§1-3 信号的分解

{1, cos kΩ1t , sin kΩ1t | k = 1,2,3,L}
{e
jkΩ1t
| k = 整数与0}
{e
π kn j2 N
| k = 0,1,2,L, N − 1}
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例1： 设矩形脉冲
⎧ +1 f (t ) = ⎨ ⎩ −1
(0 < t < π ) (π < t < 2π )
试用正弦函数sint 在区间（0，2 π ）内来近 似表示此函数，使均方误差最小。 f (t )
x (−t )
1
t
−1
1
t
1 xe (t) = xe (−t) = [x(t) + x(−t)] 2
奇分量：
x e (t )
1 2
−1
1
t
x o (t )
−1
1 2
1 xo (t) = −xo (−t) = [x(t) − x(−t)] 2
−
1 2
1
t
4
再例如：
x (t )
1 −1 1 2
x (−t )
14
1
一、交直流分解： 信号可分解为交流分量与直流分量的叠加。
x(t) = xd + xa (t)
其中直流分量就是信号的平均分量：
T 2
1 xd = ∫ x(t)dt T −T
2
信号减去直流分量剩下的就是交流分量：
xa (t) = x(t) − xd
2
例如：下图为一升余弦信号
x(t )
2
x(t) = 1+ cost
10
x (t ) = ∑ ci g i (t )
i =1
n
式中的ci是组合系数，它与函数x和分量gi(t)有关：
t2
ci =
* x ( t ) g i (t ) dt ∫ t1 t2
∫
t1
g i (t ) dt
2
1 = ki
t2
* x ( t ) g i (t ) dt ∫ t1
本课程将主要应用到的正交函数集是三角函数集：
三、虚实分解： 复信号可分解为实分量与虚分量的叠加。
x(t) = xr (t) + jxi (t)
其中实分量也称实部：
x (t) = xr (t) − jxi (t)
*
1 * xr (t) = [x(t) + x (t)] 2
信号的虚分量也称虚部：
1 * xi (t) = [x(t) − x (t)] 2j
T 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
−T 2
t
T 2
xd
1
−T 2
T 2
t
1 xd = ∫ x(t)dt =1 T −T
2
1
xa (t )
T 2
−
T 2
t
xa (t) = x(t) −1 = cost
3
二、奇偶分解： 信号还可分解为奇分量与偶分量的叠加。
x(t) = xe (t) + xo (t)
其中偶分量：
−1
x (t )
1 1
−∞
∞
离散时间信号也有类似的分解表示。如：
x ( n)
x(3) x(0) x(1) x(2) x(m + 1)
x(n) =
n
x ( m)
m=−∞
∑x(m)δ(n − m)
8
∞
−2
−1
0
1
2
3
m
m +1
= x(n) ∗δ(n)
五、正交分解： 1、函数的内积 设x、y均是定义在区间（t1,t2)上的函数，它们的内 积定义为：
1
对于离散时间信号，也 有同样的分解表示。
t
t
−2
−1
1
x(n) = xe (n) + xo (n)
xe (n) = xe (−n)
x e (t )
1 2
−2
−1
1
2
t
1 = [x(n) + x(−n)] 2
x o (t )
1 2
xo (n) = −xo (−n)
2
−2
−1
1
t
共轭对称？
1 = [x(n) − x(−n)] 2 5
< x(t ), y (t ) >= ∫ x(t ) y * (t )dt
t1 t2
2、函数的正交 设x、y均是定义在区间（t1,t2)上的函数，它们的内 积为零，即
< x(t ), y (t ) >= ∫ x(t ) y * (t )dt = 0
t1 t2
则称x、y在区间（t1,t2)上是相互正交的。
0
π
π
4
所以 f ( t ) ≈
π
sin t
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例2：试用函数 内近似表示 解：Q
f 1( t ) = sin t 在区间 ( 0 , 2π )
f 2 ( t ) = cos t
∫
2π
0
cos t ⋅ sin tdt = 0
∴ C 12 = 0
也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。
x (n) = xr (n) − jxi (n)
*
1 * xi (n) = [x(n) − x (n)] 2j
共轭实虚对应？
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四、冲激（脉冲）分解： 一连续时间信号可表示为此信号与单位冲激信号的卷 积积分。或者说，单位冲激信号与一信号的卷积积分， 仍是此信号。也有用此式作为单位冲激信号的定义。
x(t) = x(t) ∗δ(t) = ∫ x(τ)δ(t − τ)dτ
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3、正交函数集 设{gi(t)|i=1,2,…}是定义在区间（t1,t2)上的函数 集，它的各分量间两两正交，即
⎧k i < g i (t ), g j (t ) >= ∫ g i (t ) g (t )dt = ⎨ ⎩0 t1
* j t2
i= j i≠ j
则称{gi(t)|i=1,2,…}是区间（t1,t2)上的一个正交函数 集。 4、函数的正交分解 设x是为定义在区间（t1,t2)上的一个函数，同区间上 有一正交函数集：{gi(t)|i=1,2,…} 。则函数x可以分解 表示为此正交函数集中各分量的组合，即
§1-4 信号的分解 信号分解实际上是对信号进行某种或几种 运算来实现的。信号分析时，我们往往是将所 分析的信号进行分解，分解为一些简单的基本 信号的组合。根据所包含的简单基本信号的成 分和参数，对所分析信号以深入了解。 这里我们将介绍信号的几种常见的分解表 示。它们是：交直流分解、奇偶分解、虚实分 解和冲激分解；最后还会提到更一般的重要分 解表示：正交分解。
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例如：
e jΩt = cos Ωt + j sin Ωt e − jΩt = cos Ωt − j sin Ωt
离散时间信号也有同样的分解表示。
x(n) = xr (n) + jxi (n) 1 xr (n) = [x(n) + x* (n)] 2
例如：
e jωn = cos ωn + j sin ωn e − jωn = cos ωn − j sin ωn
π
4
1 0
π
2π
t
−
π
4
1
12
x (t ) = ∑ ci g i (t )
i =1
n
解： f
( t ) 在区间 ( 0 , 2π ) 内近似为
c 12 =
=
∫
2π
f ( t ) ≈ c12 sin t
0
f ( t ) sin tdt
2π 0
π
∫
1
sin tdt
2π
2
=
4
π
[ ∫ sin tdt + ∫ (− sin t )dt ]