广东省-北京师范大学东莞石竹附属学校2016-2017学年高一下学期第二次月考数学试题Word版含答案
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2016-2017学年度第二学期第二次月考高一数学试题
考试时长：120分钟 总分：150分 命题人：刘高峰
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知(,2),(1,1),mana且//mn，则a=（ ）
A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2
2．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学月考中，某班有10人在100分以上，32人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道．就这三件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样、分层抽样、简单随机抽样
B．系统抽样、系统抽样、简单随机抽样
C．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样
D．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样
3．2017cos3等于（ ）
A．12 B．12 C．32 D．32
4．若直线0axy截圆222660xyxy所得的弦长为23，则实数a（ ）
A．2 B． C．34 D．43
5．若3sincos0，则21cos2sincos的值为（ ）
A．103 B．53 C．23 D．2
6．正方形ABCD的边长为2，向正方形ABCD内投掷200个点，有30个落入图形M中，则图形M的面积估计为（ ）
A． B． C． D．
7．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ ）
A．39 B．21 C．81 D．102
（第6题） （第7题） （第8题）
8．函数()sin()fxAx（A＞0，ω＞0， |φ|＜）的部分图象如图所示，则函数()fx的解析式为（ ）
A．()2sin()6fxx B．()2sin(2)3fxx
C．()2sin()12fxx D．()2sin(2)6fxx
9．若直线l：10axby平分圆:M224210xyxy的周长，则22(2)(2)ab的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．10
10．如图，在▱ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且=，=，连接AC，MN交于P点，若=λ，则λ的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若向量，的夹角为，且||=2，||=1，则与+2的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．若圆2244100xyxy上至少有三个不同点到直线l：0axby的距离为22，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0，+∞） 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n= ．
14．点P（1，2，3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|= ．
15．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则sinθ﹣cosθ的值是
．
16．已知直线x﹣y+2=0及直线x﹣y﹣10=0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是 ．
三．解答题（共6小题）
17．已知||=1，||=2．
（1）若与的夹角为60°，求|+|的值；
（2）若（+）⊥，求与的夹角．
18．已知函数2()sincoscosfxxxx．
（1）求()fx的最小正周期；
（2）求()fx在区间3[,]84上的最小值，并求取得最小值时x的值．
19．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 [50，60） 8 0.16
（1）写出a，b，x，y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；
（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
20．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：
年龄 （岁） 7 8 9 10 11 12 13
身高 （cm） 121 128 135 141 148 154 160
（1）求身高y关于年龄x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 第2组 [60，70） a ▓
第3组 [70，80） 20 0.40
第4组 [80，90） ▓ 0.08
第5组 2 b
合计 ▓ ▓ =，=﹣
21．已知圆C：22(1)(2)25xy，直线l：(21)(1)740mxmym，
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．
22．如图，在平面直角坐标系中，点13(,0),(,0)22AB，锐角的终边与单位圆O交于点P．
（1）当14APBP时，求的值；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由．
2016-2017学年度第二学期第二次月考高一数学参考答案
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
BDBDA CDBBD AB
二．填空题（共4小题）
13．200． 14． 2 ． 15． ． 16．25π．
三．解答题（共6小题）
17． 解：（1）=1×2×cos60°=1， …………2分
∴（）2=+2+=1+2+4=7， …………4分
∴||=．
…………5分
（2）若（+）⊥，则（+）•=+=0，…………6分
∴=﹣=﹣1，
…………7分
∴cos＜＞==﹣，
…………8分
∵0≤＜＞≤
…………9分
∴与的夹角为23． …………10分
18．解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣
=（sin2x﹣cos2x）﹣ =sin（2x﹣）﹣，……4分
由得，最小正周期T=π；
…………6分
（2）∵，∴， …………8分
∴， …………9分
∴ …………10分 当，即时，
f（x）=sin﹣=×（﹣）﹣=﹣1，取得最小值﹣1．…………12分
19．
解：（1）由题意可知，a=16，b=0.04，x=0.032，y=0.004．………4分
（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．
从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，
有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．
……………6分
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，
有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况． ……………7分
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）==．…9分
（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，
有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．……10分
所以P（F）=．………………12分
20．
解：（1）由题意得=（7+8+9+10+11+12+13）=10，…………1分
=（121+128+135+141+148+154+160）=141，…………2分
（=9+4+1+0+1+4+9=28，…………3分
（xi﹣）（yi﹣）=（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×7+2×13+3×19=182， …………5分
所以==，=﹣=141﹣×10=76，…………7分
所求回归方程为=x+76． …………8分 （2）由（1）知，=＞0，
故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．…………10分
将x=15代入（1）中的回归方程，得=×15+76=173.5，
故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．…………12分
21、解：（1）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0…………3分
所以直线恒过定点（3，1） …………5分
（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．
当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短 …………7分
直线l的斜率为 …………8分
由解得
此时直线l的方程是2x﹣y﹣5=0 …………10分
圆心C（1，2）到直线2x﹣y﹣5=0的距离为）
所以最短弦长是 …………12分
22．
解：（ I）P（cosα，sinα）． …………1分
，…………2分
=cos2α﹣cosα+sin2α=﹣cosα，
因为，所以，即，
因为α为锐角，所以．…………6分
（Ⅱ）法一：
设M（m，0），
