2020-2021上海进才中学高三数学上期末模拟试题(附答案)
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2020-2021上海进才中学高三数学上期末模拟试题(附答案)
一、选择题
1．已知点,Mab与点0,1N在直线3450xy的两侧，给出以下结论：①3450ab；②当0a时，ab有最小值，无最大值；③221ab；④当0a且1a时，11ba的取值范围是93,,44，
正确的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若,xy满足1010330xyxyxy，则2zxy的最大值为( )
A．8 B．7 C．2 D．1
3．设数列na的前n项和为nS，若2，nS，3na成等差数列，则5S的值是（ ）
A．243 B．242 C．162 D．243
4．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．若直线100,0axbyab把圆224116xy分成面积相等的两部分，则122ab的最小值为( )
A．10 B．8 C．5 D．4
6．已知数列na的通项公式是221sin2nnan（），则12310aaaaL
A．110 B．100 C．55 D．0
7．设xy，满足约束条件10102xyxyy＞，则yx的取值范围是（ ）
A．,22,U B．2,2
C．,22,U D．22,
8．设变量,xy、满足约束条件236yxxyyx，则目标函数2zxy的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9 9．数列{}na为等比数列，若11a，748aa，数列1na的前n项和为nS，则5(S
)
A．3116 B．158 C．7 D．31
10．已知数列{an}满足331log1log()nnaanN且2469aaa，则15793log()aaa的值是( )
A．－5 B．－15 C．5 D．15
11．已知数列na的前n项和2nSnn，数列nb满足1sin2nnnba，记数列nb的前n项和为nT，则2017T（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
12．若变量x，y满足约束条件1358xyxxy，，，则2yzx的取值范围是（ ）
A．113， B．11115， C．111153， D．3153，
二、填空题
13．已知xy，满足20030xyyxy，，，，则222xyy的取值范围是__________.
14．已知函数1()fxxx，数列{}na是公比大于0的等比数列，且61a，1239101()()()()()fafafafafaa，则1a_______.
15．已知向量1,,,2axbxyrr，其中0x，若ar与br共线，则yx的最小值为__________．
16．已知实数x，y满足不等式组2202xyyyx，则1yx的最大值为_______.
17．已知数列na的首项12a，且满足*12nnnaanN，则20a=________．
18．在等差数列na中，12a，3510aa，则7a ．
19．已知abcR、、，c为实常数，则不等式的性质“abacbc”可以用一个函数在R上的单调性来解析，这个函数的解析式是()fx=_________ 20．已知△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且bcosC﹣ccosB14a2，tanB＝3tanC，则a＝_____．
三、解答题
21．等差数列na中，71994,2aaa.
(1)求na的通项公式；
(2)设1nnbna，求数列nb的前n项和nS.
22．已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足22sinsin1cosACB．
（1）若2a，22c，求b；
（2）若14sin4B，3a，求b．
23．设ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2coscoscoscCaBbA.
（1）求角C.
（2）若ABCV的面积为S，且224()Sbac，2a，求S.
24．在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，13b.
（1）若3sin4sinCA，求c的值；
（2）求ac的最大值.
25．设数列na的前n项和nS满足：2(1)nnSnann，等比数列nb的前n项和为nT，公比为1a，且5352TTb．
（1）求数列na的通项公式;
（2）设数列11nnaa的前n项和为nM，求证：1154nM．
26．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量＝(2sinB,2－cos2B)，＝(2sin2( )，－1)，.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝ ，b＝1，求c的值．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x−4y+5=0的两侧,
∴34530450ab，即3450ab，故①错误；
当0a时,54ab，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；
设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则22513(4)d,则22ab>1，故③正确；
当0a且a≠1时,11ba表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率．
∵当0a,b=54时,51194114ba,又直线3x−4y+5=0的斜率为34，
故11ba的取值范围为93,,44，故④正确.
∴正确命题的个数是2个.
故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
2．B
解析：B
【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC内部（含边界），作直线:20lxy，把直线l向上平移，z增加，当l过点(3,2)B时，3227z为最大值．故选B．
考点：简单的线性规划问题．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
因为2,,3nnSa成等差数列，所以223nnSa，当1n时，111223,2Saa；当2n时，1113333112222nnnnnnnaSSaaaa，即11322nnaa，即132nnana，数列na是首项12a，公比3q的等比数列，55151213242113aqSq，故选B.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果.
【详解】
由余弦定理得：，即
解得：或
为最小角
本题正确选项： 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值.
【详解】
圆的圆心为4,1，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410ab，即41ab，故121288444282222babaababababab，当且仅当82baab，即11,82ab时，取得最小值为8.故选B.
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是222xaybr，圆心是,ab，所以本题的圆心是4,1，而不是4,1.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知条件得an＝n2sin（2n12π）＝22,,nnnn是奇数是偶数 ，所以a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果．
【详解】
∵2n12 =n+2，n∈N*，∴an＝n2sin（2n12π）＝22,,nnnn是奇数是偶数，
∴a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝101+10=552
故选C．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．
7．A 解析：A
【解析】
【分析】
根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点,xy与原点O连线的斜率，根据图象即可求解.
【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
yx的几何意义是可行域内的点,xy与原点O连线的斜率，由102xyy，得点A的坐标为1,2，所以2OAk，同理，2OBk，
所以yx的取值范围是,22,U.
故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出满足约束条件236yxxyyx的可行域，如图，
