【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.4第1课时等比数列的概念与通n项公式(含答案)
- 格式：doc
- 大小：260.50 KB
- 文档页数：8
1 第二章 数列
2.4 等比数列
第1课时 等比数列的概念与通n项公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则2a1＋a22a3＋a4的值为( )
A.14 B.13 C.12 D．1
解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，
所以2a1＋a22a3＋a4＝4a116a1＝14.
答案：A
2．公差不为0的等差数列的第2，3，6项构成等比数列，则公比是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：设等差数列的第2项是a2，公差是d，则a3＝a2＋d，a6＝a2＋4d.
由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，
得(a2＋d)2＝a2(a2＋4d)，
则d＝2a2，公比q＝a3a2＝a2＋da2＝a2＋2a2a2＝3.
2 答案：C
3．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是( )
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
解析：由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
所以log2b2＝log2ac
即2log2b＝log2a＋log2c，
所以log2a，log2b，log2c成等差数列．
答案：A
4．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．±6 D．±12
解析：a＝1＋22＝32，
b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，
所以ab＝±6.
答案：C
5．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
3 (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：设第n年的研发投资资金为an，a1＝130，则an＝130×1.12n－1，由题意，需an＝130×1.12n－1≥200，解得n≥5，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.
答案：B
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项为________．
解析：a4＝a1q3＝18×23＝1，
a8＝a1q7＝18×27＝16，
所以a4与a8的等比中项为±16＝±4.
答案：±4
7．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
解析：设等比数列的公比为q，
由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1（1＋q2）＝10，a1q（1＋q2）＝54，
解得a1＝8，q＝12，
4 所以a1a2…an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝8n×12n（n－1）2＝2－12n2＋72n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64.
答案：64
8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，12a3，2a2成等差数列，则a6＋a7a8＋a9等于________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，12a3，2a2成等差数列，
则212a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得q＝1±2.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q＞0，所以q＝1＋2.
所以a6＋a7a8＋a9＝a1q5＋a1q6a1q7＋a1q8＝1q2＝1（1＋2）2＝3－22.
答案：3－22
三、解答题
9．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
5 a2＝a3q＝2q，a4＝a3.q＝2q，
所以2q＋2q＝203.
解得q＝13或q＝3.
当q＝13时，a1＝18，
所以an＝18×13n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝29，
所以an＝29×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝13时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
10．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝827.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项．
(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解：(1)因为2an＝3an＋1，
所以an＋1an＝23.
又因为数列{an}的各项均为负数，
6 所以a1≠0，
所以数列{an}是以23为公比的等比数列．
所以an＝a1·qn－1＝a1·23n－1.
所以a2＝a1·232－1＝23a1，
a5＝a1·235－1＝1681a1，
又因为a2·a5＝23a1·1681a1＝827，
所以a21＝94.
又因为a1<0，所以a1＝－32.
所以an＝－32×23n－1＝－23n－2(n∈N*)．
(2)令an＝－23n－2＝－1681，
则n－2＝4，n＝6∈N*，
所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项．
B级 能力提升
1．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案：A
7 2．已知等比数列{an}，若a3a4a8＝8，则a1a2…a9＝________．
答案：512
3．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：an－23是等比数列；
(3)当a1＝76时，求数列{an}的通项公式及项的最值．
(1)解：根据根与系数的关系，
得α＋β＝an＋1an，αβ＝1an.
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得6an＋1an－2an＝3.
所以an＋1＝12an＋13.
(2)证明：因为an＋1＝12an＋13，
所以an＋1－23＝12an－23.
若an＝23，则方程anx2－an＋1x＋1＝0可化为23x2－23x＋1＝0，
即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，
8 所以an≠23，即an－23≠0.
所以数列an－23是以12为公比的等比数列．
(3)解：当a1＝76时，a1－23＝12，
所以数列an－23是首项为12，公比为12的等比数列．
所以an－23＝12×12n－1＝12n，
所以an＝23＋12n，n＝1，2，3，…，
即数列{an}的通项公式为
an＝23＋12n，n＝1，2，3，….
由函数y＝12x在(0，＋∞)上单调递减知，当n＝1时，an的值最大，即最大值为a1＝76.
