股指时间序列的多重分形Hurst分析

第 4 卷第 4 期 管 理 学 报 Vol . 4 N o. 4 2007 年 7 月 Ch inese Jou rna l of M anagem en t Jul . 2007
股指时间序列的多重分形 H u rst 分析
苑 莹 庄新田
( 东北大学工商管理学院)
收稿日期: 2006- 10- 23 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 70371062)
[6] [1 ～ 5]
证券市场复杂波动现象的有力工具, 因此更适 于描述复杂系统, 众多国内外学者运用多标度 分形理论对各种不同类型金融市场的波动现象 进 行 了 实 证 检 验, 取 得 了 许 多 有 价 值 的 成 果
S M , d ( Σ) =
M
选取 1991 年 4 月 4 日 ～ 2006 年 6 月 16 日深 证成分指数每日收盘价为实证研究对象, 共计
3 741 个观察数据。 数据来源于飞狐交易师软
件。
1. 2. 1 计算结果及稳定性
1
M
∑[ r
k= 1
k, d
( Σ) - EM , d ( Σ) ] 2 。
〉 t ,
( 8)
从不同时间标度下的 H u rst 指数值 ( 见图
2 ) 可以看出, H u rst 指数随着时间标度的增加
式中,〈・〉 表示平均值。 如果 x ( t) 是标度的, 那 么存在如下的幂律变化:
F q ( Σ) ∝ Σ
qH q
呈整体上升的趋势, 而且整个标度内体现了持 久性特征 [ H ( Σ) > 0. 5 ]。 因此, 基本上可以说, 时间标度越大, 股指价格动态的持久性特征越 明显。 H u rst 指数的最小值对应于 H ( Σ= 1 ) = 0. 636 90, 这与随机游走条件下 H ( Σ) = 0. 50 显 著不同, 这说明在股指价格动态中, 持久性特征 在整个过程中起作用。
1 多重分形 R S 分析
1. 1 多重分形 R S 分析模型 R S 分析是 HU R ST 在大量实证研究的基
・449・
管理学报第 4 卷第 4 期 2007 年 7 月
础上提出的一种方法, 用以区分完全随机时间 序列和分形时间序列。 对于一个长度为N + 1 的股指时间序列 P N + 1 = {p 1 , p 2 , …, p N , p N + 1 }, 其 中 p i = p ( ti ) , R S 分析方法的主要步骤如下: 步骤 1 将上述时间序列转化为长度为N 的 收 益 时 间 序 列 R N ( Σ) = { r1 ( Σ) , r2 ( Σ) , …, ) } 其中 r i ( Σ ) = p ( ti ) - p ( ti - Σ) , i = 1, 2, …, rN ( Σ
( 2)
步骤 5 计算相对于均值的累积离差:
M
深证成指日收益、 周收益及月收益时间序 列 的 R S 值对时间间隔M 的对数图如图 1 所 示。相 应 的 H u rst 指 数 分 别 为 H ( Σ= 1 ) =
0. 632 37, H ( Σ= 5) = 0. 676 09 及 H ( Σ= 22 ) = 0. 711 49, 从实证结果可以看出, H u rst 指数均
F q ( Σ) = 〈 x ( t) x ( t + Σ)
q
不同的时间段各自经历了不同的经济态势, 如
1997 年的亚洲金融危机及 2001 年因 9. 11 事件
引起的全球金融市场的动荡, 但是 2 个时间段 的H u rst 指数并未发生大的改变, 表明H u rst 指 数是稳定的。
1. 2. 2 持久性及标度临界点
( 2 432个数据) , 1998 ～ 2006 年 ( 2 033 个数据) 。
步骤 7 对于每个时间窗, 其极差通过其相 应的标准方差进行重新标度。 因此, 对于时间标 度M 的均值为
(R S)M (Σ) = 1
D
∑S
d= 1
D
R M , d ( Σ)
M ,d
( Σ)
。
( 5)
分别计算得到 H 1 = 0. 636 90 和 H 2 = 0. 629 81,
X
k, d
( Σ) =
∑
i= 1
[ r i, d ( Σ) - EM , d ( Σ) ], k = 1, 2, …, M 。 ( 3)
步骤 6 计算极差: R M , d = m ax{X 1, d ( Σ) , X 2, d ( Σ) , …, X M , d ( Σ) } m in{X
图 1 日收益、 周收益及月收益 R S 分析的对数图形
・450・
股指时间序列的多重分形 H u rst 分析—— 苑 莹 庄新田
2 个H u rst 指数的差别不明显, 这说明尽管 2 个
多仿射是用多个指数代替单个自仿射指 数, 使之能够更全面地描述和认识所研究的分 形函数及其相关特征。本文运用 q 阶高度2高度 相关性函数来分析股指时间序列的分形过程及 不同时间标度下的价格形成机制。 q 阶高度2高 度相关性函数如下:
N。
步骤 8 对于每个收益时间标度 Σ, (R S ) M ( Σ) 体现了如下标度关系:
(R S) M (Σ) ∝ M
) H (Σ
。
( 6)
式中, H ( Σ) 是 H u rst 指数。 步骤 9 做出 log (R S ) M ( Σ) — log (M ) 图形, 通过最小二乘法来计算线性回归的斜率, 即为 所求的 H u rst 指数 H ( Σ) 。 如果时间序列是独立的, 则图形是一条斜 率为 H ( Σ) = 0. 5 的直线。 如果 H ( Σ) ∈ ( 0. 5,
[7 ～ 13 ]
。
本文运用重标极差 (R S ) 分析及多仿射分 析来研究股票市场的多重分形特征, 以探求市 场价格形成机制, 为我国股票市场的风险管理 和价格预测等问题提供参考。 实证结果表明, 深 圳股票市场具有长记忆效果及持久性特征, 并 存在 2 个时间标度临界点, 各个临界标度范围 内的价格动态体现了其相应的本质特征。
1. 0 ], 则该时间序列是持久性的, 在所有时间标
步骤2 将收益时间序列R N ( Σ) 分成长度为
M 的 D 个时间窗, 每个时间窗用 I M , d ( Σ) 表示,
) 中的每个元素用 rk , d ( Σ) 表 d = 1, 2, …, D 。I M , d ( Σ
度上会受到长记忆性的影响。 这种对初始状态 的敏感性是非线性动力系统的典型特征。 相反 地, 如果 H ( Σ) ∈ [ 0, 0. 5) , 则该时间序列具有负 相关的反持久性特点。
摘要: 以深圳股票市场为例, 对深证成指指数数据进行了多重分形分析。 首先, 运用多重 分形重标极差的方法对深证成指进行实证研究, 结果表明在整个时间标度上H u rst 指数均表 现为持久性特征, 而且随着标度 Σ 的增加, H u rst 指数呈现总体递增趋势, 并且在整个标度范围 上存在 2 个标度临界点, 这体现了股指价格在不同标度范围下的状态跃迁现象。 其次, 运用多 仿射方法确认了深圳股票市场多重分形特征的存在, 验证了R S 分析方法中存在的标度临界 点, 并且进一步分析了不同临界标度范围下价格动态的本质特征。 关键词: 多重分形 R S 分析; 多仿射; 标度临界值 中图分类号: F 830. 9 文献标识码: A 文章编号: 16722884X ( 2007) 0420449204
,
( 9)
式中, H q 为广义 q 阶 H u rst 指数。 为研究 H q 随 q 的变化情况, 对式 ( 9 ) 两边 取自然对数可得到线性关系:
1
q
ln F q ( Σ) ∝ H q ln ( Σ) 。
( 10)
以 ln ( Σ) 2ln ( F q ) q 作图, 曲线斜率为H q。若 得 出的 H q 不随 q 变化, 说明价格波动仅仅是单 仿射的, 而随 q 变化的 H q 则是多仿射的。 需要注意的是当q µ 1 时, F q ( Σ) 放大了 x ( t) 价格的大幅波动。 这样, F q ( Σ) 中大幅波动起了 主要作用, 因此能够发现大幅波动在 x ( t) 动态 变化中的影响。
1, d
( Σ) , X
2, d
( Σ) , …, X M , d ( Σ) }。
( 4)
表现为持久性特征, 而且随着标度 Σ 的增加, H u rst 指数呈递增趋势。 为了检验不同时间序 列 H u rst 指数的稳定性, 以日收益时间序列为 例, 将上述日收益时间序列分成 2 个相互重叠 的 部分, 所选定的时间序列为 1991～ 2000 年
M ultifracta l Hurst Ana lysis of Stock Pr ice Index T i m e Ser ies YU AN Y ing ZHU AN G X in t ian (N o rthea stern U n iversity, Shenyang, Ch ina ) Abstract: M u lt ifracta l ana ly sis of Shenzhen ing red ien t index w a s ca rried ou t. M u lt ifracta l resca led range ana ly sis w a s app lied to study the stock m a rket in Shenzhen em p irica lly. It is found tha t the t i m e series of the stock retu rn show p ersisten t p rop erty in d ifferen t t i m e sca les and the la rger the ti m e sca le, the la rger H u rst Exponen t. It is seen tha t there is tw o cro ssovers a round the t i m e sca les, ind ica t ing a p ha se t ran sit ion under d ifferen t sca les in funct ion H ( Σ). T he m ethod of m u lt iaffine iden t i2 fied the ex istence of the m u lt ifracta l cha racterist ics w a s iden t ified in the m ethod of m u lt iaffine and the . essence of p rice dynam ics of stock p rice index w a s ana lyzed under d ifferen t sca les Key words: m u lt ifracta l R S ana ly sis; m u lt iaffine; cro ssover 金融市场中越来越多的实证研究结果对有 效市场理论提出了质疑 。 事实证明, 即使是 最具竞争力、 最复杂的市场也并非是完全随机 的, 简单的随机游走过程不能描述经济和金融 系统机制。 在过去的 20 年中,M AND ELBRO T 等 借鉴物理学方法并将其应用到经济系统中 产生了一个新的交叉领域——经济物理学。 它 以一个崭新的视角来分析和描述金融学的基本 问题, 因此越来越受到理论界的关注。 分形理论与多重分形理论是经济物理学的 基础理论之一, 但是由于简单分形模型只能描 述资产价格过程某一方面的特征, 主要是资产 价格过程变化的一个宏观概貌和长期统计行 为, 并没有考虑过程在某一时刻的局部特性, 对 资产价格过程的描述不够细致与全面。 而多重 分形理论能够分析分形维的混合状态, 是刻画
1. 2 多重分形 R S 分析的实证结果
示, k = 1, 2, …, M 。 步骤 3 对于每个长度为M 的 I M , d ( Σ) , 其均 值
EM , d ( Σ) =
1
M
M
∑r
k=Biblioteka Baidu1
k, d
( Σ) ,
( 1)
即E M , d ( Σ) 是每个时间窗内包含的收益序列的均 值。 步骤 4 计算每个时间窗 I M , d ( Σ) 的标准差: