高三期末联考数学试题(理科)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4，则f'(1)的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 52. 下列命题中正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则ac > bcC. 若a > b，则loga > logbD. 若a > b，则1/a < 1/b3. 函数y = (x-1)^2 + 1的图像是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 有极小值点D. 有极大值点4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 35，S10 = 105，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 16. 已知双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1，则该双曲线的离心率为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. -a + biD. a + bi8. 下列函数中，在定义域内连续的函数是（）A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2C. f(x) = 1/xD. f(x) = x/(x^2 - 1)9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an > 0，若Sn = n^2 + 1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 等差数列与等比数列的混合D. 递增数列10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 0，f(1) = 0，则f(x)的图像与x轴的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

高三数学期末考试试题（理科)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求。

）1、设集合 ( ）A、 B、 C、 D、2、已知是数列的前项和，，则是（ )A、等差数列B、等比数列C、既是等差数列又是等比数列D、既不是等差数列又不是等比数列3、若函数的值域是，则函数的值域是（ )A、 B、 C、 D、4、函数的单调递增区间是( ）A、 B、 C、 D、5、是成立的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分非必要条件6、若点的坐标为,为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，为使得取得最小值，则点的坐标( )A、 B、 C、 D、7、已知椭圆，过椭圆的右焦点作轴垂线交椭圆于两点，若以为直径的圆过坐标原点，则椭圆的离心率为（ )A、 B、 C、 D、8、在中，，则一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形9、已知向量，若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（）A、相切B、相交C、相离D、随的值而定10、已知向量,曲线上一点到的距离为6，为中点，为坐标原点，则（）A、1B、2C、5D、1或511、若方程的两根分别为椭圆和双曲线的离心率，则的范围是（）A、 B、 C、 D、12、已知曲线点及点从点观察点要使视线不被曲线挡住，则实数的范围( ）A、 B、 C、 D、二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知为偶函数，且，则__________.14、各项不为零的等差数列中，有,数列是等比数列，且,则 __________.15、已知函数的定义域为R，且，，则__________.16、设函数，有下列结论：①点是函数图象的一个对称中心；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数的最小正周期是;④将函数的图象向右平移个单位后，对应的函数是偶函数.其中所有正确结论的序号是。

三、解答题：(解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、（本小题满分12分）已知函数，其中，，其中，若相邻两对称轴间的距离等于。

全省联考卷理科数学（一）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，满分第I 卷（选择题，共50 分）个是符合题目要求的。

1. A {x N/2 x 4},B {x Z/x 2 2x 3 0}则 A B （）A . {x/2 x 3}B . {x/2 x 3}C . {2}D . {2,3}2. 已知2 3i z 2 3i （i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ）7.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ）（A ） 36 种（B ） 30（C ）24 种 （D ） 6 种150分，考试时间120分钟。

、选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限—*k=L,s=OA.若n,n // m,贝U mB. 若n ,n m,则 m//C.若 nm, m// ，则nD.若,m，则m 〃4. ax y 3 0与曲线y ln x . 在x x1处的切线平行，则 a 的值为（）Aa=1 B . a=-1 C.a=2D.a=1A. 2014 B . 2013 C . 1008 D . 1007 6.函数yxln x的图象可能是（< k<2014k=k+l3.设n, m 是不同的直线, 是不同的平面，下列命题正确的是 （5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果 S 为（ ） ）A. B2 28.设FiF 是双曲线C :笃 爲 1（a0,b 0）的两个焦点，P 是C 上一点，若a b10.已知抛物线y 2 4x,代B 是抛物线上的两点（分别在 x 轴的两侧），AB 6,过A,B 分别作抛物线的切线 I 1,l 2,h 与〔2交于点Q ,求三角形ABQ 面积的最大值（ )A27 2B 8 C12.3D 18第H 卷（非选择题， 共100分）、填空题：本大题共 5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

安平中学2021-2021学年下学期期末考试高三数学试题〔理〕本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分。

考试时间是是120分钟第一卷〔选择题〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是 A. (1,)2π B. (1,)2π-C. (1,0)D. (1，π)【答案】B 【解析】【详解】由题圆2sin ρθ=-，那么可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y ++=，圆心坐标为〔0，-1〕，那么极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，应选B.考点：直角坐标与极坐标的互化. 【此处有视频，请去附件查看】2.假设一直线的参数方程为0012x x t y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，那么此直线的倾斜角为〔〕A. 60︒B. 120︒C. 30D. 150︒【答案】B 【解析】 【分析】消去参数t 转为普通方程，求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】消去参数t 00y y ++，故斜率为120，应选B. 【点睛】本小题主要考察直线的参数方程转化为普通方程，考察直线的斜率和倾斜角，属于根底题.3.函数|1||2|y x x =++-的最小值及获得最小值时x 的值分别是〔〕 A. 1，[1,2]x ∈-B. 3，0C. 3，[1,2]x ∈-D. 2，[]1,2x ∈【答案】C 【解析】【分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应x 的值.【详解】依题意12123y x x x x =++-≥++-=，当且仅当()()120x x +-≥，即12x -≤≤时等号成立，应选C.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于根底题.4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位，直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，那么直线l 被圆C 截得的弦长为〔 〕B.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的间隔 d=直线l 被圆C 截得的弦长为=【点睛】(1)此题主要考察参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式||AB =.5.假设不等式24ax +<的解集为()1,3-，那么实数a 等于〔〕 A. 8 B. 2C. -4D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法化简24ax +<，结合其解集的情况求得a 的值.【详解】由24ax +<得424,62ax ax -<+<-<<.当0a >时6123aa ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，无解.当0a <时，2163aa⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a =-，应选D.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察分类讨论的数学思想方法，属于根底题.1cos {2sin x y θθ=-+=+，〔θ为参数〕的对称中心〔 〕A. 在直线2y x =上B. 在直线2y x =-上C. 在直线1y x =-上D. 在直线1y x =+上【答案】B 【解析】试题分析：参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，应选B.考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题. 【此处有视频，请去附件查看】7.“2a =〞是“关于x 的不等式1+2x x a ++<的解集非空〞的〔 〕 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：解：因为()1+2121x x x x ++≥+-+=， 所以由不等式1+2x x a ++<的解集非空得：1a >所以，“2a =〞是“关于x 的不等式1+2x x a ++<的解集非空〞的充分不必要条件， 应选C.考点：1、绝对值不等式的性质；2、充要条件.8.过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩〔θ为参数〕的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，那么11m n +的值是〔〕 A. 23B. 43C. 83D. 不能确定 【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩〔α为参数〕，代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++〔12,t t 异号〕.故11m n m n mn ++=1212t t t t -===⋅43.应选B. 【点睛】本小题主要考察椭圆的参数方程化为普通方程，考察直线和椭圆的位置关系，考察利用直线参数的几何意义解题，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9.假设2a >，那么关于x 的不等式12x a -+>的解集为〔〕 A. {}3|x x a >- B. {}1|x x a >-C. ΦD. R【答案】D 【解析】 【分析】根据2a >求得2a -的取值范围，由此求得不等式的解集.【详解】原不等式可化为12x a ->-，由于2a >，故20a -<，根据绝对值的定义可知12x a ->-恒成立，故原不等式的解集为R .应选D.【点睛】本小题主要考察绝对值不等式的解法，考察不等式的运算，属于根底题.10.a ，b ，0c >，且1ab c ++=A. 3B.C. 18D. 9【答案】B【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c=⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c===时，等号成立，应选B.【点睛】本小题主要考察利用柯西不等式求最大值，属于根底题.11.点〔x,y〕满足曲线方程4{6xyθθ==〔θ为参数〕，那么yx的最小值是〔〕B.32D. 1【答案】D【解析】消去参数可得曲线的方程为：()()22462x y-+-=，其轨迹为圆，目的函数y yx x-=-表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，如下图，数形结合可得：yx的最小值是1.此题选择D选项.点睛：(1)此题是线性规划的综合应用，考察的是非线性目的函数的最值的求法． (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目的函数赋于一定的几何意义．12.x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，那么m 的取值范围是〔 〕 A. 1m B. m 1≥C. 2m >D. 2m ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出|x ﹣5|+|x ﹣3|的最小值，只需m 大于最小值即可满足题意．【详解】53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，53x x m -+-<有解． 应选：C ．【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，考察计算才能，是根底题．第二卷〔非选择题〕二、填空题〔一共4题每一小题5分满分是20分〕 13.|a ＋b|＜－c(a ，b ，c∈R )，给出以下不等式：①a＜－b －c ；②a＞－b ＋c ；③a＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据绝对值不等式的性质可得到c ＜a+b ＜﹣c ，进而可得到﹣b+c ＜a ＜﹣b ﹣c ，即可验证①②成立，③不成立，再结合|a+b|＜﹣c ，与|a+b|≥|a|﹣|b|，可得到|a|﹣|b|＜﹣c 即|a|＜|b|﹣c 成立，进而可验证④成立，⑤不成立，从而可确定答案． 【详解】∵|a＋b|＜－c ，∴c＜a ＋b ＜－c. ∴a＜－b －c ，a ＞－b ＋c ，①②成立且③不成立． ∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c ， ∴|a|＜|b|－c ，④成立且⑤不成立．【点睛】此题主要考察不等式的根本性质．考察根底知识的综合运用．14.在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=与sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线1C 和2C 交点的直角坐标为________． 【答案】()1,1 【解析】 【分析】联立两条曲线的极坐标方程，求得交点的极坐标，然后转化为直角坐标.【详解】由2sin cos sin 1ρθθρθ⎧=⎨=⎩，解得π4ρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故ππcos 1,sin 144x y ρρ====，故交点的直角坐标为()1,1. 故答案为()1,1【点睛】本小题主要考察极坐标下两条曲线的交点坐标的求法，考察极坐标和直角坐标互化，属于根底题.15.不等式32x x +>-的解集是_____. 【答案】1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】利用两边平方的方法，求出不等式的解集.【详解】由32x x +>-两边平方并化简得105x >-，解得12x >-，故原不等式的解集为1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.故答案为1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭【点睛】本小题主要考察含有绝对值的不等式的解法，属于根底题.16.238x y z ++=，那么222x y z ++获得最小值时，x ，y ，z 形成的点(,,)x y z =________.【答案】8124,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】利用柯西不等式求得222x y z ++的最小值，并求得此时,,x y z 的值.【详解】由于()()()22222222312364x y z x y z ++++≥++=，故222x y z ++6432147≥=.当且仅当8124,,777x y z ===时等号成立，故(,,)x y z =8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为8124,,777⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考察利用柯西不等式求最值，并求等号成立的条件，属于根底题.三.解答题：〔解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每一小题12分〕17.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕．〔1〕以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； 〔2〕()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM 面积的最大值．【答案】〔1〕26cos 8sin 210ρρθρθ-++=〔2〕9+【解析】 【分析】〔1〕消去参数α，将圆C 的参数方程，转化为普通方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==求得圆C 的极坐标方程.〔2〕利用圆的参数方程以及点到直线的间隔 公式，求得M 到直线AB 的间隔 ，由此求得三角形ABM 的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】解：〔1〕圆C 的参数方程为32cos 42sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕，所以其普通方程为()()22344x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=. 〔2〕点(),M x y 到直线AB ：20x y -+=的间隔d =故ABM 的面积1|||2cos 2sin 9|924S AB d πααα⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM 面积的最大值为9+【点睛】本小题主要考察参数方程转化为普通方程，考察直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考察利用参数的方法求三角形面积的最值，考察点到直线间隔 公式，属于中档题.18.设函数()31f x x x =+--.〔1〕解不等式()0f x ≥； 〔2〕假设()21f x x m +-≥对任意的实数x 均成立，求m 的取值范围.【答案】〔1〕{|1}x x ≥-〔2〕4m ≤【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法去绝对值，分类讨论求得不等式()0f x ≥的解集.或者者用两边平方的方法求得不等式的解集.〔2〕利用绝对值不等，求得()21f x x +-的最小值，由此求得m 的取值范围.【详解】〔1〕解：()0f x ≥等价于31x x +≥-，当1x >时，31x x +≥-等价于31x x +≥-，即31≥-，不等式恒成立，故1x >； 当31x -≤≤时，31x x +≥-等价于31x x +≥-，解得1x ≥-，故11x -≤≤； 当3x <-时，31x x +≥-等价于31x x --≥-，即31-≥，无解.综上，原不等式的解集为{|1}x x ≥-.又解：()0f x ≥等价于31x x +≥-，即()()2231x x +≥-，化简得88x ≥-，解得1x ≥-，即原不等式的解集为{|1}x x ≥-.〔2〕()()21312131314f x x x x x x x x x +-=+--+-=++-≥+--=， 当且仅当()()310x x +-≤等号成立要使()21f x x m +-≥对任意的实数x 均成立，那么()min |21|f x x m ⎡⎤⎣⎦+-≥，所以4m ≤.【点睛】本小题主要考察分类讨论法解绝对值不等式，考察含有绝对值函数的最值的求法，考察恒成立问题的求解策略，属于中档题.19.在极坐标系中，曲线1C ：2cos ρθ=和曲线2C ：cos 3ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.〔1〕求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； 〔2〕假设点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.【答案】(1)1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，2C 的直角坐标方程为3x =.(2)【解析】【分析】〔1〕极坐标方程化为直角坐标方程可得1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，2C 的直角坐标方程为3x =.〔2〕由几何关系可得直线PQ 的参数方程为2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，据此可得2AP cos θ=，1AQ cos θ=，结合均值不等式的结论可得当且仅当12cos cos θθ=时，线段PQ 长度获得最小值为【详解】〔1〕1C 的极坐标方程即22cos ρρθ=，那么其直角坐标方程为222x y x +=， 整理可得直角坐标方程为()2211x y -+=， 2C 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为3x =.〔2〕设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A ，∵PQ OP ⊥，∴PQ 过点()2,0A ，设直线PQ 的参数方程为2x tcos y tsin θθ=+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕， 代入1C 可得220t tcos θ+=，解得10t =或者22t cos θ=-， 可知22AP t cos θ==，代入2C 可得23tcos θ+=，解得1't cos θ=，可知1'AQ t cos θ==， 所以1222PQ AP AQ cos cos θθ=+=+≥， 当且仅当12cos cos θθ=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为22.【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生2ρ，cos ρθ,sin ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.20.函数()1f x x x =+-.(1)假设()1f x m ≥-恒成立，务实数m 的最大值；(2)记(1)中的m 最大值为M ，正实数a ，满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥.【答案】(1)2；(2)详见解析.【解析】【分析】〔1〕根据绝对值三解不等式求出f 〔x 〕的最小值为1，从而得出|m ﹣1|≤1，得出m 的范围； 〔2〕两边平方，使用作差法证明．【详解】(1)由()210101211x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩ 得()1min f x =，要使()1f x m ≥-恒成立，只要11m ≥-，即02x ≤≤，实数m 的最大值为2；(2)由(1)知222a b +=，又222a b ab +≥故1ab ≤， ()2222222424a b a b a b ab a b +-=++-()()222242121ab a b ab ab =+-=--+，01ab <≤，()()()222421210a b a b ab ab ∴+-=--+≥2a b ab ∴+≥.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．21.曲线C ：2cos ρθ=，直线l ：23324x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩〔t 是参数〕． 〔1〕写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；〔2〕过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．【答案】〔1〕1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数);34120x y +-=〔2〕最大值为5，最小值为5【解析】【分析】〔1〕将2cos ρθ=两边乘以ρ，转化为直角坐标方程，配成圆的HY 方程后写出圆C 的参数方程.消去直线参数方程的参数t ，求得直线l 的普通方程.〔2〕利用圆的参数方程，设出曲线上任意一点P 的坐标，并求得P 到直线l 的间隔 d .将PA 转为sin 45d PA ==︒，根据三角函数最值的求法，求得PA 的最大值与最小值. 【详解】解：曲线C ：2cos ρθ=，可得22cos ρρθ=，所以222x y x +=，即：22(1)1x y -+=，曲线C 的参数方程，1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，θ为参数． 直线l ：23324x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩〔t 是参数〕． 消去参数t ，可得：34120x y +-=．〔2〕曲线C 上任意一点1co ()s ,sin P θθ+到l 的间隔 为1|3cos 4sin 9|5d θθ=+-．那么()9sin 45d PA θϕ===+-︒，其中ϕ为锐角，且3tan 4ϕ=． 当sin()1θφ+=-时，PA． 当sin()1θφ+=时，PA获得最小值，最小值为5． 【点睛】本小题主要考察极坐标方程转为直角坐标方程，考察参数方程和普通方程互化，考察点到直线的间隔 公式，考察三角函数最值的求法，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.函数()1||2f x x x a -=-+，0a >〔1〕假设1a =时，求不等式()1f x >的解集；〔2〕假设()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积小于6，求a 的取值范围．【答案】〔1〕2|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭〔2〕()0,2【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法分类讨论的数学思想，求得不等式()1f x >的解集.〔2〕先用零点分段法去绝对值，将()f x 转化为分段函数的形式，求得()f x 的图象与x 轴三个交点的坐标，由此求得所围成三角形面积的表达式，根据面积小于6列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】解：〔1〕当1a =时，()1f x >，化为：|1|2|1|10x x --+->，①， 当1x ≤-时，①式化为：20x +>，解得：21x -≤＜-，当11x -<<时，①式化为：320x -->，解得213x -<<-， 当1x ≥时，①式化为：40x -->，无解，∴()1f x >的解集是2|23x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭； 〔2〕由题设可得：21,()312,112,1x a x a f x x a a x x a x ++<-⎧⎪=-+--≤≤⎨⎪--->⎩∴函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为：,(20)1A a --，,()1B a a +-，12,03a C -⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴21442(1)(1)233ABC a S a a +=⨯⨯+=+△， 由题设可得：22(1)63a +<，解得：02a <<， 故a 的范围是()0,2．【点睛】本小题主要考察零点分段法解绝对值不等式，考察三角形的面积公式和一元二次不等式的的解法，属于中档题.。

野寨中学 太湖中学高三数学理科期末大联考试卷〔试卷总分150分 考试时间是是150分钟〕第一卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：〔一共12小题，每一小题5分〕1、2)31(3i i ++等于〔 〕A 、i 21 B 、i 21- C 、i 4143+ D 、i 2321+ 2、不等式034)2(2≥+--x x x 的解集是〔 〕A 、[)+∞,3B 、[){}2,3⋃+∞C 、[){}1,3⋃+∞ D 、[){}2,1,3⋃+∞ 3、设函数)(x f 在1=x 处连续，且21)(lim1=-→x x f x ，那么)1(f 等于〔 〕 A 、1- B 、0 C 、1 D 、24、过∆ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，假设AB x AD =，AC y AE =，且0≠xy ，那么yx 11+等于〔 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，假如B ＝{}2,1，那么A ⋂B 等于〔 〕 A 、φ B 、{}1 C 、φ或者{}1 D 、φ或者{}2,1 6、如图，定圆圆心为P 〔a ，b 〕半径为c 0的交点在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限 oC 、第三象限D 、第四象限7、22)(x x f -=，假设b a <<0，且)()(b f a f =，那么ab 的取值范围是〔 〕 A 、(]2,0 B 、(]4,0 C 、)2,0( D 、()2,08、在等差函数{}n a 中，098>a a 成立的一个充分不必要条件是〔 〕 A 、087>a a B 、0109>a a C 、0109<a a D 、0108<a a 9、∆ABC 中，假设1=a ，A ＝60°，那么c b +的最大值为〔 〕 A 、2 B 、3 C 、23D 、不存在 10、函数1)(2+=x x f 〔[]1,0∈x 〕的反函数为)(1x f -，那么函数[])2()(121x f x f y --+=的值域是〔 〕 A 、[]1,0 B 、［131,+］ C 、[]2,1 D 、{}111、等比数列{}n a 满足354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，那么54321a a a a a +-+-的值是〔 〕A 、4B 、41C 、2D 、9 12、 函数)(x f y =图像如图甲,那么x x f y sin )(-=π在区间[]π,0上大致图像是( )甲 A B C D第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题：13、一扇形的周长为)0(>c c ，使其面积最大时圆心角为_____________。

浙江省温州市十校联合体-第一学期高三期末联考 数学试卷（理科）第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设A 、B 为两个非空子集，定义：},{B b A a b a B A ∈∈+=+,若A={0，2，5}, B={1，2，6}，则A+B 子集的个数是 （ ） A 、29 B 、28 C 、27 D 、262、i 是虚数单位，复数321i Z i =+等于（ ）A 、1i --B 、1i -+C 、1i -D 、1i +3、将2sin()36x y π=+的图象按向量(4a π=-，4）平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）。

A 、2sin()434x y π=++ B 、2sin()434x y π=--C 、2sin()4312x y π=-+D 、2sin()4312x y π=+-4、已知直线m 、n 及平面α，下列命题中的真命题是（ ） A 、若m n ⊥，m α⊥，则n ∥αB 、若m ∥n ，m α⊥，则n ∥αC 、若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD 、若m α⊥，n α⊥，则m ∥n5、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率是（ ）A 、13B 、14C 、16 D 、1126、2002年8月在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，θ-θ22cos sin 则的值等于（ ） A 、1B 、2524-C 、257D 、－2577、函数|ln ||1|x y e x =--的图象大致是（ ）8、在231(3)2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ）A 、4B 、5C 、6D 、79、椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12e =，右焦点为F （c ，0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x ，2x ，则点12(,)P x x （ ）A 、必在圆222x y +=内 B 、必在圆222x y +=上C 、必在圆222x y +=外 D 、以上三种情形都有可能10、定义运算：⎩⎨⎧>≤=*b a b b a a b a ,,,如121=*，则函数xx x f -*=22)(的值域为（ ）A 、RB 、()+∞,0C 、(]1,0D 、[)+∞,1第II 卷（非选择题100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

安徽省江南十校届高三上学期期末大联考数学（理）试题第I 卷（选择题；共50分）一、选择题1．设复数z 满足1)2(i z i i =-（＋为虚数单位；z 表示复数z 的共轭复数）；则在复平面上复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．将甲、乙两名篮球运动员在5场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示；若x x 甲乙，分别表示甲、乙两名运动员5场比赛的平均得分；则下列结论正确的是A ．x x >甲乙；且甲队员比乙队员成绩稳定B ．x x >甲乙；且乙队员比甲队员成绩稳定C ．x x <甲乙；且甲队员比乙队员成绩稳定D ．x x <甲乙且乙队员比甲队员成绩稳定3．如图；若输入n 的值为4；则输出A 的值为A 、3B 、－2C 、－13 D 、12 4．设{n a }是首项为12-；公差为d （d ≠0）的等差数列；Sn 为其前n 项和； 若S 1；S 2；S 4成等比数列；则d= A 、－1 B 、－12 C 、18 D 、12 5．已知0.12,0.1,sin1a b ln c ===；则A 、a ＞b ＞cB 、a ＞c ＞bC 、c ＞a ＞bD 、b ＞a ＞c6．设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ＋2）＝2f （x ）＋x ；且当02x ≤<时；()[],[]f x x x =表示不超过x 的最大整数；则f （5.5）＝7．以平面直角坐标系的原点为极点；x 轴的正半轴为极轴；建立极坐标系；两种坐标系中取相同的长度单位；已知直线l 的参数方程是334x t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）；曲线C 的极坐标方程是2sin 3cos ρθθ=；则直线l 被曲线C 截得的弦长为303A B 、6 C 、12 D 、3 8．设l ；m 是两条不同的直线；,αβ是两个不同的平面；则下列命题正确的是A 、若l ⊥m ；m ＝αβ；则l ⊥α；B 、若l ∥m ；m ＝αβ；则l ∥α；C ｜若α∥β；l 与α所成的角与m 与β所成的角相等；则l ∥m ；D ｜若l ∥m ；α∥β；l ⊥α；则m ⊥β9．一个几何体的三视图如图所示；则该几何体的表面积为A 、44＋πB 、40＋4πC 、44＋4πD 、44＋2π10．已知点A （1；－1）；B （4；0）；C （2；2）平面区域D 是由所有满足(1,1)AP AB AC a b λμλμ=+≤≤≤≤的点P （x ；y ）组成的区域；若区域D 的面积为8； 则4a ＋b 的最小值为A 、5B 、2C 、9D 、5＋2第II 卷二、填空题（25分）11、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 到两焦点的距离之和为6；且椭圆的离心率为13；则椭圆的方程为＿＿＿＿12、已知m ＞0；实数x ；y 满足00x y x y m ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩；若z ＝x ＋2y 的最大值为2；则实数m ＝＿＿＿＿13、设直线（k ＋1）x ＋（k ＋2）y －2＝0与两坐标轴围成的三角形面积为k S ；则1210S S S +++＝＿＿＿14、已知二项展开式5(1)ax +＝2345123451a x a x a x a x a x +++++；集合A ＝{80；40；32；10}；若(1,2,3,4,5)i a A i ∈=；则a ＝＿＿＿＿＿＿15、已知函数f （x ）＝｜sinx ｜＋｜cosx ｜－sin2x －1（x ∈R ）；则下列命题正确的是＿＿＿＿（写出所有正确命题的序号）。

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$，则$f(-1)$的值为：A. 0B. 1C. 2D. -12. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 3$，公差$d = 2$，则$a_{10}$的值为：A. 19B. 21C. 23D. 253. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为：A. 5B. 7C. 9D. 114. 若不等式$|x - 2| < 3$的解集为$A$，则集合$A$的元素个数是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数$y = x^2 - 4x + 4$，则该函数的图像是：A. 双曲线B. 抛物线C. 直线D. 圆6. 在直角坐标系中，点$(2, -3)$关于直线$x + y = 0$的对称点是：A. $(3, -2)$B. $(-3, 2)$C. $(-2, 3)$D. $(2, 3)$7. 若$a > 0$，$b > 0$，且$a + b = 1$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值为：A. 2B. $\frac{4}{3}$C. $\frac{3}{2}$D. 18. 已知等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 1$，公比$q = 2$，则$a_5$的值为：A. 32B. 16C. 8D. 49. 若$sinA + cosA = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$sin2A$的值为：A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{3}{2}$D. 110. 在三角形ABC中，$A = 60^\circ$，$B = 45^\circ$，则$sinC$的值为：A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$B. $\frac{1}{2}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 若复数$z = a + bi$（其中$a$，$b$为实数），则$|z|$的值为__________。

高三联考卷理科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCBBDCBACCD1. 解析：因为()31i 22i z =-=--，所以22i z =-+选A. 2. 解析：因为集合{}0,1A =，{}0,1AB =，则B A ⊆，所以集合B 可能的情况有{}0，{}1，{}0,1，∅，共有4个.选D.3. 解析：记每天走的里程数为{}n a ，易知{}n a 是以12为公比的等比数列，其前6项和6378S =，则166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，所以341192()242a =⨯=.选C.4. 解析：该几何体是由一个底面半径为1，高为3的半圆锥，和一个底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥组成，所以该几何体的体积为：21111=(13(213132322V ππ⨯⋅⋅⨯+⨯⨯⨯⨯=+）），选B ．5. 解析：画出可行域如下，可知当直线经过点()13，或者()0，4时取得最大值4，选B.6. 解析：发言的3人来自3家不同企业的概率为32162436164205C C C P C -===，选D ． 7. 解析：对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++222≥-中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，所以D 错；选C.8. 解析：1i =时，()1021121S =+⨯+-=-；2i =时，()()()()2212212141S =-+⨯+-=-++；3i =时，()()()()()()32141231214161S =-+++⨯+-=-+++-； ……6i =时，()()()()214161121241242S =-+++-+++=+++=，所以输出42，选B.9. 解析：因为12PF PF -=22112224PF PF PF PF m -⋅+=，又因为12PF PF +=221122212PF PF PF PF +⋅+=， 所以221226PF PF m +=+，由12PF PF ⊥得：22128PF PF m +=， 所以826m m =+，所以1m =，选A ．10. 解析：以O 为原点，以OA ，OB 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A （1,0），B （0,3）,由题意可设C ,)m ,由OC xOA yOB =+可得，,)=(1,0)(0,3)m x y +，所以xy=选C . 11. 解析： 设AB 的中点为E ，连结PE ，CE ，易知AB ⊥平面PEC ，所以AB PC ⊥， 又PC BD ⊥，所以PC ⊥平面PAB ，所以PC PA ⊥，PC PB ⊥，所以PA PB ⊥， 因此，以PA ，PB ，PC 为同一顶点出发的正方体的八个顶点在球O 的表面上， 所以2222412R PA PB PC =++=，所以球O 的表面积为12π，选C ．12. 解析：2242312e 2e 2e (2)()()=0x x x x x x x f x a a x x x x x ---'=--=-，因为x ∈（0,2），e =xa x所以函数e =x y x 的图象与函数=y a 图象有两个不同的交点，所以a ∈2e e,2（），选D. 二、填空题13. 解析：(2)1(6)0.22P X P X ≤=-<=．14. 解析：因为(+)()632x x πππ--=，所以cos()cos()sin()3626x x x ππππ-=+-=+， 所以5()sin(+)66f x x π=，所以函数()f x 的最大值为56.15. 解析：因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，从而2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，…，12(1)(2)n n a a n n --=-≥， 累加可得21(1)2[12(1)]22n n na a n n n --=⨯++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以221n a n n =-+， 221211n a n n n n n n -+==+-，因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减，在[5,)+∞递增 当4n =时，338.254n a n ==，当5n =时，418.25n a n ==，所以n a n 的最小值为415.16. 解析：双曲线的两个焦点分别为（4,0-），（4,0），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知，13PM PF ≤+,21PN PF ≥-,所以12316PM PN PF PF -≤+-+=,所以最大值为6.三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）在△ABC 中，由cos A =sin A =由sin B C 得sin()A C C +=，sin cos cos sin A C A C C +=，C C C C C =，tan C . ………6分（2）因为tan C =，所以sin C =，cos C =sin 1B C =，由sin sin b cB C=得sin c b C =，因为△ABC2111sin sin sin 222bc A b b C A b =⋅⋅=26b =，b =. ………12分 18. 解：（1）由频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，即概率为0.6．设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X ，则35~3,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，于是3328(0)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；2233254(2)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；333327(3)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望39()355E X =⨯=．………6分 （2）频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，则样本中优质花苗的株数为60株，列联表如下表所示：可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．………12分119. （1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以BC ∥11B C ，且11BC B C =，又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以BC ∥AD ，且BC AD =，所以AD ∥11C B ，且11AD C B =， 所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以A ，D ，1C ，1B 四点共面； 因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 正方形，连接1AC 交1A C 于E ，所以11A C AC ⊥，在ADC ∆中，2CD AD =，60ADC ∠=，由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以AC ，所以222CD AC AD =+，所以AD AC ⊥，又1AA AD ⊥， 所以AD ⊥平面11A ACC ，所以1AD A C ⊥，又因为!ADAC A =，所以1A C ⊥平面11ADC B ；所以11A C DC ⊥. ………6分（2）解：由（1）知，可如图建立直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()C，()1A ，()1C， ()()111,0,3,DA DC λ∴=-=-，设平面11A C D 的法向量为()1111,,n x y z =，由 111100n DA nDC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111100x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取()13,0,1n λ=设平面1AC D 的法向量为()2222,,n x y z = 由22100n AD nAC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22200x z =⎧+=,取()20,,1n λ=-， 由12212cos ||3n n n n θλ⋅===⋅21λ=，因为0λ>，所以1λ= 此时1AD =，1CC AC ==，所以四边形11A ACC 正方形，因为11A C AC ⊥，1A C AD ⊥，又因为!ADAC A =，所以1A C ⊥平面11ADC B ，所以1CC 与平面11ADC B 所成角为145EC C ∠=. .………12分20. 解：(1) 设(,)M x y2=，即22222(1)2(2)x y x y -+=-+， 所以曲线22:2E x y += .………4分(2)当PQ所在直线斜率不存在时，其方程为：x =此时PQ = 当PQ 所在直线斜率存在时，设其方程为：y kx m =+， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，()0,0O 到直线PQ 的距离d r ==，所以2222m k =+.直线PQ 与椭圆C 联立22163x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214260k x kmx m +++-=，所以12221224212621mk x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以PQ ==2211t k =+≥，(]10,1t ∈ 22222224121112(1)2(21)k t t z k k t t t ++--=+==+++， 因为(]10,1t ∈，所以924z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 所以PQ ⎡⎤∈⎣⎦，所以OPQS PQ ⎡=∈⎢⎣⎦.………12分 21. 解：（1）因为()()e e 10x xf x ax =--≥，且e 0x >，所以e 10x ax --≥，构造函数()e 1x u x ax =--，则()'e x u x a =-，又()00u =，若0a ≤，则()'0u x >，则()u x 在R 上单调递增，则当0x <时，()0u x <矛盾，舍去； 若01a <<，则ln 0a <，则当ln 0a x <<时，'()0u x >，则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去； 若1a >，则ln 0a >，则当0ln x a <<时，'()0u x <，则()u x 在(0,ln )a 上单调递减，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去； 若1a =，则当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >， 则()u x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 故()()00u x u ≥=，则()()e 0x f x u x =⋅≥，满足题意；综上所述，1a =. ………6分 （2）由（1）可知()()2e 1e x x f x x =-+⋅，则()()'e 2e 2x x f x x =--， 构造函数()2e 2x g x x =--，则()'2e 1x g x =-， 又()'g x 在R 上单调递增，且()'ln 20g -=，故当ln2x <-时，'()0g x <，当ln2x >-时，'()0g x >， 则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，又()00g =，()2220e g -=>，又33233332223214e16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+， 结合零点存在性定理知，在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ，使得()00g x =，当0x x <时，()'0f x >，当00x x <<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >， 故()f x 在()0,x -∞单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,+∞单调递增， 故()f x 存在唯一极大值点0x ，因为()0002e 20x g x x =--=，所以00e 12x x =+， 故()()()()022200000011e1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0322x -<<-，所以()201133144216f x ⎛⎫<--+< ⎪⎝⎭. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

2024学年北京市门头沟区市级名校高三下期末大联考数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π2．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin 10m α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35D ．45-3．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）A ．3B ．5CD4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y =C ．2y x =±D ．y =5．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭6．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或57．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸8．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-9．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10B ．32C ．40D ．8010．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-11．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. f(x) = √(x+1)B. f(x) = 1/xC. f(x) = |x|D. f(x) = log2(x)2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)的图像关于点(2, -1)对称，则下列说法正确的是（）A. f(0) = -1B. f(1) = -1C. f(3) = -1D. f(4) = -13. 已知数列{an}是等差数列，若a1 + a5 = 8，a2 + a4 = 12，则a3的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围是（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 4)D. (4, 3)6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，公比为q，首项为a_1，则S_n的表达式为（）A. S_n = a_1(1 - q^n)/(1 - q)B. S_n = a_1q^n - 1C. S_n = a_1(1 - q^n)/(q - 1)D. S_n = a_1(1 - q)/(1 - q^n)7. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1在x = 1处取得极值，则f(1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 6，c = 7，则角A的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 已知数列{an}满足a_1 = 1，a_n = a_{n-1} + a_{n-2}，则数列{an}的前n项和S_n为（）A. S_n = 2^n - 1B. S_n = 2^n + 1C. S_n = 2^{n-1} - 1D. S_n = 2^{n-1} + 110. 若直线y = kx + b与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4相切，则k和b的关系为（）A. k^2 + b^2 = 1B. k^2 + b^2 = 4C. k^2 + b^2 = 9D. k^2 + b^2 = 16二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2023届河南省郑州市等5地舞阳县第一高级中学等2校高三上学期1月期末联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}(){}12,ln 67A x x B x y x =≤≤==-∣∣，则A B =（ ） A ．716xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭∣ B ．726x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．{}12xx ≤≤∣ D ．76xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】B【分析】对B 集合化简，由对数函数的真数大于零，得到B 集合，再利用集合交集的定义即可求得结果.【详解】依题意，7{670}6B xx x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则726A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：B.2．已知在复平面内，复数12,z z 所对应的点分别为()()2,5,3,7--，则12iz z ⋅=（ ） A ．2929i -- B ．2929i - C ．2929i + D ．2929i -+【答案】A【分析】由复数的几何意义表示出复数12,z z ，再代入所求式子，利用复数的运算法则化简即可得到所求结果. 【详解】依题意，()()1225i 37i 614i 15i 352929i2929i i i i iz z +⋅--⋅---+-====--. 故选：A.3．已知向量(),1m t =，()2,1n t =-，若22224m n m n -=+，则2t =（ ）A B ．1 C ．2D ．12【答案】D【分析】先求出2m n -的坐标，再结合题意列出方程求解即可. 【详解】依题意，()()()22,22,14,1m n t t t -=--=，由22224m n m n -=+，则()2221614141t t t +=+++，所以212t =. 故选：D.4．为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为（ ）A ．24.25B ．24C ．23.75D ．23.25【答案】C【分析】根据小矩形的面积之和为1，求出a 的值，再求出小矩形面积之和为0.5的横坐标的值即为中位数.【详解】依题意，()0.020.040.102 2.51a a ++++⨯=，解得0.08a =，故前3块小矩形的面积分别为0.05，0.25,0.4，则所求中位数为0.50.050.2522.523.750.16--+=.故选：C5．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，11,AD A D 交于点O ，则（ ） A ．OB ⊥平面11ACC A B ．OB ⊥平面11A B CD C ．OB平面11CD BD ．1OB BC ⊥【答案】C【分析】由线面平行的判定定理即可得出结果.【详解】作出图形如图所示，连接BD ，因为111,BD B D OD B C ∥∥，所以平面OBD 平面11CD B ，故OB平面11CD B ，其他三个选项易知是错误的.故选：C.6．为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即25640961048576⨯=.记()128log 64598820000000log 8192a =⨯+，则a ∈（ ）n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n1 2 4 8 16 32 64 128 256 5121024n11 1219 20 21 22 23 24 25⋯2n 2048409652428810485762097152419430483886081677721633554432⋯A ．()1,0-B ．()2,1--C ．()3,2--D ．()4,3--【答案】B【分析】根据表中数据分别找到645988和20000000介于的范围，即可求解()2log 64598820000000⨯的范围，根据对数的运算性质即可求解.【详解】因为()()645988524288,1048576,2000000016777216,33554432∈∈， 故()2log 64598819,20∈，()2log 2000000024,25∈， 则()()2log 6459882000000043,45⨯∈，则()()128143log 64598820000000log 6459882000000015,33⎛⎫⨯=-⨯∈-- ⎪⎝⎭，而222log 8192log 2log 409613=+=，故42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故选:B7．已知点((0,,0,M N -，若在直线:0(0,0)l mx ny m n -=>>上存在点A，使得AM AN -= ）A．m n >+B．m n <+C．m > D．m <【答案】C【分析】由条件结合双曲线定义可得直线l与曲线(22162y x y -=≤有交点，由此列不等式求,m n的关系.【详解】因为AM AN -=((0,,0,M N -，所以点A 在为以,M N 为焦点的双曲线的下支，设双曲线方程为()22221,0,0y x y a a b a b-=≤->>，则2228a b a ==-，所以点A在曲线(22162y x y -=≤上，因为点A 也在直线0(0,0)mx ny m n -=>>上，所以(()2216200,0y x y mx ny m n ⎧-=≤⎪⎨⎪-=>>⎩有解；所以m n >m >.故选：C.8．已知正数,a b 满足3a b +=，若55a b ab λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．81,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．81,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．27,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可得44a b b a λ+≥，然后求出44a b b a+的最小值即可，而3a b +=，所以()44443a b a b b a a b b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+=，化简后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】依题意，44a b b a λ+≥，因为正数,a b 满足3a b +=，所以()4455444433a b a b a b a b b a a b b ab a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭+==442223a b a b ++≥=()2224()273124ab a b ++=≥=， 当且仅当a b =，即33,22a b ==时两个等号同时成立，所以λ的取值范围为27,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B 9．若112324log (21)a b c -+==+，则,,a b c 的大小关系不可能为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B【分析】令函数()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=，然后在同一直角坐标系中分别作出()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====的大致图象，再根据函数图象分析判断即可. 【详解】令函数()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=，在同一直角坐标系中分别作出()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====的大致图象，如图所示， 观察可知，可能有b a c >>（()m x 的图象为1l 时）､b c a >>（()m x 的图象为2l 时）c b a >>､（()m x 的图象为3l 时）， 故选：B.10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的两条直线12,l l 分别与抛物线C 交于点11,A B 和22,A B ，且点12,A A 在x 轴的上方，则直线1122,A A B B 在x 轴上的截距之积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D【分析】设直线11A B 的方程为1x my =+，代入抛物线方程化简得2440y my --=，则根据根与系数的关系可设()()221111111,2,,2A t t B t t ---，则可表示出12A A 的方程，从而可求得直线12A A 在x 轴上的截距直线12A A 在x 轴上的截距，同理可得直线12B B 在x 轴上的截距，进而可得答案. 【详解】由题可知()1,0F .设直线11A B 的方程为1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，则根据根与系数的关系可设()()221111111,2,,2A t t B t t ---，同理可设()()221222222,2,,2A t t B t t ---，则直线12A A 的斜率12122A A k t t =+， 直线12A A 的方程为()2221222y t x t t t -=-+， 令0y =，得12x t t =-，即直线12A A 在x 轴上的截距为12t t -. 同理可得，直线12B B 在x 轴上的截距为121t t -， 所以直线1122,A A B B 在x 轴上的截距之积为1. 故选：D11．已知正四棱锥S ABCD -26，底面边长为2,2SA >.若SC 垂直于过点A 的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（ ）A ．433B ．463C ．423D ．83【答案】A【分析】根据外接球的半径可得棱锥的高，进而可求正四棱锥的棱长，根据SC 垂直于过点A 的平面可得截面，进而根据线面垂直可证明AE FH ⊥，根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解. 【详解】设正四棱锥S ABCD -的高为h ，其外接球的半径为R .因为22()2R h R =-+，解得6h =或63h =.当63h =时，22626(2)233SA ⎛⎫=+=< ⎪ ⎪⎝⎭，不符合题意；当6h =时，22SA AC SC ===，所以SAC 为等边三角形.取SC 的中点E ，连接AE ，则AE SC ⊥，且6AE =.设平面α直线SB F =，平面α直线SD H =，则,EF SC EH SC ⊥⊥.在SBC △中，由余弦定理可得8843cos 422222BSC ∠+-==⨯⨯，所以42cos 3SE SF BSC ∠==.由于,SDC SBC ≅所以SH SF =，故FH BD ∥，故23FH SF BD SB ==，故24233FH BD ==.由于SC ⊥平面AFEH ，HF ⊂平面AFEH ，所以SC ⊥HF ,又FH BD ∥，BD AC ⊥,故HF AC ⊥,,,SC AC C SC AC ⋂=⊂平面SAC ,HF ⊥平面SAC ,AE ⊂平面SAC ，所以AE FH ⊥,在四边形AFEH 中，AE FH ⊥，故12AFEH S AE =.142436233FH =⨯⨯=, 故选：A12．已知在ABC 中，222sin 2sin 4sin B C A +=，若2ABCS BC λ≤（ABCS表示ABC 的面积）恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭B ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭C ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭D ．10∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合换元法，导数的性质进行求解即可. 【详解】记角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .因为222sin 2sin 4sin B C A +=，所以由正弦定理可得22224b c a +=.()()222222222222222224422141sin 21cos sin 2442ABC b c a b c bc A bc b c A S b c A a a a a b c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥⎛⎫ ⎪-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==== ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭. ()()2222222224424422223241641529416442b c b c b c b c b c b c b c b c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦==⋅+++， 令220c t b =>，则()2228711116441ABC t S a t t ⎡⎤-⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦， 令()271441t g t t t -=++，则()31114(21)t g t t -=+'，故当110,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，当11,14t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，故max 1149()1472g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2max ABC S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则实数λ的取值范围为∞⎫+⎪⎪⎣⎭. 故选：A【点睛】关键点睛：利用换元法构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，求出最值是关键.二、填空题13．25(31)(1)x x --的展开式中5x 的系数为__________. 【答案】121【分析】展开2(31)x -，再求出5(1)x -展开式中435x x x ，，的系数，即可得答案. 【详解】因为5(1)x -展开式中435x x x ，，的系数分别为21555C ,C ,C -， 而22(31)961x x x -=-+，故25(31)(1)x x --的展开式中5x 的系数为2105559C 6C C 121⋅+⋅+=.故答案为：121.14．已知函数()()ππsin ,sin ,033f x x g x x ωωωωω⎛⎫⎛⎫=+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，则ω的一个值为__________. 【答案】32（答案不唯一）【分析】根据对称轴相同列方程，化简求得ω，进而确定正确答案. 【详解】因为()f x 与()g x 的图象的对称轴相同， 所以()πππ33k k ωω=-+∈Z ，故()32kk ω=∈Z ， 因为0ω>，故()*32kk ω=∈N . 故答案为：32（答案不唯一）15．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为,,,2,23,4A B C AC AB BC ===.现移动边AC ，使得点,A C 分别在x 轴､y 轴的正半轴上运动，则OB （点O 为坐标原点）的最大值为__________.【答案】113+131【分析】取AC 的中点E ，解三角形求,OE BE ，结合两点之间线段最短的结论求OB 的最大值. 【详解】由已知2,23,4AC AB BC ===，如图，取AC 的中点E ，因为OAC 为直角三角形，故112OE AC ==. 由于ABC 为直角三角形，故22||13BE AB AE +显然OB OE BE ≤+，当且仅当,,O B E 三点共线时等号成立， 故OB 的最大值为113+故答案为：11316．已知0a >，函数()()ln 1ln(1)af x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦在其定义域()1,-+∞上单调递减，则实数=a __________.【答案】2【分析】由导数与函数的单调性关系结合条件可得对任意的()()1,,0x f x ∈-+'∞≤恒成立，再利用导数求函数()()ln 12g x a x x =+-的最大值和取最大值的条件，由此可得a 的值.【详解】因为()()ln 1ln(1)a f x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦，所以()()ln 12f x a x x +'=-， 由已知函数()()ln 1ln(1)a f x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦在其定义域()1,-+∞上单调递减，所以对任意的()()1,,ln 120x a x x ∈-+∞+-≤恒成立. 设()()ln 12g x a x x =+-，则()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+， 由0a >知，112a->-所以当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，当1,2a x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在12ax =-时取得最大值，又()00g = 所以()g x 对任意的()()()1,,0x g x g ∈-+∞≤恒成立， 即()g x 的最大值为()0g ，所以102a-=，解得2a =. 故答案为：2三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且412716,28a a S +==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足43n nn a a b =，且{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式31nn a T ⋅->的n 的值. 【答案】(1)n a n = (2)1，2【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a .（2）利用错位相减求和法求得n T ，由此化简不等式31n n a T ⋅->，结合差比较法求得正确答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则4121712141672128a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩, 解得11a d ==， 故n a n =.（2）依题意，43n nnb =， 故2311231433333n n n n n T --⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭，则2341112314333333n n n n n T +-⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭， 两式相减可得：2311111121111463344213333333313n n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=⋅++++-=⋅-=- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，解得2333n nn T +=-. 故31n n a T ⋅->可转化为()2313nn n +>. 令()233n nn n d +=， 则()()()2111125234250333n n n n n n n n n n n d d ++++++--+-=-=<（*N n ∈）， 故1n n d d +<，即{}n d 单调递减.注意到31d =，所以满足条件的n 的值为1，2.18．如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为矩形，且2,AB AD SD =⊥平面,ABCD SAD 为等腰直角三角形，M 是线段AB 上靠近B 的四等分点.(1)求证：平面SCM ⊥平面SBD ； (2)求直线SA 与平面SCM 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4214【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明CM ⊥平面SBD ，即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出SA 和平面SCM 的法向量即可求解 【详解】（1）因为SD ⊥平面,ABCD CM ⊂平面ABCD ，所以SD CM ⊥， 因为14BM AB =，所以2AB BC AD BM==， 所以Rt CBM ∽Rt BAD ， 所以BMC BDA ∠∠=，所以90BMC ABD ∠∠+=，即BD CM ⊥，又SD BD D =，,SD BD ⊂平面SBD ，所以CM ⊥平面SBD ， 因为CM ⊂平面SCM ，故平面SCM ⊥平面SBD .（2）以D 为原点，,,DA DC DS 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 不妨设4AB =，则()()()()0,4,0,0,0,2,2,3,0,2,0,0C S M A ，所以()()()0,4,2,2,1,0,2,0,2SC CM SA =-=-=-， 设平面SCM 的法向量为(),,n x y z =，则20420n CM x y n SC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则2,4,y z ==，即()1,2,4n =记直线SA 与平面SCM 所成的角为θ，则6sin cos ,22SA n SA n SA nθ⋅====⋅.19．近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示.(1)若y 与x 线性相关，求y 与x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； (2)若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进入电商行业的概率分别为2133,,,3244，且他们是否进入电商行业相互独立.记这4人中最终进入电商行业的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.参考公式：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==-==--∑∑. 【答案】(1)ˆ 2.3 3.1yx =+； (2)分布列见解析，()83E X =.【分析】（1）根据题中所给公式，结合平均数的公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）依题意，581111153,105x y ++++===，而55211516334475173,149162555i i i i i x y x ===++++==++++=∑∑，故515222151735310ˆˆ2.3,10 2.33 3.155535i ii ii x y xybaxx ==--⨯⨯====-⨯=-⨯-∑∑， 故所求回归直线方程为ˆ 2.3 3.1yx =+； （2）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.()111110324496P X ==⨯⨯⨯=，()122111111111319313244324432449632P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()11222111213111311133292C C 324432443244324496P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()1221312133113339133C 3244324432449632P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()2133183432449616P X ==⨯⨯⨯==，所以X 的分布列为故()132913380123496329632163E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知函数()()32e 2R 2xx f x x ax a =+--∈.(1)设函数()()2f x axm x x+=，判断()m x 的单调性；(2)若当0x ≥时，关于x 的不等式()3cos 2x f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)在(),0∞-和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】(1)由已知()2e 2x x m x x x =-+，求其导函数()m x '，解不等式()0m x '>求函数()m x 的递增区间，解不等式()0m x '<，求函数()m x 的递减区间；(2)由已知可得当0x ≥时，2e cos 20x x x ax ---≥恒成立，当12a ≤时，利用多次求导证明函数2e cos 20x y x x ax =---≥恒成立，当12a >，先证明e e x x ≥，由此证明存在0x ，当()00,x x ∈时，2e cos 20x x x ax ---<，由此确定a 的取值范围.【详解】（1）因为()32e 22xx f x x ax =+--，()()2f x ax m x x +=，所以()2e ,02x x m x x x x =-+≠，则()()()()221e e 111x x x m x x x x x -⎛⎫=+-=-+ ⎝'⎪⎭，故当0x <时，()0m x '<，当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>，故()m x 在(),0∞-和()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.（2）依题意，当0x ≥时，()2e cos 20*x x x ax ---≥恒成立.令()[)2e 2cos ,0,x g x x ax x x ∞=---∈+，则()e 22sin xg x x a x -+'=-.令()[)e 22sin ,0,x h x x a x x ∞=--+∈+，则()e cos 2xh x x =+-'.令()[)e cos 2,0,x r x x x ∞=+-∈+，则()e sin 0xr x x =->'，故()r x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00r x r ≥=，故()h x 即()g x '在[)0,∞+上单调递增，则()()012g x g a ''≥=-. 当12a ≤时，()()0120g x g a ''≥=-≥，此时()g x 单调递增，从而()()00g x g ≥=，满足题意. 当12a >时，令()e e x s x x =-，则()e e xs x '=-， 当(),1x ∈-∞时，()()0,s x s x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时，()()0,s x s x '>单调递增， 所以()()10s x s ≥=，即e e x x ≥，当且仅当1x =时取等号.所以()()e 22sin e 212xg x x a x x a =--+>---'，从而()1212e 2120e 2e 2a a g a ++⎛⎫>-⋅--= ⎪--⎝⎭'. 又()()0120,g a g x '=-<'在[)0,∞+上单调递增，故存在唯一的实数0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，不合题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥； (2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,M N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率存在且不为0，点,M N 在x 轴上的射影分别为,P Q ，且()04,,,R y N P 三点共线，求证：RMN 与RPQ 的面积相同.【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及通径的长度即可联立求解,,a b c 的值，（2）联立直线方程和椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式可证明,,Q M R 三点共线，根据//NQ PM ，所以PQMPMNSS=，进而可证明RMN 与RPQ 面积相等.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.依题意，2c e a ===，故2212b a =①.联立22221,,x y a bx c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得2b y a =±，故22b MN a ==. 联立①②，解得2a b ==， 故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()2,0. 设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠.由()222,28y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()2222128880k x k x k +-+-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222888,1212-+==++k k x x x x k k . 因为MP x ⊥轴，所以()1,0P x . 直线NP 的方程为()2121y y x x x x =--，所以()212144,y x R x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 因为NQ x ⊥轴，所以()2,0Q x . 因为()()()211122124,4MQ RQ y x y k k x x x x x -==---， 所以()()()()()()()()()2121121212122124242444RQ MQ y x k x x k x x y k k x x x x x x x x ---+---=-=----- ()()()()()221212222122122248862168441212kkk k x x x x x x x x x x k k ⎛⎫-=⋅+--=⋅--⎡⎤ ⎪⎣⎦----++⎝⎭()()2222212163112412k k k k x x x k -+--=⋅--+0=， 所以,,Q M R 三点共线. 因为//NQ PM ，所以PQMPMNS S=，而PMRPMRSS=，所以RMN 与RPQ 的面积相同.【点睛】关键点点睛：联立直线与曲线的方程得到韦达定理是常用和必备的步骤.由韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离即可求解面积以及长度以及最值，最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.在处理共线问题是，要借助于向量以及两点斜率公式.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3233x t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()1cos22sin ρθθ+=，点P 的极坐标为2π8,3⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；(2)记M 为直线l 与曲线C 的一个交点，其中4OM <，求OMP 的面积. 【答案】(1)直线l 的极坐标方程：πcos 36ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的直角坐标方程2yx(2)12【分析】（1）根据参数方程转化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程的知识求得正确答案. （2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标，求得M 点的坐标，根据极坐标的知识求得OMP 的面积. 【详解】（1）由直线l 的参数方程可得直线l 36x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==π3cos sin 2cos 66ρθρθρθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故直线l 的极坐标方程为πcos 36ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.而曲线():1cos22sin C ρθθ+=，即22cos 2sin ρθθ=，则22cos sin ρθρθ=， 故曲线C 的直角坐标方程为2y x .（2）由260y y x +-==⎪⎩,可得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为4OM <，所以点)M，转化为极坐标为π3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于点P 的极坐标为2π8,3⎛⎫⎪⎝⎭，故OMP 的面积1π8sin 1223S =⨯⨯=.23．已知函数()()224,243f x x m x g x x x =++-=-+.(1)若3m =，求不等式()7f x >的解集；(2)若12R,R x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){2xx <-∣或0}x > (2)][(),106,∞∞--⋃-+][(),106,∞∞--⋃-+【分析】（1）分32x <-，342x -≤≤和4x >三种情况解不等式即可；（2）由题意可得()()min min f x g x ≥，求出两函数的最小值，代入上式，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】（1）依题意，2347x x ++->.当32x <-时，2347x x --+->，解得<2x -，故<2x -；当342x -≤≤时，2347x x ++->，解得0x >，故04x <≤；当4x >时，2347x x ++->，解得83x >，故4x >.综上所述，不等式()7f x >的解集为{2xx <-∣或0}x >. （2）依题意，()244422m mf x x m x x x =++-≥++-≥+，当2mx =-时，取“=”，故min ()42m f x =+.()222432(1)1g x x x x =-+=-+.因为12R,R x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，故412m+≥， 故412m+≤-或412m +≥，则10m ≤-或6m ≥-，故实数m 的取值范围为][(),106,∞∞--⋃-+.。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…（循环小数）D. -√32. 函数y=-x²+4x+3的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 直线D. 圆3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项an等于（）A. 21B. 19C. 17D. 154. 下列各函数中，为奇函数的是（）A. y=x²B. y=|x|C. y=2xD. y=x³5. 在三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的大小为（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°6. 已知复数z=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A. 1B. √2C. 2D. √37. 下列各数中，不是正比例函数图像经过的一点的坐标是（）A. (2, 4)B. (3, 6)C. (4, 8)D. (5, 10)8. 下列各方程中，无实数解的是（）A. x²-4x+4=0B. x²-4x+3=0C. x²-4x+5=0D. x²-4x+6=09. 在等比数列{an}中，首项a1=2，公比q=3，则第5项an等于（）A. 54B. 81C. 162D. 24310. 下列各命题中，正确的是（）A. 所有奇数都是质数B. 所有偶数都是合数C. 等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2D. 等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）11. 已知函数y=2x-3，若x=4，则y=______。

12. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点为______。

绝密★启用前大联考2022-2023学年高三年级上学期期末考试理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}12,ln 67A x x B x y x ===-∣∣ ，则A B ⋂=（）A.716x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B.726x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ C.{}12xx ∣ D.76x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣2.已知在复平面内，复数12,z z 所对应的点分别为()()2,5,3,7--，则12iz z ⋅=（）A.2929i --B.2929i-C.2929i+ D.2929i -+3.已知向量()(),1,2,1m t n t ==- ，若222|2|4m n m n -=+ ，则2t =（）B.1C.22D.124.为了解某专业大一新生的学习生活情况，辅导员将该专业部分学生一周的自习时间（单位：h ）统计后制成如图所示的统计图，据此可以估计该专业所有学生一周自习时间的中位数为（）A.24.25B.24C.23.75D.23.255.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，11,AD A D 交于点O ，则（）A.OB ⊥平面11ACC AB.OB ⊥平面11A B CDC.OB ∥平面11CD B D.1OB BC ⊥5.为了处理大数的运算，许凯与斯蒂菲尔两位数学家都想到了构造双数列模型的方法，如计算256×4096时，我们发现256是8个2相乘，4096是12个2相乘，这两者的乘积，其实就是2的个数做一个加法，所以只需要计算8+12=20，进而找到下表中对应的数字1048576，即25640961048576⨯=.记()128log 64598820000000log 8192a =⨯+，则a ∈（）n0123456789102n 12481632641282565121024n111219202122232425⋯2n2048409652428810485762097152419430483886081677721633554432⋯A.()1,0- B.()2,1-- C.()3,2-- D.()4,3--6.已知点((0,,0,M N -，若在直线:0(0,0)l mx ny m n -=>>上存在点A ，使得AM AN -=）A.m n >+B.m n <+C.m >D.m <8.已知正数,a b 满足3a b +=，若5a b ab λ+ 恒成立，则实数λ的取值范围为（）A.81,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.27,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C.81,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D.27,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦9.若112324log (21)a b c -+==+，则,,a b c 的大小关系不可能为（）A.c b a >>B.c a b >>C.b a c>> D.b c a>>10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的两条直线12,l l 分别与抛物线C 交于点11,A B 和22,A B ，且点12,A A 在x 轴的上方，则直线1212,A A B B 在x 轴上的截距之积为（）A.4B.3C.2D.111.已知正四棱锥S ABCD -的外接球半径为3，底面边长为2,2SA >.若SC 垂直于过点A 的平面α，则平面α截正四棱锥S ABCD -所得的截面面积为（）A.433B.463C.423D.8312.已知在ABC 中，222sin 2sin 4sin B C A +=，若2ABC S BC λ（ABC S 表示ABC 的面积）恒成立，则实数λ的取值范围为（）A.,6∞⎫+⎪⎪⎣⎭ B.,3∞⎫+⎪⎪⎣⎭ C.,8∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D.,4∞⎫+⎪⎪⎣⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.25(31)(1)x x --的展开式中5x 的系数为__________.14.已知函数()()sin ,sin ,033f x x g x x ωπωπωωω⎛⎫⎛⎫=+=-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，则ω的一个值为__________.15.在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为,,,2,4A B C AC AB BC ===.现移动边AC ，使得点,A C 分别在x 轴､y 轴的正半轴上运动，则OB （点O 为坐标原点）的最大值为__________.16.已知0a >，函数()()ln 1ln(1)af x x a x x a x ⎡⎤=+--++⎣⎦在其定义域()1,∞-+上单调递减，则实数a =__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且412716,28a a S +==.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足43nnn a a b =，且{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式31n n a T ⋅->的n 的值.18.（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为矩形，且2,AB AD SD =⊥平面,ABCD SAD 为等腰直角三角形，M 是线段AB 上靠近B 的四等分点.（1）求证：平面SCM ⊥平面SBD ；（2）求直线SA 与平面SCM 所成角的正弦值.19.（12分）近年来，各地电商行业迅速发展，电商行业的从业人数也相应增长.现将某地近5年电商行业的从业人数统计如下表所示.第x 年12345从业人数y （万人）58111115（1）若y 与x 线性相关，求y 与x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；（2）若甲､乙､丙､丁4名大学生毕业后进人电商行业的概率分别为2133,,,3244，且他们是否进人电商行业相互独立.记这4人中最终进人电商行业的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望.参考公式：在线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，121ˆˆˆ,niii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑.20.（12分）已知函数()()3222xx f x e x ax a R =+--∈.（1）设函数()()2f x axm x x+=，判断()m x 的单调性；（2）若当0x时，关于x 的不等式()3cos 2xf x x + 恒成立，求a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过右焦点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且当l x ⊥轴时，MN =（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率存在且不为0，点,M N 在x 轴上的射影分别为,P Q，且()04,,,R y N P 三点共线，求证：RMN 与RPQ 的面积相同.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,3x t y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()1cos22sin ρθθ+=，点P 的极坐标为28,3π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求直线l 的极坐标方程以及曲线C 的直角坐标方程；（2）记M 为直线l 与曲线C 的一个交点，其中4OM <，求OMP 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()()224,243f x x m x g x x x =++-=-+.（1）若3m =，求不等式()7f x >的解集；（2）若12,x R x R ∀∈∃∈，使得()()12f x g x成立，求实数m 的取值范围.大联考20222-2023学年高三年级上学期期末考试理科数学•答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.答案B命题意图本题考查函数的定义域及集合的运算.解析依题意，7{670}6B xx x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭∣∣，则726A B xx ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭∣ .2.答案A命题意图本题考查复数的几何意义､复数的四则运算.解析依题意，()()1225i 37i 614i 15i 352929i2929i i i i iz z +⋅--⋅---+-====--.3.答案D命题意图本题考查平面向量的数量积及其应用.解析依题意，()()()22,22,14,1m n t t t -=--= ，故2221614441t t t +=+++，则212t =.4.答案C命题意图本题考查样本的数字特征､频率分布直方图.解析依题意，()0.020.040.102 2.51a a ++++⨯=，解得0.08a =，故前3块小矩形的面积分别为0.05，0.25,0.4，则所求中位数为0.50.050.2522.523.750.16--+=.5.答案C命题意图本题考查空间线面的位置关系.解析作出图形如图所示，连接BD ，因为111,BD B D OD B C ∥∥，所以平面OBD ∥平面11CD B ，故OB ∥平面11CD B ，其他三个选项易知是错误的.6.答案B命题意图本题考查对数的运算､数学文化.解析因为()()645988524288,1048576,2000000016777216,33554432∈∈，故()2log 64598819,20∈，()2log 2000000024,25∈，则()()2log 6459882000000043,45⨯∈，则()()128143log 64598820000000log 6459882000000015,33⎛⎫⨯=-⨯∈-- ⎪⎝⎭，而222log 8192log 2log 409613=+=，故42,3a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故选B.7.答案C命题意图本题考查双曲线的定义与性质.解析由题可知点A 在双曲线22:162y x C -=的下支上，故直线l 与曲线C 有交点.而曲线C的渐近线为y =，直线:m l y x n =，故mn>，即m >.8.答案B命题意图本题考查基本不等式.解析依题意，44a b b aλ+ .而()4455444444222333a b a b a b a b b a a b a b a b b a b a ⎛⎫++ ⎪+++++⎝⎭+==()2224()273124a b a b ++== ，当且仅当a b =，即33,22a b ==时前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为27,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.9.答案B命题意图本题考查函数的图象与性质.解析令函数()()()()112324,log ,(21),x f x g x x h x x m x k -+===+=，在同一直角坐标系中分别作出()()()(),,,y f x y g x y h x y m x ====的大致图象，如图所示，观察可知，可能有b a c >>（()m x 的图象为1l 时）､b c a >>（()m x 的图象为2l 时）c b a >>､（()m x 的图象为3l 时），故选B.10.答案D命题意图本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题.解析由题可知()1,0F .设直线11A B 的方程为1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，则根据根与系数的关系可设()()221111111,2,,2A t t B t t ---，同理可设()()221222222,2,,2A t t B t t ---，则直线12A A 的斜率12122A A k t t =+，直线12A A 的方程为()2221222y t x t t t -=-+，令0y =，得12x t t =-，即直线12A A 在x 轴上的截距为12t t -.同理可得，直线12B B 在x 轴上的截距为121t t -，所以直线1212,A A B B 在x 轴上的截距之积为1.11.答案A命题意图本题考查空间几何体的表面积与体积.解析设正四棱锥S ABCD -的高为h ，其外接球的半径为R .因为22()2R h R =-+，解得h =或63h =.当63h =时，23SA ==<，不符合题意；当h =时，SA AC SC ===所以SAC 为等边三角形.取SC 的中点E ，连接AE ，则AE SC ⊥，且AE =设平面α⋂直线SB F =，平面α⋂直线SD H =，则,EF SC EH SC ⊥⊥.在SBC中，由余弦定理可得3cos 4BSC ∠==，所以42cos 3SE SF BSC ∠==.在SBD 中，FH BD ∥，故23FH SF BD SB ==，故24233FH BD ==.在四边形AFEH 中，AE FH ⊥，故12AFEH S AE =.14243233FH ==12.答案A命题意图本题考查正余弦定理､三角形的面积公式及导数的应用.解析记角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .因为222sin 2sin 4sin B C A +=，所以由正弦定理可得22224b c a +=.()()222222222222222224422141sin 21cos sin 2442ABC b c a b c bc A bc b c A S b c A aa a abc ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥⎛⎫ ⎪-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==== ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭.()()2222222224424422223241641529416442b c b c b c b c b cb c b c b c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦==⋅+++令22c t b =，则()2228711116441ABC t S a t t ⎡⎤-⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦，令()271441t g t t t -=++，则()31114(21)t g t t -=+'，故当110,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，当11,14t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，故max 1149()1472g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2max 106ABC S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则实数λ的取值范围为10,6∞⎫+⎪⎪⎣⎭.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案121命题意图本题考查二项式定理.解析22(31)961x x x -=-+，故所求5x 的系数为215559C 6C C 121⋅+⋅+=.14.答案32（其他符合条件的答案也给分）命题意图本题考查三角函数的图象与性质.解析因为()f x 与()g x 的图象的对称轴相同，所以()33k k ωπωππ=-+∈Z ，故()32k k ω=∈Z ，因为0ω>，故()*32kk ω=∈N 15.答案1命题意图本题考查数学文化.解析如图，取AC 的中点E ，因为OAC 为直角三角形，故112OE AC ==.由于ABC 为直角三角形，故BE ==显然OB OE BE + ，当且仅当,,O B E 三点共线时等号成立，故OB的最大值为1.16.答案2命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析依题意，()()ln 12f x a x x +'=-，故对任意的()()()1,,ln 120x f x a x x ∞∈-+=+-' 恒成立.设()()ln 12g x a x x =+-，则()2121a x g x x ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+，由0a >知，11,2a ->-∴当1,12a x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当1,2a x ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x <'∴在1,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，()g x ∴在12ax =-时取得最大值.又()00,g =∴对任意的()()()1,,0x g x g ∞∈-+ 恒成立，即()g x 的最大值为()0,102ag ∴-=，解得2a =.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题意图本题考查等差数列的通项公式､错位相减法､数列的性质.解析（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则41217121416,72128,a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩解得11a d ==，.故n a n =.（2）依题意，43n nnb =，故2311231433333n n n n n T --⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭ ，则2341112314333333n n n n n T +-⎛⎫=⋅+++++ ⎪⎝⎭ ，两式相减可得2311111121111463344213333333313n n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢=⋅++++-=⋅-=- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，解得2333n nn T +=-.故31n n a T ⋅->可转化为()2313nn n +>.令()233n nn n d +=，则()()()2111125234250333n n n nn n n n n n n d d ++++++--+-=-=<，故1n n d d +<，即{}n d 单调递减.注意到31d =，所以满足条件的n 的值为1，2.18.命题意图本题考查空间面面的位置关系､向量法求空间角.解析（1）因为SD ⊥平面,ABCD CM ⊂平面ABCD ，所以SD CM ⊥.因为14BM AB =，所以2AB BC AD BM==.所以Rt CBM ∽Rt BAD ，所以BMC BDA ∠∠=，所以90BMC ABD ∠∠+= ，即BD CM ⊥.又SD BD D ⋂=，所以CM ⊥平面SBD .因为CM ⊂平面SCM ，故平面SCM ⊥平面SBD .（2）以D 为原点，,,DA DC DS 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨设4AB =，则()()()()0,4,0,0,0,2,2,3,0,2,0,0C S M A ，所以()()()0,4,2,2,,2,0,2SC CM SA =-=-=-.设平面SCM 的法向量为(),,n x y z = ，则20,420,n CM x y n SC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1x =，则()1,2,4n =..记直线SA 与平面SCM 所成的角为θ，则sin cos ,14SA n SA n SA nθ⋅==== .19.命题意图本题考查回归直线方程､离散型随机变量的分布列及数学期望.解析（1）依题意，581111153,105x y ++++===，而55211516334475173,149162555iii i i x yx ===++++==++++=∑∑，故51522151735310ˆˆ2.3,10 2.33 3.155535i i i i i x y xy b a xx ==--⨯⨯====-⨯=-⨯-∑∑，故所求回归直线方程为ˆ 2.3 3.1yx =+.（2）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.()111110324496P X ==⨯⨯⨯=，()122111111111319313244324432449632P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==，()11222111213111311133292C C 324432443244324496P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()1221312133113339133C 3244324432449632P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==，()2133183432449616P X ==⨯⨯⨯==，所以X 的分布列为X01234P 19633229961332316故()132913380123496329632163E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析（1）由题可知()2e ,02x x m x x x x =-+≠，则()()()()221e e 111xx x m x x x x x -⎛⎫=+-=-+ ⎝'⎪⎭，故当0x <时，()0m x '<，当01x <<时，()0m x '<，当1x >时，()0m x '>，故()m x 在(),0∞-和()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增.（2）依题意，当0x 时，()2e cos 20*x x x ax --- 恒成立.令()[)2e 2cos ,0,x g x x ax x x ∞=---∈+，则()e 22sin xg x x a x -+'=-.令()[)e 22sin ,0,x h x x a x x ∞=--+∈+，则()e cos 2x h x x =+-'.令()[)e cos 2,0,x r x x x ∞=+-∈+，则()e sin 0x r x x =->'，故()r x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00r x r =，故()h x 在[)0,∞+上单调递增，则()()012h x h a =- .当12a 时，()()0120h x h a =- ，此时()g x 单调递增，从而()()00g x g = ，满足题意.当12a >时，令()e e x s x x =-，则()e e x s x '=-，当(),1x ∞∈-时，()()0,s x s x '<单调递减，当()1,x ∞∈+时，()()0,s x s x '>单调递增，所以()()10s x s = ，即e e x x ，当且仅当1x =时取等号.所以()()e 22sin e 212xg x x a x x a =--+>---'，从而()1212e 2120e 2e 2a a g a ++⎛⎫>-⋅--= ⎪--⎝⎭'.又()()0120,g a g x '=-<'在[)0,∞+上单调递增，故存在唯一的实数0120,e 2a x +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，使得()00g x '=，且当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00g x g <=，不合题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.21.命题意图本题考查椭圆的方程､直线与椭圆的综合性问题.解析（1）设椭圆C 的半焦距为(0)c c >.依题意，2c e a ===，故2212b a =①.联立22221,,x y a b x c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2b y a =±，故22b MN a ==②.联立①②，解得2a b ==，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）易知椭圆的右焦点为()2,0.设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠.由()222,28y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()2222128880k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222888,1212k k x x x x k k-+==++.因为MP x ⊥轴，所以()1,0P x .直线NP 的方程为()2121y y x x x x =--，所以()212144,y x R x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.因为NQ x ⊥轴，所以()2,0Q x .因为()()()211122124,4MQ RQ y x y k k x x x x x -==---，所以()()()2112121244RQ MQ y x y k k x x x x x --=----()()()()()()211221224244k x x k x x x x x --+--=--()()()121221262164kx x x x x x x ⎡⎤=⋅+--⎣⎦--()()222221222488841212k k k x x x k k ⎛⎫-=⋅-- ⎪--++⎝⎭()()2222212163112412k k k k x x x k -+--=⋅--+0=，所以,,Q M R 三点共线.因为NQ PM ∥，所以PQM PMN S S = ，而PMR PMR S S = ，所以RMN 与RPQ 的面积相同.22.命题意图本题考查参数方程､极坐标方程､普通方程､直角坐标方程之间的转化.解析（1）由直线l 的参数方程可得直线l6y +=，将cos ,sin x y ρθρθ==cos sin 2cos 66πθρθρθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.而曲线():1cos22sin C ρθθ+=，即22cos 2sin ρθθ=，则22cos sin ρθρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）由260,,y y x +-==⎪⎩可得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12.x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为4OM <，所以点)M，转化为极坐标为3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭.由于点P 的极坐标为28,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故OMP 的面积18sin 1223S π=⨯⨯=.23.命题意图本题考查绝对值不等式的求解.解析（1）依题意，2347x x ++->.当32x <-时，2347x x --+->，解得2x <-，故2x <-；当342x - 时，2347x x ++->，解得0x >，故04x < ；当4x >时，2347x x ++->，解得83x >，故4x >.综上所述，不等式()7f x >的解集为{2x x <-∣或0}x >.（2）依题意，()244422m m f x x m x x x =++-++-+ ，当2m x =-时，取“=”，故min ()42m f x =+.()222432(1)1g x x x x =-+=-+.因为12,x x ∀∈∃∈R R ，使得()()12f x g x 成立，故412m + ，故412m +- 或412m + ，则10m - 或6m - ，故实数m 的取值范围为][(),106,∞∞--⋃-+.。

1oy x12高三联考数学(理科)试题及答案（2021届）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分；第Ⅱ卷为9-21题，共110分.全卷满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题纸上．2． 第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上． 3．考试结束后，监考员将答题纸收回． 第Ⅰ卷 （本卷共计40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．函数1()(1)f x x x=>的值域是（ ）A.()()∞+∞-，，00 B. R C. ),1(+∞ D. )1,0( 2．巳知全集U R =，i 是虚数单位，集合M Z =（整数集）和221(1){,,,}i N i i i i+=的关系韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．无穷个 3．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如右图所示，则()g x ＝（ ）A.2xB.12()log x - C. 2log ()x - D.2log ()x --5．函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos 2a b+=, C.1-, D.1. 6．ABC △内有一点O ,满足0OA OB OC ++=,且OA OB OB OC ⋅=⋅．则ABC △一定是 A ． 钝角三角形 B ． 直角三角形C ． 等边三角形D ． 等腰三角形7． 甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有（ ） A ． 甲的产值小于乙的产值 B ． 甲的产值等于乙的产值C ． 甲的产值大于乙的产值D ．不能确定8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f m n .则下列说法中正确命题的是（ ）A.114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； B.()f x 是奇函数；C.()f x 在定义域上单调递增；D.()f x 的图象关于y 轴对称．M B A 图1图2图3数 学 (理科)答案第Ⅱ卷 （本卷共计110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9 ~ 13题）9.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =10. 对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则02sin xdx π⊗⎰=______.11．△ABC 的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ⋅的值为________. 12．已知不等式|2||1|-++x x ≥m 的解集是R ，则实数m 的取值范围是__________. 13．已知一系列函数有如下性质：函数1y x x =+在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数； 函数2y x x =+在2]上是减函数，在2,)+∞上是增函数；函数3y x x=+在3]上是减函数，在3,)+∞上是增函数；………………利用上述所提供的信息解决问题：若函数3(0)my x x x=+>的值域是[6,)+∞，则实数m 的值是___________.（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线121x ty t =-+⎧⎨=--⎩ （t 为参数）被曲线 13cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，R θ∈）所截，则截得的弦的长度是____________. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若函数g(x) = ax^2 + bx + c的图像与f(x)的图像有相同的单调性，则a、b、c的关系是（）A. a > 0，b < 0，c > 0B. a > 0，b > 0，c < 0C. a < 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c < 02. 在等差数列{an}中，若a1 + a5 = 10，a2 + a4 = 12，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = 1/xB. y = √xC. y = x^2 - 1D. y = |x|4. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (3, 4)，则向量a·b的值为（）A. 7B. 10C. 11D. 125. 已知圆C：x^2 + y^2 = 4，点P在圆C上，若∠COP = 60°，则|OP|的值为（）A. 2B. 2√3C. 3D. 46. 若函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d在x = 1处取得极值，则a、b、c、d的关系是（）A. a ≠ 0，b = 0，c = 0，d ≠ 0B. a ≠ 0，b ≠ 0，c ≠ 0，d ≠ 0C. a = 0，b ≠ 0，c ≠ 0，d ≠ 0D. a = 0，b = 0，c = 0，d ≠ 07. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则该函数的图像是（）A. 抛物线，开口向上B. 抛物线，开口向下C. 双曲线，开口向上D. 双曲线，开口向下8. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A、B、C的大小分别为（）A. 60°，45°，75°B. 45°，60°，75°C. 60°，75°，45°D. 75°，60°，45°9. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(x)的值域为（）A. (-∞, +∞)B. (0, +∞)C. (-∞, 0)D. (0, 1]10. 已知数列{an}是等比数列，且a1 = 2，公比q = 3，则数列{an}的前n项和S_n等于（）A. 2n - 1B. 2^n - 1C. 3^n - 1D. 3^n + 1二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为______。

高三数学试卷（理）（.4）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,0|),(，{}R y R x y x y x N ∈∈=+=,,0|),(22， 则有（ ）A.M N M =B.N N M =C.M N M =D.φ=N M 2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于（ ）A.3B.1-C.21-D.2 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B 单位抽取20份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是（ ）A.30份B.35份C. 40份D.65份 4.如图，已知四边形ABCD 在映射)2,1(),(:y x y x f +→作用下的象集为四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积是12，则四边形ABCD 的面积是（ ）A. 9B.6C. 36D.125. “⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=)1(2)1(11)(2x a x x x x f 是定义在),0(+∞上的连续函数”是“直线0)(2=+-y x a a 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6. 设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87.若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→等于（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在8.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）A. 12B.28C.36D.489.设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为13二面角l αβ--的平面角为 150, 则球O 的表面积为（ ）A.π4B.π16C.π28D.π11210.已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2(,0)0(==πf f .给出下列结论：①21)4(=πf ②)(x f 为奇函数 ③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减其中正确的结论序号是（ ）A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④11.如图，已知椭圆的左、右准线分别为、，且分别交轴于、两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于（ ） 12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0二、填空题（每小题4分，共16分） 13.在nxx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 的值为 14.空间一条直线1l 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线2l 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则=+βα22sin sin15.设实数b a 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-104230123a b a b a ,则2249b a +的最大值是22221(0)x y a b a b+=>>1l 2l x C D 1l A F x 2l B AF BF ⊥75ABD ∠=︒62-3162-31-16.设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列四个命题：A.)(x f 有最小值；B.当0=a 时，)(x f 的值域是R ；C.当0>a 时，)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；D.若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 其中正确的命题是三、解答题（共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin2cos 24x x f x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的分别是a b c 、、，若2cos a c b C （－）cosB ＝，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为21，乌克兰队赢的概率为31，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n 局的得分记为n a ，令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+.（1）求43=S 的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且 90=∠BCA ，601=∠BC B ，21==BB BC ，若二面角C B B A --1为 30， （1）证明⊥AC 平面C C BB 11； （2）求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；（3）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求点P 到平面C BB 1距离. 20．（本小题满分12分）已知0>a ，)1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线． （１）求切线l 的方程； （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值．ABC111A C B21.（本小题满分12分）如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明)(λ-⊥； (2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与 抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 22．（本小题满分14分） 设数列}{n a ，}{n b 满足211=a ，n n a n na )1(21+=+且221)1ln(n n n a a b ++=，*N n ∈． （１）求数列}{n a 的通项公式； （２）对一切*N n ∈，证明nn n b a a <+22成立；（３）记数列}{2n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．高三数学答案（理科）及评分标准一、选择题：（每题5分，共60分）13． 6 14． 1 15． 25 16． B 、C三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17题．（ 12分）解析：(1) ()2sin(122cos1)4x f x x =++-sin cos 122x x =++sin(1)24x π=++ ()4f x T π∴=的最小正周期为 .（5分）(2) ()2cos cos a c B b C -=由得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin sin A B B C A ∴=+= （8分） sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=＝>3B π=， 23A C π∴+=()sin(1)24f A A π=++又，203A π∴<<，742412A πππ∴<+<， （10分）又∵7sinsin 412ππ<，sin(12)24A π∴<≤+，()21f A ∴<≤. （12分） 18题．（ 12分）解：（1）43=S ，即前3局中国队1胜2平或2胜1负。

XX 市2020年高三上学期期末联考数学（理)试题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若复数z 满足21i =+（）1﹣i ，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合M ＝{x |2x 2﹣x ﹣3≤0}，N ＝{x ||x |（x ﹣2）＞0}，全集U ＝R ，则下列关于集合M ，N 叙述正确的是（ ） A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．（∁U M ）∩N ＝∅D ．N ⊆（∁U M ）3．双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的一个顶点到一条浙近线的距离等于243a c，则双曲线的离心率为（ ） A ．54 B C ．53D4．已知等差数列{a n }，a 1＝2，若a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，则S 10＝（ ） A ．852B ．132C ．﹣70或852D ．﹣16或1325．已知实数,x y 满足约束条件121x y x y y a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数3z x y =-的最大值为2，则a的值为（ ） A ．-1B ．12C ．1D ．26．已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a <<…外…………○…………装…………○…………订…………线…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※…内…………○…………装…………○…………订…………线…………○…7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A B C ．D ．8．函数f （x ）101101x x -=+（）lgx 2的图象大致为（ ） A ．B ．C ．……外…………○………线…………○……______班级：_____……内…………○………线…………○……D ．9．已知角α4π+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），则sin 2α等于（ ） A ．19B ．79-C ．23-D ．1310．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n +2＝a n +a n +1，则称数列{a n }为斐波那契数列，斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示的7个正方形的边长分别为a 1，a 2，…，a 7，在长方形ABCD 内任取一点，则该点不在任何一个扇形内的概率为（ ）A ．1103156π-B ．14π-C ．17126π-D ．681237π-11．已知抛物线()2:80C y ax a =>的焦点F 与双曲线()22:102x y D a a a-=>+的焦点重合，过点F 的直线与抛物线C 交于点,A B ，则2AF BF +的最小值为（ ） A ．3+B ．6+C ．7D ．1012．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 是线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列命题：①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使得MB ⊥面A 1DE . 正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量a =r （x ，2），b =r （﹣2，1），若a r 与2a b -r r 共线，则b a=r r _____. 14．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 2＝6，S 4＝30，数列{b n }满足b n ＝log 2a n 2﹣1，则数列{11n n b b +}前n 项和T n ＝_____. 15．一个五位自然数12345a a a a a 数称为“跳跃数”，如果同时有12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＜＞或12233445a a a a a a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＞＜＞＜（例如13284，40329都是“跳跃数”，而12345，54371，94333都不是“跳跃数”），则由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，4不相邻的“跳跃数”共有_____个.三、解答题16．已知函数()xae f x x =，[]1,2x ∈，且[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，则实数a 的取值范围是________．17．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos cos 0c A C +=，3tan(20192)4A π+=. （1）求tan C 的值；（2）若C 为钝角且c =ABC 的周长的取值范围.18．如图所示的多面体ABCDEF 满足：正方形ABCD 与正三角形FBC 所在的两个平面互相垂直，FB ∥AE 且FB ＝2EA ．…………○………………○……（1）证明：平面EFD ⊥平面ABFE ； （2）求二面角E ﹣FD ﹣C 的余弦值.19．2022年北京冬季奥运会即第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4至2月20日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数之比为11：13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人表示对冰壶运动没有兴趣.（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰壶有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望和方差.附：参考公式22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（）（）（）（）（），其中n ＝a +b +c +d .临界值表：20．已知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率e 2=，且点P ，1）在椭圆C 上.（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点M （s ，t ）（t ＞0）是椭圆C 上的动点，直线AM 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，EF ⊥DF ，EA 与椭圆C 交于点G ，若△AMG 的面积为AM 的方程. 21．已知2()e ,()e ax x f x x g x ==.（1）若()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中.直线1的参数方程为1212x t y a t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ. （1）若曲线C 关于直线l 对称，求a 的值； （2）若A 、B 为曲线C 上两点.且∠AOB 3π=，求|OA |+|OB |的最大值.23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +2|. （1）若a ＝1.解不等式f （x ）≤x 2﹣1；（2）若a ＞0，b ＞0，c ＞0.且f （x ）的最小值为4﹣b ﹣c .求证：112a b c+≥+.参考答案1．A 【解析】 【分析】直接计算复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案． 【详解】 由题意可知，212zi i=-， (1)1z i i i ∴=-=+，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，∴复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选：A ． 【点睛】本题考查了复数的代数形式的运算及其几何意义，是基础题． 2．D 【解析】 【分析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集、并集和补集的运算，从而判断出每个选项的正误． 【详解】Q 3{|1},{|2}2M x xN x x =-=>剟，U =R ， {|1U C M x x ∴=<-或3}2x >∴3,|12M N M N x x x ⎧⎫=∅=-≤≤>⎨⎬⎩⎭I U 或2，(){|2}U M N x x N =>=I ð，()U N M ⊆ð．故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的混合运算，子集、空集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】先求解双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式，可求离心率. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨设一个顶点为(,0)a ，243c a =，22222169b a b a c =+， 因为222b c a =-，代入解得53e =. 故答案为：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据题意构建,,a b c 的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 4．A 【解析】 【分析】先a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列求出等差数列的公差，结合求和公式可得. 【详解】设等差数列的公差为d ，因为a 1，a 3+2，a 6+8成等比数列，所以()()231628a a a +=+，()()2242510d d +=+，解得12d =或2d =-， 当2d =-时，320a +=与等比数列不符，舍去； 当12d =时，10109185102222S ⨯=⨯+⨯=；故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合，等差数列的求和的关键是确定基本量，侧重考查数学运算的核心素养. 5．C【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由约束条件作出可行域如图所示，其中(1,)A a a --，1(,)2a B a +，(0,1)C -，目标函数3z x y =-可化为3y x z =-，当直线过点B 时z 最大，所以3(1)22a a +-=，解得1a =，故选:C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 6．A 【解析】 【分析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系． 【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1， ∴c ＜a ＜b ． 故选A ． 【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．7．C 【解析】 【分析】先通过三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式求解. 【详解】根据三视图可知，该几何体可由一个大正四棱锥挖去一个小正四棱锥而得，如图所示，2=几何体的体积为2211313232⨯⨯-⨯⨯= 故选C. 【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的体积，一般步骤是根据三视图还原出原几何体的形状，得出几何体中各量的大小，再求几何体的体积. 注意三视图中正视图与侧视图能够反映几何体的高. 8．B 【解析】 【分析】结合所给函数的性质及特殊值可求. 【详解】因为()22()101110()()lg ()lg 101110x x x xf x f x x x --+==----=-+，所以()f x 为奇函数，排除选项C ；当10x =时，(10)2f ≈，排除选项D ；当0.1x =时，(0.1)0f ≈，排除选项A.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数性质结合特殊值是常用求解方法，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养. 9．B 【解析】 【分析】先根据三角函数的定义求解sin()4πα+，然后利用倍角公式可得.【详解】 因为角4πα+的终边与单位圆x 2+y 2＝1交于P （x 0，13），所以1sin()43πα+=，即sin cos 3αα+=，212sin cos 9αα+=，所以7sin 29α=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，熟记倍角公式和基本关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10．D 【解析】 【分析】由题意求得数列{}n a 的前8项，求得长方形ABCD 的面积，再求出6个扇形的面积和，由测度比是面积比得答案． 【详解】由题意可得，数列{}n a 的前8项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21．∴长方形ABCD 的面积为1321273⨯=．6个扇形的面积之和为222222(1235813)684ππ+++++=．∴所求概率681273P π=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，考查扇形面积公式的应用，是基础题． 11．B 【解析】 【分析】由双曲线方程求出焦点坐标，设AB 的方程为：2x my =+，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合基本不等式求||2||AF BF +的最小值． 【详解】由题意得，2a =1a =，则(2,0)F ，设AB 的方程为：2x my =+，联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，得28160y my --=． 设211(,)8y A y ，22(8y B ，2)y ，则1216y y =-． 222212122||2||22(2)6888y y y y AF BF +∴+=+++=+66+=+…当且仅当22122y y =，即12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩故选：B 【点睛】本题考查双曲线的简单性质、考查直线与抛物线位置关系的应用、基本不等式求最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题． 12．A 【解析】 【分析】利用翻折过程中的不变关系进行逐个验证. 【详解】取CD 的中点F ，连接,MF BF ，则1//,//MF A D BF DE ， 所以平面//BMF 平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ，故④不正确； 不妨设2AB a =，因为11=A D A E ，所以14A DE MFB π∠=∠=，11=22aMF A D =是定值，=BF DE =也是定值，由余弦定理可知MB 也是定值，故①正确，③不正确，因为M 在以B 为球心的球面上；由题意可得=DE CE =，2CD a =，所以222CD DE CE =+，即DE CE ⊥;若②成立，可得DE ⊥平面1A EC ，此时1DE A E ⊥，矛盾，故②不成立； 故选：A.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，翻折问题的处理要明确，翻折过程中哪些量发生变化是关键，侧重考查直观想象的核心素养. 13．12. 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理列方程求出x 的值，再计算||||b a r r 的值．【详解】向量(,2)a x =r，(2,1)b =-r ，则2(22,3)a b x -=+rr ，又a r 与2a b -r r 共线，所以32(22)0x x -+=，4x =-，所以2a b =r r ，即12b a =r r ，所以||1||2b a =rr ．故答案为：12． 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题． 14．21nn +. 【解析】 【分析】先根据S 2＝6，S 4＝30，求出n a ，然后可求n b ，利用裂项求和可得n T . 【详解】因为S 2＝6，S 4＝30，所以234422124a a S S q S a a +-===+， 因为0q >，所以2q =；由2121(1)6S a a a q =+=+=得12a =，所以2nn a =；22log 121n n b a n =-=-，()()111111()212122121n n b b n n n n +==--+-+， 所以11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++L . 故答案为：21nn +.【点睛】本题主要考查数列的求和，求和问题一般是根据通项公式的特点选择合适的求和方法，侧重考查数学运算的核心素养. 15．14 【解析】 【分析】根据1，4不相邻及“跳跃数”的特点分类进行求解. 【详解】 若为“M ”型：①第二位和第四位是4、5时，4、5的排法有2种，则1只有1种排法，2、3安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数；②第二位和第四位是3、5时，3、5的排法有2种，则4只有1种排法，1、2安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数； 若为“W ”型：③第二位和第四位是1、2时，1、2的排法有2种，则4只有1种排法，3、5安排在剩下的2个位置，此时有2×2＝4个跳跃数；④第二位和第四位是1、3时，1、3的排法有2种，此时只有2个跳跃数； 则一共有4+4+4+2＝14个跳跃数； 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查排列问题，限制条件较多的排列问题一般是先分类再分步处理，注意要优先考虑特殊元素和特殊位置，侧重考查逻辑推理的核心素养.16．24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 【解析】 【分析】 先由()()12121f x f x x x <--恒成立，得到()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立，令()()g x f x x =-，得到()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，所以函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，对函数求导，得到()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立，推出()21≤-x x a x e 在(]1,2x ∈上恒成立，令()2()1=-xx h x x e ，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果. 【详解】因为[]12,1,2x x ∀∈，12x x ≠，()()12121f x f x x x <--恒成立，即()()121210--<-f x f x x x 恒成立，即()()1122120---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦<-f x x f x x x x 恒成立， 令()()g x f x x =-，则()()12120g x g x x x -<-在[]1,2x ∈上恒成立，即函数()()g x f x x =-在区间[]1,2上单调递减，又()221()()111--''=-=-=-x x xae x axe ae g x f x x x ， 因此()2110--≤x ae x x在[]1,2x ∈上恒成立， 当1x =时，不等式可化为10-≤显然成立；当(]1,2x ∈时，不等式()2110--≤x ae x x 可化为()21≤-x x a x e ， 令()2()1=-xx h x x e ，则()()()()23322222222(1)22()0111--+---+-'===<---x xxxxx x x x x e x e x x xh x x ex ex e在区间(]1,2x ∈上恒成立，所以函数()2()1=-x x h x x e在区间(]1,2x ∈上单调递减，因此min 24()(2)==h x h e ，所以24≤a e ，即实数a 的取值范围是24e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，. 【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数，熟记导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.17．（1）2）（2【解析】 【分析】（1）先根据条件求解tan A ，然后结合正弦定理可得tan C ；（2）求解角C ，结合正弦定理表示出三角形的周长，结合角的范围可得周长的取值范围. 【详解】（1）因为3tan(20192)4A π+=， 所以22tan 3tan 21tan 4A A A ==-.A ∈（0，π）. 解得1tan 3A =或tan 3A =-.因为cos cos 0c A C +=，所以sin cos cos 0C A A C +=，所以tan C A =-=（2）若C为钝角，所以tan C =C ∈（0，π）. 所以23C π=.又c =，所以A +B 3π=，22sin sin sin 3a b A B π===. 所以2sin ,2sin a A b B ==.△ABC的周长＝2sin 2sin A B ++2sin 2sin()3A A π=+-+2sin()3A π=++A ∈（0，3π），A 3π+∈（3π，23π），所以sin()32A π+∈.所以△ABC 的周长的范围为2+. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求解三角形，三角形中的范围问题一般是转换为角的表达式，然后根据角的范围求解，侧重考查数学运算的核心素养.18．（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）先证明AB ⊥平面BCF ，然后可得平面EFD ⊥平面ABFE ；（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，然后利用向量的夹角公式可求. 【详解】（1）由题可得，因为ABCD 是正方形且三角形FBC 是正三角形，所以BC ∥AD ，BC ＝AD ，FB ＝BC 且∠FBC ＝60°，又因为EA ∥FB ，2EA ＝FB ，所以∠EAD ＝60°，在三角形EAD 中，根据余弦定理可得：ED ⊥AE. 因为平面ABCD ⊥平面FBC ，AB ⊥BC ，平面ABCD ∩平面FBC ＝BC ，且AB ⊆平面ABCD ，所以AB ⊥平面BCF ，因为BC ∥AD, E A ∥FB ，FB ∩BC ＝B ，且FB 、BC ⊆平面FCB ，EA 、AD ⊆平面EAD ，所以平面EAD ∥平面FBC ，所以AB ⊥平面EAD ， 又因为ED ⊆平面EAD ，所以AB ⊥ED ，综上：ED ⊥AE ，ED ⊥AB ，EA ∩AB ＝A 且EA 、AB ⊆平面ABFE ，所以DE ⊥平面ABFE ， 又DE ⊆平面DEF ，所以平面EFD ⊥平面ABFE.（2）如图，分别取BC 和AD 的中点O ，G ，连接OF ，OG ， 因为BO ＝OC 且三角形FBC 为正三角形，所以FO ⊥BC ， 因为AG ＝GD ，BO ＝OC ，所以OG ∥AB ，由（1）可得，AB ⊥平面FBC ，则OG ⊥平面FBC ，故OF 、OB 、OG 两两垂直，分别以OB 、OG 、OF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC ＝4，则(()00200F C -，，，，，()(24014D E ---，，，， 设平面DEF 的法向量为()111n x y z =r ，，，平面DCF 的法向量为()222m x y z =u r，，， 则00DF n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v⇒1111124030x y x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩⇒(11n =r，， 则00DF m DC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u uv r⇒222224040x y y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩⇒)01m =-ur ，，所以cos 5n m n m n m⋅===r u rr u r r u r ，又二面角E ﹣FD ﹣C 是钝二面角，所以二面角E ﹣FD ﹣C的余弦值为【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明及二面角的求解，空间向量是求解二面角的最有效工具，侧重考查逻辑推理和直观想象的核心素养.19．（1）填表见解析；有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）先根据比例关系求解男女同学的人数，完成表格，求解观测值得出结论；（2）根据二项分布的特点求解分布列和期望、方差.【详解】（1）因为男生与女生的人数之比为11：13，且总人数为120，所以男生共有55人，女生共有65人；表格如下：根据表格求出K22120301525509606.713 6.63555654080143⨯-⨯==≈⨯⨯⨯（）＞，故有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”.（2）由列表可知，对冰壶有兴趣的学生频率为8021203=，将其视为概率，由题意X～B（5，2），E（X）＝np210533=⨯=，D（x）＝npq21105339=⨯⨯=.【点睛】本题主要考查独立性检验和随机变量的分布列、期望和方差，利用特殊分布的公式能简化求解过程，侧重考查数据处理的核心素养.20．（1）22142x y +=（2）x y ﹣2＝0 【解析】【分析】（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，可以求解方程；（2）设出直线方程，联立方程组，结合三角形的面积为可得直线斜率，从而可得方程.【详解】（1）由题意得e c a ==22211a b +=，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆的方程：22142x y +=.（2）由（1）得左焦点F （0），A （2，0），设直线AM ：y ＝k （x ﹣2），由题意得D（0，﹣2k ），∴k DF==，∵EF ⊥DF ，∴k EF=，∴直线EF 的方程：x =- 令x ＝0，则y 1k =，所以点E （0，1k ），所以k EA 1122k k==--， 所以直线EA ：x ＝﹣2ky +2，联立与椭圆的方程整理得：∴y 22842412k k k k ==++，x 222412k k -=+，所以点G （222412k k-+，2412k k +）； 联立直线AM 与椭圆的方程整理得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣4＝0，解得：x 1＝2，x 2224212k k -=+，∴y 22412k k =-+，所以点M （224212k k -+，2412k k -+）， 所以点M ，G 关于原点对称，即直线MG 过原点，∴S △AMG 12OA =⋅⋅2|y M |22881221212k k k k =⋅⋅=++，由题意得：2812k k=+，解得：k2=±，由点M （s ，t ）（t ＞0）得，k 2=-AM 为：y 2=-x ﹣2），即直线AM ：x +﹣2＝0.【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，明确三角形面积的转换方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.21．（1）1a ≥；（2）(0,1).【解析】【分析】（1）利用等价转化，求解2ln x x y x +=的最大值即可； （2）把()()f x g x =的解的情况等价转化为2ln x x a x +=有两解，结合图象变化趋势可求. 【详解】（1）因为2()e ,()e ax x f x x g x ==.若x ≤0时，f （x ）≤0，g （x ）＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立；若x ＞0，f （x ）≤g （x ）恒成立等价为2e e x ax x ≤， 即2ln x x x a +≤，即有max 2ln ()x x a x+≥， 设2ln ()x x h x x +=， 312ln ()x x h x x --'=， 令2()12ln ,()10u x x x u x x '=--=--<， 可得()u x 在x ＞0递减，当x ＞1时，()(1)0u x u <=，即()0h x '<，()h x 在x ＞1递减；当0＜x ＜1时，()(1)0u x u >=，即()0h x '>，()h x 在0＜x ＜1递增，则()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥.（2）若x ≤0时，()0,()0f x g x ≤>，()()f x g x =无解；当x ＞0时，()()f x g x =恒成立等价为2e e x x a x =， 即2ln x x x a +=，即有2ln x x a x +=有两解， 设2ln ()x x h x x +=， 由（1）可知()h x 在x ＝1处取得极大值，且为最大值1，max ()(1)1h x h ==，且x →+∞，()0h x →，当,()x h x →-∞→-∞，可得0＜a ＜1时，关于x 的方程()()f x g x =有两个不同的解，故a 的范围是(0,1).【点睛】本题主要考查恒成立问题及利用导数研究函数的性质，恒成立问题一般转化为最值问题，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.22．（1）a ＝0（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及极径的应用求出结果．【详解】（1）直线1的参数方程为112x y a t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.转换为直角坐标方程为x10--=.曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，整理得ρ2＝2ρcosθ，转换为直角坐标方程为x 2+y 2＝2x ，转换为（x ﹣1）2+y 2＝1.由于曲线关于直线l 对称，所以圆心（1，0）在直线l 上，故a ＝0.（2）由点A 、B 在圆ρ＝2cosθ上，且∠AOB 3π=，所以设∠AOx ＝α，02πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3BOx π∠α=-，则：|OA |+|OB |＝2cos 233cosππααα+-=+≤（）（），当且仅当6πα=时，等号成立.故OA |+|OB |的最大值为【点睛】 本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23．（1）{x |x ≤﹣2或x≥1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对绝对值函数进行分段讨论，解不等式即可；（2）求出()f x 的最小值，得到2a b c ++=，利用柯西不等式证明即可．【详解】（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|x +2|212321211x x x x x --≤-⎧⎪=-⎨⎪+≥⎩，，＜＜，，当x ≤﹣2时，﹣2x ﹣1≤x 2﹣1，得x 2+2x ≥0，所以x ≤﹣2；当﹣2＜x ＜1时，3≤x 2﹣1，得x 2≥4，无解当x ≥1时，由2x +1≤x 2﹣1，得x 2﹣2x ﹣2≥0，得x≥1综上，不等式的解集为{x |x ≤﹣2或x≥1；（2）证明：因为f （x ）＝|x ﹣a |+|x +2|≥|x ﹣a ﹣x ﹣2|＝|a +2|＝a +2＝4﹣b ﹣c ，得a+b+c＝2，所以11a b c+=+21111(1122a b ca b c+++≥+=+)[(）]（）2，当且仅当a+b＝c＝1时成立，故原命题得证.【点睛】考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．。

卜人入州八九几市潮王学校2021届国光、德化一中、一中高三数学理科期末联考试卷一、选择题：〔每一小题5分，一共60分〕1、 设i 为虚数单位，31ii -+的值是〔〕 A 、-1+iB 、-1-iC 、1+iD 、1-i2．22132lim 2x x x x x →-+=+-〔〕 A ．1B13C 1-D 不存在 3．的值为则若其中已知向量x b a b a x x b x a ),2//()2(,0),1,(),21,8(→→→→→→+->==〔〕 A 、4B 、8 C 、0D 、2 4、直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,3A ，那么b 的值是〔〕A 、3B 、-3C 、5D 、-5 5、假设不等式2ax b +<的解集为()1,2-，那么实数a 等于〔〕A 、8B 、2C 、-4D 、-86、设抛物线)0(2>=p px y 的准线为l ，将圆922=+y x 按向量)0,2(=a 平移后恰与l 相切，那么p的值〔〕A 、21B 、2 C 、4D 、41C 7、假设以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于〔〕A ．5B ．25C ．3D ．28、椭圆2212516x y +=的焦点1F 、2F ，椭圆上一点p 有01260F PF ∠=，那么12PF F ∆的面积为〔〕A B 、、9、棱长为2的正四面体内接于球，那么球的外表积〔〕A 、3πB 、2πC 、πD 、2π 10、假设f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2，那么(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f +…+(2006)(2005)f f 等于〔〕A 、2021B 、1002C 、2021D 、100311、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，那么动点P 的轨迹是() A ．线段B 1CB ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段.①“//a b 直线直线〞的充要条件是“//a b 所在“平面〞〞 ②“直线l⊥平面α内所有直线〞的充要条件是“l α⊥平面〞③“直线a 、b 为异面直线〞的充分不必要条件是“a 、b 不相交〞 ④“平面//α平面β〞的必要不充分条件是“平面α内存在不等线三点到平面β的间隔相等〞〕A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④ 二、填空题(每一小题4分，一共16分)13、向量OA =〔k,12〕，OB =〔4，5〕，OC =〔－k,10〕，且A 、B 、C 三点一共线，那么k=______.14、设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩那么32z x y =-的最大值15．A(12-，0)，B 是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心〕上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，那么动点P 的轨迹方程为．16、直线1:370l x y +-=，2:20l kx y --=与x 轴，y 轴的正半轴围成的四边形有外接圆，那么k=三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明、证明过程或者推演步骤。

2022届江西省丰城市高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．集合{}2N 6,N y y x x ∈=-+∈的真子集的个数是（）A ．15B ．8C ．7D ．63【答案】C【分析】根据条件求解x y ，的范围，结合N N x y ∈∈，，得到集合为{2,5,6}，写出其真子集即得解.【详解】由于2N 60y y x ∈∴=-+≥，66x ∴-≤≤，又N x ∈，0,1,2x ∴=，6,5,2y ∴=，即集合{}2N |6,N {2,5,6}y y x x ∈=-+∈=，该集合的所有真子集为{}{}{}{}{}{},2,5,6,2,5,2,6,5,6∅，∴该集合的真子集个数为7，故选：C.2．已知20241i 2z -⎛⎫= ⎪⎝⎭（i 是虚数单位），则z =（）A ．1-B ．1C ．0D ．i【答案】B【分析】根据复数的乘方运算结合虚数单位i 的性质，即可求得答案.【详解】由题意2024210121012101242531i 1i 2i i (i )1222z ⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选：B3．已知0a >，0b >，条件:4p a b ab +=，条件:9q a b +≥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p 则q ”的真假，取特值计算说明“若q 则p ”的真假即可判断作答.【详解】因0a >，0b >，由4a b ab +=得：141a b +=，则()1445549b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =，即3a =，6b =时取等号，因此，p q ⇒，因0a >，0b >，由9a b +≥，取1,8a b ==，则412a b +=，8ab =，即4a b ab +≠，q p ¿，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A4．函数()()()21ln 2ln 2x f x x x -=+--的大致图象是（）A ．B ．C．D．【答案】A【详解】分析函数()f x 的奇偶性及其在()0,1上的函数值符号、以及函数()f x 的零点，结合排除法可得出合适的选项.【分析】由()()2020ln 2ln 20x x x x ⎧->⎪+>⎨⎪+--≠⎩，可得22x -<<且0x ≠，故函数()f x 的定义域为()()2,00,2-⋃，()()()()21ln 2ln 2x f x f x x x --==---+，即函数()f x 为奇函数，排除D 选项；当01x <<时，210x ->，220x x +>->，则()()ln 2ln 2x x +>-，则()0f x >，排除C 选项；由()0f x =可得1x =±，排除B 选项.故选：A.5．某平台设有“人物”“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段“人物”更新了2篇文章，“视听学习”更新了4个视频．一位学习者准备从更新的这6项内容中随机选取2个视频和2篇文章进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．144种【答案】C【分析】先从4个视频中选2个，再全选2篇文章，然后将2篇文章捆绑与三个学习内容全排列，最后利用分步计数原理求解.【详解】根据题意，从4个视频中选2个有24C 种方法，2篇文章全选有22C 种方法，2篇文章要相邻则可以先捆绑看成1个元素，三个学习内容全排列有33A 种方法，最后需要对捆绑元素进行松绑全排列有22A 种方法，故满足题意的学法有22324232C C A A 72=（种）．故选：C6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价(元)456789销量(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程 y =-4x +a ，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】先求得样本点，进而得到回归直线方程，再得到在回归直线右上方的点的个数，代入古典概型概率公式求解.【详解】因为()11345678962x =+++++=，()1908483807568806y =+++++=，所以4106a y x =+=，即 4106y x =-+满足41060x y +->的点有()()()6,83,7,80,8,75，共3个所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为3162p ==，故选：C7．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩(110,100)X N ~，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：()0.68,(2)0.95P X P X μσμσ-<≈-<≈）A ．16B ．10C ．8D ．2【答案】C【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.【详解】因为数学成绩(110,100)X N ~，所以110,10μσ==，因此由1(11010)0.68(100120)0.68(110120)0.680.34,2P X P X P X -<≈⇒<<≈⇒<<≈⨯=所以有11(120)(110120)]0.340.1622P X P X ≥=-<<=-=，估计该班数学得分大于120分的学生人数为0.16508⨯=，故选：C8．已知定义在R 上的函数()1f x +为偶函数，当1x ≥时，()2ln f x x x =+，则不等式()()1f x f x -≥的解集为A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],2∞-C ．[)2,∞+D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】()2ln f x x x =+在[)1,+∞上为增函数，再利用()y f x =的图像关于直线1x =对称可得111x x --≥-，解这个不等式可得x 的取值范围.【详解】当1x ≥时，2y x =为增函数，ln y x =也是增函数，故()2ln f x x x =+为增函数.又因为函数(1)f x +为偶函数，所以()y f x =的图像关于直线1x =对称.因为()()1f x f x -≥，故111x x --≥-即1x x ≥-，两边平方后得到21x ≥即12x ≥，故选D ．【点睛】本题考查函数的单调性和函数图像的对称性，函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.另外，如果函数的解析式满足()()f a x f b x -=+，那么函数的图像关于直线2a bx +=对称.9．已知圆O 的方程为221x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的一条切线PA ，切点为A ，若8PO PA ⋅=，则2a b +的最大值为（）A ．35B ．25C ．32D ．22【答案】A【分析】根据向量数量积公式得到22PA =，由勾股定理得到229a b +=，设3cos ,3sin a b θθ==，[)0,2πθ∈，利用三角恒等变换求出最大值.【详解】因为PA 为圆O 的一条切线，故AO PA ⊥，则2cos 8PO PA PO PA APO PA ⋅=⋅∠== ，解得22PA =，由勾股定理得222189OP OA PA =+=+=，即229a b +=，可设3cos ,3sin a b θθ==，[)0,2πθ∈，则()s 2cos 3i s 6n 35in a b θθθϕ+==++，其中tan 2ϕ=，故2a b +的最大值为35.故选：A10．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别a ，b ，c ，若2a =，2cos 2cos cos b A C c A =+，则()12AM AB AC =+uuur uuu r uuu r，则AM 的取值范围是（）A ．13,22⎛⎤⎥⎝⎦B ．33,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,3⎤⎦D ．(]1,3【答案】C【分析】根据正弦定理边角互化可得1cos 2A =，进而可得π3A =，根据向量的模长公式，由余弦定理结合基本不等式即可求解.【详解】由题意知2cos cos cos b A a C c A =+，由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=，sin()sin 2sin cos A C B B A ∴+==，又sin 0B ≠ ，∴1cos 2A =，故在ABC 中,π3A =．1()2AM AB AC =+，∴2222222111(2)(2cos )()444AM AB AB AC AC c b cb A c b cb=+⋅+=++=++，又 由余弦定理可得：222222cos 4a c b cb A c b cb =+-=+-=，∴()2211||(42)242AD AD cb bc==+=+，由2242c b cb cb cb cb +-=≥-=，当且仅当c b =时取等号，∴21||(24)32AD ≤+= ，∴||AD的最大值为3．又()2211||(42)2142AD AD cb bc ==+=+>，故AM 的取值范围是(1,3⎤⎦，11．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A ．120B ．112C ．110D ．16【答案】A【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共55A 120=个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.24C ×16=因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有24C 6=个，所以所求的概率6112020P ==．故选：A ．12．设0.1ln1.1,0.21,1a b c e ===-，则（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c <<D ．b<c<a【答案】B【分析】构造函数2()(1)x m x x e =+-(0)x >,证明b c >；构造函数()ln(1)1(0)x g x x e x =+-+>，证明a c <，即得解.【详解】解：0.10.120.10.211 1.21(10.1)b c e e e -=-+=-=+-设2()(1)x m x x e =+-(0)x >所以()22(),x m x x e n x '=+-=所以()2,x n x e '=-所以(0,ln 2)单调递增，(ln2,)+∞单调递减，所以()(ln 2)2ln 2,n x n ≤=当0x →时，()0n x >，所以()220x m x x e '=+->在(0,ln 2)上恒成立，所以函数()m x 在(0,ln 2)单调递增，所以20.100(0.1)(0),(10.1)(10.1)0m m e e >∴+->+-=，所以20.1(10.1)e +>.所以b c >.0.10.1ln1.11ln(10.1)1a c e e -=-=+-++设()ln(1)1(0)x g x x e x =+-+>，所以11()11x x xxe e g x e x x --'=-=++，设()1,()20x x x x h x xe e h x e xe '=--∴=--<，所以()h x 在()0,+∞上单调递减，所以()(0)1010h x h <=--=，所以()0g x '<，所以函数()g x 在()0,+∞上单调递减，所以()0g x <，所以0.1ln(1)1,ln1.11,x x e e a c +<-∴<-∴<.故a c b <<.故选：B二、填空题13．已知函数()34log ,042,03xx x f x x +>⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，则14log 9⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f _____【答案】4【分析】先判断得14log 90<，代入分段函数解析式计算得14log 9f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再计算14log 9f f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为14log 90<，所以11242log 9log 9144441log 92213333-⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭f ，从而得()134log 914log 14⎡⎤⎛⎫==+=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f f f .故答案为：4.14．若()1213sin 2m x x dx -=+⎰，在2nm x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为65，则展开式常数项为______．【答案】60【分析】根据定积分可得1m =，进而由二项式的通项特征即可求解通项为(){}3626C 21,0,1,2,3,4,5,6r rr rxr --∈6-，令36042r r -=⇒=即可代入求值.【详解】()()123111331311sin d cos cos1cos 11223233m x x x x x --⎛⎫⎛⎫=+=⨯-=⨯-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，12=2n nm x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1x =，故得系数之和为1，而二项式系数和为2n 由二项式系数和以及项之和可得21656n n +=⇒=，由于二项式展开式的通项为()()(){}13662266C 21C 21,0,1,2,3,4,5,6r r r r rr r rx xxr ----∈-6-=，令36042r r -=⇒=，所以常数项为()4426C 21=60-，故答案为：6015．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若3613S S =，则612S S ＝【答案】【详解】试题分析：若S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，则也是等差数列；所以也是等差数列，由3613S S =可设，则，于是可得相邻三项和依次为,2,3,4t t t t ，即，所以612S S =.16．若函数1,0()ln ,0mx x f x x x x --≤⎧=⎨>⎩图像上有且仅有两对点关于y 轴对称，则实数m 的取值范围是______．【答案】(1,)+∞【分析】利用对称性，将问题转化成()1(0)h x mx x =-≥与()ln (0)f x x x x =>有两个不同的交点，从而得到ln 1(0)x x mx x =->有两个解，再通过分离常量得到1ln m x x=+，构造函数1()ln (0)g x x x x=+>，利用单调性求出()g x 的取值范围，进而求出结果.【详解】当0x ≤时，()1f x mx =--，其关于y 轴对称的函数为()1(0)h x mx x =-≥，因为函数1,0()ln ,0mx x f x x x x --≤⎧=⎨>⎩图像上有且仅有两对点关于y 轴对称，所以，由ln 1(0)x x mx x =->，得到1ln m x x =+，所以1,ln y m y x x==+有两个不同的交点，令1()ln (0)g x x x x=+>，则22111()x g x x x x -'=-=，所以，()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，所以()(1)1g x g ≥=，又当0x →时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，故()g x 的图象如图，所以1m >，故答案为：(1,)+∞.三、解答题17．已知函数()()()3sin cos f x x x ωϕωϕ=+-+，()0,0πωϕ><<为奇函数，其图像相邻的对称轴之间的距离为π2．(1)求函数()f x 的解析式及其减区间；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，若π326A f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3a =，2b =，求ABC S ．【答案】(1)()2sin 2f x x =，()f x 的减区间为π3π,ππ,Z 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)32.【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式，然后由对称轴间距离求得周期得ω，由奇函数性质得ϕ，从而得解析式，然后利用正弦函数的单调性得减区间；（2）由（1）求得A ，利用正弦定理求B ，由内角和公式求C ，由三角形面积公式求ABC S ．【详解】（1）()π3sin()cos()2sin 6f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，由函数()f x 相邻的对称轴之间的距离为π2，π2π2T =⨯=，所以2π2π2πT ω===，又0ω>，故2ω=∴π()2sin 26f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又∵()f x 为奇函数，∴(0)0f =，即π2sin 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得ππ6k ϕ-=，即ππ6k ϕ=+，而π0π,6ϕϕ<<=，故()2sin 2f x x =，因为函数()2sin 2f x x =的定义域为R ，定义域关于原点对称，又()()()2sin 22sin f x x x f x -=-=-=-，所以()2sin 2f x x =为奇函数，满足要求，令π32π2π2π,Z 22k x k k +≤≤+∈，得π3πππ,Z 44k x k k +≤≤+∈，∴()f x 的减区间为π3π,ππ,Z 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可知()2sin 2f x x =，又π326A f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π2sin 33A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π3sin 32A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵(0,π)A ∈，∴ππ4π,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴π2π33A +=，即π3A =，由正弦定理可得sin sin a b A B=，又3a =，2b =，所以32sin 32B =，所以sin 1B =，因为()0,πB ∈，所以π2B =，所以ππ6C A B =--=，所以1sin 2C =，所以1113sin 322222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=.18．根据11月份中国某信息网发布的我国A 市2021年上半年新锐品牌人群用户（新锐品牌人群，指在指定周期内浏览新锐品牌相关内容以及商品详情页的人群）性别分析数据，得到男性、女性用户比例为3:1．A 市对购买家电类新锐品牌人群中随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，统计出每位顾客购买家电消费金额，根据这些数据得到如下的频数分布表：消费金（元）[]0,100(]100,1000(]1000,5000(]5000,10000()10000,+∞女性顾客人数50301064男性顾客人数204024106(1)若以我国A 市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为A 市抽取新锐品牌人群中性别概率，从A 市新锐品牌人群中随机抽取4人，X 为4人中男性的人数，求X 的数学期望．(2)根据A市统计购买家电消费金额数据频数分布表，完成下列22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上与性别有关？不超千元千元以上合计女性顾客男性顾客合计附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++()2P K k≥0.050.010.001 k 3.841 6.63510.828【答案】(1)3(2)列联表见解析；有99%的把握.【分析】（1）计算出从A市新锐品牌人群中随机抽取1人为男性的概率为34，判断3(4,)4X B:，即可求得答案；（2）由题意得出列联表，计算2K的值，与临界值表比较，即可得结论.【详解】（1）由题意知以我国A市2021年上半年新锐品牌人群用户性别分析数据作为A市抽取新锐品牌人群中性别概率，男性、女性用户比例为3:1，故从A市新锐品牌人群中随机抽取1人为男性的概率为3 4，则随机抽取4人，X为4人中男性的人数，则3(4,)4 X B :,故X的数学期望为3 ()434E X=⨯=.（2）由题意可得列联表：不超千元千元以上合计女性顾客8020100男性顾客6040100合计14060200故()22200804060209.524 6.63510010014060K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为购买家电类新锐品牌人群消费金额千元以上与性别有关.19．已知数列{}n a 满足()*2144n n n a a a n N ++=-∈，且124,12a a ==.(1)证明：{}12n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)在①1n n n b a a +=-；②2log nn a b n=；③21n n n n a b a a ++=这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列{}n b 满足__________，求{}n b 的前n 项和n T .（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)证明见解析，()12nn a n =+⋅(2)答案见解析【分析】（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）若选①：利用错位相减法进行求解即可；若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前n 项和公式进行求解即可；若选③：根据裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）因为2144n n n a a a ++=-，所以()211222n n n n a a a a +++-=-，又124,12a a ==，于是2124a a -=，所以{}12n n a a +-是以4为首项2为公比的等比数列.所以1122n n n a a ++-=，两边除以12n +得，11122n nn na a ++-=.又122a =，所以2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项1为公差的等差数列.所以12nn a n =+，即()12n n a n =+⋅.（2）若选①：1n n n b a a +=-，即()()()1221232n n nn b n n n +=+⋅-+⋅=+⋅.因为()12342526232nn T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，所以()2341242526232n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ .两式相减得，()()12314222232nn n T n +-=⨯++++-+⨯ ()()()11142183222421n n n n n -++⨯-=+-+⨯=-+⨯+-，所以()1224n n T n +=+⨯-.若选②：2log n n a b n=，即22211log log 2log n n n n b n n n ++=+=+.所以()222231log log log 1212n n T n n +⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭()21231log 122n n n n ++⎛⎫=⨯⨯⨯+⎪⎝⎭ ()()21log 12n nn +=++若选③：21n n n n a b a a ++=，即11144114n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫-==- ⎪⎝⎭.所以12231111111444n n n T a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()111111111441.42222n n n a a n n +-+⎡⎤⎛⎫=-=-=-⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦20．甲、乙两支女子排球队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束），假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，各局比赛的结果相互独立．(1)求乙队获胜的概率；(2)设比赛结束时甲队和乙队共进行了X 局比赛，求随机变量X 的分布列及数学期望．【答案】(1)1781(2)分布列见解析，()10727E X =【分析】（1）根据题意，结合五局三胜制规则，分别求得比赛三、四和五局且乙队获胜的概率进而求得乙队获胜的概率；（2）随机变量X 的取值为3，4，5，求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望.【详解】（1）由题意知，比赛三局且乙队获胜的概率3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，比赛四局且乙队获胜的概率为22231212C 33327P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，比赛五局且乙队获胜的概率为222342118C 33381P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以乙队获胜的概率为1231281727278181P P P P =++=++=．（2）依题意随机变量X 的可能取值为3，4，5，则()332113333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22223321212182104C C 333333272727P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22242185C 3327P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=．21．已知函数()212ln 2f x x bx a x =++．(1)当0a >，2a b +=-时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若2b =-，且()()()12120f x f x x x ''==≠，若()()12f x f x m +>，求实数的m 最大值．【答案】(1)答案见解析；(2)m 最大值为3-．【分析】（1）首先求出函数的导函数，再对a 分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）首先求出函数的导函数，依题意方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，利用韦达定理得到不等式组，即可求出参数a 的取值范围，从而得到()()122ln222f x f x a a a +=--，再令()12ln22202h a a a a a ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，利用导数求其范围，由此可得m 最大值．【详解】（1）因为()212ln 2f x x bx a x=++当0a >，2a b +=-时，可得()()()()222222(0)x a x a x a x a f x x a x x x x-++--=--+==>'，令()0f x '=，解得x a =或2，当2a >时，当02x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,2上单调递增，当2x a <<时，()0f x '<，函数()f x 在在()2,a 上单调递减，当x a >时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),a +∞上单调递增；当2a =时，()()220x f x x-'=≥，当且仅当2x =时取等号，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当02a <<时，当0x a <<时()0f x ¢>，函数()f x 在()0,a 上单调递增，当2a x <<时()0f x '<，函数()f x 在(),2a 上单调递减，当2x >时()0f x ¢>，函数()f x 在()2,+∞上单调递增，（2）当2b =-时，()22222(0)a x x af x x x x x'-+=-+=>．()()()12120f x f x x x ''==≠所以方程2220x x a -+=有两个正根12,x x ，12122,20,x x x x a +=⎧∴⎨⋅=>⎩且480a ∆=->，解得10,2a <<，由题意得()()22121112221122ln 22ln 22f x f x x x a x x x a x +=-++-+()()()22121212122ln 2x x x x a x x =+-++⋅()()()212121212122ln 2x x x x x x a x x =+-⋅-++⋅2ln222a a a =--，令()12ln22202h a a a a a ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭．则()()2ln20,h a a y h a <'=∴=在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递椷，()132h a h ⎛⎫∴>=- ⎪⎝⎭，()()123f x f x ∴+>-，因为()()12f x f x m +>恒成立，所以3m ≤-，所以m 最大值为3-．【点睛】关键点点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1,x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C ：()π06θρ= 和3C ：()π06θρ=- ，曲线1C 分别交2C ，3C 于P ，Q 两点.(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)求OPQ △的面积.【答案】(1)24cos 2ρθ=，()303y x x =≥；(2)23.【分析】（1）先求出曲线1C 的普通方程，再求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以122OP ρ==，设2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得222OQ ρ==，再求解.【详解】（1）解：由参数方程1,1,x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），可得2,2,x y t x y t +=⎧⎪⎨-=⎪⎩消去t 可得1C 的普通方程为224x y -=.又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入224x y -=，可得2222cos sin 4,ρθρθ-=，即1C 的极坐标方程为24cos 2ρθ=；由极坐标方程()π06θρ=≥，可得3tan 3θ=，所以2C 的直角坐标方程为()303y x x =≥.（2）解：设1π,6P ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 2ρθ=，可得2148πcos 3ρ==，所以122OP ρ==.设2π,6Q ρ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得222OQ ρ==，所以11ππsin 2222sin232266S OP OQ POQ ⎛⎫=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭.23．己知函数()22211025f x x x x x =-++-+．(1)解关于x 的不等式()6f x >；(2)记()f x 的最小值为m ，若a 、b 、c 都是正实数，且111234m a b c ++=，求证：239a b c ++≥．【答案】(1)不等式()6f x >的解集为{0x x <或}6x >；(2)证明见解析.【分析】（1）化简函数解析式，分1x ≤、15x <<、5x ≥三种情况解不等式()6f x >，综合可得出原不等式的解集；（2）由已知可得111123a b c++=，利用柯西不等式即可证得原不等式成立.【详解】（1）由()22211025f x x x x x =-++-+，可得()15f x x x =-+-，当1x ≤时，由()15626f x x x x =-+-=->，解得0x <，此时0x <；当15x <<时，()154f x x x =-+-=，此时不等式()6f x >无解；当5x ≥时，由()15266f x x x x =-+-=->，解得6x >，此时6x >.综上所述，不等式()6f x >的解集为{0x x <或}6x >.（2）由绝对值三角不等式可得()()()15154f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当15x ≤≤时等号成立，所以()f x 的最小值为4，故4m =，由题意可知，正实数a 、b 、c 满足111123a b c++=，由柯西不等式可得()212323239231123a b c a b c a b c a b a b c c ⎛⎫⎛⎫++=++≥++= ⎪ +⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，当且仅当233a b c ===时，等号成立，故原不等式得证.。