高中数学《幂函数》学案5 湘教版必修1

高一数学必修1《幂函数》教案教学目标：1. 理解幂函数的定义和性质，掌握画出幂函数的图象的方法。

2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。

教学重点：1. 幂函数的定义和性质。

2. 画出幂函数的图象。

3. 不等式解法。

教学难点：1. 幂函数的图象，如何画出图象。

2. 不等式的解法，如何运用不等式解决幂函数方程的问题。

教学方法：1. 归纳法。

2. 演示法。

3. 分组讨论法。

教学内容：一. 幂函数1. 幂函数的定义：设a为正实数，x为任意实数，幂函数f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。

2. 幂函数的性质：（1）当a>1时，幂函数f(x)严格单调递增；当0<a<1时，幂函数f(x)严格单调递减。

（2）当a>1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无上界；当0<a<1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无下界。

（3）当a=1时，幂函数f(x)为常函数y=1。

3. 幂函数的图象：（1）当a>1时，幂函数f(x)在右侧无上界，并超过x轴，图象接近x轴。

（2）当0<a<1时，幂函数f(x)在右侧无下界，趋近于x轴，图象在x轴上方。

（3）当a=1时，幂函数f(x)图象为直线y=1，在y轴上方。

4. 例题：（1）求幂函数y=$\frac{1}{4}$^x 的增减区间，并画出图象。

（2）求方程$\frac{1}{2x+1}$=8 的解。

二. 不等式的解法1. 不等式的性质：（1）等式两边加（减）同一个数、同一个式子，不等式的方向不变；（2）等式两边同乘（除）一个正数，不等式的方向不变；等式两边同乘（除）一个负数，不等式的方向反转。

2. 不等式的应用：利用不等式的性质，解决幂函数的方程。

3. 例题：求不等式$x^2$+2$\sqrt2x$+1<0 的解。

教学流程：1. 教师介绍幂函数的定义和性质，并简单讲解幂函数的图象。

2. 教师出示幂函数$f(x)=2^x$ 的图象，并让同学对幂函数的图象做出讨论，了解幂函数图象的特点，为下面的探究提供基础。

幂函数一．教学目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方（4）求算术平方根 （5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.2y x =3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。

教学目标：了解幂函数的概念
教学重点：了解幂函数的概念
教学过程：
1、 概念：形如α
x y =（R ∈α），的函数叫做幂函数
2、 本节课只研究α为有理数的情形
图1 令n m =α，其中Z n m ∈,且1),(=n m ，就1>α，10<<α，0<α时 n m ,分别取奇数、偶数，偶数、奇数，奇数、奇数共九种情形进行分类。

选取以上的图形作为各类的代表
3．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（－1，1），（－1，－1），第四象限无图象。

（2）在第一象限，直线
把第一象限分割成四片区域。

两块正方形（或开放正方形）区域（图
二），两块矩形区域（图三）。

当n＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当n＜O时、图象在两片矩形区域内通过。

（3）图象形状：当n＞0（n≠1）时，图象为抛物线型，n＜O时图象为双曲线型，当n＝0或1时，图象为直线型。

（4）n由小往大的变化规律如图四，从－∞O1（左拐90°）＋∞。

4、提问思考。

根据以上规律、如何迅速画出幂函数的图象草图呢？应先画函数图象在第一象限内的部分。

要先从右端入手，根据n的值，确定“入场”区域（分三区：n＜0，0＜n＜1，n＞1＝对号入场，注意纽交点两侧情况。

再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。

课堂练习：
小结：了解幂函数的概念
课后作业：略。

《幂函数》
一、
学习目标
1． 知识和技能：
理解幂函数的概念，会画幂函数x y =，2x y =，3x y =，1
-=x y ，2
1
x y =的图象。

2． 过程和方法：
（1） 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

（2） 使学生进一步体会数形结合的思想。

3． 情感态度和价值观：
（1） 通过指数式的变化进行设想，并通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实
际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

（2） 利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作
用，从而激发学生的学习欲望。

二、
学习的重点和难点
1． 重点：幂函数的概念、图象和性质。

2． 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。

三、
学习过程
四、
学习评价表。

2.3.1 幂函数的概念一、学习目标1.了解幂函数的概念2.了解幂函数的分类二、重、难点分析1.幂函数的概念2.幂函数的分类三、学习过程(一)自主预习幂函数的概念一般地，我们把y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(二)合作探究1.幂函数的特征(1)以幂的底数为自变量，指数为常数.(2)xα前的系数为1，且只有一项，如：y=5x，y=x2+2均不是幂函数.只有满足这两个特征，才是幂函数.2.幂函数的分类按α的不同分为正整数次的幂函数、分数次的幂函数、负整数次的幂函数.其中正整数次的幂函数和负整数次的幂函数统称为整数次的幂函数.3.幂函数的表达式有以下四个特征：(1)表达式是幂的形式，只有一项；(2)系数为1；(3)底数为自变量；(4)指数为常数.四、同步练习1.幂函数y=f(x)的图象经过点(2，4)，则f(x)的解析式为( )A.f(x)=2xB.f(x)=x2C.f(x)=2xD.f(x)=log2x+3解析：设幂函数为f(x)=x a，且y=f(x)的图象经过点(2，4)，可得4=2a，解得a=2，∴幂函数的解析式为f(x)=x2.答案：B.2.幂函数y=f(x)的图象过点(2，2)，则f(4)=( )A.-2B.-1 2C.1 2D.2解析：设幂函数y=f(x)=xα，函数图象过点(2)，∴2α=-12，∴f(x)=12x-，∴f(4)=124-=12.答案：C五、自我测评1.已知幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点(12)，则k+α=( )A.1 2B.1C.3 2D.2解析：∵幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点(12)，∴k=1，(12)α，∴α=-12，∴k+α=1-12=12.答案：A.2.若直线kx-y-2k+4=0恒过定点P，幂函数y=f(x)也过点P，则f(x)的解析式为( )A.y=x2B.y=x3C.y=x-1解析：直线kx-y-2k+4=0可化为k(x-2)-y+4=0，令2040xy-=⎧⎨-+=⎩，，解得24xy=⎧⎨=⎩，，即该直线恒过定点P(2，4)；又幂函数y=f(x)=x a也过点P，即2a=4，解得a=2；所以f(x)=x2. 答案：A六、小结1.幂函数的概念2.幂函数的分类。

幂函数学案一. 【课标要求】①了解幂函数的概念．②结合函数 y=x,y=x2 ,y=x3,y=1/x,y=x1/2的图象，了解它们的变化情况．二．【学法指导】1.考察以下函数y=x,y=x2 ,y=x3,y=1/x,y=x1/2这些函数的表达式有什么共同特征？这类函数表达式的一般形式应如何表示？请在同一个坐标系下作出这五个函数的图像。

2．对于幂函数函数的探究，采用“数形结合”的方式通过对具体图象研究，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出幂函数的性质.3．.幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．4.思考：1．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？2.幂函数，x[0,+), >1与0<<1的图象有何不同？3幂函数中，如果是正偶数，这一类函数具有哪些性质？如果是正奇数呢？三．【预习检测】1．一般的，形如_______________，的函数称为幂函数，其中α为常数。

2.（1）所有的幂函数在_________都有定义，并且图象都过点________；（2）α>0时，幂函数的图象通过___________，并且在区间上是_________．特别地，当α>1时，幂函数的图象________；当0<α<1时，幂函数的图象_____________；（3）当α<0时，幂函数的图象在区间上是____________．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近______________，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近_________________．四．【重点难点突破】问题一：如何区别幂函数，指数函数，对数函数？x 中，幂函数1．在函数，y=2x ,y=1/x2，y=2x2,y=x2+x,y=1,y=log2的个数为───────问题二：类比前面讨论的指数函数，对数函数性质的思路，你能找出研究幂函数性质的方法和内容吗？1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．问题三：如何研究具体函数的性质1．作出函数y=x3/2的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明。

幂函数学案学习目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

学习重难点：重点 从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 学习过程与操作设计： 【探究活动】 1．探究活动一：分别作出下列函数012132,,,,,x y x y x y x y x y x y ======-的图象．2． 探究活动二：观察函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，将你发现的结论写在下表内．性质归纳：3． 探究活动三：作出函数32x y =的大致图象，并根据图象说明函数的单调性．21214.1________3.1)1(【知识应用】例1． 已知幂函数y = f (x )的图象经过点（3，27），求这个函数的解析式．例2．比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）【课堂小结】：（1）幂函数的性质 （2）常见幂函数的图象【课后作业】： 1．用不等号填空：（1）433.2__________434.2； （2）23)2(-_______23)3(-（3）1.30. 5__________1.5 0.3； （4）5.1-2__________5.09-2； （5）－4179.1__________－4181.1； （6）5.1)1(+a __________5.1a；1127.0________26.0)2(--22)3.5________()2.5)(3(--221)7.0________()7.0)(4(（7）322)2(-+a __________322-； （8）若3a ＞2a，则a __________0．2．若幂函数1)(-=m x x f 在(0,)+∞上是减函数，则m 的范围是_______．3．如图所示，曲线是幂函数αx y = 在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为：．4．如果函数f (x ) = 3222)1(----m mx m m 是幂函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，求满足条件的实数m 的集合．5．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？ （1）3-=xy 和31-=xy ；（2）45x y =和54x y =。

自学目标：知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观 ：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．学习重点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．创设情境：阅读教材思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？组织探究：材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如 αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =． [解] ○1 列表 (略) ○2 图象材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸； （3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴 材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表：x y = 2x y = 3x y = 21x y = 1-=x y 定义域值域[奇偶性单调性定点y=x 2 y=xy=x 3 x y o x y o xyo 12y x =y=x -1x yox y o材料四：例题（1）5.1)1(+a ，5.1a （2）322)2(-+a ，322-[例3] 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．尝试练习：1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2； （2）5631.0，5635.0；（3）23)2(-，23)3(-； （4）211.1-，219.0-． ．2．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间3．用图象法解方程： 1-=x x ；探究与发现如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为： ．作业与回馈：1．在函数1,,2,1222=+===y x x y x y x y 中，幂函数的个数为：A ．0B ．1C ．2D ．32．已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．收获与体会：1．谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2．幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？。

高一年级 数学导学案使用日期：学习目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 导学：问题1:函数y ＝2x y ＝x 3是指数函数吗问题2:函数y ＝x 3中自变量有什么特点? 问题3:再举出几个这样的函数.自学： 幂函数的概念一般地，函数------叫做幂函数，其中--是自变量，----是常数． 思考：幂函数与指数函数的自变量有何区别？ 互学：幂函数的图象 同一平面直角坐标系中画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图思考：幂函数图象不可能出现在第几象限？幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12 y ＝x －1 定义域 值域奇偶性奇偶单调性 函数x ∈[0，＋∞)时函数 x ∈(－∞，0]时，函数函数 函数x ∈(0，＋∞)时，函数x ∈(－∞，0)时， 函数展学： 幂函数的性质 教学：例一 幂函数的概念 1．思考辨析(1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) 2．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝3xD ．y ＝x －1 3．已知f (x )＝(m ＋1)x m 2＋2是幂函数，则m ＝( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．04.已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________变式：已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值主备人 审核人课题：幂函数例二幂函数的图象及应用点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1) f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )例三幂函数性质的综合应用(1)比较下列各组中幂值的大小．①30.8,30.7；②0.213,0.233；③212，1.813；④1.212，0.9－12， 1.1.(2) 探讨函数f (x )＝x －12的单调性本例(2)若增加条件“(a ＋1)－12<(3－2a ) －12”则实数a 的取值范围检学：1．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32.若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________3．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )A B C D4.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图2-3-2，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )图2-3-2A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c课堂小结1幂函数的概念，幂函数的解析式．2幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的性质． 3能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小作业 练案24。

高一数学必修1 幂函数学案（一）
【学习目标】
【知识与技能】
1.理解幂函数的概念.
2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.
【过程与方法】
通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.
【情感、态度价值观】
1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.
2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.
3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数
变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.
【重点难点】
重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.
【突破方式】
学生动手作图、再通过学生交流对比（或多媒体演示）多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆. 【学习过程】
幂函数的定义
通过观察图像，填下列的表格
.。