2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训17集合与常用逻辑用语文20180223378
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1 专题限时集训(十七) 集合与常用逻辑用语
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考题、模拟题重组练]
一、集合
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A．A∩B＝x x＜32 B．A∩B＝∅
C．A∪B＝x x＜32 D．A∪B＝R
A [因为B＝{x|3－2x＞0}＝x x＜32，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝x x＜32，A∪B＝{x|x＜2}．故选A.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )
A．{1,3} B．{3,5}
C．{5,7} D．{1,7}
B [集合A与集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，故选B.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
C [B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]
4．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
C [由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1－1}．故选C.]
5．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2,3] B．(－2,3]
C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
B [∵Q＝{x∈R|x2≥4}，
∴∁RQ＝{x∈R|x2<4}＝{x|－2
∴P∪(∁RQ)＝{x|－2
6．已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
1 [∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，∴1∈B且2∉B.
若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．
又a2＋3≥3≠1，故a＝1.]
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
7．(2016·渭南一模)以下说法错误的是( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若命题p：存在x0∈R，使得x20－x0＋1＜0，则綈p：对任意x∈R，都有x2－x＋1≥0
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D [“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，A项正确；
由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，B项正确；
命题p：存在x0∈R，使得x20－x0＋1＜0，则﹁p：对任意x∈R，都有x2－x＋1≥0，C项正确；由p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，因此D项不正确．故选D.]
8．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [∵2－x≥0，∴x≤2.
∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.
∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时，一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．
故选B.]
9．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0. 3 设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ，使得m＝λn，
则m与n反向共线，θ＝180°，
∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.
当90°
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件．
故选A.
法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈π2，π，
当〈m，n〉∈π2，π时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件．
故选A.]
10．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]
11．(2016·黄冈二模)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )
A．－1＜x≤1 B．x≤1
C．x＞－1 D．－1＜x＜1
D [由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁RB)，又∁RB＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝{x|－1＜x＜1}．]
三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
12．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
A．p∧q B．p∧﹁q
C．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q
B [∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成 4 立，
∴p为真命题，﹁p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q为假命题，﹁q为真命题．
根据真值表可知p∧﹁q为真命题，p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q为假命题．
故选B.]
13．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则﹁p为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
C [因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，﹁ p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]
14．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．﹁p∧q
C．p∧﹁q D．﹁p∧﹁q
B [当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，
∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．
∴p∧q为假命题，排除A.
∴﹁ p为真命题，∴﹁ p∧q是真命题，选B.]
15．下列命题中假命题的是( )
A．∃x0∈R，ln x0＜0
B．∀x∈(－∞，0)，ex＞x＋1
C．∀x＞0,5x＞3x
D．∃x0∈(0，＋∞)，x0＜sin x0
D [对于A，比如x0＝1e时，ln1e＝－1，是真命题；对于B，令f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1＜0，f(x)递减，所以f(x)＞f(0)＝0，是真命题；对于C，函数y＝ax当a＞1时是增函数，是真命题；对于D，令g(x)＝x－sin x，g′(x)＝1－cos x≥0，g(x)递增，所以g(x)＞g(0)＝0，是假命题．故选D.] 5 16．(2016·武汉一模)已知命题“∃x0∈R，x20＋ax0－4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．[－16,0] B．(－16,0)
C．[－4,0] D．(－4,0)
A [由题意可知“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，所以Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A.]
[B组 “12＋4”模拟题提速练]
一、选择题
1．(2017·郑州二模)已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝x 1x＞1，则A∩(∁RB)＝( )
A．(－∞，2] B．(0,1]
C．[1,2] D．(2，＋∞)
C [A＝(0,2]，B＝(0,1)，则∁RB＝(－∞，0]∪[1，＋∞)，所以A∩∁RB＝[1,2]，故选C.]
2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}，则A∩(∁ZB)＝( )
A．∅ B．4
C．{3,4} D．{2,3,4}
D [因为集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x∈Z||x|≤1}＝{－1,0,1}，所以A∩(∁ZB)＝{2,3,4}．]
3．已知集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则b的最小值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [集合P＝{x|－1＜x＜b，b∈N}，Q＝{x|x2－3x＜0，x∈Z}＝{1,2}，P∩Q≠∅，可得b的最小值为2.]
4．(2016·武汉一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，集合B＝{x|x2－cx＜0，c＞0}，若A⊆B，则c的取值范围为( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
C [由题意将两个集合化简得：A＝(0,1)，B＝(0，c)，因为A⊆B，所以c≥1.]
5．以下四个命题中，真命题的个数是( )
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；
②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
