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分形学
分形学（Fractal Geometry）是一门研究分形（fractal）对象的几何学。
分形是一种复杂的几何形态，它们在局部和整体上具有自相似性，通常无法用传统的欧几里得几何（Euclidean geometry）来描述。
分形学的研究对象包括自然界中的许多不规则形状，如云彩、山脉、河流、海岸线等，以及人工设计的分形图案。
分形学的核心概念是自相似性（self-similarity）和分数维（fractional dimension）。
自相似性意味着分形对象在不同尺度上呈现出相似的形态，而分数维则是用来描述分形对象占据空间的方式，它们通常不是整数维，如零维的点、一维的线段、二维的平面或三维的立体。
分形学的基础是分形几何学，它由法国数学家伯纳德·曼德尔布罗特（Benoît Mandelbrot）在20世纪70年代提出。
曼德尔布罗特通过研究英国海岸线的长度发现，随着测量尺度的减小，海岸线的长度会无限增长，这种现象无法用传统的几何学来解释。
他提出了分形的概念，并定义了分形的维数。
分形学在多个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、地理学、环境科学、计算机科学、经济学等。
在计算机图形学中，分形学用于生成复杂的自然现象和纹理。
在金融学中，分形市场理论（fractal market hypothesis）用于解释股票市场等金融现象的不规则性和复杂性。
在地质学中，分形学用于分析地貌和地质结构。
在生物学中，分形学用于研究生物体的生长和形态。
1。
分形几何在信号分析中的评价指标信号分析是指对信号进行解析和评估的过程。
而信号的评价指标则是用来描述信号质量、特性和性能的量化指标。
在信号分析中，分形几何是一种有效的工具，可以用来评价信号的复杂性和自相似性。
本文将介绍分形几何在信号分析中的评价指标。
一、分形维数（Fractal Dimension）分形维数是衡量分形图形自相似性的重要指标。
对于一维信号，可以通过信号在时域上的纹理复杂度来计算分形维数。
对于二维信号，可以通过信号在时频域上的分布来计算分形维数。
二、分形谱（Fractal Spectrum）分形谱是用来表示信号分形特性的频谱分布。
它通过计算信号的小波分形特征，来描述信号在频域上的自相似性和尺度变换特性。
分形谱可以用来确定信号的频率成分和其在不同频率上的分形特性。
三、Hurst指数（Hurst Exponent）Hurst指数是衡量时间序列的长期相关性的指标。
它可以用来描述信号的持续性和随机性。
具有超过0.5的Hurst指数的信号被认为具有长期相关性，而具有小于0.5的Hurst指数的信号则被认为具有反相关性。
四、多重分形谱（Multifractal Spectrum）多重分形谱是用来描述信号在不同尺度上的分形特性的指标。
它可以用来刻画信号的局部分形特性和整体分形特性。
通过计算不同尺度下信号的分形维数，可以得到信号的多重分形谱。
五、Hurts指标（Hurst Indicator）Hurts指标是一种基于分形几何理论的信号评价指标。
它结合了Hurst指数和分形维数的概念，可以用来衡量信号的趋势性和波动性。
Hurts指标越大，表示信号越具有趋势性，而越小则表示信号越具有波动性。
六、相干维数（Correlation Dimension）相干维数是一种用来描述信号时间序列的动力学特性的指标。
它可以用来测量信号的相干性和复杂性。
通过计算信号的相干维数，可以得到信号的自相关性和局部结构的信息。
七、Lyapunov指数（Lyapunov Exponent）Lyapunov指数是用来描述信号时间序列的混沌特性的指标。
分类号O469 学校代码10495ＵＤＣ530 学号0145023006武汉科技学院硕士学位论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：田志华指导教师：田巨平教授学科门类：工学专业：机械设计及理论研究方向：分形与多孔介质完成日期：二零零七年四月Wuhan University of Science and EngineeringM. S. DissertationThe study of fractal growthin disorder systemByTIAN Zhi-huaDirected byProfessor TIAN Ju-pingApril 2007独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：签字日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解武汉科技学院有关保留、使用学位论文的规定。
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同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。
（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：导师签名：签字日期：年月日签字日期：年月日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形的物理机制与生长机制。
简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电介质击穿 (DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。
本文采用映射膨胀法构造了两种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo 方法研究了两种Sierpinski地毯中的有限扩散凝聚（DLA）生长。
第三章分形和多重分形第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。
分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。
单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。
实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。
为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。
在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。
从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。
表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。
多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。
§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠ 分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。
在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。
由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。
多重分形谱程序多重分形谱（multifractal spectrum）是一种用于描述分形几何结构的方法。
分形几何是一种利用自相似性原理描述物体或图形的数学模型，具有在各种尺度上都具有相似性的特征。
多重分形谱可以揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征，从而更全面地理解其内在结构。
多重分形谱的基本思想是通过计算不同尺度下的分形维数，从而得到一个描述分形结构的谱。
该谱可用于分析各个尺度上的分形特征，如分形维数量化了分形的粗糙程度和纹理的丰富性。
通过分析多重分形谱，可以揭示材料、图像等领域的复杂结构和非线性行为。
多重分形谱的计算步骤如下：1.选择一个合适的分形特征：多重分形谱适用于描述具有不同分形特征的物体，如分形纹理、分形信号等。
2.确定尺度：通过改变分析尺度，可以得到不同粗糙度下的分形特征。
通常使用尺度区间来表示不同的尺度。
3.计算分形维数：选择一个分形维数测量方法，如盒计数法、分形能量法等，计算不同尺度下的分形维数。
4.构建多重分形谱：将得到的分形维数按照尺度进行排序，并绘制成图谱。
多重分形谱通常呈现出一个上升或下降的曲线，反映了分形结构的变化趋势。
多重分形谱广泛应用于物理、材料科学、地质学、图像处理等领域，例如分析复杂材料的纹理特征、识别图像中的纹理类型等。
它不仅可以在定性上描述物体的分形特征，还可以量化分形结构的不同方面，如分形维数的变化范围、分形结构的复杂程度等。
多重分形谱在实际应用中也面临一些挑战和限制。
首先，计算多重分形谱需要大量的数据和计算资源，对于大规模数据和高分辨率图像可能存在计算效率问题。
其次，选择合适的分形维数测量方法对结果的准确性和可靠性有着重要影响，需要根据具体问题选择适合的方法。
总之，多重分形谱是一种重要的分形分析方法，能够揭示物体或图形在不同尺度上的分形特征。
通过分析多重分形谱，我们可以更全面地了解分形结构的内在性质和复杂行为，为材料科学、图像处理等领域的研究提供了一个有力的工具。
现代物理中基于多重分形的科学研究现代物理是一个高度发展的领域，以其严密的理论和强大的实验技术广为人知。
多重分形是近年来在现代物理中被广泛研究的一个新兴领域。
多重分形能够用于描述自然界中许多复杂的现象和系统，如气象、金融、心电图等。
本文将探讨基于多重分形的科学研究在现代物理中的应用。
多重分形理论最早由Benoit Mandelbrot在20世纪中期提出，其主要思想是将分形的概念扩展到自相似结构的多个尺度上，从而描述它们的统计性质。
在传统分形中，分形是指无论缩放尺度如何变化，其形状和结构都保持不变的数学图形。
而在多重分形中，分形性质随着缩放尺度的变化而变化，因此可以更好地描述真实世界中复杂系统的性质。
多重分形理论的应用不仅限于数学领域，还应用于物理学中，如流体力学、物质结构、动力学等领域。
例如，在流体力学中，多重分形应用于描述流体的湍流结构，为湍流流动的表征提供了新的方法。
在物质结构中，多重分形理论应用于描述凝聚态物理中的物质结构，例如凝胶、纳米结构、冰雪晶体等。
多重分形理论还能描述材料的负热膨胀现象和催化剂的催化性质，从而用于解决许多实际问题。
除此之外，多重分形理论还应用于金融市场中。
金融市场是一个非常复杂的系统，而多重分形理论提供了一种新颖的方法来描述财务市场中的复杂性。
多重分形分析可用于预测金融市场的波动性和长期变化趋势，因此得到了许多金融领域的重视和应用。
多重分形的应用不仅限于自然科学和金融领域，它还被广泛应用于生命科学中，如心电图等。
心电图信号包含时间序列和频谱两个方面，频谱分析常用于探索心电图信号的周期和幅度，而时间序列分析则应用多重分形来描述其统计性质。
多重分形分析可用于区分健康和疾病状态下心电信号的不同，因此对于心电图信号的自动检测和诊断具有重要的意义。
总之，多重分形理论在现代物理学中得到广泛应用，其对于描述自然界中的复杂现象和系统提供了一种新的工具和方法。
在将来，人们可以通过更深入的研究，更好地理解和配置我们的生活。
第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。
分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。
单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。
实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。
为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。
在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。
从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。
表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。
多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。
§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠ 分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。
在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。
由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。
与欧氏几何比较，分形几何主要有以下特点：1) 描述对象虽然很复杂、不规则，但不同尺度上有规则性或相似性。
2) 欧氏几何具有标度，理想的分形具有无限的几何标度，而无特征长度。
3) 欧氏几何描述特征是整数维，而具有分形的复杂曲线，其分维是大于1的非整数，具有分形的表面分维是大于2的非整数。
㈡ 分数布朗运动定义3.1 设H 满足10<<H ，0b 为任意实数，若随机函数满足：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⋅+Γ==⎰⎰∞----002121210),(),()21(1),(),0(w s dB s t w s dB s s t H w t B b w B t H H H H H 则称),(w t B H 为分数布朗运动。
其中H 为分形参数，2/1=H 时，),(w t B H 为普通布朗运动，w 为样本空间Ω的样本。
分数布朗运动(FBM)是一种分形模型，可以很好的描述分形信号，它是连续不可导的一种非平稳随机过程，对尺度变化具有相似性。
FBM 的增量是平稳的零均值Gaussian 随机过程。
设)(x B H 为一高斯随机场，对于10<<H ，若满足)()()(y F y x x B x x B P H H H =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<∆-∆+γ (3.1) 则称)(x B H 为FBR 场（分数布朗随机场）。
其中)(⋅γP 表示概率测度；表示范数；H 为Hurst 分形指数,)(y F 为高斯分布函数。
对(3.1)式取数学期望， 有H H h t y E t B t t B E 22/1||||)2(1|][||])()([|∆==-∆+σπ (3.2) ㈢ 分形参数① 分形维数FD (Fractal Dimension)，可由下式通过Hurst 指数得到，也有其它许多估计方法（见下节）FD=D+1-H ， H 参数的估计有时域法和频域法，D 是拓扑维，对可求长的光滑曲线D=1；对FBR 表面D=2；FD 是描述分形的主要参数，一般的，当不规则曲线的FD 大于1或纹理表面的FD 大于2时，认为它们具有分形性。
② 增量标准差σ，也由（3.2）式得出。
③ 无标度区),(max min εε，理想分形满足（3.2）式，具有无限标度；对于实际图象，由于量化效应和模型的差异，只有一段尺度空间使（3.1）满足线性关系，称为无标度区。
实际图象越接近理想分形，其无标度区间越大，即min max /εε的值越大。
在此区间，可用线性回归方法估计H 值。
3.1.2 分形维数的估计法分维的估计有许多方法[5]，比较实用的从速度和精度考虑，有以下几种：1) 数盒子法： 对于分形曲线，用可变尺度ε 沿曲线度量长度所需)(εN 次，)(εN 是随ε而变的，分维由下式确定：))log())(log((lim 0εεεN D →= 为求)(εN ，在计算时以不同尺寸的网状栅格覆于曲线上，ε为格子大小，然后计算求得与曲线相交的格子数，即)(εN 。
最后利用双对数曲线估计分维值。
同理，对于分形纹理曲面，它被包容在三维空间中，因此用小立方体来代替网状栅格，同样取不同尺寸的立方体覆盖于曲面上，可得到与尺寸ε对应的小立方体总数)(εN ，进而求得分形表面的分维值。
2) 功率谱法： 对图象先作付氏变换成为频谱图，其功率谱为2|)(|w P ，而频率半径为22V U R +=，作出功率谱与频率半径的双对数图，根据线性回归法求取分维值。
3) 地毯覆盖法：设分形表面为),(j i g ，形象的用厚度为ε2的地毯覆盖，则毯的上表面点集为),(j i t ε和下表面),(j i b ε，初始状态为),(),(),(00j i g j i b j i t ==，当厚度 ,3,2,1=ε，变化时，)},(max ,1),(max{),(1),(1n m t j i t j i t Sn m --+=εεεε )},(max ,1),(max{),(1),(1n m b j i b j i b Sn m -∈--=εεε 其中S 为点),(j i 邻域点集，则在尺度ε下，毯的面积∑-=ji j i b j i t A ,2/))],(),(([)(εεεε在近来实际的工程应用中，研究者们针对一些分形维数的定义，也提出了许多关于分形维数计算的方法，如谢和平[30]等人提出的修正盒计数维数、填隙维数、两脚规维数等。
又如在图象处理方面还有Gangepain 等的计网格元法（Reticular Cell Counting ）、Keller 等的基于概率的估算法、基于分形布朗运动自相似模型的估计法[6]及Sarkar 等的微分计盒法（Differential BoxCounting ，DBC ）等。
其中DBC 法和基于分形布朗运动自相似模型的估计方法覆盖了图象FD 较大的动态范围，但是这两种方法随纹理图象粗糙度的变化反映出的FD 估计值的变化趋势是不一样的。
DBC 法对粗糙度小的纹理敏感，粗糙度小时其变化更剧烈，而基于分形布朗运动自相似模型的估计方法在粗糙度小时其变化较前者平缓，在高粗糙度的情况下的变化比前者剧烈，因此更好地反映了大FD 情况的FD 估计差异。
我们的论文工作中，为了在下一章中利用FD 进行边缘检测，这里介绍利用基于分形布朗运动自相似模型来估计分维FD 的方法。
3.1.3 基于分形布朗运动模型的FD 估计法分形几何为图象几何特征的描述开辟了一个新途径。
Pentland[7] 的研究证明，自然界大多数景物表面是空间各向同性的分形，它们的表面映射成的灰度图象是具有分形特性的分形灰度表面；而各向同性的分数布朗随机场模型（FBR ）是描述自然景物的有效方法之一，同一图象区域的灰度表面具有统计意义上的自相似性，通过对其FBR 模型参数的提取和研究，可以获得图象许多重要的几个参数[7]。
然而，在不同图象区域的交界处，这种分形的一致性将被破坏，在此求出的分形参数H 值将会超出其理论取值范围（如用DFBR 描述图象灰度表面，其分形参数H 的理论取值范围应为(10<<H )，正是这些H值发生奇异的地方预示了不同区域的交界位置。
因此，通过对H 值的计算和分析，可以检测出图象中的边缘[6]。
本节将采用DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型，据此定义一种新的分形参数H 值的计算方法，分析探讨边缘处H 值的奇异性，并将它用于图象边缘的检测实验。
㈠ 图象区域的DFBR 场模型定义3.3 若x 与x ∆取离散值为n 和m ，则称),()(),(m n B n B m n c H H -=为离散分数布朗随机场（即DFBR 场）。
由以上定义可知，分数布朗随机场是非平稳的，而对应的离散增量（即DFBR 场）则具有统计平稳自相似性，即DFBR 场满足：HH H H H m n B n B E n B m n B E |||||})()1({||})()({|⋅-+=-+H H H H H m n B n B E n B m n B E 222||||}|)()1({|}|)()({|⋅-+=-+由上式看出，DFBR 场的一、二阶绝对矩是各向同性的。
DFBR 场模型是描述自然景物自相似性的一种有效模型，其局部统计特性能有效地吻合图象区域的局部统计特性[8]。
因此，用DFBR 场模型作为描述图象区域的数学模型，H 参数能够表征同一图象区域的自相似性（即灰度表面的均匀程度），对应的图象区域灰度表面的分形维数D 可由H 参数获得：H D D T -+=1式中T D 为图象区域的拓扑维数，2=T D 。
㈡ H 参数的定义设图象区域的灰度表面满足DFBR 场模型，),(00y x I 表示图象中),(00y x处的灰度值，由DFBR 场模型的性质得：{}{}H y x I y x I E y x I y x I E γ∆-=-),(),(),(),(001100式中， 2020)()(y y x x -+-=∆γ；1)()(201201=-+-y y x x若定义2020)()(y y x x -+-=γ|),(),(|)(00y x I y x I I -=∆γ则上式可写成：H I E I E γγ⋅∆=∆)}1({)}({ 1>γ两边取对数得：)log()}1({log )}({log )(γγγI E I E H ∆-∆= (3.3) 由DFBR 场模型的定义及性质知，DFBR 场为平稳过程，满足均值历经性，则有：)}({)(1)(1γγγγγI E I N I ∆=∆>=∆<∑> 式中γN 为到点),(00y x 之间距离为γ的象素点数。
