分形与多重分形

分形的定义：
♣部分与整体以某种形式相似的形，称为分 形。
Fractals are shapes that look almost the same on various scales of magnification (Mandelbrot, 1975;Cheng,1994), in the sense that each piece (however small) is identical to the whole after some rescaling and translation. They are neither entirely regular, nor entirely random and it may be said that objects are self-similar or of self-similarity.
When the irregularity is the same at all scales, or at lease statistically the same, one says that the measure is self-similar, or that it is a multifractal.
District
No.of Indexes
ore-forming elements
Sample amount
Sample category
Sample area (km2)
As, Bi, Mo,
Shaoguan
25
Sn, Sb,
1448
Rock
4292
W,etc
South Anhui
14
Cu, Fe, Pb,
Fractal 本意是不规则的、破碎的、分数的。
Mandelbrot是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不 能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、 起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的 河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点 是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
矩方法是最常用的方法之一。
3 results & discussion
Procedures of the moment method to deduce multifractal spectral function for a De Wijs model of d=0.4 (Agterberg, 2001)
Koch curve
A fractal Koch curve ([Koch, 1904]), reproduced from [Welander, 1955] to illustrate the mixing of a two dimensional fluid.
power-law and fractal dimension
0.4
0.6 2.7478 2.2608 1.5353 1.2126
0.8 3.1089 2.2673 1.9028 1.2062
4.0822 2.592 2.0731 2.0091
d1
0.6 0.8 4.2588 2.6556 2.2705 1.9883
0.8
6.4251 3.597 3.2501 3.1750
0.8-1.0 0.6-0.8 0.4-0.6 0.2-0.4 0.0-0.2
0
0.6-0.8 0.4-0.6 0.2-0.4 0.0-0.2
0.6-0.8
1
0.8-1.0 0.6-0.8 0.4-0.6 0.2-0.4
0.2-0.4
2
非对称指数
局部叠加
d2
Tab.1 Parameters of the resulting of multifractal spectra of superimposition of De Wijs model of d1 by another De Wijs mo
island?
110950
Geochemical
900
850
Landscape
800
750
700
650
Water
S
S1 S2
……
水的分布（water distribution）
>>>金的分布（gold distribution）
Many quantities exhibit such kind of behaviour; that is, the quantity
尺度 次数
甲
10m
7
乙
1m
85
丙 5mm 2200
Log-log plot
斜率＝-1.0853（3次） S= - 1.2618 （反
复） = - log4/log3
分形维数——定量刻画分形特征的参数
♣ 相似维数 （Similarity dimension） ♣ 信息维数（Information dimension） ♣ 关联维数（Correlation dimension） ♣ 集团维数（Cluster fractal dimension） ♣ 盒子维数（Box dimension） ♣ 罗盘维数（Compass dimension） ♣ 容量维数 （Capability dimension）
Part Ⅰ
Basic Fig.3 Plot of multifractal spectral
function f(a) versus a as enrichment
modelingfactor d changes after 7 iterations
Global division
Fig.5 If 10, a constant, divided into all concentrations of De Wijs model with any enrichment factor d, the multifractal spectrum obtained by means of the method of moments shows nothing
盒子维数:
L(ε ) = N (ε )ε
ε
A(ε ) = N (ε )ε 2
对海岸线应满足下 列关系：
N (ε ) ∝ ε −D
N（ε） 曲线或曲面相交的盒子数
Fractal & multifractal
¾ Coastline: how long is the coastline?
¾ Island:how fluctuant is the
A sierpiński gasket is a self-similar set, in the sense that each piece (however small) is identical to the whole after some rescaling and translation; something similar holds for multifractal measure.
和 奇 异 性 将 构 成 所 谓 的 维 数 谱 函 数 f(α)----
multifractal spectrum.
定量描述多重分形的参数－－
多重分形频谱(Multifractal Spectrum)
计算方法： 在各个科学领域，已经有了多种计算维数谱函数的方法，如矩方法（
Moment method）、直方图法（Histogram method）、小波方法（Wavelet method）、乘数法（Multiplier method），以及二次维矩方法（Double trace moment (DTM) method）。这些方法的具体计算又被扩展了多种形式：格子 方法(box-counting method)和活动格子方法(gliding box-counting method)以及 反格子方法（inverse box-counting method）、格子弯曲法（box-flex method ）、格子旋转法（box-rotate method）等。
Element Mo W Be As Zn Sb Ag Cu Co Pb Bi Mn Ce
R 0.6782 0.5499 0.5431 0.5138 0.4908 0.4521 0.4277 0.3003 0.3099 0.3003 0.2350 0.2324 0.2230
Fig.7 Multifractal spectrum curves a-f(a) of local superimposition of De Wijs model of d1 by another De Wijs model of d2
实例：金属矿产
Tab.4-1 General Information of Geochemical Data used for Case Study I
多重分形的研究方法
正演：De Wijs模型，蒙特卡罗模 拟，自组织临界模型，分形生长模 型 反演：实际地质系统的分析
模拟1：De Wijs模型模拟
(1+d)2 (1+d)(1-d)
1
……
(1+d)(1-d) (1-d)2
1+d
1-d
Fig.1 Constructing processes of a 2-dimensional De Wijs model with enrichment factor d after 1 iteration
Mandelbrot and Fractal: 1973年，Mandelbrot 在法兰西学院讲学期间首次提出分形学的
思想。1975年他在写专著的过程中，碰到法文动词frangere(破 坏、破碎)的形容词fractus，联想到英文中的同根词fracture(断裂) 和名词fractaion(分数),在此基础上创造了fractal一词。