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§4.1 信号分解为正交函数

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§4.1 信号分解为正交函数

§4.1 信号分解为正交函数

完备正交函数集。 称此函数集为完备正交函数集 称此函数集为完备正交函数集。 例如： 例如： 三角函数集 {1，cos(n t)，sin(n t)，n=1,2,…} ， ， ， 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ， 是两组典型的在区间(t 典型的在区间 +T)(T=2π/Ω)上的 上的完备 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备 正交函数集。 正交函数集。
•本章以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号， 本章以正弦信号 虚指数信号e 为基本信号， 本章以正弦信号和 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 不同频率 或虚指数信号之和。 或虚指数信号之和。 频域分析。 •分析系统的独立变量是频率，故称频域分析。 分析系统的独立变量是频率 故称频域分析 分析系统的独立变量是频率，
▲ ■ 第 2页
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 年 法国数学家傅里叶 在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论” 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 理论基础。 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •Poisson、Guass等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 、 等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 进入20世纪以后 进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 的理论研究和工程实际应用中， 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中 具有很多的优点。 具有很多的优点。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力 “

微积分讲座---Z4.1 矢量的正交分解

微积分讲座---Z4.1 矢量的正交分解
4.1信号分解为正交函数
知识点Z4.1
第四章 傅里叶变换与频域分析
矢量的正交分解
主要内容：
1.矢量正交、正交矢量集的定义 2.矢量的正交分解
基本要求：
1.掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念 2.了解矢量正交分解对信号正交分解的启示
1
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
V V2 V2 V2
c3
V
cos3
V3
V V3 V3 V3
4
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
推广到n维空间:n维空间的任一矢量V，可以精确地表 示为n个正交矢量的线性组合， 即
V c1V1 c2V2 crVr cnVn 式中，Vi·Vj=0 (i≠j)，第 r 个分量的系数
Z4.1 矢量的正交分解
1.矢量正交
( 思考：基本信号？ Why？)
V2
复习：两矢量V1与V2正交，夹角为90°
两正交矢量的内积为零
90°
o
V1
V1 V2 V1 V2 cos 90 0
2.正交矢量集: 由两两正交的矢量组成的矢量集合。
2
4.1信号分解为正交函数 3. 非正交矢量的近似表示及误差
第四章 傅里叶变换与频域分析
c12V2 V1 cos
c12
V1 cos
V2
V1 V2 cos
V2 V2ຫໍສະໝຸດ V1 V2 V2 V2用与V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，则误差矢量
VeV1 c12V2
显然，当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。
3
4.1信号分解为正交函数
cr

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

第章_傅里叶变换和系统的频谱分析

2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt

0
t2 t1
i2
(t
)dt

Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
2019/7/26
4
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
2019/7/26
9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt

cos
nt
d
t

T

2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数

最新课件-信号与系统教学第四章傅里叶变换和系统的频域分析 推荐

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t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1 信号分解为正交函数
巴塞瓦尔公式
当 n ，有最小均方误差为零， 2 0 ，则
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
第j个正交分 量的能量
信号的能量 各正交分量的能量和
Parseval公式表明：在区间(t1,t2)上， f(t)所含能量恒等 于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总
n
arctan
bn an
bn An sin n ,
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。
A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波， 它的角频率与原周期信号相同；Ancos(nt+n)称为n 次谐波，其频率是基波的n倍。
频率
1/T
4.2 傅里叶级数
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数三角形式
f
(t)
a0 2
an
n1
cos(nt)
bn
n1
sin(nt)
傅里叶系数
由Ci表达式 确定
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(nt) d t
A C1v x C2 v y
y C2vy
vx , v y 为二维“正交矢量集”
如三维空间矢量B ，可表示为：
B C1v x C2v y C3v z

4.1 信号的正交分解

4.1 信号的正交分解

4.1 正交函数集的概念
例：两个函数f1(t)与f2(t)波形如图所示，试判断它们在
区间（ , ）是否正交 ( 0 )。
f1(t)
1

f2(t)
1

0
t
0
t
4.1 正交函数集的概念
例：试判断在区间（0，
2 ）内，
0
1.sin 0t和cos0t是否正交； 2.cos n0t和cos m0t是否正交(m, n Z );
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
345ຫໍສະໝຸດ 6789
• 如何去除工频干扰？
4.1 正交函数集的概念 正交函数 :
设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个函数
若： 则
t2 t1
f1 (t )
f
* 2
(t
)dt
0
f1(t)与f2(t)正交
• 在复变函数域，常见的有复指数正交函数集：
ejn0t , n 0,1, 2L
4.1 正交函数集的概念 对于三角正交函数集或复指数正交函数集，在正交
区间（ t0，t0 T ）内，以下等式成立：
0
t0 T t0
cos
n0t

cos
m0tdt

T 2
mn mn
3.e jn0t和e jm0t是否正交(m, n Z )。
4.1 正交函数集的概念

信号系统 第四章总结

信号系统 第四章总结

第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数 （一）、完备正交函数 1正交函数：实正交函数：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个实函数，若∫φ1(t ),t 2t 1φ2(t)dt =0，则称是函数的正交条件。

若∫φ1(t),t 2t 1φ2*dt =∫φ1*(t),t 2t 1φ2dt =0满足实函数的正交条件，则称φ1(t) φ2(t)在（t1,t 2）内正交。

复函数正交：：设φ1(t) φ2(t)是定义在（t 1,t 2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。

则称φ1(t) φ2(t)在（t 1,t 2）内正交。

2、正交函数集若n 个实函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足实函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是正交实函数。

≈复正交函数集：若n 个复函数{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在区间（t 1,t 2）内满足复函数正交条件∫φi (t ),t 2t 1φj*(t)dt ={0,i ≠jK i ,i =j，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）在（t 1,t 2）内是复正交函数集。

3、完备正交函数集：若正交函数集{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）之外不存在g t （t ）与φi (t )正交，则{φi （t ）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。

4、完备正交函数集举例： ａ、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数（二）信号正交分解f (t )≈C 1φ1（t ）+ C 2φ2（t ）+……..+ C n φn （t ）=∑C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小：2ε= Cj1t 1−t 2∫f (t )−∑C j n j=1φj (t)t 2t 1二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件f(t)=a02+∑(a n cos nΩt+b n sin nΩt)∞n=1a0 2=1T∫f(t)dt=f(t)π2−π2（f(t)在一个周期内方均值；直流分量）a n=2T∫f(t)cos nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T2b n=2T∫f(t)sin nΩt dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、f(t)=A02+∑(A n cos(nΩt+φn)∞n=1A n=√a n2+b n2（A0=a）φn=tan−1b na nA02直流分量；(A n cos(nΩt+φn)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：A n和a n是nΩ的偶函数；b n和φn是nΩ的奇函数。

信号与系统第4章

35
正方波为奇谐函数
f (t)
1
OT
2T t
1
f
(t
)
4
sin(t)
1 3
sin(3t)
1 5
sin(5t)
36
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
A0 2
n1
An
c os (nt
n)
A0 2
n1
An
1 2
e j (nt n )
e j(nt n )
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
t1
(t)
i
(t)dt
0,
i 1,2,, n
则称该函数集为完备正交函数集。函数 ψ (t) 应满足条 件
0 t2 2 (t)dt t1
5
正交的三角函数集 (1)
1, cos 2 1 t , cos 2 2 t ,cos 2 m t ,,
T T
T
sin 2 1 t ,sin 2 2 t ,sin 2 n t ,
1 2
n1
Ane jn e jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e j n
jnt
A0 2
1 2
n1
Ane jn e jnt
1 2
Ane
n1
e jn
jnt
1 2
Ane jn e jnt
n
37
傅里叶级数的指数形式
f
(t)
1 2
Ane
n
e j n
jnt
Fne jnt
n
上式中，

§信号的分解

∆τ
=−∞
[u(t −τ ) − u(t −τ − ∆τ）= du(t −τ ) = δ (t −τ ) ] lim
∆τ dt
∆τ →dτ ,
∞
∑ τ
∞
=−∞
→∫
∞
τ =−∞
所以 f (t ) = ∫ f (τ )δ (t −τ )dτ
−∞
出现在不同时刻的， 出现在不同时刻的， 不同强度的冲激函 数的和。 数的和。
§ 用信号分解的观点 看系统分析
为了便于研究信号的传输和处理问题， 为了便于研究信号的传输和处理问题，往 往将信号分解为一些简单(基本) 的信号之和， 往将信号分解为一些简单 ( 基本 ) 的信号之和 ， 分解角度不同， 分解角度不同，可以分解为不同的分量
• • • • • 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量
[
]
1 jfi (t ) = f (t ) − f * (t ) 2
[
]
实际中产生的信号为实信号， 实际中产生的信号为实信号 ， 可以借助于复信号来 研究实信号。 研究实信号。
5．正交函数分量
如果用完备正交函数集来表示一个信号， 如果用完备正交函数集来表示一个信号，那 组成信号的各分量就是相互正交的。 么，组成信号的各分量就是相互正交的。把信 号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系 统理论中占有重要地位， 统理论中占有重要地位，下面我们重点讨论一 个信号在频域、 域以及离散信号Z域的分解。 个信号在频域、S域以及离散信号Z域的分解。
sin ωt 和 cosωt ，单位复指数信号
jω t
都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指 都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号， 数信号据欧拉公式可表示为 e

§1-4 信号的分解

例如：
e e
jn
1 xi (n) [ x(n) x* (n)] 2j
cos n j sin n cos n j sin n
jn
四、冲激（脉冲）分解： 对于连续时间信号，可分解为发生在不同时刻的冲激 信号的积分。 由前面和微分学的知识我们知道
du(t ) u (t ) u(t ) (t ) lim 0 dt
x(t )
1

t
t
x(t )
k
x(k)[u(t k) u(t k )]
2 k

x(t )
[u (t k) u (t k )] x(k) k
t
当上式中 0 记为 d ， k ，τ为一表示时间 的参变量，和式变成积分，约等于变成等于。
一、交直流分解： 信号可分解为交流分量与直流分量的叠加。
x(t ) xd xa (t )
其中直流分量就是信号的平均分量：
T 2
1 xd x(t )dt T T
2
信号减去直流分量剩下的就是交流分量：
xa (t ) x(t ) xd
例如：下图为一升余弦信号
x(t )
2
x(t ) 1 cost
i 1
n
式中的ci是组合系数，它与函数x和分量gi(t)有关：
t2
ci
x(t ) g
t1 t2
* i
(t )dt
2

t1
g i (t ) dt
1 ki
t2
x(t ) g i* (t )dt
t1
本课程将主要应用到的正交函数集是三角函数集：
{1, cos k1t , sin k1t | k 1,2,3,}

信号正交分解

信号空间：将信号看做空间里的向量内积：（jiang2）内积为0—正交范数：（jiang3）/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA %A4/jsjy/kc/xhyjs/chap6/chap6_1/chap6_1_1.htm第一讲信号的正交分解把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。

一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。

另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。

信号分解的方法有很多。

例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即，式中，。

但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。

另一种分解的方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。

一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。

N可以是有限值也可以是无穷大。

设是由一组向量所张成，即这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。

如果它们线性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。

各自可能是离散的，也可能是连续的，这视而定。

这样，我们可将按这样一组向量作分解，即(6-1-1)式中是分解系数，它们是一组离散值。

因此，上式又称为信号的离散表示（Discrete Representation）。

如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的正交展开（或正交分解）。

分解系数是在各个基向量上的投影。

若N=3，其含意如图6-1-1所示。

图6-1-1 信号的正交分解为求分解系数，我们设想在空间中另有一组向量：，这一组向量和满足：（6-1-2）这样，用和（6-1-1）式两边做内积，我们有，即：(6-1-3a)或(6-1-3b)(6-1-3a)式对应连续时间信号，(6-1-3b)式对应离散时间信号。

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▲
■
第4页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交：
定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足
t2 t1
1(t)2 (t) d
t
0
(两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集：
若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集，
这些函数在区间(t1，t2)内满足
t2 t1
i
(t )
j
(t ) d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0, Ki
0,
i j i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
▲
■
第5页
3. 完备正交函数集：
如果在正交函数集{1(t)， 2(t)，…， n(t)}之外，
不存在函数φ(t)(≠0）满足
t2 t1
(t ) i
Ki
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
帕斯瓦尔能量公式
t2 t1
f
2 (t) d t
Ci2 Ki
i 1
表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交 函数集中各正交分量能量的总和。
▲
■
第 10 页
(t)
Ci2
2 i
(t)]d t
0
即
2
t2 t1
f
(t)i (t) d t
2Ci
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
0
所以系数
Ci
t2 t1
f
(t)i (t) d t
1
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
Ki
t2 t1
f
(t)i (t) d t
▲
■
第8页
代入，得最小均方误差（推导过程见教材）
2 1 [
▲
■
第2页
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
§4.1 信号分解为正交函数
• 矢量正交与正交分解 • 信号正交与正交函数集 • 信号的正交分解
■
第3页
一、矢量正交与正交分解
• 矢量正交的定义：
指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与Vy = ( vy1, vy2, vy3)的内积为0。
即
(t ) d
t
0
( i =1，2，…，n)
则称此函数集为完备正交函数集。
例如：
三角函数集 {1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…} 虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…} 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函 数集。
▲
■
第6页
三、信号的正交分解
3
VxVyT vxivyi 0
i 1
• 正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备. 矢量A =(2，5，8)表示为 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz
•矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
§4.0 引言
时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入 信号可分解为一系列冲激函数之和；而
yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号， 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 或虚指数信号之和。重点讨论连续时间的傅里叶变 换和连续时间系统的频域分析。 用于系统分析的独立变量是频率， 故称为频域 分析 。
2 1
t2 t1
t2 [ f
t1
(t)
n
C j j (t)]2
j 1
dt
▲
■
第7页
为求使上式最小的第i个系数Ci
2 Ci Ci
t2 [ f (t)
t1
n
C j j (t)]2
j 1
dt
0
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不
为0，写为
Ci
t2 t1
[2Ci
f
(t ) i
t2 t1
t2 t1
f
2 (t) d t
n
C
2 j
K
j
]
0
j 1
4.1-11
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越
大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数
集），均方误差为零。此时有
t2 t1
f
2 (t) d t
C
2 j
K
j
j 1
上式称为(Parseval)帕斯瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)
构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为
f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在 区间(t1，t2)内为最小。
通常使误差的均方值(称为均方误差)最小。均方误差为
■
第1页
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各
正交分量能量的总和。
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t) C j j (t) j 1
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小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t) Cii (t)
i 1
Ci
1 Ki
t2 t1
f
(t)i (t) d t