信号分解为正交函数.ppt

f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1

若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。

即、均方误差 2 1
t2 t1
[t2
t1
f (t)
n
C j j (t )]2 d t
j 1
极小值
｛ i(t) ｝正交
2
Ci Ci
[t2
t1
f (t)
n
C j j (t)]2 d t
j1
0
Ci
t2 t1
[2Ci
f
(t ) i
(t)
C
i2
2 i
(t)] d t
0
2
t2 t1
f (t)i (t)d t 2Ci
t2 t1
2 i
(t
)
d
t
0
Ci
t2 t1
f (t)i (t)d t
t2 t1
2 i
(
t
)
d
t
1 Ki
t2 t1
f (t )i (t)d t
2 1
t2 t1
[t2
t1
f (t)
n
C j j (t )]2 d t
j1
[t2 t1
f (t)
虚指数函数集 {ejnΩt，n=0，±1，±2，…}
是在 (t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
二、信号的正交分解
设n个｛ i(t) ｝︳i = 1, 2,…...n在 (t1，t2) 正交。f(t)≈C11+ C22+…+ Cnn
问题：Cj = ? 使f(t) 与 (C11+ C22+…+ Cnn )在 (t1，t2)内最接近？
1 T
e 2 jnt
2
dt
1 T

第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12

t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r

t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1

f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解

完备正交函数集。 称此函数集为完备正交函数集 称此函数集为完备正交函数集。 例如： 例如： 三角函数集 {1，cos(n t)，sin(n t)，n=1,2,…} ， ， ， 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ， 是两组典型的在区间(t 典型的在区间 +T)(T=2π/Ω)上的 上的完备 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备 正交函数集。 正交函数集。
•本章以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号， 本章以正弦信号 虚指数信号e 为基本信号， 本章以正弦信号和 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 不同频率 或虚指数信号之和。 或虚指数信号之和。 频域分析。 •分析系统的独立变量是频率，故称频域分析。 分析系统的独立变量是频率 故称频域分析 分析系统的独立变量是频率，
▲ ■ 第 2页
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 年 法国数学家傅里叶 在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论” 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 理论基础。 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •Poisson、Guass等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 、 等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 进入20世纪以后 进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 的理论研究和工程实际应用中， 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中 具有很多的优点。 具有很多的优点。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力 “