2013-2014朝阳高三期末试题及答案理科

1 北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理工类） 2014.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．函数1()1fxxx的定义域为

A．[0,) B．(1,) C．[0,1)(1,) D．[0,1)

2．如果点02,Py在以点F为焦点的抛物线24yx上，则PF

A．1 B．2 C．3 D．4

3．命题p：22,0xxaxaR；命题q：xR，sincos2xx，则下列命题中为真命题的是

A．pq B．pq

C．()pq D．()()pq

4．在△ABC中，30A，3AB，1BC，

则△ABC的面积等于

A．23 B．43

C．23或3 D．23或43

5．执行如图所示的程序框图，输出结果是4．

若01,2,3a，则0a所有可能的取值为

A．1,2,3 B．1

C．2 D．1,2 0i

1ii

21aa

结束 是 0aa

否 a<2013?

输出i 开始 2 6．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O，(1,0)A，(1,1)B，(0,1)C，点,DE分别在线段,OCAB上运动，且ODBE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是

A．(1)(01)yxxx B．(1)(01)xyyy

C．2(01)yxx D．21(01)yxx

7．已知平面向量a，b的夹角为120，且1ab，则||ab的最小值为

A． 6 B．3 C．2 D． 1

8．已知数列na满足(,01)nnanknkN下面说法正确的是

①当12k时，数列na为递减数列；

②当112k时，数列na不一定有最大项；

③当102k时，数列na为递减数列；

④当1kk为正整数时，数列na必有两项相等的最大项.

A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．

9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．

10．在各项均为正数的等比数列na中，若2228loglog1aa，则37aa ．

11．直线ykx与圆22(2)4xy相交于O,A两点，若=23OA，则实数k的值 频率/组距

0.04 0.05 0.12

小时 8 4 2 6 10 12 0.15 0.14 3 是_____．

12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．

13．实数,xy满足3,20,xyxy若(2)ykx恒成立，则实数k的最大值是 ．

14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．

如：6=123；

28=124714；

496=1248163162124248．

已经证明：若21n是质数，则12(21)nn是完全数，nN.请写出一个四位完全数 ；又623，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)；

22827，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)；

按此规律，496的所有正约数之和可表示为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15．（本题满分13分）

已知函数2()cossin1fxxx．

（Ⅰ）求函数)(xf的最小值；

（Ⅱ）若5()16f，求cos2的值． 俯视图 侧视图 正视图3233326 4

16．（本题满分13分）

甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：

第1次 第2次 第3次 第4次 第5次

甲 58 55 76 92

88

乙 65 82 87 85 95

（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X，求随机变量X的分布列和期望EX．

17．（本题满分14分）

如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABAC.

（Ⅰ）求证：ACPB；

（Ⅱ）设,OD分别为,ACAP的中点，点G为△OAB内一点，且满足13OGOAOB（），

求证：DG∥面PBC；

（Ⅲ）若==2ABAC，=4PA，

求二面角APBC的余弦值．

18．（本题满分13分）

已知函数()()lnfxxax，aR．

（Ⅰ）当0a时，求函数()fx的极小值；

（Ⅱ）若函数()fx在(0,)上为增函数，求a的取值范围．

B P

D

O A C

G 5 19.已知椭圆C两焦点坐标分别为1(3,0)F,2(3,0)F，且经过点1(3,)2P．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知点(0,1)A，直线l与椭圆C交于两点,MN．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．

20．（本题满分13分）

已知,,abc是正数， 1lgaa，2lgab，3lgac．

（Ⅰ）若,,abc成等差数列，比较12aa与23aa的大小；

（Ⅱ）若122331aaaaaa，则,,abc三个数中，哪个数最大，请说明理由；

（Ⅲ）若at，2bt，3ct（tN），且1a，2a，3a的整数部分分别是,m21,m221,m求所有t的值．

6

北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学答案（理工类） 2014.1

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 C C B D B A A C

二、填空题

题号 9 10 11 12 13 14

答案 54 2 33 182 363 23 8128 234(12222)(131)

三、解答题

15．解：（Ⅰ）因为2()cossin1fxxx

2sinsinxx

211(sin)24x，

又sin1,1x，所以当1sin2x时，函数)(xf的最小值为14.„„ 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin)2416，

所以219(sin)216．

于是5sin4（舍）或1sin4．

又2217cos212sin12()48． „„„„„„ 13分

16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． „„„„„„ 6分

（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0,1,2．

1144115516(0)25CCPXCC，

8 7 5

6

9 8

2 6 甲 乙

5 5

7 2 5 8 5 7 14115528(1)25CPXCC，

115511(2)25PXCC，

随机变量X的分布列是：

X

0 1 2

P 1625 825 125

168120122525255EX． „„„„„„ 13分

17．证明：（Ⅰ）因为PA平面ABC，AC平面ABC，

所以PAAC．

又因为ABAC，且PAAB=A，

所以AC平面PAB．

又因为PB平面PAB，

所以ACPB． „„„„„„ 4分

（Ⅱ）

解法1:因为PA平面ABC，所以PAAB，PAAC．又因为ABAC，

所以建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．

设=2ACa，=ABb，=2PAc，

则(0,0,0)A，(0,,0)Bb，(2,0,0)Ca，

(0,0,2),(0,0,)PcDc，(,0,0)Oa．

又因为13OGOAOB（），

所以(,,0)33abG．

于是(,,)33abDGc，

(2,,0)BCab，(0,,2)PBbc．

设平面PBC的一个法向量

000(,,)xyzn，则有0,0BCPBnn．

即000020,20.axbybycz

不妨设01z，则有002,ccyxba，所以2(,,1)ccabn． D

O

B A P

C

G x

y z