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第3章 连续信号的正交分解

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3 连续信号的正交分解1-2

3 连续信号的正交分解1-2
t2 t1
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E

信号与系统第三章

信号与系统第三章

a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ 2 n=1
Fne jnΩt + F− ne − jnΩt ) (
jnΩt
=
n =−∞
∑
∞
Fn e
F0
a0 2
an + jbn = 2 ∗ = Fn
第
指数形式的傅立叶级数(2) 指数形式的傅立叶级数(2)
1. 傅里叶系数
a − jbn 1 Fn = n = 2 T T
ε =0
2
∫
t2 t1
f (t ) d t = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
(Parseval 公式 公式)
第
§3.2
周期信号的频谱分析
-----傅里叶级数 傅里叶级数
5 页
一、三角形式的傅立叶级数 二、周期信号的频谱 三、指数形式的傅立叶级数 周期信号的功率——Parseval等式 Parseval等式 四、周期信号的功率 Parseval 五、函数对称性与频谱特性
bn ϕn = −arctg an an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
A0 a0 = 2 2
An = an 2 + bn 2
第
二、周期信号的频谱
概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 An~ω：幅度谱； ：幅度谱； 例1： ：
在正交函数集 满足： 满足：
1
之外， {ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )} 之外，不存在 ϕ ( t ) ≠ 0
2 n
∫
t2 t1

管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 连续信号的正交分解)

管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 连续信号的正交分解)

F(
j)
e2
2e2 2 j
。
2．频谱函数 F（jω）＝g4（ω）cosπω 的傅里叶逆变换 f（t）等于______。
【答案】
f
(t)
1
[Sa2(t
)
Sa2(t
)]
【解析】因为
F(
j)
g4 () cos
1 2
g4 ()(e j
e j
)
，而
F
1[ g 4
()]
2
Sa(2t)
，根据傅里叶变换的时移特性，可得
x(t t0 ) X (w)e jwt0 ，可得 e j4w (t 4) ， e j4w (t 4) ，再分别乘
以系数即得 f（t）＝
。重点在于傅里叶变换的性质。
1 / 117
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3．信号
的傅里叶变换为（ ）。
)， 2
A2
E
A
2E
，
已知
，根据卷积定理
F2(
)
F1(
)gF1(
)
E 2
Sa2( 4
)
二、填空题
8 / 117
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1．信号
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的傅里叶变换 F（jω）等于______。
【答案】
【解析】
f
(t)
e2 (t)
2e2e2t (t) ，根据傅里叶变换，可得
10．图 3-2（a）所示信号 f（t）的傅里叶变换 3-2（b）所示信号 y（t）的傅里叶变换 Y（jω）为（ ）。
为已知，则图
5 / 117

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)

)
F (j )

/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2

j

2
2 sin(

2
1
gτ (t)
)

Sa(

2
)


2
0

2
t
频谱图
F j

2π
O 2π

F j
4π

幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F

2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

信号与系统第三章 连续信号的正交分解

信号与系统第三章 连续信号的正交分解

f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1

若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。

连续信号的正交分解

连续信号的正交分解
如果（或），则称和正交。 ▪ 如果和是复函数，则其方均误差为： ▪ 最佳系数为：
信号的分解
▪ 多个标准信号下的分解：将信号表示为多 个标准信号的线性组合：
▪ 这之里间的两同两样正难 交以 ，确 则定 可。 以但 证是 明如：果标准函数 ccffiii( (t t) ) tt1t1t22c ff1 if ((1 tt( ))tff) ii* *((ttc ))2 ddft2 t( t) . .c n .fn ( t) i n 1 c ifi( t)
标准信号集两例
▪ 三角函数： ▪ 指数函数： ▪ ， 1 en , nc t 0t ,, s o 1, t ,c is 2 n t , o s2 t i , sn . c. k , o s .t k ,i , s. n t..
▪ 对标准信号集的要求： ▪ 归一化： ▪ 正交化：， it1 t2 fji(t)f▪ij**((tt))dd完t t10备性：可以用其线性组合表示任意信号。
连续信号的正交分解信号的正交分解信号正交分解力的正交分解10e0力的正交分解法向量的正交分解矩阵的正交分解力的正交分解法习题平面向量的正交分解力的正交分解练习
第三章 连续信号的正交分解源自 §3-1 引 言▪ 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信 号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应 求解系统对复杂信号的响应。
▪ 如何确定最佳的系数？对于特定的i而言，不仅 与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。 但是如果矢量两两正交，可以证明：
▪
矢量分解
▪ 标准矢量基的几个限制条件： ▪ 归一化：标准矢量的模等于1——方便计
算 ▪ 正交化：标准矢量两两正交 ▪ 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
cc(ft1112 1((f,(tt1tt))(2)t)tt) 1t1t22 tff12((1 tt))t1 ff11((tt1 tt2))dd2tt(t)dt

第3章_正交分解

第三章 连续信号的正交分解 • 信号分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。

t 0 T
2 t 0 T f (t ) cos(nt ) dt T t0
t0
正弦分量系数
bn

t 0 T
t0
f (t ) sin(nt )dt sin 2 (nt )dt

t 0 T
2 t 0 T f (t ) sin(nt )dt t0 T
t0
第三章 连续信号的正交分解
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
其中
an An cos n bn An sin n
可证: an an 偶函数 A n An
A a 2 b 2 n n n bn n arctan an
b n bn 奇函数 n n
10
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
90° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2

《信号与系统》第3章 连续信号与系统的频域分析 PPT课件


3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 V2
1. 正交矢量
90 °
o
V1
图 3.1-1 两个矢量正交
两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零， 即
V1V 2 V1 V2 cos90 0
V1 Ve

o c12 V2
V2
图 3.1-2 矢量的近似表示及误差
t2 t1
gi
(t)

g
* j
(t
)dt

0 Ki
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2 t1
gi
(t)

g
* j
(t
)dt

0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
i j i j
i j i j
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定 义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
图 3.3-1 例 3.3-1 信号
(a) 振幅谱；
o

2
3
4 5
6

(b) 相位谱
(b)
|F n |
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0不应计在此正交函数集 中，故一正交三角函数集可具体写为

连续信号的正交分解


• 三角傅里叶级数还可以表示为
f
(t)
a0 2
n 1
An
c os (nt
n )
其中 An
a
2 n
bn2
, n
tg 1 bn an
或 an An cosn , bn An sin n
有上式可以看出An，an为n的偶函数，bn，φn为n 的奇函数。（这个关系在三角级数中用不到，
因为频率不会是负的，但在今后会用到）
t2
的内积为： gl (t), gm (t) g1(t)gm* (t)dt
t1
如果函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 满足以下条件
则称为正交函数集。
t2
gm
(t
)
g
* m
(t)dt
Km
t1 t2
gl
(t
)
g
* m
(t)dt
0
t1
Km 为常数，l, m 1,2, , n, l m
若Km=1则称归一化正交函数集。如果在该函 数空间中的任意函数f(t)可表示为：
f (t) C1g1(t) C2g2 (t) Cn gn (t) 那么称函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 为正交
完备函数集。即它们构成一个n维的函数空间。
其中的C1,C2,…,Cn称为f(t)在 g1(t), g2 (t), gn (t)
T0
T
2
T
bn
2 T
T 0
f (t)sin ntdt
2 [ 2 sin ntdt T sin ntdt]
T0
T
2
T
T
2
2
[ sin ntdt

西安石油大学810信号与系统2021年考研专业课初试大纲

西安石油大学2021年硕士研究生招生考试（810）信号与系统考试大纲一、考察目标1．能够解释信号与系统的相关概念和术语，能利用常见基本信号的定义、性质、运算与变换方法，以及线性非时变系统的基本特性，运用时域及变换域方法分析信号、系统的基本特征。

2．能够利用数学和电路相关知识建立电系统的数学模型，能够利用变换域方法描述并分析复杂系统，解决滤波、调制解调、系统稳定性等工程问题。

二、考试主要内容第一章绪论（1）信号、系统的常见分类，以及常用基本信号的时域描述方法，主要包括奇异函数的定义、特点与性质、相互间的关系；（2）信号的时域分解、变换与运算，会应用信号的基本特点与变换、运算方法对信号作相应的变换；（3）掌握线性非时变因果系统的性质，会利用性质分析求解不同状态下系统的响应。

第二章连续时间系统的时域分析（1）利用数学和电路知识建立系统输入和输出之间的微分方程，并会写出或者直接列写微分方程的算子形式，会求转移算子；（2）通过转移算子，会求解系统的自然频率，系统的单位冲激响应；（3）会求解系统在不同类型自然频率下的系统零输入响应；（4）会利用卷积积分的定义、性质求信号的卷积积分，并利用卷积积分求解系统零状态响应；（5）利用系统的零输入响应与零状态响应求解系统的全响应，并从最后的结果指出自然响应分量与受迫响应分量，暂态响应分量与稳态响应分量。

第三章连续信号的正交分解（1）在了解周期信号频谱特点的基础上，掌握非周期信号频谱的最大特点，即连续谱；（2）掌握非周期信号的傅里叶变换及其反变换的定义、常用信号的傅里叶变换、傅里叶变换的基本性质；（3）利用常用信号的傅里叶变换及傅里叶变换的基本性质，会求解非周期信号的傅里叶变换以及反变换。

第四章连续时间系统的频域分析（1）对连续时间系统的数学模型，即微分方程或者连续时间系统的电路模型，会利用信号的傅里叶变换知识建立方程或者电路的频域模型；（2）会求解系统的频域系统函数以及不同激励下系统响应；（3）利用频域法分析几类特殊系统，包括无失真传输系统的系统不失真的时域与频域条件，理想低通滤波器的单位冲激响应与频域系统函数，调制与解调系统的基本性质，解决滤波、调制解调等工程问题。

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第3章 信号分析
根据欧拉公式

cos
1 j e e j 2


且考虑到An是n或频率的偶函数，而 n 是奇函数
a0 1 f (t ) An e j nt n An e j nt n 2 2 n 1 1 1 jnt j nt n An e An e 2 n 2 n
t1 1 * 12 * 2

t2
式中， “*”代表取共轭复数。将上式右边展开， 得
Ee f1 (t ) dt c12 f (t ) f 2 (t )dt
2 t1 t1 1
t2
t2
c12
2 t2

t1
f 2 (t ) dt c
2
* 12

t2
t1
f1 (t ) f (t )dt
d , n , T d
2
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
据平方误差的定义知Ee≥0，式中惟一可供选择的参数为c12。 为使误差能量Ee最小，于是有
c12


t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt
t2 t1

f 2 (t ) dt
2
若f1(t)、f2(t)正交，c12应为零。因此

t2
t1
f1 (t ) f (t )dt 0
直流 《 信号与线性系统》 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
第3章 信号分析
直流分量
a0 1 2 T

t 0 T
t0
f (t )dt
余弦分量系数
2 t 0 T an f (t ) cos ntdt T t0
2 t 0 T bn f (t ) sin ntdt T t0
其中，系数
V Vr cr Vr Vr
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3.2.2 信号的正交分解

1、正交函数——设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个 函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表 f1(t)，其误差函数为
f e (t ) f1 (t ) c12 f 2 (t ) Ee f e (t ) dt

《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
例3-1 将下列方波信号展开成三角级数
1 t
T/2 -1
T
f (t )
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
解：要把函数展开成三角级数，只要求得分 量系数a和b。
T 2 T 2 T 2 a0 f (t )dt dt T dt 0 T 0 T0 2 T 2 T 2 T 2 an f (t ) cos ntdt cos ntdt T cos ntdt 0 T 0 T0 2 T 2 T 2 T 2 bn f (t ) sin ntdt sin ntdt T sin ntdt T 0 T0 2
0
5
10
τ
0 .5
T
0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
2
15
20
4
25


τ
T
0
0
5
10
15
2
20
25
30
35
40
4
45

f
《 信号与线性系统》
1


Hz
第3章 信号分析

3. 频带宽度
2
周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而， 常常将ω=0~ 记为 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 复指数傅里叶级数

指数函数具有如下关系
e e dt T
t 0 T jnt jnt * t0
e
t 0 T t0
jmt
e dt 0
jnt *
mn

t 因此，指数函数 e jn， 为一完备的 n 0,1,2, 正交函数集
i j i j i j i j
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2
t1
则称该函数集为归一化正交函数集。
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
例如,三角函数集 ｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝ 在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且 是完备的正交函数集。这是因为
《 信号与线性系信号分析时，不可能无限多次谐波， 而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差
n a0 f (t ) an cos kt bn sin kt n (t ) 2 k 1
n愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。 n 方均误差趋于零。
第3章 信号分析
2. 矢量的分解

三维空间矢量的正交分解
c3 V 3 V3 o V2 c2 V 2 V1
V c1 V 1
V c1V1 c2V2 c3V3
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 矢量的分解

推广到n维情况
V c1V1 c2V2 crVr cnVn
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析

任意函数 f (t ) ，可在区间（t0,t0+T）内用此函 数表示为
f (t )
jnt c e n
n
1 cn T

t 0 T
t0
f (t )e
jnt
dt
上式称为复指数形式的傅里叶级数。它是
可以从三角傅里叶级数直接导出的。
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3.1 引言
复杂信号可以分解成单位冲激函数的叠加 LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应 来表征 信号分析——研究信号如何表示为各分量 的和 通常用正交函数集作为单元函数 三角函数集

《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3.2 正交函数集和信号的分解
3.2.1 矢量的正交分解
f (t)
A 1
… －T
《 信号与线性系统》
…

0
2 2
T
2T
t
第3章 信号分析
2 T 2 An 2T f (t )e jnt dt 2 Ae jnt dt T 2 T 2
n sin 2 A T n T T


令上式中的n=0，求其极限得直流分量
B
或
2

1
( rad / s )
Bf
《 信号与线性系统》

( Hz )
第3章 信号分析

周期方波信号的频谱（幅度谱）
1 T/2 -1
f (t )
T
t
an
奇次谐波
1
《 信号与线性系统》
31
51
第3章 信号分析
3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱

非周期信号周期足够长的周期信号来处理。因此,我们 可以从周期信号的频谱分析来推测非周期信号的频谱。 当周期T无限趋大时， 2 2
t 0 T 2 jnt A f ( t ) e dt n T t0
因此




由于其数学表示更为简洁,故在后续章节中,这一式子用得更多。
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3. 4 周期信号的频谱

下面以周期性矩形脉冲为例,说明周期信号频谱 的特点。 设有一幅度为A,脉冲宽度为τ的周期性矩形脉冲, 其周期为T,如图所示，试求其傅里叶系数
2 t1 t2
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
设f1(t)、f2(t)均为复函数，此时，c12也可能为一复数系数。
Ee f e (t ) dt f1 (t ) c12 f 2 (t ) dt
2 2 t1 t1
t2
t2
f1 (t ) c12 f 2 (t ) [ f (t ) c f (t )]dt
a0 A 2 T
周期矩形脉冲的指数傅立叶级数（Ω=2π/T）
A f (t ) T
《 信号与线性系统》
n


sin n n 2

2e
jnt
第3章 信号分析

画出了T=5τ、A=1的周期性矩形脉冲的频谱。
1
2
4
6
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
分析




若V1与V2正交，则θ=90°, cosθ=0，此时系数c12=0。 这表 明当V1与V2正交时，用c12V2来近似表示V1还不如用0来近 似V1。因此，我们可以把两个矢量V1与V2正交的概念解释 如下： 给定两个矢量V1和V2，现在要用与V2成比例的矢量c12V2近 似地表示V1，要求误差矢量Ve = V1‒ c12V2 的模|Ve|最小(此 时的c12称为最佳)。若最佳的c12=0，则V1与V2正交。 当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1· V2=0。 当V1=V2 时， c12=1
4 n 0
n为奇数 n为偶数
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析