汕头市高三理科数学期末考试试题及其答案

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅n m ，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =<DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离5d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为TQ TP TA t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)si n ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(.23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅n m ，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =<DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离5d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为TQ TP TA t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)si n ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(.23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅DA DC DC DB DB DA ，动点M P ,满足1||=，PM =，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n . 18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b AB AP -==，设),,(z y x m =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b =，设),,(r q p =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅BE n PC n ，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=，)2,2,2(--=，21||||,cos =>=<DP n ，所以 60,>=<DP n ，因为PD 与平面PBC 所成角和><DP n ,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=，依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty tx sin cos 1（t为参数，π≤≤t 0）.（2）设)si n ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差2.2=，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b -==，设),,(z y x =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅AB m AP m ，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b m =，设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，21||||,cos =>=<DP n DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E .（ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

汕头市高三上学期期末统一检测理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟．第一部分（选择题 满分40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若A ∩B {1,3}=，则b a +的值是( )．A.10B.9C.4D.72．如图在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,， 则复数12z z 的值是( )． A ．i 21+- B ．i 22-- C ．i 21+ D ．i 21-3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其 中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为( )．A.100B.1000C.90D.9004．若向量)1,1(),0,2(==b a ，则下列结论正确的是( )．A ．1=⋅ B.||||b a = C ．⊥-)( D ．//5．如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD 的底面边长为6cm ，侧棱长为5cm ，则它的侧视图的周长等于( )．A.17cmB.cm 5119+C.16cmD.14cm6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π； 命题q ：函数y ＝cosx 的图象关于直线x ＝2π对称，则下列的判断正确的是（ ） A 、p 为真 B 、⌝q 为假 C 、p ∧q 为假 D 、p q ∨为真7、若（9，a ）在函数2log y x =的图象上，则有关函数()x x f x a a -=+性质的描述，正确提（ ）A 、它是定义域为R 的奇函数B 、它在定义域R 上有4个单调区间C 、它的值域为（0，＋∞）D 、函数y ＝f （x －2）的图象关于直线x ＝2对称8、计算机中常用的十六进制是逢16进1的数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E ＋D ＝1B ，则A×B ＝（ ）A 、6EB 、72C 、5FD 、5F D 、B0第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：．9、已知数列{n a }的前几项为：1925,2,,8,,18222---⋅⋅⋅用观察法写出满足数列的一个通项公式n a ＝＿＿＿10、72()x x -的展开式中，x 3的系数是＿＿＿＿（用数字作答）11、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，c = A ＋B ＝2C ，则sinB ＝＿＿＿＿12、已知x ＞0，y ＞0，且19x y+＝1，则2x ＋3y 的最小值为＿＿＿＿ 13、设f （x ）是R 是的奇函数，且对x R ∀∈都有f （x ＋2）＝f （x ），又当x ∈［0,1］时，f （x ）＝x 2，那么x ∈［2011,2013］时，f （x ）的解析式为＿＿＿＿＿（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14. （坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线21x t y t=--⎧⎨=-⎩（t 为参数）截圆22cos ρρθ+－3＝0的弦长为＿＿＿＿15. （几何证明选讲）已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为AB ＝3，则切线AD 的长为＿＿＿＿三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知函数1()tan()36f x x π=-(I)求f （x ）的最小正周期；(II)求3()2f π的值；(皿)设71(3)22f απ+=-，求sin()cos())4πααππα-+-+的值.17.（本小题满分12分）汕头市澄海区以塑料玩具为主要出口产品，塑料厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(I)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出3件进行检验.求恰有1件是合格品的概率；(H)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定，该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收，求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望E ξ，并指出该商家拒收这批产品的概率。

2022年广东省汕头市第六中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（1，）D．（，+∞）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于半径求得a和b 的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．2. 与的图像关于A．轴对称B．轴对称C．原点对称 D．对称参考答案：B略3. 设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A.-2 B. C. D. 2参考答案：C略4. 已知点是的外心，是三个单位向量，且，如图所示，的顶点分别在轴的非负半轴和轴的非负半轴上移动，是坐标原点，则的最大值为A．B．C．D．参考答案：C5. 已知，，且，则下式一定成立的是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C试题分析：由题意得，对于A选项而言，当时，，不成立；对于B选项而言，当时，，不成立；对于C选项而言，，成立；对于D选项而言，当时，，不成立，综合故选C．考点：1.指数函数的性质；2.对数函数的性质.6. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象( )A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．[来源:Z_xx_]7. 四棱锥的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右图所示，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A． B．C． D．参考答案：D略8. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D.考点：诱导公式.9. 如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（）A． B． C． D．参考答案：D10. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A．B．C．－45 D．45参考答案：D，所以展开式的第三项系数为，第五项系数为，所以，解得：n=10。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ） A ．)0,(-∞ B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6π B ．向左平移6π C. 向左平移6π D ．向左平移6π 5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >> 11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||==，2-=⋅=⋅=⋅，动点M P ,满足1||=，=，则2||的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值，标准差2.2=，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x-=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b b -==-=，从而0,0=⋅=⋅，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b AB AP -==，设),,(z y x m =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅AB m AP m ，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b m =，设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，21||||,cos =>=<DP n DP n ，所以 60,>=<，因为PD 与平面PBC 所成角和><,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E .（ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y tx x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x-=，∴x e x f x2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ， 由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x+≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。

参考答案一、选择题：ABCCC ADDBA CC6、试题分析：考点：数学归纳法 当时，原式是()()()k k k k ++++......21， 当时，变为()()()()()2212......32+++++k k k k k k ，二、填空题：13、 0.9 14、 -5 15、或 16、三、解答题：17.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

解：（I ）设等差数列的公差为d ，由………………………1分得2111()(3)a d a a d +=+，因为，所以………………………2分所以………………………3分1(1),.2n n an n a na S +==………………………4分 （II ）解：因为，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++++=-+………………………6分 因为，所以21122211()11111212(1).1212n n n nB a a a a a a --=++++=⋅=--………………………9分 当0122,21n n n n n n nC C C C n ≥=++++>+时，………………………11分 即所以，当<………………………12分 18、证明：（Ⅰ）BH DC AH DC ⊥⊥, ,…………1分平面,又因为平面………………………3分所以………………………4分(Ⅱ)分别以为轴，建立如图所示的直角坐标系由已知条件不难求得：1,3,3====HC HD HB AH ………………………5分所以, , ,………………………6分又因为点E 为中点，所以点所以,，…………7分设平面的一个法向量为所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02332302523z y x BE n z x 令解得：， 所以平面的一个法向量为…………9分又平面,所以向量为平面的一个法向量……10分设所求二面角是，所以29293259253353cos =⨯++==θ……12分 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．解：（Ⅰ）（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为，则，………………………2分得到．故白球有5个．………………………3分（ii ）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是………………………4分0 1 2 3………………………6分注解：（每算对2各给1分）的数学期望155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………………8分 （Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，所以，，故．………9分记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则．………11分所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．………12分20. 解：(Ⅰ)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．………1分设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，………2分圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为圆C 1被直线l 截得的弦长为23，所以d ＝22－32＝1. ………3分 由点到直线的距离公式得d ＝|1－k －3－1＋k 2，………4分 从而k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724，………5分 所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0. ………6分(Ⅱ)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．………7分 因为圆C 1和C 2的半径相等，且圆C 1被直线l 1截得的弦长与圆C 2被直线l 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即 |1－k －3－a －b |1＋k 2＝|5＋1k －a －b |1＋1k2，………9分 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，………10分从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，………11分 解得⎩⎨⎧ a ＝52，b ＝－12，或⎩⎨⎧ a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件．………12分21.解（Ⅰ）在[，e]上单调递减，0)1()(2,≤+-+=∴a xa ax x f 在[，e]上恒成立………………………1分 方法一： x x a a 1112+≤+∴在[，e]上恒成立………2分令),1(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=e e x x x x g ),1(11)(2,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=e e x x x g 令则0)(11,<<≤x g x 时当; 0)(1,><≤x g e x 时当11111)(2+≥+∴+≤+=∴e e x x e e x x x g ………4分 0))(1()1(112222≥--=++-∴+≤+∴e a ea e a e ea e e a a……………6分方法二：（可做如下分类讨论）（1）当时，结论显然成立………………………2分（2）当时，可化为：对任意[，e]上恒成立………3分显然，当时，对钩函数在上是减函数，在上是增函数。

2024年广东汕头市数学高三第一学期期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆22:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．圆3．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．231+=-ii（ ）A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 5．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．986．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<7．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．28．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且10．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥11．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．26B ．33C 3D ．2312．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A 15 B ．15C 15D 215二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合)}21ln(|{x y x A -==，}|{2x x x B <=，全集B A U =，则=)(B A C U （ ）A ．)0,(-∞B ．]1,21[ C ． )0,(-∞]1,21[ D ．]0,21(-2.设复数i z 21231+=，i z 432+=，其中i 为虚数单位，则=||||220161z z （ ） A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．51 3.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 4.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位 A ．向左平移6πB ．向左平移6πC. 向左平移6πD ．向左平移6π5.函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象大致是（ ）6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （ ）A ．7B ．12 C. 17 D ．347.假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00~7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30~7：30之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81 B ．85 C.21 D ．87 8.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9.将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ） A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 10.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，0)(')(<+x xf x f 成立，若)2()2(1.01.0f a ⋅=，)2(ln )2(ln f b ⋅=，)81log )81(log 22f c ⋅=，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >>11.设)2,0(,πβα∈，且ββαcos 1tan tan =-，则（ ） A ．23πβα=+ B ．22πβα=+ C. 23πβα=- D ．22πβα=- 12.在平面内，定点D C B A ,,,满足||||||DC DB DA ==，2-=⋅=⋅=⋅DA DC DC DB DB DA ，动点M P ,满足1||=AP ，MC PM =，则2||BM 的最大值是（ ） A ．443 B ．449 C. 43637+ D ．433237+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“若81log 2，则81log 2”的否命题为 ． 14.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．15.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，C B A ,,三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点B A ,两地相距100米，60=∠BAC ，在A 地听到弹射声音比B 地晚172秒（已知声音传播速度为340米/秒），在A 地测得该仪器至高点H 处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度=HC ．16.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PA 底面ABCD ，22=AC ，2=PA ，E 是PC 上的一点，EC PE 2=.（1）证明：⊥PC 平面BED ；（2）设二面角C PB A --为90，求直线PD 与平面PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径/mm 585961 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73合计 件数1 1 3 5 6 19 33 18 4 42 1 2 1100经计算，样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值.（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ；③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P .评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E . 20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知2)(ax e x f x -=，曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程为1+=bx y .（1）求b a ,的值；（2）求)(x f 在]1,0[上的最大值；（3）证明：当0>x 时，01ln )1(≥---+x a x e e x.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2. （1）求b a +的值；（2）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.试卷答案一、选择题1-5 CDADD 6-10CDCAB 11、12：DB二、填空题13.若1<x ，则1242-<+-x x 14.3315.3140米 16.2±三、解答题17.（1）由题意，当2≥n 时，1112a a S n n -=--，又因为12a a S n n -=，且1--=n n n S S a ，则)2(21≥=-n a a n n ，所以1231242,2a a a a a ===，又321,1,a a a +成等差数列，则312)1(2a a a +=+，所以1114)12(2a a a +=+，解得21=a ，所以数列}{n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以nn a 2=. （2）由（1）知221-=+n n S ，∴221221)22)(22(221211---=--=+++++n n n n n n b ， ∴)221221()221221()221221(214332---++---+---=++n n n T 22121221221222--=---=++n n .18.（1）解法一：因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又⊥PA 底面ABCD ，所以BD PC ⊥. 设F BD AC = ，连结EF ，因为EC PE PA AC 2,2,22===，故2,332,32===FC EC PC ，解法二：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，设)0,,2(),0,0,22(b D C ，其中0>b ，则)0,,2(),32,0,324(),2,0,0(b B E P -，于是)32,,32(),32,,32(),2,0,22(b DE b BE PC -==-=，从而0,0=⋅=⋅DE PC BE PC ，故DE PC BE PC ⊥⊥,，又E DE BE = ，所以⊥PC 平面BDE .（2）)0,,2(),2,0,0(b AB AP -==，设),,(z y x m =为平面PAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅AB m AP m ，即02=z 且02=-by x ，令b x =，则)0,2,(b m =，设),,(r q p n =为平面PBC 的法向量，则0,0=⋅=⋅BE n PC n ，即0222=-r p 且03232=+-r bq p ，令1=p ，则bq r 2,2-==，所以)2,2,1(b n -=，因为面⊥PAB 面PBC ，故0=⋅n m ，即02=-bb ，故2=b ，于是)2,1,1(-=n ，)2,2,2(--=DP ，21||||,cos =>=<DP n DP n DP n ，所以 60,>=<DP n ，因为PD 与平面PBC 所成角和><DP n ,互余，故PD 与平面PBC 所成角的角为30.19.（1）由题意知道：6.713,4.583,4.692,6.602,2.67,8.62=+=-=+=-=+=-σμσμσμσμσμσμ，所以由图表知道：6826.080.010080)(>==+≤<-σμσμX P 9544.094.010094)22(<==+≤<-σμσμX P 9974.098.010098)33(<==+≤<-σμσμX P 所以该设备M 的性能为丙级别.（2）由图表知道：直径小于或等于σμ2-的零件有2件，大于σμ2+的零件有4件共计6件 （i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为5031006=， 依题意)503,2(~B Y ，故2535032)(=⨯=Y E . （ii ）从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的可能取值为0，1，2,16505)2(,1650188)1(,16501457)0(210009426210019416210029406=========C C C Z P C C C Z P C C C Z P故253165019816505216501881165014570)(==⨯+⨯+⨯=Z E . 20.解：圆M 的标准方程为25)7()6(22=-+-y x ，所以圆心)7,6(M ，半径为5.（1）由圆心在直线6=x 上，可设),6(0y N ，因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以700<<y ，于是圆N 的半径为0y ，从而0057y y +=-，解得10=y .因此，圆N 的标准方程为1)1()6(22=-+-y x .（2）因为直线OA l //，所以直线l 的斜率为40220-=-.设直线l 的方程为m x y +=2，即02=+-m y x ，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA === 而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得5=m 或15-=m .故直线l 的方程为052=+-y x 或0152=--y x . （3）设),(,),(2211y x Q y x P .因为TQ TP TA t T A =+),0,(),4,2(，所以⎩⎨⎧+=-+=421212y y t x x ……①因为点Q 在圆M 上，所以25)7()6(2222=-+-y x ，将①代入②，得25)3()4(2121=-+--y t x .于是点),(11y x P 既在圆M 上，又在圆25)3()]4([22=-++-y t x 上，从而圆25)7()6(22=-+-y x 与圆25)3()]4([22=-++-y t x 有公共点，所以55)73(]6)4[(5522+≤-+-+≤-t ，解得21222122+≤≤-t .因此，实数t 的取值范围是]2122,2122[+-.21.（1）ax e x f x2)('-=，由题设得b a e f =-=2)1('，1)1(+=-=b a e f ，解得2,1-==e b a .（2）由（1）知2)(x e x f x -=，∴x e x f x 2)('-=，2)(''-=x e x f ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以1)1()(max -==e f x f .（3）因为)('x f ，又由（2）知，)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当当0>x 时，1)2()(+-≥x e x f设0,1)2()()(>+--=x x e x f x g ，则2)(''),2(2)('-=---=xx e x g e x e x g ，由（2）知，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增， 又12ln 0,0)1(',03)('<<=>-=g e x g ，∴0)2(ln '<g ， 所以，存在)1,0(0∈x ，使得0)('=x g ，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .由（2）知，1ln 1)2(+≥≥--+x x x x e e x ，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ， 所以x x x x e e x +≥--+ln 1)2(，即0ln 1)1(≥---+x x x e e x 成立，当1=x 时，等号成立. 22.解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y tx sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 23.（1）∵0,0>>b a ，∴2|||||)()(|||||)(=+=+=--=---≥++-=b a b a b a b x a x b x a x x f .（2）∵0,0>>b a 且2=+b a ，由基本不等式知道：22=+≤b a ab ，∴1≤ab 假设22>+a a 与22>+b b 同时成立，则由22>+a a 及0>a ，得1>a同理1>b ，∴1>ab ，这与1≤ab 矛盾，故22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立.。