山东省沂水县高考数学一轮复习函数系列之幂函数学案

（全国版）2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4讲 幂函数与二次函数学案

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2 / 142 第4讲 幂函数与二次函数

板块一 知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点 幂函数的图象和性质

1．五种幂函数图象的比较

2．幂函数的性质比较 （全国版）2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4讲 幂函数与二次函数学案

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[必会结论]

1．一元二次不等式恒成立的条件

(1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0)恒成立的充要条件是错误!

(2）ax2＋bx＋c＜0(a≠0）恒成立的充要条件是错误!

2．二次函数表达式的三种形式

(1）一般式:y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

（2）顶点式：y＝a（x＋h)2＋k（其中a≠0,顶点坐标为(－h，k））．

（3）两根式：y＝a(x－x1)(x－x2）(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标)．

[考点自测］

第11讲 幂函数

1．了解幂函数的概念．

2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．

3．能解决与幂函数有关的一些简单问题．

知识梳理

1．幂函数的定义

一般地，函数 y＝xα(α为常数) 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数的图象比较

1． 幂函数y＝xα的性质

1．幂函数y＝xα(α≠0,1)在第一象限的图象有以下三种形式：

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的定义域及奇偶性．

幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

热身练习 幂函数的性质 α>0 α<0

图象通过点 (1,1) 图象通过点 (1,1)

在第一象限内，函数是

增函数 在第一象限内，函数是

减函数

在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(12，22)，则k＋α＝ 32 .

由幂函数的定义得k＝1，再将(12，22)代入f(x)＝xα，得(12)α＝22＝(12)12，所以α＝12，故k＋α＝32.

2．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为(A)

A．1,3 B．－1,1

C．－1,3 D.12，1,3

y＝x－1的定义域为{x|x≠0}，y＝12x的定义域为{x|x≥0}，所以B，C，D均可排除，选A.

3．(经典真题)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(C)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，

所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．

1 / 23 新高考数学一轮复习考点知识归类讲义

第10讲 幂函数与二次函数

1．幂函数

(1)定义

形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.

(2)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 2 / 23 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

(2)二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx

＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx

＋c(a<0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)

值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a

单调性 在－∞，－b2a上单调递减；

在－b2a，＋∞上单调递增 在－∞，－b2a上单调递增；

在－b2a，＋∞上单调递减

奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数

顶点 －b2a，4ac－b24a

对称性 图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形

3 / 23 ➢ 考点1 ******

[名师点睛]

1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．

专题08 幂函数与二次函数

【考点预测】

1.幂函数的定义

一般地，()ayxaR(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.

2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数

①ax的系数为1； ②ax的底数是自变量； ③指数为常数.

(3)幂函数的图象和性质

3.常见的幂函数图像及性质：

函数 yx 2yx 3yx 12yx 1yx

图象

定义域 R R R {|0}xx {|0}xx

值域 R {|0}yy R {|0}yy {|0}yy

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇

单调性 在R上单调递增 在(0)，上单调递减，在(0+)，上单调递增 在R上单调递增 在[0+)，上单调递增 在(0)，和(0+)，上单调递减

公共点 (11)，

4.二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：2()(0)fxaxbxca；

（2）顶点式：2()()(0)fxaxmna；其中，(,)mn为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程.

（3）零点式：12()()()(0)fxaxxxxa，其中，12,xx是抛物线与x轴交点的横坐标.

5．二次函数的图像

二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.

（1）单调性与最值

①当0a时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当

2bxa时，2min4()4acbfxa；②当0a时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，；2max4()4acbfxa.

（2）与x轴相交的弦长

当240bac时，二次函数2()(0)fxaxbxca的图像与x轴有两个交点11(,0)Mx和22(,0)Mx，212121212||||()4||MMxxxxxxa.