2.3 幂函数一、教学目标（一）核心素养类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，由特殊到一般，得到幂函数的图象和性质.让学生进一步把握函数的基本研究方法，利用函数性质画函数图像、利用函数图像得函数性质，掌握并运用函数章节中的的“数形”结合. （二）学习目标1．知识技能（1）理解幂函数的定义；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，归纳一般情况下幂函数的图象和性质.2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后通过数形结合研幂函数的图象和性质.（三）学习重点1．幂函数的定义．2．幂函数的图像和性质．（四）学习难点1．幂函数的对称性．2．幂函数图象的变化规律．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材2.3 幂函数，填空：一般地，我们把形如y xα=的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，α是实常数．（2）画一画、填一填：试画出1yx=，0y x=，12y x=，y x=，2y x=的图象，试根据五个函数的图象完成下表．2．预习自测（1）下列函数为幂函数的是（ ） A ．21y x=B ．2(1)y x =-C ．32y x = D ．1y = 【知识点】幂函数的定义. 【解题过程】221y y x x-=⇔=，故A 是幂函数；2(1)y x =-底数部分不是x ，故B 不是；32y x =中3x 的系数不是1，故C 不是；1y =不是幂函数，因为定义域的变化，00没有意义，故D 不是.【思路点拨】形如a y x =的函数才是幂函数，系数为1,a 是实常数． 【答案】A（2）下列函数中，定义域为(0,)+∞的是（ ）A ．16y x = B ．98-=x y C ．89-=x y D ．25x y = 【知识点】幂函数的定义和性质【解题过程】A 选项16y x =，∴0x ≥；B 选项98-=x y，∴0x ≠；C 选项89-=x y，∴0x >；D 选项25x y =，∴0x ≥.故只有C 选项的定义域为(0,)+∞.【思路点拨】将幂函数进一步转化成根式进行判断.【答案】C ．（3）幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则(8)f 的值为 ． 【知识点】幂函数的概念、解析式.【解题过程】设幂函数为ay x =，由条件可知42a=，∴12a =.则幂函数为12y x =，∴(8)f =128【思路点拨】先用待定系数法求出a 的值,再将已知点代入求解.【答案】． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）复习幂的概念．（2）复习二次函数、指对函数的研究方法及过程． 2．问题探究探究一 创设情境，建构概念 ●活动① 归纳提炼概念前面我们已经学习了指数函数、对数函数，你能根据自己所具备的函数知识指出1y x=，0y x =，12y x =，y x =，2y x =的这五个函数的共同特征吗？我们可以看出这五个函数都是幂的形式，但没有一个是对数函数，对数函数是以指数为自变量，而这五个函数虽是幂的形式但是底数为自变量．及这五个函数具备一个统一表达形式y x α=（α为常数）．一般地，我们把形如y x α= 的函数称为幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是实常数．【设计意图】从学生所具备的经验出发，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动② 辨析概念、分析幂函数特性 例1．下列函数为幂函数的是 ．①21y x=②2(1)y x =- ③32y x = ④y = ⑤1(0)y x =≠ 【知识点】幂函数的定义． 【数学思想】 【解题过程】221y y x x-=⇔=，故①是；2(1)y x =-底数部分不是x ，故②不是；32y x =中3x 的系数不是1，故③不是，明显④是；1(0)y x =≠实际上是0y x =，故⑤是（1y =却不是幂函数，因为定义域的变化，00没有意义）． 【思路点拨】形如y x α=的函数才是幂函数，系数为1，α是实常数． 【答案】①④⑤．同类训练 已知函数221()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是幂函数．【知识点】幂函数的定义． 【数学思想】【解题过程】221m m +=，解得1m =-±．【思路点拨】形如y x α= 的函数才是幂函数，系数为1，α是实常数．【答案】1m =-±．【设计意图】巩固幂函数的定义，强调幂函数的固定形式． 探究二 探究幂函数的图象和性质 ●活动①动手操作 探究整理将学生分成三组，引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域，单调性等，一组画函数3y x =、2y x =的图象，二组画函数y =、y =的图象，三组画函数2y x -=，1y x -=图象.每组画完图象最后，让学生通过观察图像，相互讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的图象及性质.通过观察图像，引导同学完成下表.完成表格后，教师利用电脑软件画出以上六个函数的图像，并补充出特殊幂函数y x =的图象，并阐述其临界作用.【设计意图】引导学生利用现有的知识体系、知识经验完成相关探索，让学生体会发现的快乐、研究的快乐.分三组学生活动，让学生相互交流，相互取长补短.分三组分别讨论给后期归纳幂函数性质时，要有分类讨论的思想埋下伏笔. ●活动②归纳梳理、理解提升根据上述六个函数的图象和性质，你能否归纳出一般的幂函数y x α=的性质及图象特征呢？引导学生先整体，后分类描述幂函数y x α=（α为常数）的图象和性质： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点(1,1)（原因：11x =），要注意不同幂函数的定义域可能不一样，记住负数不能开偶次方根，00无意义； （2）0α>时，幂函数的图象都通过原点(0,0)，并且在[0,)+∞ 上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当1α>，(0,1)x ∈，y x α=的图象都在y x =图象的下方； 当1α>，(1,)x ∈+∞，y x α=的图象都在y x =图象的上方； 当01α<<，(0,1)x ∈，y x α=的图象都在y x =图象的上方； 当01α<<，(1,)x ∈+∞，y x α=的图象都在y x =图象的下方；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数，x 轴、y 轴作为函数图象的渐进线.（4）定义域关于原点对称的幂函数都是有奇偶性的，奇偶性取决于指数α，例如mny x =（,m n 为正整数，且互质），如果m 为偶数，则m ny x =为偶函数；如果m 为奇数，n 为偶数，则mn y x =为非奇非偶函数；如果m 、n 均为奇数，则m ny x =为奇函数.（5）通过电脑演示参数α对幂函数y x α=图象的影响.【设计意图】通过六个具体幂函数的图像和性质，引导学生分类讨论不同类型的幂函数的图象及性质.训练学生有特殊到一般思维能力，分类讨论的操作能力，由整体到局部的观察能力. ●活动③ 巩固基础、检查反馈例2.研究函数23y x -=的定义域、对称性、单调性，并画出该函数图象草图. 【知识点】幂函数的图象和性质． 【数学思想】数形结合的数学思想．【解题过程】函数23y x -=的定义域为{}0x x ≠，恒过(1,1)，偶函数，(0,)+∞为其减区间．故只需做出其在(0,)+∞上的函数图象即可．【思路点拨】研究23y x -=定义域，单调性，奇偶形，特殊点解决问题． 【答案】草图略同类训练 已知幂函数的图象过点1(2,)4，则该函数的单调递增区间是 ．【知识点】幂函数的定义及性质． 【数学思想】【解题过程】显然幂函数为2y x -=，由其图象可知其单调递增区间为(,0)-∞． 【思路点拨】先确定幂函数的解析式，再根据解析式确定函数的单调区间． 【答案】(,0)-∞．【设计意图】巩固幂函数的性质，强调幂函数性质的研究手段，这也作为一般函数的研究思路和手段． ●活动④ 强化提升、灵活应用 例3 比较下列各组数的大小：（1）54(2)a + 54a ；（2）223(3)a -+ 233-； （3）0.50.4 0.40.5；（4）0.60.32 0.50.34． 【知识点】幂函数的单调性． 【数学思想】数形结合的数学思想．【解题过程】（1）引入函数54y x =，其在(0,)+∞上单调递增，又2a a +>，则5544(2)a a +>；（2）引入函数23y x -=，其在(0,)+∞上单调递减，又233a +≥，则22233(3)3a --+≤；（3）由0.4x y =在R 上单减，0.4y x =在(0,)+∞单增，故0.50.40.40.40.40.5<<；（4）类似于（3）0.60.50.50.320.320.34<<，（4）由学生独立完成．【思路点拨】根据不同结构引入函数，利用函数单调性比较大小． 【答案】>，≤，<，<．同类训练 若1133(2)(32)a a +<-，求a 的取值范围． 【知识点】幂函数的单调性． 【数学思想】【解题过程】引入函数13y x =，该函数为奇函数且在R 上单调递减，11331(2)(32)2323a a a a a +<-⇔+>-⇔>．故所求a 的取值范围为13a >．【思路点拨】恰当引入幂函数，利用幂函数的单调性解不等式，这一类型问题一定不能忽略幂函数的定义域问题．【答案】13a >．【设计意图】巩固幂函数的图像及性质，强调幂函数的性质解决问题． 例4 已知函数223()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．【知识点】幂函数的图象和性质．【数学思想】数形结合、分类讨论的数学思想． 【解题过程】()f x 为偶函数，则223m m -++必为偶数．又(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故2323012m m m -++>⇒-<<，又m Z ∈，则0m =或1m =．当0m =时，223m m -++为奇数，舍去；当1m =时，223m m -++必为偶数 故1m =，f(x)=x 2【思路点拨】函数223()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，则223m m -++必为偶数，且m Z ∈，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．【答案】1m =,f (x )=x 2同类训练 已知幂函数13()a f x x-=在(,0)-∞上时增函数，在(0,)+∞上时减函数，那么最小的正整数a = ． 【知识点】幂函数的图象和性质． 【数学思想】【解题过程】1a -为偶数，且101a a -<⇔>，最小的正整数3a =满足要求． 【思路点拨】根据题意该幂函数一定是一个偶函数，1a -势必为负偶数． 【答案】3a =．【设计意图】幂函数性质的综合运用，对学生要求较高，训练学生的综合解决问题的能力． 3.课堂总结这节课我们研究了幂函数的定义及性质，同时通过对一些特殊的幂函数的研究，又一次体验了研究一类函数的一般方法.掌握了幂函数在第一象限图象的特征，在研究过程中我们应当认识到，重要的不是去记忆某个具体幂函数的图象与性质，而应当注意掌握研究幂函数的一般方法和过程，这也是研究所有函数的方法和过程. 知识梳理（1）幂函数的定义. （2）幂函数的图象及性质. 重难点归纳重点：幂函数的定义.难点：研究幂函数的一般方法和过程，幂函数性质的灵活运用. （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列函数中，是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．32y x = C ．1y x= D ．2x y = 【知识点】幂函数的定义． 【数学思想】【解题过程】A 、B 选项多了系数2，D 选项为指数函数，故选C ． 【思路点拨】形如y x α=的函数才是幂函数，系数为1，α是实常数． 【答案】C ．2．下列结论正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定过原点B ．当0<α时，幂函数y x α=是减函数C ．当0>α时，幂函数y x α=是增函数D ．函数1y x=既是反比例函数，也是幂函数 【知识点】幂函数的性质． 【数学思想】【解题过程】由于幂函数1y x=不过原点选项A 错；2y x -=在(,0)-∞上单调递增故选项B 错；2y x =不是增函数故选项C 错；由排除法选D ． 【思路点拨】利用幂函数的性质解决问题． 【答案】D ．3．下列函数中，在(,0)-∞是增函数的是（ ）A ．y =B ．2y x = C ．1y x= D ．32y x =【知识点】幂函数的性质． 【数学思想】【解题过程】y =是(,0)-∞是增函数． 【思路点拨】根据幂函数的图象即可解决问题． 【答案】A4．函数23y x =图象的大致形状是（ ）【知识点】幂函数的图象． 【数学思想】数形结合的数学思想．【解题过程】由于23y x ==y 轴对称，则排除B 、C ，由于213<，则当(0,1)x ∈时函数图象在直线y x =上方，故选D ． 【思路点拨】利用幂函数的图象性质结合排除法解题． 【答案】D ．5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为 ． 【知识点】幂函数的解析式． 【数学思想】【解题过程】设所求函数的解析式为()y f x x α==2n =，∴12n =，∴ 12y x =． 【思路点拨】有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数，然后求解． 【答案】12y x =．6．若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围为 ．【知识点】幂函数的单调性．【数学思想】分类讨论的数学思想．【解题过程】（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332m <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-． 综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞． 【思路点拨】这一类不等式通常通过函数的单调性解，但是函数1(0)y x x -=≠虽然在区间(0)-，∞和(0)+，∞上分别具有单调性，但在区间(0)(0)-+，，∞∞上不具有单调性，因而分类讨论确定1m +、32m -的符号后再利用单调性解决问题． 【答案】23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞． 能力型 师生共研7．如图,曲线1C 、2C 分别是函数m y x =和n y x =在第一象限的图象,那么一定有A ．0m n <<B ．0n m <<C ．0m n >>D ．0n m >>【知识点】幂函数的图象．【数学思想】数形结合．【解题过程】取2x =，从图中有122m n >>，由指数函数2x y =在R 是单调递增的，则0n m <<，故选B ．【思路点拨】利用特殊点出函数值进行区别图象．【答案】B8.若幂函数()1p nm y x -⋅=（m 、n 、p 均为正整数，且m 、n 互质）的图象在第一、二象限，且不过原点，则（ ）A.p 、n 为奇数，m 为偶数B.p 、m 为奇数，n 为偶数C.p 、n 为偶数，m 为奇数D.p 、m 为偶数，n 为奇数【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】【解题过程】由于不过原点，则p 是奇数．图象在第一、二象限，可判断该幂函数只能是偶函数且m 、n 互质，则n 为偶数，m 为奇数．【思路点拨】可判断该幂函数只能是偶函数，由于不过原点，则p 是奇数，再根据奇偶性对m 、n 的要求进行选择．【答案】B探究型 多维突破9.函数1222(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域是全体实数,求实数m 的取值范围．【知识点】幂函数的性质、函数的定义域．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由题得2420mx x m +++>对x 恒成立，则（1）当0m >时，20164(2)16480m m m m ∆<⇒-+=--<，则2240m m +->，得：1m >-+1m <--，又因为0m >，则1m >-51+->∴m ．（2）当0m >时 不可能（3）当0m =时 不可能综上所述：1m >-+【思路点拨】由于定义域是全体实数，由幂函数的性质可知2420mx x m +++>对x 恒成立，注意该恒成立问题0m =容易被忽略．【答案】1m >-+10.点2)在幂函数()f x 的图象上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图象上，问当x 为何值时，有：（1）()()f x g x >；（2）()()f x g x =；（3）()()f x g x <．【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】【解题过程】设()f x x α=，则由题意得2α=，∴2α=，即2()f x x =； 设()g x x β=，则由题意得1(2)4β=-，∴2β=-，即2()g x x -=． 在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，利用元素与集合的关系分类讨论． 如图所示：由图象可知：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．【思路点拨】由幂函数的定义，求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可，但是要注意本题中()g x 的定义域为{0}x x ≠，所以（3）中不包含0x =这一元素．【答案】（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．自助餐1．下列关于幂函数的命题中不正确的是（ ）A ．幂函数的图象都经过点(1,1)B ．幂函数的图象不可能在第四象限内C ．当n y x =的图象经过原点时,一定有0n >D ．若(0)n y x n =<是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数【知识点】幂函数的性质．【数学思想】【解题过程】幂函数2y x -=在区间(,0)-∞上单调递增．【思路点拨】利用的性质解决问题．【答案】D2．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（ ）A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】【解题过程】用幂函数图象及性质检验．【思路点拨】利用的定义域结构、性质、草图解决问题．【答案】A3 .已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则该函数的图象关于（ ）对称 A ．原点 B ．y 轴 C ．x 轴 D ．直线y x =【数学思想】【解题过程】设函数()f x 的解析式为a y x =，幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则2a =-，该函数为偶函数，故选B ．【思路点拨】幂函数的解析式．【答案】B4. 已知幂函数)(x f y =的图像过点1(2，则)2(log 2f 的值为（ ） A ．21 B ．12- C ．1- D ．1 【知识点】幂函数的解析式．【数学思想】【解题过程】设函数()f x 的解析式为a y x =，幂函数()y f x =的图象过点1(2，则12a =，21log (2)2f =该函数为偶函数，故选A ． 【思路点拨】幂函数的解析式．【答案】A ．5.若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】数形结合【解题过程】根据幂函数4y x =的图象．由图象知此函数在(0)(0)-+，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x =．于是有44(1)(32)m m +<-，即44132m m +<-．又∵幂函数4y x =在(0)+，∞上单调递增，∴132m m +<-， 解得23m <或4m >．【思路点拨】根据幂函数4y x =的单调性及对称性解决问题． 【答案】23m <或4m >．6.讨论函数2221()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）当20k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；（2）当2210k k --=时，1k =-或1k =（3）220210k k k k ⎧+>⎨--<⎩，即01k <<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小；（4）当220210k k k k ⎧+>⎨-->⎩，即1k <-或1k >+时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（5）当220210k k k k ⎧+<⎨--<⎩，即10k -<<时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（6）当220210k k k k ⎧+<⎨-->⎩，即11k -<<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小．【思路点拨】利用系数与指数对目标函数的单调性影响解决问题，小心遗忘常函数的特殊情况．含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．【答案】略。
