课时分层作业9 等式性质与不等式性质

2
课时分层作业(九) 等式性质与不等式性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]

一、选择题
1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a＞b，c＞b，则a＞c
B．若a＞－b，则c－a＜c＋b

C．若a＞b，c＜d，则ac＞bd
D．若a2＞b2，则－a＜－b
B [选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等
式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否
则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]
2．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是( )

A.1a<1b B.1a>1b
C．a2>2b D．a>b2
D [A错，例如a＝2，b＝－12时，1a＝12，1b＝－2，此时，1a>1b；B错，例如
a＝2，b＝12时，1a＝12，1b＝2，此时，1a<1b；C错，例如a＝54，b＝1516时，a2＝2516，
2b＝3016，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．]
3．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②1a<1b；③1a－b>1a.其中不成立的个
数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D [虽然已知a>b，但并不知道a、b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，

故①错；2>－3⇒12>－13，②错；若有a＝1，b＝－2，则1a－b＝13，1a＝1，故③错．]
4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则( )
A．b<0，c<0 B．b>0，c>0
2

C．b>0，c<0 D．0D [由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴05．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是( )

A.1a＜1b B．a2＞b2
C.ac2＋1＞bc2＋1 D．a|c|＞b|c|
C [对A，若a＞0＞b，则1a＞0，1b＜0，
此时1a＞1b，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，
∴B不成立；

对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴ac2＋1＞bc2＋1恒成立，∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
二、填空题
6．给出以下四个命题：

①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒1a＞1b；④a

＜b＜0⇒1a－b＞
1
a
.其中真命题的序号是________．

②③ [①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴a
n
＞bn成立；

③a＜b＜0，得1a＞1b成立；
④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故1a－b＜1a，④不成立．]
7．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.
y＜－y＜x [∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜
x.]

8．若82

2∵8三、解答题
9．(1)a(2)已知a>b，1a<1b，求证：ab>0.
[证明] (1)由于
ba－a
b＝b2－a2ab

＝b＋ab－aab，
∵a∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，

∴b＋ab－aab<0，故ba(2)∵1a<1b，
∴1a－1b<0，
即b－aab<0，
而a>b，
∴b－a<0，
∴ab>0.
10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．

(1)a；(2)a－b；(3)ab.
[解] (1)∵3＜a＋b＜4，又∵0＜b＜1，
∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋(－b)＜4，
即2＜a＜4.
(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
2

又∵2＜a＜4，
∴1＜a－b＜4.

(3)∵0＜b＜1，∴1b＞1，
又∵2＜a＜4，∴ab＞2.
[等级过关练]
1．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是( )
A．ac＞bc B．ab＞ac
C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2
B [∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，∴A不正确．
对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能
为0，故C不正确，若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b
2
＜c2，故D不正确．]

2．若α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是( )
A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜π
C．－3π2＜2α－β＜π2 D．0＜2α－β＜π
C [∵－π2＜α＜π2，∴－π＜2α＜π.
∵－π2＜β＜π2，∴－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2.又α－β＜0，α＜π2，∴2α
－β＜π2.故－3π2＜2α－β＜π2.]
3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
3≤z≤8 [∵z＝－12(x＋y)＋52(x－y)，
－2≤－12(x＋y)≤12，5≤52(x－y)≤152，
∴3≤－12(x＋y)＋52(x－y)≤8，
∴3≤z≤8.]
2

4．设a，b为正实数，有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；

②若1b－1a＝1，则a－b<1；
③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．

①④ [对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝1a＋b⇒a－b>0

⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则1a＋b≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋
b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．
对于②，取特殊值，a＝3，b＝34，则a－b>1.
对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.
对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，
∴a≠b，不妨设a>b>0.
∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.
即a3－b3>(a－b)3>0，
∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，
∴0即|a－b|<1.因此正确．]
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件．
(1)该函数图象过原点；
(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；
(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；
求当x＝－2时，y的取值范围．
[解] ∵二次函数y＝ax
2
＋bx＋c图象过原点，

∴c＝0，
∴y＝ax2＋bx.
2

又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①
当x＝1时，3≤a＋b≤4，②
∴当x＝－2时，y＝4a－2b.
设存在实数m，n，使得
4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，

∴ m＋n＝4，m－n＝－2，解之得m＝1，n＝3，
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
∴3＋3≤4a－2b≤4＋6.
即6≤4a－2b≤10，
故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.