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分形熵:
k
∑ Hm = - p ilogp i
(7)
i= 1
其中:
p i=
D (Αi)
k
(8)
∑D (Αi)
i= 1
3 多重分形熵
上述研究表明, 多重分形奇异谱能很好的反映机 械信号的特征, 可作为设备故障诊断的一种有效方法, 但是如何对多重分形奇异谱作进一步的定量分析需要 进一步研究。
信息熵用于描述信息论中信息的不确定程度, 是 概率分布均匀程度的度量, Ko lm ogo rov 和 Chaitin 将 熵的概念进行了扩展, 首先提出了用系统的复杂度来
M ultifracta l En tropy and Its Appl ica tion to Ana lys is of Non - sta tiona l S igna ls
X ie P ing L iu B in W ang X iao L in Hongb in
(Y anshan U n iv ersity , Q inhuang d ao 066004, C h ina)
性的空间分布。 进一步研究表明多重分形完整的呈现 测有一定有效性。
了信号的分形奇异几率分布形式, 提高了对信号几何 特征和局部尺度行为刻画的精细程度, 可以用于许多 奇异性分析[3]。但是对信号的多重分形谱, 目前尚无一 个定量评价的标准, 因而难以进行更加深入地精确评 判。
随着信息论的发展, 信息熵作为一种评价系统和
多尺度细化分析, 能对奇异信号的多重分形特性进行
空间—— 尺度的精细描述, 从而得到有关分形目标的
奇异性分布和内在动力信息, 是研究分形的有力工具。
设 s (x) 是一个有限能量的函数, 即 s (x) ∈L 2 (R ) , 其小波变换为
∫∞
W 7 [ s] (a, b) =
a-
12
-
∞7
(
x
a
b
Abstract A new index fo r signal rat ion evaluat ion ——m u lt ifractal en t ropy w h ich can evaluate the energy dist ri2
bu t ion of the signal is p ropo sed based on the m u lt i2fractal analysis. B ecau se the m u lt ifractal en t ropy values can
参考文献
1 杨文平, 石博强. 基于分形理论的斯太尔汽车发动机故障 诊断的研究. 机械工程学报[J ], 2002, 38 (2) : 49～ 52.
2 訾艳阳, 何正嘉. 小波分形技术及其在非稳故障诊断中的 应用[J ]. 西安交通大学学报, 2000, 34 (9) : 82～ 87.
3 陈怡然, 周轶尘. 发动机振动诊断中的多重分形法[J ]. 内 燃机学报, 1997, 15 (1) : 114～ 119.
describe the singu lar condit ion and geom et ry dist ribu t ion odds of the signal energy in differen t scales, so it can be
u sed to ex t ract the in ternal featu re info rm at ion of non2stat ional signals. F inally, the new m ethod is sim u lated in
analysis of p ract ical signals and is p roved that th is m u lt ifractal en t ropy is a new m ethod fo r the recogn it ion of
system fau lt condit ion.
盖信号的局部奇异特征和干扰奇异性指数估计。
定义熵。 在此基础上, 采用熵的计算理论, 对分形结构
奇异性分布的均匀性作定量描述, 并提出了多重分形
熵的计算方法, 用来对多重分形奇异谱进行表征, 从而Biblioteka 实现状态识别。 具体方法为:
设 D (Αi) , 1Φ iΦ k 为信号的多重分形奇异谱, D (Αi) 的大小反应了对应奇异指数下的分形维数在总的 分形维数中所占的比重。根据熵的度量公式, 则有多重
只对其模极大值求和。这样做可避免 q< 0 小波系数振 动所带来的偏差。
通过对 Σ(q) 进行L egendre 变换, 可得到多重分形 奇异谱[ 5 ]:
D (Α) = qΑ- Σ(q)
(6)
上述小波多重分形奇异谱的计算方法简单方便,
能全面的反映信号的奇异性分布。另外, 适当选择小波
函数还可以消除分析信号中平滑部分的影响, 不会掩
多发生在高速咬钢时, 此时轧件撞击轧辊的阶跃力矩
导致扭振产生, 这种信号奇异性最小因而熵值较小。以
上测试分析表明, 这里提出的多重分形熵可以定量体
现信号的奇异程度和内在特征, 可作为信号监测和状
态识别的有效途径。
表 1 4 种轧机扭振状态的多重分形熵
状态 多重分形熵
咬钢 打滑 719802
机电 耦合 611055
)
s
(x)
dx
(3)
a∈R , 为尺度参数; b ∈R , 为空间位置参数 (平移
参数)。 小波函数 7 的选择要求满足定义域紧支撑条
件和小波容许条件。 当被分析信号 s (x ) 在 x0 点的
Hoβlder 指数小于小波的消失矩阶数时, 则至少存在一
条小波极大模线指向 x0 点, 而且沿极大模线, 小波变
4 申 , 黄树红, 杨叔子. 旋转机械振动信号的信息熵特征 [J ]. 机械工程学报, 2001, 37 (6) : 94～ 98.
5 H a lsey D C , J en sen M H , Kadanoff L P , P rocaccia I, Sh ra im an B I. F racta l m ea su res and their singu la rities: the cha racteriza tion of stange sets [ J ]. Phys. R ev. A , 1986, 33 (2) : 1141～ 1151.
图 2 4 种轧机扭振状态的多重分形奇异谱 为进一步区分几种不同的振动状态, 分别对其进 行多重分形熵计算, 结果如表 1 所示。 可以看出, 几种 信号状态具有不同的熵值。 咬钢打滑信号多重分形熵 值最大, 这是由于轧机咬钢是一个突加负载的过程, 轧 件与轧辊存在着相对位移使得轧辊上出现间歇性尖峰 力矩, 使信号的几何结构突然变得复杂, 因而熵值突
轧制 打滑 519345
咬钢 扭振 310601
5 结 论
在介绍多重分形奇异谱及其小波极大模算法的基 础上, 结合信息熵理论提出一种新的定量评价非平稳 信号的指标—— 多重分形熵, 并将之应用于实际信号 的分析, 结果表明该指标能对信号特征进行准确提取, 为复杂机械非平稳信号分析提供了一种新的方法。
换系数存在以下尺度行为:
W 7 [ s ] (a, x0)～ aΑ(x0)
(4)
根据多重分形机理, 定义小波变换空间尺度配分函数,
它在 a→0 时, 满足:
∑ Z (q, a) =
W 7 [ s ] (a, xi(a) )
～ a q
Σ(q)
(5)
xi (a)
即在给定的尺度上, 不是对所有小波变换系数求和, 而
对所测信号进行多重分形分析后所得的奇异谱如 图 2 所示。 从 Hoβlder 指数 Αi 的分布范围大小来看, 咬 钢打滑、机电耦合和轧制打滑信号的 Hoβlder 指数分布 范 围 相 对 较 宽, 都 在 018 以 上, 而 咬 钢 扭 振 信 号 的 Hoβlder 指数分布范围较窄, 大约在 0165 左右, 说明咬 钢打滑、机电耦合和轧制打滑的多重分形性比咬钢扭 振的要强。
Key words M u lt ifractal en t ropy Info rm at ion en t ropy W avelet analysis Fau lt diagno sis
信号不确定程度的指标, 逐渐应用于信号分析和状态
1 引 言
监测领域, 比较典型的是杨叔子等提出的振动信号信
息熵特征[4], 为定量评价信号能量分布情况提供了有
由于机械设备日趋复杂化, 并且与电力拖动和电 力依据。
气控制的耦合性不断增强, 导致其信号形态的复杂性
为此, 引入不同测度多重分形分析的方法, 检测信
和多元化而呈现非平稳特性, 分形理论作为非线性科 号的奇异性并得到多重分形奇异谱, 在此基础上, 应用
6 谢平, 刘彬. 用于复杂机械系统状态监测的综合决策模型 研究[J ]. 中国机械工程, 2003, 4 (10) : 1674～ 1676.
变, 需要提前预防以减小危害。机电耦合扭振是由于电
动机控制系统的响应频率和机械轴系频率合拍引起
的, 这种扭振具有机电耦合谐振性质。轧制打滑产生的
扭振是因为在轧制过程中, 轧件上存在黑印、表面摩擦
系数不均匀使得轧辊和轧件产生打滑, 在轴系上出现
很高的交变力矩。 由于机电耦合和轧钢打滑信号结构
相对平缓, 因而多重分形熵值也相对较小。咬钢扭振大
611
化情况, 表示如下:
ΛΑ( r)～ rΑi
(1)
其中, Hoβlder 指数 Αi 表示测度 Λ 在 x 点的奇异性
强度。多重分形奇异谱D (Α) 能够反映奇异性指数 Αi 的
统计分布情况, N Α(r) 表示为:
