

力的正交分解法

正交分解法，也称为傅里叶分析或小波分析，是一种用于处理数字信号的时域分析技术。时间序列数据的正交分解法允许我们分析出数据中的基本特征。它的工作原理是将信号拆分成若干个正交的子信号，这些子信号彼此独立，从而实现信号的分析和重构。

正交分解法原理是将某个时域信号拆分成若干个基于某种规则的子信号，这些子信号表示不同频率的声音，每个子信号都可以表示为正交函数的和，这些函数被称为正交基。正交分解的关键步骤是，确定谱中每个子信号的振幅，而这则可通过最优化方法实现。

正交分解法的应用涵盖了声学、语音处理、滤波器设计、数字滤波器、数字信号处理、压缩感知等诸多领域。在声学领域，正交分解法可以用来模拟人耳对音频谱的理解和弹奏乐句。同时，它还可用于自动语音识别、语音增强和语音编码压缩，可以提高音频质量。在滤波器设计领域，正交分解能够实现连续调制滤波器的通频设计，可以自动根据滤波器的指定频率响应调整内部参数以获取最优结果。

此外，正交分解法还为绘图、图像处理和三维图形模型，如游戏图形以及虚拟现实中的可视化技术提供了基础。此外，正交分解还可以用于材料弹性和模态分析，能够解决连续体力学问题以及高精度地压缩文件、信号和图片等数字信息。

总的来说，正交分解法是一种非常有效的时域分析技术，它可以帮助我们更准确地分析数字信号的特征，从而应用于诸多领域，如声学、语音处理、数字滤波器、绘图、图像处理以及模型等。

本征正交分解和动态模态分解

本征正交分解和动态模态分解是信号处理中常用的两种分解方法。它们都能够将信号分解成多个正交的子信号，以便更好地分析和处理信号。

本征正交分解（Empirical Orthogonal Function，EOF）是一种基于观测数据的信号分解方法。它可以将一个信号分解成多个正交的空间特征模态，每个特征模态都代表了信号中的一种空间结构。这些特征模态按照其重要性排序，通常只有前几个特征模态包含了信号中绝大部分的能量。本征正交分解的优点在于可以提取信号中的空间结构信息，对于大气、海洋、地球物理等领域的信号分析有着广泛的应用。

动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition，DMD）则是一种基于时间序列的信号分解方法。它可以将一个信号分解成多个动态模态，每个动态模态代表了信号中的一种时间动态特征。这些动态模态按照其重要性排序，通常只有前几个动态模态包含了信号中绝大部分的能量。动态模态分解的优点在于可以提取信号中的时间动态信息，对于流体力学、控制系统等领域的信号分析有着广泛的应用。

本征正交分解和动态模态分解的共同点在于都是将信号分解成多个正交的子信号，这使得它们在信号降维和特征提取方面都有着很好的效果。不同之处在于本征正交分解更加适用于空间结构信息的提取，而动态模态分解更加适用于时间动态信息的提取。

值得注意的是，本征正交分解和动态模态分解都是一种线性分解方法，它们都假设信号是线性可分的。在实际应用中，如果信号是非线性的，则需要使用非线性分解方法，如小波分解、奇异值分解等。

本征正交分解和动态模态分解是信号处理中常用的两种分解方法，它们在信号降维和特征提取方面有着很好的效果。在实际应用中，需要根据信号的特点选择合适的分解方法，并结合其他信号处理方法进行综合分析。

§3.1 引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。在频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和(或积分)，通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。频域分析在工程中也有很重要的意义。很多信号的特性与频域都有很重要的关系。研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。

1）定义一个矢量A1在另一矢量A2上的分量C12A2为A1在A2上的投影，分量C12A2的模C12A2为：1212122122coscosAAAACAAAA其中标量C12为分量系数：表示A1和A2互相接近的程度1212122222AAAACAAA3-1）§3.2 正交函数集与信号分解1. 矢量的分量和矢量的分解A2A1C12A2E0

从解析角度分析考虑C12 的取值对矢量误差的影响：若在最小平方误差意义上的矢量误差最小:当A1和A2完全相同时：1222212AAC当A1和A2相互垂直时：121222cos(/2)0AACAC12的意义：是在最小平方误差意义上标志两个矢量A1和A2相互近似程度的量A1和A2正交——互相垂直的两个矢量组成一个正交矢量集121222.AACA21122120ACAc122212EACA－误差矢量长度的平方：

1）振幅An=| |P108图3-12(a)2）复数振幅P108图3-12(b)3）指数级数的复系数cn=0.5 P108图3-12(c)代表一个基波或一个谐波分量，谱线的高度即谱线的顶端的纵坐标位置代表这一正弦分量的振幅。谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率。包络线:连接谱线顶点的曲线称为包络线。P108 图3-122. 绘制频谱的方法nAnAnA单边频谱：其频谱中的幅度分量对应与三角函数形式的傅里叶级数的各个分量双边频谱：其频谱中的幅度分量对应与复指数函数形式的傅里叶级数的各个分量0.5nA4P108图3-12 (c)P108图3-12( a)An=n02246||nA2222sin(/2)()/2TjntTnAnAftedtTTn