分形和多重分形

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安 徽农 业科 学 。ｏｒａ ｆ ｎｕ ．Ｓｉ ０８ ３ （４ ：０ ５ Ｊｕｎｌ Ａ ｈ ｉ ｏ Ａ ｃ． ０ 。６ ２ ） １５７—１５９ ２ ０５
责任编辑
庆珞
责 任 校对
张 士敏
土 壤 粒 径 分 布 的 多 重 分 形 描 述
刘雪梅 （东 通 学 木 筑 院江 南 ３１ 华 交 大 土 建 学 ，西 昌３ｏ） ０３
关键词 激光粒度 分析 ； 多重分形 ； 粘粒含 量 ； 土壤 粒径分布 中图分类 号 Ｓ ５ ． ２ １ ３ 文献标 识码 Ａ ２ 文章编 号 ０ １ —６ ｌ（０８ ２ —１ ５ — ３ ５７ ６ １２ ０ ） ４ ０ ７ ０ ５
ｌｌｄｉｆ＇ｅａ ）ｓｒｏｔ ｎ ｏ ’ ｌｉ ｚ ｓｒｌ ｔ ｎ ￣ ｔ ｌ ｔｌ１ｅｅｉ ｉ ｆｓ（ ＰａｌｄｅＳｉｅＤｉｔｉ ｌ ， － ａ ｋ ｏ ｎ ｔ ｍ ｏ
激 光粒度仪 的粒径分 析范 围是 ０ ００～２００肿 ， ．２ ０ 共分 为 １０个粒径 段 。即每个土样测 量得 到 １０个粒 径段 的百 分含 ０ ０ 量 １ ２ … ， ∞。 ， ， ｌ
质， 如土壤 水分特征 曲线 ， 土壤饱 和及非饱 和水 力传导 度等 。 目前对 于土 壤粒径 分布 分形 结构 的研究 大 多数 是根 据 常规 试验数据 ， 用单一 分形维数来描 述 土壤粒 径 的分 形结 构 。然
Ｌ Ｕ ｅｍｅ （ ｏｅｅｏ ｉｉＥ ｇ ｅｒ ｇａｄＡ ｃｉｃ ｒ， ａｔ ｈｎ ｉ ｔ ｇＵ ｉ ｒｉ ， ａｃａ ｇｊ ， ｘ ３０ １） Ｉ Ｘｕ－ ｌ Ｃ ｌｇ ｆＣｖｌ ｎｉ ｅｉ ｎ ｒｈｔ ｔ ｅ Ｅｓ ｉａＪ ｏｏ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｎｈｎ ，ｉ ￣ ｉ ３０ ３ ｌ ｎ ｎ ｅｕ Ｃ ａ ｎ ｅ ｔ ａ

分形理论概述范文
分形（fractal）是一种多尺度的普遍几何结构，可以在物理、化学、生物学等多个学科中发现。

它的定义是“在一定范围内具有相同结构的几
何结构”。

它以极好的逼真度表示自然界的复杂结构，并具有丰富而细腻
的结构。

分形理论是一种解释复杂性和自相似性的抽象理论。

它以上帝视角试
图诠释宇宙的样式和结构，以更深层次的视角来描述自然界的秩序和复杂性，并且可以揭示宇宙的发展规律。

它为解释自然界的许多复杂问题提供
了一个新的途径和方法，从而促进了一系列学科教育、学习、研究和应用
的发展。

分形理论的主要内容主要由三部分组成，分别是：(1)分形几何学，
它探索和研究的是自然界中可以表示为无限复杂结构的几何形状。

(2)分
形演化论，它试图探讨宇宙中各种复杂系统的演化机理。

(3)分形分析理论，它研究多尺度系统的结构，并认为复杂系统在不同尺度上都具有相同
的基本结构。

分形理论的基本概念是复杂性和自相似性，也就是说，复杂的系统在
不同尺度上具有相同的性质。

它采用多尺度的视角来描述宇宙中的系统，
试图把宇宙的复杂性抽象化，以更深层次的视角来描述宇宙的秩序和复杂性。

经在许多领域得到了广泛的应用 , 并被用于地理 纹理的分析和分类 . 由于分形反映的是地理信息 不同尺度间的自相似性 , 因此将分形用于导航和 航迹规划具有很大的优势 . 但在实际分析中发现 , 当两种纹理存在细微差异时 , 采用简单的分形方 法计算的分形维数基本相同 , 给区域的划分和路 径的选择带来了困难 ,对地形分析造成不利影响 . 本文采用了多重分形奇异谱和分形维数相结 合的方法对地形地貌数字高程图 (DEM) 进行分析 处理 ,获得了更准确的地形分类信息 ,能找出适合
( 9)
多重分形一般用广义维数谱曲线 Dq2q 来描 述 ,不难理解 ,广义维数谱比简单的分形维数包含 有更多的特征信息 . α. α 描述多重分形的另外一组参量是 f (α) 2 表示分形体小区域的分维 , 其值由 P 确定 , P 是 该小区域生长几率的大小 . 由于小区域数目很大 , 于是可得到一个由不同 α 所组成的无穷序列构 ) 表示之 . f (α ) 又被称为奇异谱 . 成的谱 ,并用 f (α 通过 q2Dq 对曲线图或α 2f (α) 对曲线图可以
收稿日期 : 2003207203 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (60272099) 作者简介 : 曹汉强 (1953 - ) ,男 ,湖北武汉人 ,教授 , itdnet @mail . hust . edu. cn
第 12 期 曹汉强等 : 多重分形及其在地形特征分析中的应用
摘 要 : 采用多重分形谱进行地形特征的分析 ,多重分形谱参数分层次地 刻画了空间内部的精细结构 ,突出了异常局部变化特征 ,因而能够获得准确的地形特 征信息 ,并从复杂的地形数据中选出具有明显个性特征的区域 ,可与分形维数结合进 行地形地貌的区域分类和路径选取 . 实验结果表明 ,多重分形的奇异谱函数比简单的 分形维数能提供更多的信息 ,克服了分形维数相同情况下区域无法区分的困难 ,地形 的提取特征结果更为符合实际情况 ,可被有效地用于导航和航迹规划过程中 . 关 键 词 : 多重分形 ; 分形分维 ; 数字高程图 ; 导航 中图分类号 : TN 91913 文献标识码 : A 文 章 编 号 : 100125965 ( 2004) 1221182204

ａ ｎ ｏ ｎ ， ｈ ｔｉ ｔ ｓＹ ｈ ｒ ｌｉ ｇｐ ｅ ｉｉ ｓ ｎ ｒ ａ ｅ ｙ ｔｍｉｇ ｐ ｉ ｔ ｔ ａ ａ ， ｔｅ ａｍ ｙｎ ｒ ｃｓ ｎ ｉ ｉ ｃｅ ｓ ｄ ｂ ｂ ｒ ｎ ｓｏ ｏ ｉ ｍａ￣ ｇ ４ Ｋｅ ｒ ｓ ｓ ｃ ｒ ｙ ｂ ｒａｎ ｄ ｔ ； ｍｕ ｔ ｒ ｃ ｌ ｇ ｎ ｒｌ ｅ ｉ ｎ ｉ ｙ ｗｏ ｄ ： ｅ ｕ ｉ ａｇ ｉ ａａ ｔ ｌ ｆ ｔ ； ｅ ｅ ａｉ ｄ ｄ ｍｅ ｓ ｎ； ｓｒ ｇ ｎ ｓ ｉａ ａ ｚ ｏ ｔ ｗｌｅ ｅ ｓ
ｌ ｅ Ｗｉ ｏｌ ｅｒ ａ ｅ ａｃｌ ｕ ｉａｔ ｅｒ，ｓ ｔｔｓａｄａａ ｓ ｒ Ｏ ｅ ｅｓｃ ｙｄ ｚ ｔ ｎｎｉ ａ ｙｍ ｔ ｍ ｔａ ｍ ｌｆ ｃ ｌｈｏｙ ｔ ｉｉ ｎ ｎｌ ｉ ａ ｖｎｔ ｔ ｅ— ｈ ｎ ｌ ｈ ｉ ｔｒ ａ ｔ ａ ｓｃ ｙｓ ｃ ｏｈ
第２卷 ４
第 ２期
证 券 市 场 交 易 数 据 序 列 多重 分 形 分 析
张金 良，李光泉 ，扬 忠直 ，杜厌 芳
（ 天津大学 管理学 院 ，天津 ３ｘ ７ ） ｆ０ ２ ３
［ 摘
要 】本 文以沪深证 券市场的 实时数 据为基础 ，应用非线性数 学的 多重分形理论 ，分析 了
交易数 据的局部 变化趋向 的多重分形特性 和转折 点的数 字特征 ，得 到 了证 券交 易数据 序 列 多 重分形广义维数在雏数空 间上的分布规律 和任意 交 易数 据序 列的推广性 质。样本计 算和统计 蛄果表 明 ，证 券 交易数据序列具有显著的 多重分 形特性 和在 转折 点 附近 存在 突变奇异性 ，分 析精度 也 大太提 高。
Ｚ ＮＧ Ｊ － ａ ｇ Ｌ ｕ ｎ －ｕ ｎ Ｙ ＮＧ ｈ ｎ －ｈ ， Ｄ ｍｌ ａ ｇ ＨＡ ｉ ｌ ｎ ， ＩＧ ａ ｇｑ ａ ， Ａ ｎ ｉ Ｚ ｏ ｇｚ ｉ Ｕ Ｙ － ｎ ｆ

关键词 ： 简化 ； 多重分形 维数； 算法
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｉ ｆ ｉ ｅ ｄ ； ｍｕ ｌ ｔ ｉ － ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ａ ｌ ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ； ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ
中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ０ １ ． ６
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ６ － － ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ４） ０ ９ — ０ １ ８ １ — ０ ２
０ 引 言
雷 达 回 波 中通 常 包 含 有 大 量 与 目标 特 征 有 关 的 信 息
ｘ （ ８ ） ＝ Ｐ ＝ ｌ
由此进一步定义广义分形维数 Ｄ 为：
（ ２ ）
摘要 ：多重分形 维数可 以从不 同的层次上刻画信 号的几何特性 ， 从 而提取 不同信号 的信 号特征 。本文提 出了一种 改进 的多重分 形维数算法 ， 改变 了 传统 多重分形维数对 ｑ 维特征 进行 累 加 的计 算方 法， 在保证 算法计 算复 杂度基本不变的情况下， 增加 了 信号特征 的规律性和类 内聚集度 。仿 真结果表 明， 对于不通信 号的分 类， 改进算法具有 更好 的可分 离性 。
在 Ｄ 的求值过程 中， 取消 对不同区域 但是 ， 识 别 效 果 有 了 明显 的提 高 。 将 多 重 分形 谱 特 征 应 用 的算法进行 了改进 ， 的概率 的求和过程 ， 直接计算不 同层次信号 的多重分形特 到雷达 信号 的脉 内调制特征识别 中， 识别效果 显著 。给出 了计 算离散信号 的多重分形谱特征 的方法 ， 对 多重分形维 征 ， 即： 定义 函数 ｘ （ ８ ） 为： Ｘ （ ￡） ＝
Ｖａ ｌ ｕｅ Ｅｎｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ

０ 引言
加工 工件 表 面 的复杂程 度 可 以利用 灰度 图像
计算 的复 杂程 度 受 权 重 因子 的取 值 范 围影 响 ， 本 文研 究 了权重 因子 的 工 程估 算 方 法 ， 以此 生 成 工 件表 面灰 度 图像 的多重 分形 谱 。
的简单 分 形维 数进 行分 析 ， 比如盒 维 数 ， 该 方法 但 得到 的分形 维 数 有 它 的不 够 细 致 的地 方 ， 有 考 没 虑盒子 内像 素 的 多 少 和分 布 的复 杂 程 度 ， 多 重 而 分形考 虑 盒 子 内像 素 的 多 少 或 其 它 物 理 量 的 区
陈 慧 琴
（ 南通商 贸高等职业学 校 ， 江苏 南通 ２ ６０ ） ２ ０ ０
摘要： 多重分 形谱精 细全面地描 述工件表 面图像特征 ， 理论上 多重分形谱权 重因子的范围越 大越好 ， 但权 重因
子 的范围越 大带来的计算量将成倍增加 ， 用估算 的方法确 定权 重 因子的取值范 围。采用 配分 的方 法获得 多 采 重分形谱 ， 并对具体 的算法进行描 述 ， 多重分形谱 和奇异指数对权重 因子 求取 一阶导数 ， 将 当一阶导数趋 于零
ｖ ｌ ｅ ｓ ｏ ｅ ｒ ｅ ｍｕ ｔ ａ ｉｌｓ ｅ ｔ ｍ ａ ｂ ａ ｎ ｄ ｂ ｅ ｗ ｙ ｏ ｅ ｐ ｒ ｔ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ． ｎ ｅ ｄ － ａｕ ｃ ｐ ．ｎｌ ｌ ｒｃ ａ ｐ ｃ ｕ ｗ ｓｏ ｔ ｉ ｅ ｙ ｔ ａ ｆ ａ ｉ ｏ ｕ ｃｉ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｒ ｈ ｈ ｔ ｔｉ ｏ ｈ
Ｓ ｅ ｔ ｕ ｂｏ ｈｅ Ｗ ｏ ｋ Ｐｉｃ ｓＳｕ ｆ ｃ ｓＩ ａ ｅ ｐ ｃ ｒ ｍ ａ ｕｔｔ ｒ ｅ ｅ ｒ ａ ｅ ｍ ｇ
ＣＨＥＮ Ｈｕｉｑ ｎ —ｉ

谢尔宾斯基海绵——三维分形体
类似二维，将一个正方体平均分成27份，取走中间的7个小正方体，剩余部分继续依此规律操作，直至无穷，得到一块类似海绵的分形体。
其他三维分形体
不可能三维分形体
分形树
一种分形树的构图过程
分形体的周长、面积
分形体的表面积、体积
怪异体，只有表面没有内容。
体积：每次迭代体积都更小，无穷次迭代后体积趋近0。
分形出现 试图用经典几何学描述分形 出现大量处处连续不可微图形
1875~1925
计算机图形学发展 分形构图软件大量出现 计算机进行分形研究兴起
研究分形维数 分形集的局部性质 分形集的结构 S-集分析与几何性质
成为独立学科 曼德尔布莱特出版里程碑专著
1926~1975
1976~2010
分形画
分形画
谢谢！
Thanks For Your Coming
分形体的维度
谢尔宾斯基地毯维度为：
分形体的维度
谢尔宾斯基海绵维度为：
分形体的维度
分形体的维度一般不是整数。
闵可夫斯基香肠
四方内生树
龙曲线
股票走势分形
洛伦茨曲线
朱丽亚图谱
曼德勃罗集图
广义曼德勃罗集图
k=3 k=4 k=5
事物的发展，也可以从局部的发展，看出事物整体发展的状况；
事物的功能，事物局部的功能，也存在着与整体功能相似的情况。
分形的功能
测量海岸线
在测量海岸线长度时，采用不同的尺子得到的结果也不相同，采用更大的红色尺子测出的结果要小于绿色尺子结果，尺子越小，测得长度越长，如果把海岸线放在显微镜下测量长度可能是无限长。
曼德勃罗集图逐步放大
曼德勃罗集图逐步放大

ｌ Ｔ） ｇ （ ∑ｐ ｓ
Ｄ一 — 一 。寿
从 公 式 （ ） 见 ， ｑ取较 大值 时 ， 主要 表示 具有 ２ 可 当 Ｄ 较 高测 度 观测 的 自相 似 特征 ， 当 ｑ 较小值 时 ， 。 而 取 Ｄ 则 主要 表示 具有 较低 测 度 观测 的 自相 似 特 征 。 因此 不 同 的 ｇ取 值 Ｄ 将 分 别 表 示 观测 的密 集 和稀 疏 部
第 ２ ８卷 第 ４期
２１ ０ ０年 １ ２月
华
北
地
震
科
学
Ｖ ｏＩ２ ＮＯ． ． ８， ４
Ｄｅ ．。２Ｏ１ ｃ ０
Ｎ０ＲＴＨ ＣＨＩ ＮＡ ＥＡＲＴＨ ＱＵ ＡＫＥ Ｓ Ｉ ＮＣＥＳ ＣＥ
文 章 编 号 ： ０ ３ １ ７ （ ０ ０ Ｏ —０ ０ —０ １０ — ３ ５ ２ １ ） ４ ０ １ ８
ｌ 理 论 公 式［ 。 ］
一
∑ （ 存在关系： ？）
１
Ｎ（ ）
般而 言 ， 多重分 形 维数谱 可用 Ｒｅ ｙ 维 Ｄ。 ｎｉ 定
义Ｅ ：
（： 一 ∑ （ ～ｓ ｇ５ ） ）
ｉ １ 一
（） ３
一
Ｊ 声 ］
— 一
Ｊ１
ｌＥ ［ 出） ｏ Ｉ （ （ ］ ｇ ） ］
关 键 词 ： 国 大 陆 ； 震 活 动 ； 空 分 布 ； 重 分 形 中 地 时 多 中图 分 类 号 ： ３ ５ ５ Ｐ １． 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引 言
一
其 中 ， ） 关于 点集 ａ 的半径 为 的 球体 ， Ｓ（ 是 Ｔ ∈Ｒ 积分 区域 为 Ｂ ｒｌ Ｒ ｏ ｅ 集 上关 于概 率测 度 ／ １的全体 。
Ｅ ｍａ ： ｈ ｎ ｈｊ ｎ ｓｉ． ｃ ｃ — ｉ ｃ ｅ ｓｉ ＠ ｅ ａ．ｎ ｌ ｕ ｓ

分形几何的粒子结构理论毛志彤11(扬州市安装防腐工程有限公司, 江苏江都225200)摘要: 为认识自然界物质的结构和作用各方面的统一性，通过三维空间拓展的分形几何模型，以新结构描述亚原子粒子和原子核，描述暗物质暗能量、微观粒子直到原子结构关系，分析在分形几何结构逻辑基础上的四种基本力和瞬态粒子结构形式，显示分形几何与微分几何在物质结构及规范理论中的有相关联系，揭示一些潜在研究价值，分形几何与微分几何的结合可能成为超弦/M理论第三次革命的分析手段，分形几何模型在亚原子粒子模型、物质结构方面开拓一个全新的结构形式。

关键词: 分形几何；粒子结构；微分几何；无限螺旋分形闭合环；超弦/M理论中图分类号: O4 ；文献标识码: A1研究的动机几何对自然科学特别是物理学发展的意义已经为现代科学界公认，可以看到近代物理学的逻辑在几何原理中得到深刻的阐述，我们并不奢望任意一种几何学都会对物理学的发展产生深刻的意义，但是我们可以尝试任何一种几何可能的应用，特别是一种新颖的几何学分支-分形几何学。

从1986年至今，约24年的研究过程中，我们试图以直接直观的方式更加深刻地理解弦、超弦、超弦/M理论的多维度空间，并给空间与作用力以直观形象的反映，直到2004年，我们通过理论和实验各种矛盾的分析，认为有这么一种可能，分形才是物质的基本单位-亚原子粒子的结构形式，并且其结构蕴含了亚原子粒子四种物理作用力的统一基础：振动与约束对偶耦合规范及其规范场的振荡-电磁波粒子生产和吸收效应，这种亚原子粒子分形结构就是无限螺旋分形闭合环形式。

2分形几何2.1 分形几何学被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。

适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。

不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

分类号O469 学校代码10495ＵＤＣ530 学号0145023006武汉科技学院硕士学位论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：田志华指导教师：田巨平教授学科门类：工学专业：机械设计及理论研究方向：分形与多孔介质完成日期：二零零七年四月Wuhan University of Science and EngineeringM. S. DissertationThe study of fractal growthin disorder systemByTIAN Zhi-huaDirected byProfessor TIAN Ju-pingApril 2007独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。

特授权武汉科技学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。

同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。

（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。

简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。

本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。

分形的成因及影响探析目录1. 内容描述 (3)1.1 研究背景 (4)1.2 研究意义 (4)1.3 研究框架与方法 (6)2. 分形的定义与特点 (7)2.1 分形的概念 (8)2.2 分形的数学特性 (8)2.3 分形在自然界中的体现 (9)3. 分形的成因分析 (11)3.1 物理规律驱动 (12)3.2 生态过程与生物进化 (13)3.3 非线性动力系统 (14)3.4 人类社会行为分形 (16)4.1 物理学中的应用 (19)4.2 生物学中的应用 (21)4.3 地理学与环境科学中的应用 (21)4.4 工程与材料科学中的应用 (23)5. 分形在艺术与设计中的影响 (24)5.1 抽象艺术中的分形图案 (25)5.2 建筑设计中的分形结构 (26)5.3 数字艺术的探索 (27)5.4 分形美学在产品设计中的应用 (28)6. 分形的经济与社会影响 (30)6.1 经济活动中的分形行为 (31)6.2 网络结构与分形市场 (32)6.3 分形在金融领域的应用 (33)6.4 分形思想在社会学中的启示 (35)7.1 生物学结构的分形特性 (37)7.2 医疗影像中的分形分析 (39)7.3 疾病模式的非线性特性 (40)7.4 公共健康中的分形思维 (41)8. 分形在教育与认知科学的影响 (43)8.1 教学策略中的分形理念 (44)8.2 认知模型的分形性质 (45)8.3 分形在心理与教育研究中的应用 (47)8.4 分形认知科学的发展前景 (48)9. 分形的挑战与展望 (49)9.1 理论方法的发展 (51)9.2 分形在多学科交叉中的挑战 (52)9.3 未来发展趋势 (53)1. 内容描述本文档旨在深入探讨分形的成因及其所产生的广泛影响，这一数学领域中的璀璨明珠，以其独特的几何形态和复杂的结构吸引着无数研究者的目光。

从自然界的山川河流到人造的艺术作品，分形无处不在，其美学价值与科学意义并存。

五大连池老黑山西部熔岩流张裂的多重分形分析杨小宇;韩洁;秦海鹏【期刊名称】《首都师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(033)005【摘要】分形与多重分形理论不断兴起与发展,在此背景下,本文应用q阶矩结构分割函数法对我国休眠活火山之一的老黑山西部熔岩流张裂进行了分析,通过多重分形谱曲线,并结合△α、△f两个重要的多重分形谱曲线参数,得出△α=3.736,不接近0点,同时多重分形谱离差△f ＞0,熔岩流张裂分布相对密集具有强烈的多重分形特性.为今后定量化研究熔岩流张裂提供了一条新的途径与方法.%As the continuous development of fractal and multifractal theory, this research analyzes the extension fracture of lava on the west of Laoheishan volcano, which is one of the dormant acting volcanoes in China. The conclusion is that △α = 3. 736, which is not approaching 0 point, using the curve line of multifractal spectrum and △α&△f, which are two of the most important parameters of this line. Another conclusion is that △f > 0, the so-called Af is the deviation of multifractal spectrum. Therefore it can be assessed that the distribution of the lava' s extension fracture has the character of multifractal. This paper has provided a new method to the quantification of lava' s extension fracture.【总页数】6页(P62-66,71)【作者】杨小宇;韩洁;秦海鹏【作者单位】首都师范大学资源环境与旅游学院,北京 100048;首都师范大学资源环境与旅游学院,北京 100048;首都师范大学资源环境与旅游学院,北京 100048【正文语种】中文【中图分类】P588.1【相关文献】1.五大连池老黑山火山弹和喷发柱动力学模拟 [J], 李永生;刘永顺;张招崇;聂保锋;张东阳2.五大连池老黑山火山钾质玄武岩结晶动力学研究 [J], 彭年;崔莹;刘永顺;乔学斌;朱晓艳;聂保锋;胡亚朵3.五大连池火山群老黑山火烧山熔岩流流动特征及其形成动力过程 [J], 任锦章4.五大连池老黑山火山口 [J], 卢国正5.五大连池世界地质公园老黑山景区火山地震遗迹的发现及其意义 [J], 张向格;张绪教;刘超;王鹤;刘心兰;王璐琳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａｓａ ｍｐ ｒａ ｔｓｅ ｎ ｇ ｏ ｈｅ ｉ ａ ｘ ｌ ｒ ｔ ｎ ｔ ｅ ａ ａｙ ｉ ｆ ｅ ｃ ｅ ｃ ｌ ｎ ｍａ ｉｓ ｉ ｏ ｒ ａ ｉ — ｓ ｒ ｃ ： ｎ ｉ ｏ ｔｎ ｔ ｐ ｉ ｅ ｃ ｍ ｃ ｌ ｐ ｏ ａ ｉ ， ｈ ｎ ｌ ｓ ｓｏ ｏ ｈ ｍｉ ａ ｏ ｌ ｓ ｆｇ ｅ ｔｓｇ ｅ ｏ ｇ ａ ｅ ｎ ｆｃ ｎ ｅ ｉ ｈ ｆｅ ｔ ｅ ｄ ｓ ｏ ｅ ｙ ｏ ｎ ｍ ａ ｉｓ ｉ ａ ｃ ｎ ｔ ｅ ｅ ｆ ｃ ｉ ｉｃ ｖ ｒ ｆａ ｏ ｌ ．Ｈｏ ｖ ｒ ｉ ｒ ｖ ｏ ｓ ｓ ｕ ｉ ｓ ｅ ｅ ｒ ｈ ｒ ｎ ｙ ｆ ｃ ｓ ｄ ｏ ｈ ｉ ｖ ｅ ｗｅ ｅ ， ｎ ｐ ｅ ｉ ｕ ｔ ｄ ｅ ，ｒ ｓ ａ ｃ ｅ ｓｏ ｌ ｏ ｕ ｅ ｎ ｔ ｅ ｉ ｖ ｓｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｅ ｐ ｓｔ ｅ ａ ｏ ｌ ｓｏ ｔ ｌ ｇ ｎ ｃ ｅｅ ｅ ｔ ｎ ｈ ｉ ａ ｃ ｍｐ ｎ ｉ ｇ ｅ ｅ ｎ ｓ ｎ ａ ｄ ｌｓ ｎ ｅ ｔｇ ｔ ｆｔ ｏ ｉ ｖ ｎ ｍａ ｉ ｆｍｅ ａ ｌ ｅ ｉ ｌｍ ｎ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｃ ｏ ｏ ｈ ｉ ｅ ｏ ａ ｙ ｎ ｌ ｍｅ ｔ，ａ ｄ ｐ ｉ ｅ ｓ ａ ｔ ｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｔ ｄ ｆ ｈ ｇ ｔｖ ｎ ｍ ａ ｉｓ ｆ ｒ ｅ ｙ ｔ ｅ ｄ ｐ ｅ ｉ ｎ ｏ ｌｍ ｅ ｔ ． ｔ ｒｏ ａ ｔ ｎ ｇ ｔｖ ｔ ｔ ｏ ｔ ｅ ｓｕ ｙ ｏ ｅｎｅ ａ ｉ ｅ ａ ｏ ｌ ｏ ｍ ｄ ｂ ｈ ｅ ｌ ｔ ｆｅｅ ｎ ｓ Ａｓａ ｍａｔ ｆｆ ｃ ， ｅ ａ ｉ ｅ ｅ ｏ ｔ ｅ ｏ ｅ ａ ｏ ｌ ｓｐ ａ ｈ ａ ｎ ｍａ ｉ ｌ ｙ ｔ ｅ ｓ ｍｅ ｉ ｏ ｔ ｎ ｏ ｅ ａ ｏ ｉ ｖ ｎ ｍａ ｉｓ ｉ ｅ ｃ ｅ ｃ ｌ ｘ ｌ ｒ ｔｏ ． ｈ ｂ ｅ ｃ ｆｅ ｆ ｃ ｉ ｅ ｅ ｍｐ ｒａ ｔｒ ｌ ｓｐ ｓ ｔ ｅａ ｏ ｌ ｇ ｏ ｈ ｍｉ ａ ｐ ｏ ａ ｉ ｎ Ｔ ｅ ａ ｓ ｎ ｅｏ ｆｅ ｔｖ ｉ ｅ ｎ ｅ

一
、
引 言
市 场 和外 汇市 场 的多重 分形 性 进 行研 究 。 例如 ， Ｏ ｓ ｗ ｉ ｅ ｃ ｉ ｍｋ ａ等 人 采 用 ＭＦ ． Ｄ Ｆ Ａ研 究 Ｄ ｅ ｕ ｔ ｓ ｃ ｈ ｅ
许 多研 究 己表 明 ， 金 融 市场 是 一个 具 有 分 形 结 构 的非线 性 动态 复杂 系统 １ － ３ ］ 。如果 系统 的 各
） ， 男， 江苏扬州人 ， 南京 财经 大学应用数学学院教授 ， 博士 ， 研究方 向为分形理论及应用 。
．．．．— —
４３ ． ． ． ． — —
度指 数 失真 。曹 广喜 等人 和 郑辉 … 等 人 利
用重 叠平 滑 窗技术 对 ＭＦ — Ｄ Ｆ Ａ进 行 改进 ， 使 相 邻
据 的 日内标度 变化 进行 分 析 ， 发 现 收 益率 序 列 在
Ｋ ａ ｎ ｔ ｅ ｌ ｈ ａ ｒ ｄ ｔ 等 人 提 出 了 多 重 分 形 消 除 趋 势 波
动分析 （ Ｍｕ ｈ ｉ ｆ ｒ ａ ｃ ｔ ａ ｌ Ｄ ｅ ｔ ｒ ｅ ｎ ｄ ｅ ｄ Ｆ ｌ ｕ ｃ ｔ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ —
大 宗 商 品期 货 市 场 收 益 率 的 多 重 分 形 分 析
郭 丽娜 ， 王宏 勇
（ 南 京财经大学 应用数学学 院 ，江苏 南京 ２ １ ０ ０ ２ ３ ）
摘要 ： 运 用改进的 多重分形 消除趋势波动分析 法， 对 大宗商品期货 市场 中大豆及铝 两种期货合 约的对数 收益率序列进行 多重分形分析 ， 并结合 多重分形谱 方法 ， 对 它们的 多重分 形强度 进行 比较。 实证研 究表 明 ，
分 形理 论 能够依 据 系统 的复杂 度 ， 将 系统 分 割 成 各 种奇 异程 度 不 同的部 分来 研 究 ， 从 而能 更 精 细

基于多重分形理论的地表高程插值方法研究摘要：从地表高程插值的研究现状出发，将多重分形理论引入Kriging和IDW两种常见插值方法，并对四种插值方法进行了比较分析。

结果表明，在相同的样本数据条件下，多重分形插值的精度要高于IDW插值方法和Kriging插值方法。

通过对局部奇异性指数的计算，多重分形插值方法合理地强化了局部区域的估值结果，可以更好地表达整个地区高程的局部奇异性。

关键词：多重分形理论Kriging IDW 高程插值随着人们对空间高程数据的质量要求越来越高，高程插值被越来越广泛得应用在高程测量中，特别是由点源数据形成连续变化的曲面来表达高程值变化往往需要进行高程数据的插值或估计。

目前地形高程插值的方法主要有反距离权重方法(IDW)、克里格插值方法(Kriging)等[1,2]，这些方法为了体现某种趋势而采用加权平均估计，将实际高程值较大的地方消减，实际高程值较小的地方增大，对数值造成一定的光滑，此时高程的局部结构特征的表示与实际有较大差距。

普通插值方法无法表达地表高程局部的复杂变异，无法对地表高程有较精确的预测。

Mandelbrot上世纪60年代提出的分形理论以分维数、自相似性和幂函数等为工具，研究起伏的地形、复杂的水系等具有特征标度、极不规则但具有自相似性的复杂现象[3]。

多重分形理论作为分形理论的进一步发展，不仅能够用来描述分形的复杂特征，还能特征描述分形本身的几何支撑度量。

对于高程、水流等诸多非均匀的分形现象，可以使用多重分形测度或维数的连续谱来表示[4]。

目前多重分形方法已应用到地球科学的诸多领域[5-8]，但应用于高程插值方面的研究还不多见。

本文将多重分形理论引入到IDW和Kriging这两种常用的地形高程插值方法中，试图对高程这一非均匀分形现象进行更精确的预测。

1 研究数据与方法1.1 研究数据本研究所使用的数据为江苏省连云港市海州区内某地28.85km2范围内抽取的1085个点作为采样点（如图1所示），每个采样点使用全站仪测得每个点的高程值，其中高程最大值为187.109米，最小值为0.914米，平均值为14.629米。

化 探 异 常 下 限 的计 算 在 我 国矿 产 工 作 中发 挥 着 重 要 的意 在 本次 试 验 的 计算 工 作 中 ， 是 以 水 系沉 积 物 元 素 的分 散 机 义， 是 矿 产勘 察 和 预测 的重要 手 段 。随 着科 技 的进 步 和 人们 认 理 为 基础 的 ， 从 矿 床 地 球化 学 场 的 分 布规 律 人 手 ， 从 整形 分 布 识 水 平 的 提高 ，多 重 计算 方 法 的应 用 越 来 越 普 遍 ，为 人 类 正 状 态为 背 景进 行 研究 的 。在计 算 的 过程 中 ， 根 据不 同 的计 算方 确、 全面 认 识计 算 方 法 提 出 了新 思 路 。在 当前 的矿 产 工 作 中 ， 法 可 以分 为 分 型模 型计 算 和 元素 服 从 多重 分 型计 算 两 种 。 传 统 的计 算方 法 是 以 异 常下 限作 为 主 要 的 计算 依据 ，是 通 过 试 验 区成 矿 元 素 多 重分 维 和 异 常下 限 。研 究 发现 ： ① 矿 区 假 定 地 球 化学 场 数 据 作 为分 布原 理 的连 续 曲线 图 。在 这 种 计 多 数 成 矿 元 素（ 除ｃ ｕ以外 １ 呈现 多 重分 形 特 征 ； ② 每 个 元 素 的 算工作 中， 先 后 采用 了移 动 平 均法 、 趋 势 面 法 。经 过 十 多年 的 低 分 数 维 （ 除 Ｃ Ｕ外 ） 反 映 了 背 景 场 的 自相 似 性 空 间结 构 特 征 ， 不懈钻研 ， 国 内外 已经 形 成 了许 多 全 新计 算 方 法 ， 在计 算 中采 高 分 数 维揭 示 了区 域 地球 化 学 异 常 场 的空 间 结 构 特 征 ；③ 元 用 了各 种先 进 的技 术 手 段 和方 式 。可 以这 么 说 ， 区 域地 球 化学 素 的 区异 常场 分 维 大 小 与元 素异 常 的空 间 结 构 复 杂 性 呈 现 一 场 异 常 下 限 的计 算 是 未 来 矿 产 工作 的必 经 阶段 ，是社 会 发 展 定 的负 相 关 关 系 ， 如藏麻西孔 ， 分 维 值 最 小 的 鲰 元 素 圈 出 四 的必 然 趋 势 。 个 级 别 的 区域 异 常 ，最 大 的 Ｃ ｕ元 素 仅 圈 出 一个 级别 的 异 常 ， １ 地 质 特 征 分维值中等的 Ｐ ｈ和 ｚ ｎ圈 出 二个 级 别 的异 常 ；④ 成 矿 元 素 的 在 本 次 试 验 中选 用 了 火 山成 矿 地 带 作 为 主要 的试 验 目的 分 维 揭 示 了元 素 分 散 主 要 以分 形 分 布 的方 式 进 行 ；⑤ 对 比二 地 。这 一地 区 是一 个 中型铅 矿 厂 ， 矿 区 的地 质构 造 呈现 出一种 个 试 验 区 的异 常 场 ，可 明 显 看 出各 个 矿 区矿 元 素 分 布 显 著 不 东 西 走 向 的斜 背坡 ， 山体 的主 体结 构 呈 现 出 撕裂 状 ， 而 且存 在 同 ， 无标 度 区范 围也 存 在 差 异 ， 这是 由原 生 矿 化 和 表 生 环 境 差 着 东西 方 向的 逆 向断 裂 层 ， 在 南 北 方 向上 产 生 了 平移 断 裂 层 ， 异 引起 的 。研 究 表 明 ，试 验 区 成矿 元 素 主 要 服 从 多 重 分 形 分 而且 有 一定 的背斜 。背斜 核 心 部分 突 出了 白色 的 统风 火 山群 ， 布 ，多 重 分维 可 以揭 示 出元 素 背 景 场 与异 常场 形 成 的地 球 化 火 山群 下 的岩 石 主要 是 以玄 武 岩 为 主 构成 的 ，在 背 斜 坡 上 的 学作 用 的差 异 ，地 球 化 学 场 分 维 大 小 受 到原 生 矿 化 和元 素 表 岩层 则 是 以火 山群上 岩 段 为 主构 成 的 。在这 种 地 质条 件 下 ， 矿 生 迁 移 条件 的影 响 。 床分 布 于 东 西 走 向 的控 制 矿 山断 裂 之 中 ，含 矿 地 层 为 风 火 山 ４ 结 论 群 下 的 中性岩 石 层 。 ４ ． １矿 产 勘 查 和 资 源 预测 化 探 异 常 下 限 的计 算 问 题 需 要 ２ 矿元 素 分布 特 征 认 真对 待 ， 选择 的计算 方 法 需要 有 扎 实 的理 论 基础 。 众 所周 知 ， 异 常下 限 计算 是 矿 产企 业 工作 中的 常见 计 算 方 ４ ． ２ 分 形 异 常 下 限计 算 方 法 的理 论 依 据 是 ， 地 球 化 学 场 数 法， 是 一 种 以元 素 分 布 为 目的 的计 算手 段 。在 计 算 工作 中 ， 是 据 服从 多 重 分形 分 布 ， 由于 背 景 场 和 异 常 场 的 主要 控 制 因素 根 据 背景 值 、 标 准值 按 照有 关 信 息 制 度来 确 定 矿 产 异 常 值 ， 是 不 同 ， 因而形 成 二 个无 标 度 区间 的分 形 分 布 ， 低 分 数 维 的 分形 个 以分 辨 地 球 化 学 和异 常 状 态 为 背 景 的 计算 方 式 ，也 是 量 分 布对 应 地 球化 学 背景 ，高 分 数 维 的 分形 分 布对 应 于地 球 化 值 界定 的重 要 途径 。在 本 次 矿产 区域 的计算 工作 中 ， 整个 计 算 学 异 常 。 手段是以 １ ： ２ ０ ０ ０ ０ ０的 比例 进 行 勘查 的 ，并 且 按 照这 个 比例 制 ４ ． ３ 多 重 含 量 一频 数 分 形 方 法 易 于 计 算 ， 适合矿带 、 矿 田 作 出合 理 的算 术直 方 图 。 和 矿 床异 常 下 限 的计 算 ，而 且 分 维 数 可 以定 量 描 述 地球 化学 经 过 多 年 不 断研 究 总结 出实 验 区在 成 矿 元 素 上 不 服 从 正 场 的 空 间结 构特 征 ， 为 资源 预 测提 供 定 量基 础 。 状 态分 部 要 求 ， 也不 存 在对 数 正 状 态 的分 布规 律 。在 矿元 素分 参 考 文献 布 特 征分 析 中 ， 主要 的矿 元 素包 含 有 Ａ ｇ 、 Ｐ ｈ 、 ｚ ｎ和 ｃ ｕ等 ， 这些 ［ １ １孙 忠军 ．高寒 湖 沼 区水 系沉 积 物 中元 素 迁移 富 集 的分 形 伸 矿 元 素都 是 以 峰值 偏 向违 规 率排 列 的 。在 这 里 ， 我们 很 难 明确 展 机 制… ． 物探 化 探 计 算技 术 ， ２ ０ ０ ５ （ ３ ） ． 的断 定 出 了矿 元 素 的 分 布 规 律 ，而 且 无 法 按 照 传 统 的计 算 方 ［ ２ 】 孙 忠 军， 张 华， 刘华 忠 ， 于 兆 云， 李 文春 ， 梁金 全 ． 高寒 湖 沼 景 观 法 对 这些 矿元 素 含 量 进行 计 算 。可 见 ， 在 这种 条 件 下 ， 必 然 无 水 系 沉 积 物 元 素 迁 移 机 理 研 究『 Ｊ １ ． 地 质 与勘 探 ， ２ ０ ０ ５ （ １ ） ． 法 采 用 正状 态 模 式 来 对 矿 产分 布规 律 进 行 计 算 ，异 常下 限 的 【 ３ 】 戴 慧敏 ， 宫传 东， 鲍 庆 中， 孙 中任 ， 尤 宏亮 ， 金 鑫， 高 飞． 区域 化探 计 算 方法 也 不 能采 用 统计 法 进 行 。 数 据 处 理 中几种 异 常 下 限确 定 方 法 的 对 比一 一 以 内蒙 古查 巴奇 根 据 实验 区的 实 际特 点我 们 人手 进 行分 析 ， 矿 元 素 在分 析 地 区 水 系 沉 积 物 为 例 『 Ｊ １ ． 物 探 与化 探 ， ２ ０ １ ０ （ ６ ） ． 中分 散 形 成 了分 流 异 常 的 现 象 ，这 种 现 状 的产 生 离 不 开 矿床 规模 、 矿 体 腐 蚀 程 度 和 水 平 位 移 的影 响 ， 同 时还 会 因 为 季 节 、 气 候 的变化 而 产 生物 理 机械 分 散 和化 学 溶蚀 等 问题 。因 此 ， 在 计 算 的 过 程 中 我 们 必须 要 针 对 各 个 方 面 的 问题 综 合 分 析 ， 确 保 整 个 工作 的顺 利开 展 。从 矿 元 素迁 移 机理 分 析得 出 ， 整 个 矿 元 素 的迁 移 与地 球 化 学 异 常 有 着 密 切关 系 ，而 且 通 过 两 者共 同作 用 会 形 成不 同 的母 体 正 态 分 布 。但 是 在 工 作 中我们 经 常 会 发 现多 种 母体 状态 与 事 实 不 相 符 ，究 其 原 因主 要 是 因 为 矿 区 范 围 内 的化 学 异 常容 易 受 到 分 形 延伸 机 制 的影 响 ，从 而 产 生 复杂 的 地球 化 学 场 。 ３ 计 算 方 法 勘 查 中化探 异常 下 限的多重 分形 计算 方法

多重分形谱的一种算法
杜兴华
( 大庆石油学院 数学系 ,黑龙江 大庆 163318 )
摘 要 : 定义了多重分形的 ODR 维谱函数 ,给出了一种计算多重分形谱的实用方法 . 以非线性 Cantor 集为例进行了 计算 ,从而说明了此方法的有效性 . 关 键 词 : 分形几何 ; 多重分形 ; 非线性 Cantor 集 . 中图分类号 :O174. 12 文献标识码 :A 文章编号 :1000 - 1891 (2004) 03 - 0114 - 02
2 2 ( 2 3 - 3) + 4q 3 ( 3 + 1) 1 3/ 3
τ ( q) - q 2 τ ( q) - q 1
+
9 - 5 3 3 ( 3 + 1)
τ ( q) - q 2
τ ( q) - q 1
= 1 , = 22 q - 1 ,
+ 2 3/ 3 - 1
这求不出解析解 , 但可进行数值模拟 . 目 前的多重分形是二重分形 , 即在一个分形集上支撑一个质量分布 . 以三重分形为例 , 设 E0 =
文中给出的多重分形谱的计算方法对于非线性 Cantor 集之类的非自相似分形有明显的优点 , 即在少 数几步内就能给出较精确的近似 .
参考文献 :
[1] 法尔科内 . 分形几何 — — — 数学基础及其应用 [M] . 曾文曲等译 . 沈阳 : 东北大学出版 ,1991. [2] 黄立基 . 多重分形 [J ] . 物理学进展 ,1988 , (3) :1 - 40. [3] 刘成仕 ,沈宝明 ,韩长兴 ,等 . 逆向重速化方法与分形维数计算 [J ] . 大庆石油学院学报 ,2000 ,24 (1) :118 - 119.