中国股市的多重分形模型分析

文章编号:1003-207(2002)03-0011-07中国股票市场多重分形游走及其预测何建敏,常　松(东南大学经济管理学院,江苏南京　210096)摘　要:股票价格波动规律的研究是预测的基础,多重分形过程是迄今为止最为符合价格波动特性的模型。

本文验证了中国股票市场的多重分形游走,并根据多重分形过程的局部尺度特性和多尺度相关性建立了小波和神经网络相结合的股票价格预测模型。

实证研究结果表明,本文模型预测精度较由其他模型得到的预测精度明显提高。

关键词:多重分形;小波;神经网络;股票市场;预测中图分类号:F830.9 文献标识码:A收稿日期:2001-06-20作者简介:何建敏(1956-),男(汉族),江苏无锡人,东南大学经济管理学院,副院长,教授(博导),研究方向:金融管理、应急管理. 股票价格的准确预测意味着投资者高额的市场回报和政府部门对市场的有效监管。

为此自19世纪股票市场建立以来,众多国外学者对股票价格波动规律及其预测模型的研究形成一个焦点。

早期研究认为对数价格是一布朗运动,收益是正态的独立同分布(Independent Identically Distributed ,IID )随机变量。

然而对众多股票市场的研究发现,股票价格波动中存在着与这一理论不符的特性,如收益分布的胖尾和波幅的长期相关性[1]。

“胖尾”说明了价格变动中暴涨和暴跌发生的概率远远高于正态分布预计的情况;波幅的长期相关性说明收益并非独立,而是存在非线性相关,从这一角度而言股票价格波动存在一定规律,具有一定的可预测性。

由此关键的问题在于找到一种能够描述实际价格波动各种特性的模型,并据此建立合理的预测方法,获得准确的预测。

针对布朗运动的缺陷,后人又提出多种的价格波动模型加以改进,如L -稳定过程(L -Sta 2ble Process )[2]、分数布朗运动(Fractional BrownianMotion )[3]和ARCH (Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity )模型[4]等等。

中国金融市场的效率和多重分形分析中国金融市场的效率和多重分形分析随着中国经济的迅速发展，金融市场在其中扮演着至关重要的角色。

金融市场的效率对经济稳定和发展至关重要。

然而，金融市场的效率一直是一个备受争议的话题。

多重分形分析作为一种研究金融市场效率的方法，被广泛应用于中国金融市场。

首先，我们来了解一下金融市场的效率是什么。

金融市场的效率是指市场价格能否充分反映市场信息，并能提供有效资源配置和定价功能。

高效的金融市场可以有效地为实体经济提供融资和风险管理工具，促进资源的合理配置和经济的稳定发展。

多重分形分析是一种非线性的数据分析方法，可以用来研究金融市场的效率。

它基于分形理论，通过分析金融市场的时间序列数据，来探索其中的内在规律和结构。

在中国金融市场中，多重分形分析的应用涵盖了各个方面。

一方面，研究人员通过多重分形分析来探讨中国股市的效率问题。

例如，他们可以通过分析股票价格的时间序列数据，来研究股市的波动性和波动的规律性。

通过多重分形分析，他们可以发现价格的波动不是完全随机的，而是存在一定程度的自相似性和自相关性。

这些内在规律的存在对于股票市场的投资者具有重要意义，可以帮助他们制定更合理的投资策略。

另一方面，多重分形分析还被应用于研究中国债券市场的效率。

债券市场作为中国金融市场的重要组成部分，其效率的高低直接关系到经济的稳定发展。

通过多重分形分析，研究人员可以分析债券价格的变化和债券市场的波动性，以评估债券市场的效率水平。

他们发现债券价格的波动具有一定的规律性，存在一定程度的自相关性。

这些发现可以为债券市场投资者提供有价值的信息，帮助他们更好地预测债券市场的走势和制定投资策略。

除了股票市场和债券市场，多重分形分析还被广泛应用于研究其他金融市场，如汇率市场、期货市场和商品市场等。

通过对这些市场的多重分形分析，研究人员可以揭示出市场内在规律，为投资者提供更可靠的决策依据。

尽管多重分形分析在中国金融市场中的应用已经取得了一些成果，但研究人员还面临着一些困境和挑战。

经济研究导刊ECONOMIC RESEARCH GUIDE总第54期2009年第16期Serial No．54No．16，2009中国股市在2007—2008年度出现了罕见的暴涨暴跌过程，从最高6100多点跌到1600多点，跌幅达75%以上，给中国的广大投资者带来了巨大的损失。

同时，使得中国的资本市场几乎丧失基本的融资功能。

暴涨或暴跌都不正常，无论是管理者还是投资者都应该从中吸取教训，清楚地认识中国股市运行的规律，以作前车之鉴。

为此，本文对暴涨暴跌期间的上证指数序列进行了分形估计，并对估计结果进行了进一步的分析研究。

一、分形分布及其参数估计在经济文献中，分形分布（fractaldistribution ）又称为Pareto 分布、Pareto-Levy 分布或Stable-Pareto 或stable （稳定或平稳）分布。

该分布的性质最早是由Levy （1937）推导出来的，而他的工作又是以Pareto （1896）有关收入分布的研究工作为基础的。

若正数，s 1，s 2，s 具有加法平稳性s 1a +s 2a =s a ，则称满足关系f （s 1X +s 2X ）=f （sX ）的随机变量为X 平稳过程，其分布称为平稳分布。

柯西分布和高斯分布分别是a =1和a =2时的解，因此，柯西分布和高斯分布都是平稳分布。

Levy 发现，当0＜a ≤2时，满足f （s 1X +s 2X ）=f （sX ）的通解的对数特征函数为：ln φ（t ）=ln （E exp （itX ））=i δt -γa t a1-i βtttan πa 2，a ≠1i δt -γt1+i β2πt tln t t t，a =tt t t t t t t t t t1（1）其中X 为随机变量，t 为任意实数，i 为虚数单位。

分形分布的特征函数由四个参数决定，即α、β、γ、δ，并且α、β是两个关键参数，四个参数的不同组合产生不同的分形分布形式。

中国证券市场的多重分形及有效性研究的开题报告一、研究背景中国证券市场是一个复杂而且波动性极强的系统。

证券市场的价格波动通常包含有多种不同时间尺度的变化。

随着计算机技术的进步和数学工具的发展，分形理论成为了研究市场价格行为的重要工具之一。

分形理论是指出现于自然和社会现象中的某种空间与时间上的不规则模式，这些模式的特征相似，即在不同的尺度下都具有相同的形态特征。

证券市场价格波动的特征也表现出这一特点。

然而，目前关于多重分形理论在证券市场中的应用研究较少，而且对于其有效性研究的文献更少。

因此，本研究将重点探索中国证券市场的多重分形特征以及分形理论在预测股票价格波动中的有效性。

二、研究目的及意义1. 确定中国证券市场的分形特征：通过对中国证券市场的历史数据进行分析，研究其是否具有分形特征，以及这些特征的表现形式和尺度。

2. 探讨多重分形与市场风险：将多重分形理论与系统性风险联系起来，阐述多重分形在预测市场风险方面的研究意义。

3. 分析多重分形在预测股票价格波动中的有效性：将多重分形理论应用于中国证券市场，对其在股票价格波动的预测方面的有效性进行验证，为投资者提供参考依据。

三、研究方法1. 理论研究：对分形理论和多重分形理论进行理论研究和分析，建立一个多重分形模型。

2. 实证研究：采用MATLAB等计算机软件，将多重分形模型应用于中国股市数据研究，分析多重分形理论在股票价格波动中的有效性。

3. 统计分析：采用统计学方法对研究结果进行分析和验证，比较多重分形理论预测的误差与传统方法的误差，评估多重分形理论在股票价格波动中的有效性。

四、预期结果及贡献1. 揭示中国证券市场的多重分形特征，将多重分形理论应用于证券市场，识别股票价格波动的重要尺度，对市场风险进行更为准确的预测。

2. 为投资者提供科学的参考依据。

通过实证研究验证多重分形理论在预测股票价格波动中的有效性，为投资者提供科学的参考依据，制定更为有效的投资策略。

上证指数高频数据的多重分形错觉周炜星【摘要】以上证指数5分钟取样的高频数据为例,采用配分函数法对每一交易日的数据进行多重分形分析,发现质量指数τ(q)为线性函数.用统计自举生成随机时间序列以深入剖析多重分形谱f(α),发现约有51%的交易日,其多重分形特性无法通过显著性检验.进一步分析发现,所有真实时间序列的奇异性强度与随机序列的奇异性强度相差无几,因而完全可以用后者加以解释.因此,上证指数本身并不具多重分形特性.【期刊名称】《管理科学学报》【年(卷),期】2010(013)003【总页数】6页(P81-86)【关键词】金融物理学;上证指数;多重分形分析;统计检验【作者】周炜星【作者单位】华东理工大学商学院,上海,200237【正文语种】中文【中图分类】F830;O189.12;N930 引言金融物理学是用统计物理、理论物理、复杂系统理论、非线性科学、应用数学等的概念、方法和理论研究金融市场通过自组织而涌现的宏观规律及其复杂性的一门新兴交叉学科[1-2].金融物理学的主要研究内容包括 4个方面[2-3]:第 1,金融市场变量的统计规律,其中最基本的性质是关于收益率的尖峰胖尾分布[4-6].第 2,证券的相关性、极端事件、金融风险管理和投资组合等,分形市场假说与多重分形的理论和方法被广泛应用于分析金融时间序列[7-10].第 3,宏观市场的建模和预测,包括用随机过程对收益率建模、对数周期性幂律模型等[11].第 4,金融市场的微观模型,主要包括基本面投资者和噪声交易者博弈、逾渗模型、伊辛模型、少数者博弈模型等,以及由此而衍生出来的各种模型[12-13].最早用多重分形理论分析金融时间序列的学者可能是 Ghashghaie等[10],他们将外汇市场与湍流类比,发现美元和德国马克外汇价格波动的矩函数具有非线性的标度律,而其他关于汇市多重分形特性的实证研究也得到了广泛关注.多重分形特性在其他金融时间序列中也有大量报道,如黄金价格、商品价格、股票个股价格、股市指数的收益率等[2].也有一些学者直接研究价格本身的多重分形性质,如香港恒生指数[14-15]、上证指数和深圳成指[16-20]、大陆上市的部分个股[21]等,他们采用高频数据(如 5分钟),对每个交易日进行多重分形分析,计算出多重分形奇异谱,并指出这些多重分形性质与价格反常波动、风险管理等密切相关.但是,若进一步分析这些结果,可以发现两个问题:第 1,根据多重分形理论,当尺度l→0时,若存在常数α(x)使得测度μ在点 x的邻域B(x,l)上满足幂律关系则称测度μ在点x处奇异,其奇异性强度为α(x).当μ为股票价格或者股市指数时,μ(B(x,l))近似正比于 l,即对所有点 x,奇异性指数α(x)≈1.换言之,该测度在理论上不具备多重分形特性.事实上,实证研究得到的结果无一例外验证了上述理论推测,奇异性强度分布△α≜αmax-αmin≈0.第2,在湍流或海量高频金融数据的多重分形分析中[22-24],即使是百万量级的数据,一般也要求阶数 q小于 8,才能保证配分函数的收敛性,因此分析更高阶的配分函数在统计上没有意义.而在上面讨论的研究中,每一交易日的高频时间序列(1分钟或5分钟数据)的长度不超过 240,却普遍采用了很大的阶数 q,甚至到达q=±210,这极大地降低了分析结果的可信性.事实上,大部分文献只热衷于报道实证研究的结果,却忽略了更本质的内容,即产生多重分形特性的原因.研究表明,即使是不具多重分形特性的分形模型,也可能产生所谓的多重分形性质[25],因而这些实证得到的多重分形特性,更确切的表述应该是“经验多重分形特性”.时间序列中的经验多重分形特性有两个可能的来源,一是波动性中存在的长程相关性,二是收益率的胖尾分布[26].对很多金融时间序列,经验多重分形特性源于胖尾分布的零假设无法拒绝[27],这一结论已经为一些研究所证实.对于价格时间序列而言,得到的多重分形谱具有很窄的奇异性分布,同样需要对之进行统计检验.本文重新研究上证指数日内高频数据的多重分形特性,并采用统计自举(bootstrapping)的方法检验得到的经验多重分形特性是否来自随机涨落,结果表明,在近半数交易日中,随机化后的数据能够产生比真实数据更强的多重分形特性,而在另一半交易日中,随机化后的数据得到的奇异性强度能够在很大程度上解释真实数据的奇异性强度.因而,关于价格的所谓多重分形特性实际上不过是一种错觉.1 数据与配分函数法本文采用上证指数的 5分钟高频数据,记录从 2001年 2月 28日至 2006年 8月10日,剔除不完整的数据后,共余下 1 201个交易日.对于每个交易日,共有 T=48个数据点,不妨记为{μ(t)∶t=1,2,…,48}.与相关文献[14-21]一致,本文采用配分函数(partition function)法[28-32]进行多重分形分析.将该测度μ的支撑集分为尺度为 l的盒子,可得N=T/l个盒子,第 n个盒子内的测度为其中,l的取值为:1,2,3,4,6,8,12,16,24,48.于是,q阶配分函数为若测度μ具有自相似性,则存在标度指数函数τ(q)使得如下标度关系成立若测度μ为单分形,则τ(q)为线性函数;若μ为多重分形,则τ(q)为非线性函数.奇异性指数α(q)和多重分形奇异谱f(α)可对τ(q)进行勒让德变换,得到[32]可以用数值计算得到结果.为使结果具有可比性,本文 q的取值范围仍设得很大,取 -120≤q≤120[19-20].当且 1时,为了避免数值计算的结果超出电脑存储能力,可用下式计算配分函数的对数从而增大计算范围.2 多重分形分析为确认上证指数的标度行为,以 2001年 7月24日为例,用配分函数法对 5分钟交易数据进行多重分形分析.图1给出了不同 q值的配分函数χq(l)与尺度 l之间在双对数坐标系中的关系,可以发现,对每个 q值χq(l)与 l呈很好的幂律关系,其中的直线为线性最小二乘拟合所得,无标度区覆盖了所考察的所有尺度,即l∈ [1,48].图1 上证指数配分函数的标度行为Fig.1 Scaling behavior of partition function of SSEC由式(4),图1中直线斜率的相反数给出了相应 q值的质量指数τ(q),结果如图 2所示.不难看出,质量指数τ(q)相对于阶数q呈现良好的线性关系,如图中直线所示,其斜率为1.000±0.005,线性相关系数为 1.000 0.从图 2中显然无法得到τ(q)为非线性函数这一结论,而其他交易日的τ(q)函数同样具有良好的线性关系,因而,上证指数本身不具有多重分形特性.图2 上证指数的质量指数函数τ(q)Fig.2Mass exponentτ(q)of SSEC图3 给出了通过对τ(q)进行勒让德变换得到的多重分形奇异谱曲线f(α).单从形状而言,该曲线具备守恒多重分形测度奇异谱曲线的所有几何性质[2].然而,即使对于 -120≤q≤120这么大的取值范围,Δα的值依然很小,而αmin和αmax的值十分接近 1,同样显示所谓的多重分形特性不过是一种错觉.3 统计检验图3 上证指数的多重分形谱f(α)Fig.3Multifractal spectrum f(α)of SSEC为进一步定量检验所得到的多重分形特征的统计显著性,采用统计自举的方法.对于一个给定交易日的实际交易数据,若将其次序打乱使得其中可能存在的相关性消失,则得到的随机化序列不具多重分形特性.对于上节讨论的例子,本文计算了 10个随机化序列的多重分形谱函数,结果示于图 4,其中,实线对应真实上证指数,10条虚线对应随机化序列,插图则是对主图左下方的放大.可以看到,上证指数的多重分形谱f(α)与随机化序列的多重分形谱frnd(αrnd)无法区分,即实际序列的所谓多重分形特性并不显著.图4 实际上证指数与随机化序列多重分形谱的比较Fig.4Comparison ofmultifractal spectra extracted from real and shuffled SSEC多重分形的强度可以通过奇异性强度分布Δα=αmax-αmin来刻画,统计检验多重分形特征的存在性,等价于检验奇异性指数α异于 1,或Δα≠0.为此,对于每一交易日的数据序列,可生成n=1 000个随机化序列,其奇异性指数和奇异谱函数用下标rnd表示,则统计检验的零假设为虚假警报的概率为若p1≤0.05,则谓之得到的多重分形特性存在并且显著,否则,则称在显著性水平0.05下无法拒绝该零假设.类似地,若定义则一个近似等价的零假设可写作如下形式虚假警报的概率为图5给出了对应于某一给定交易日(2001年7月 24日)的 Frnd与Δαrnd之间的散点图.由图发现,Frnd与Δαrnd之间存在良好的线性关系其中,k=-29.7,b=1.0,线性相关系数为0.999 9.图中的圆圈则表示实际上证指数序列所给出的F=0.985 0与Δα=5.071 4×10-4值,正好落在直线(6)上.可以得到 ,p1=0.289,p2=0.293.可见,无法将实际数据从随机化数据中区分出来.对于其他交易日,也得到了类似的结果,并且,k=-29.6±0.7,b=1.000±0.003.计算发现,所有交易日的p1≈p2.在1 201个交易日中,p1≤0.05的交易日占49.1%,p2≤ 0.05的交易日占49.1%,换言之,有超过一半的交易日,其零假设(即不存在多重分形特性)无法拒绝.图5 随机化上证指数序列的 F rnd与Δαrnd之间的散点图Fig.5 Scatter plot of F rndandΔαrnd of 1000 shuffled SSEC series那么,是否可以认为,这 49.1%或 49.1%的交易日,其多重分形特性在统计意义上是显著的呢?为此,可以直接比较给定交易日内实际数据给出的Δα和 F值与随机序列的均值〈Δαrnd〉和〈Frnd〉,结果如图 6所示,其中的实线给出了表示“实际数据等于随机化数据”的对角线.图 6表明,所有交易日的Δα≈ 〈Δαrnd〉且F≈〈Frnd〉 ,实际序列的多重分形奇异谱函数f(α)与随机序列的多重分形奇异谱frnd(αrnd)十分接近,仅随机波动便能解释f(α)曲线的奇异性分布.因此,同样可以认为,用配分函数法对上证指数本身进行分析得到的多重分形特性,在统计上并不显著,不过是一种错觉而已.图6 随机化数据与实际数据给出的 F与Δα的比较Fig.6 Comparison of FandΔαextracted from real and shuffled SSEC series4 结论本文以上证指数 5分钟取样的高频数据为例,用配分函数法对每一交易日的数据进行多重分形分析,并用统计自举的方法生成随机时间序列对得到的多重分形谱进行深入剖析.结果表明,大约有 51%的交易日,其多重分形特性无法通过显著性检验.进一步分析发现,即使是那些通过显著性检验的时间序列,其f(α)曲线的奇异性强度,也与随机序列的奇异性强度相差无几,因而完全可以用后者得以解释.此外,所有交易日的质量指数τ(q)呈现十分良好的线性关系,非线性无法得到确认.显然,文献中所谓的多重分形特性,只是一种错觉.不难推测,日内价格(如个股)或指数(如恒生指数、深圳成指等)本身并不具多重分形特性.股市指数的所谓多重分形特性,已被学者用于进行股市预测[15]和构建市场风险指数[19,20],本文的研究对此提出了质疑.需要指出的是,本文并没有否定用多重分形理论进行市场预测和风险管理这一思路,若采用其他金融变量(如收益率)计算真实多重分形特性,或将得到更有价值的成果.参考文献:[1]Mantegna R N,Stanley H E.An Introduction to Econophysics:Correlations and Comp lexity in Finance[M].Cambridge:Cambridge University Press,2000.[2]周炜星.金融物理学导论[M].上海:上海财经大学出版社,2007.Zhou Wei-xing.AGuide to Econophysics[M].Shanghai:Shanghai University of Finance and Economics Press,2007.(in Chinese)[3]李平,汪秉宏,全宏俊.金融物理的若干基本问题与研究进展(Ⅰ)——价格的统计分析与价格涨落的随机过程模型[J].物理,2004,33(1):28-33.Li Ping,Wang Bing-hong,Quan Hong-jun.Some problem and progress abouteconophysics[J].Physics,2004,33(1):28-33.(in Chinese)[4]Mandelbrot B B.The variation of certain speculative prices[J].Journal of Business,1963,36(4):394-419.[5]Fama E F.The behavior of stock market prices[J].Journal 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股票市场分形特征实例分析分形理论的创始人美籍法国数学家Mandelbrot1967年在美国《科学》杂志上发表了“英国的海岸线有多长”的划时代的论文。

1975年他出版了分形几何的第一部著作《分形：形状、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。

分形是用以描述那种不规则的、破碎的、琐屑的几何特征。

分形是相对于整形而言的，它的基本特征是不可微性、不可切性、不光滑性，甚至是不连续性。

很多学者研究了我国股票市场的混沌特征，不仅说明了股市运行过程中的混沌特征，而且还给出了混沌特征的数量指标。

但他们并没有给出混沌吸引子的结构，而它却是混沌状态的基本特征，是描述混沌的基本工具。

混沌吸引子具有分形结构，混沌与分形是密切相关的。

本论文以上海股市为例，来分析我国股票市场的分形特征。

股市混沌吸引子的分形维我国股市具有复杂的混沌结构，而且我们还给出了股票指数收益率序列的混沌结构的数量指标。

“这些数量指标都是混沌度的特征指标”。

混沌的另一个特征是具有混沌吸引子，吸引子是一个分形，而分形维是刻划分形最重要的指标。

分形维数有多种定义，两种最常用的分形维数是豪斯道夫(Hausdorff)维数和盒维数。

1983年，Grassberger和Procaccia利用了嵌入理论和相空间重构技术，提出了从时间序列直接计算关联维数的算法。

本文也是用此法来计算我国股市混沌吸引子的分形维。

设{xk:k=1,…N}是观测某一系统得到的时间序列，将其嵌入到m维欧氏空间中，得该空间中的点集，其元素为：xn(m,τ)=(xn+τ,xn,…,xn+(m-1)τ),n=1,…Nm，其中：Nm=N-(m-1)τ.从Nm个点中任选一个点xi计算其余每个点到该点的距离rij，对所有xi(i=1,…，Nm)重复这一过程，可得到关联积分函数其中的H(x)当x>0时取1，当x≤0时取0，关联维数D为当r→0时函数logCm(r)/logr的极限。

Grassberger和Procaccia证明了当嵌入维数大于分形维时，所求的分形维不因嵌入维数的增加而增加。