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【真题】2014-2015年黑龙江省双鸭山一中高三(上)期末数学试卷(理科)与答案

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2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22B．23C．24D．254．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1B．2C．3D．45．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则此数列的奇数项的前n项和是（）A．B．）C．D．6．（5分）在如图所示的程序框图中，当n∈N*（n＞1）时，函数f n（x）表示函（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数f n（x）数f n﹣1可化为（）A．sin（x﹣）B．﹣sin（x﹣）C．sin（x+）D．﹣sin（x+）7．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣28．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．99．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180B．180C．45D．﹣4510．（5分）已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于．14．（5分）已知曲线f（x）=x n+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f （x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．15．（5分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是．16．（5分）已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x ∈R，都有成立，当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x 的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对x∈[﹣3，3]恒成立，则a的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知，记．（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．18．（12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AD=BC=，PC=，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于？若存在，指出F点位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l：y=kx+（k＞0）与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣kx（x∈R）（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（e n+1）+2）（n∈N*）．请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分．22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB切圆O于点B，BC是圆O的直径，AC交圆O于点D，DE是圆O 的切线，CE⊥DE于E，DE=3，CE=4，求AB的长．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设P（2，0），求|PA|•|PB|的值．24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：M={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x﹣1＜2}={x|1＜x＜3}；={x|0＜x＜2}；所以M∩N={x|1＜x＜2}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：∵===+i，故复数z的虚部是，故选：B．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22B．23C．24D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选：A．4．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则此数列的奇数项的前n项和是（）A．B．）C．D．【解答】解：∵S n=2n﹣1=2（n﹣1）﹣1∴S（n﹣1）∴a n=S n﹣S（n﹣1）=2（n﹣1）而a1=1∴a n=2（n﹣1）设奇数项组成数列{b n}∴b n=22n﹣2∴{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列．∴=故选：C．6．（5分）在如图所示的程序框图中，当n∈N*（n＞1）时，函数f n（x）表示函（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数f n（x）数f n﹣1可化为（）A．sin（x﹣）B．﹣sin（x﹣）C．sin（x+）D．﹣sin（x+）【解答】解：由框图可知n=2011时输出结果，由于f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=﹣sinx+cosx，f3（x）=﹣sinx﹣cosx，f4（x）=sinx﹣cosx，f5（x）=sinx+cosx，（x）=sinx+cosx=sin（x+）．所以f2009（x）=f4×501+5故选：C．7．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：平面内一点M满足=+，则||=||=2，=2×cos60°=6，则•=（）•（）=（）•（）=﹣﹣+=﹣×12﹣×12+=﹣2．故选：D．8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．9【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．∴抛物线y2=16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a=．故选：A．9．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180B．180C．45D．﹣45【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r∴其展开式的通项为T r+1令r=8得a8=4C108=180故选：B．10．（5分）已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，∵ABC是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心（此时四心合一）∵PQ是直径，∴∠PCQ=90°．∴PC=4cos30°=2，∴PO=2•cos30°=3．OC=2sin30°=O是等边△ABC的重心∴OC=OH∴等边三角形ABC的高OH=，AC=sin60°=3．=×=．三棱锥P﹣ABC体积=PO•S△ABC故选：B．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），则当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．∵=2＞20.2＞1＞ln2＞0．∴c＜a＜b．故选：B．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）A．B．C．D．【解答】解：点P沿着线段AB运动时X=1，Y∈[0，1]此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2y，1﹣y2），消掉参数y后，得到动点P'的轨迹是v=点P沿着线段BC运动时X∈[0，1]，Y=1此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2x，x2﹣1），消掉参数x后，得到动点P'的轨迹是v=故动点P'的轨迹是故选：A．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于64+32．【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图：其中直棱柱的侧棱长为8，底面为直角三角形，且AB=BC=4，SA=4，SB=4，AC=4∴几何体的表面积S=×4×4+×+×4+×4+8×4=64+32．故答案为：64+32．14．（5分）已知曲线f（x）=x n+1（n∈N*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f （x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为﹣1．【解答】解：f′（x）=（n+1）x n，k=f′（x）=n+1，点P（1，1）处的切线方程为：y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0得，x=1﹣=，即x n=，∴x1×x2×…×x2014=×××…×=，则log2015x1+log2015x2+...+log2015x2014=log2015（x1×x2× (x2015)=log2015=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是．【解答】解：令f（x）=x2+（a+1）x+a+2b+1，∵关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴a+2b+1＞0，1+a+1+a+2b+1＜0，即a+2b+1＞0，2a+2b+3＜0，设，即b=ka，联立，解得P．∴，故答案为：．16．（5分）已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x ∈R，都有成立，当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x 的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对x∈[﹣3，3]恒成立，则a的取值范围a≥1或a≤0．．【解答】解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）在R上恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+2|对x∈[﹣，]恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由于当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x，求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣3，0），（0，0），（3，0），且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，又由于对任意的x∈R都有f（+x）=﹣f（x），∴f（2+x）=﹣f（+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2，所以函数f（x）在x∈[﹣，]的最大值为2，所以令2≤|a2﹣a+2|解得：a≥1或a≤0．故答案为：a≥1或a≤0．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知，记．（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．【解答】解：（3分）（1）∵x∈[0，π]，∴，所以函数f（x）的值域为[0，1]（5分）（2），所以∵b2=ac，∴c2﹣a2=ac，∴sin2A+sinA﹣1=0（8分）∴（10分）18．（12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．【解答】解：（I）获得参赛资格的人数m=（0.005+0.0043+0.032）×20×500=125（2分）（II）平均成绩：=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48（5分）（III）设甲答对每一道题的概率为．P则（1﹣p）2=，∴p=，∴ξ可能取得值为3，4，5，P（ξ=3）=P3+（1﹣P）3=，P（ξ=4）=+=，P（ξ=5）=1﹣=，∴ξ的分布列为．（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AD=BC=，PC=，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于？若存在，指出F点位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取线段BC中点E，连结AE．因为，∠PDA=30°，所以PA=1．因为AD∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．又因为AB=AC，所以AE⊥BC，而，所以．因为，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC．因为PA⊥AD，且AD，AC⊂平面ABCD，AD∩AC=A，所以PA⊥平面ABCD．（2）解：以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则P（0，0，1），，，．设F（x1，y1，z1），因为点F在线段PD上，设，则（0＜λ≤1）．即，所以．设平面PBC的法向量为，则，所以，所以．因为直线CF与平面PBC成角正弦值等于，所以．所以，即．所以点F是线段PD的中点．20．（12分）已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l：y=kx+（k＞0）与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．【解答】解：（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y﹣4=k （x﹣2）．（2分）则：=2，解得k=，此时切线方程为：y=x+，切线方程与圆方程联立，可得x2+（x+）2=4，从而可得x=﹣，y=，则直线AB的方程为x+2y=2…．（4分）令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2故所求椭圆方程为+y2=1．…．（6分）（2）联立，整理得，令P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，即：2k2﹣1＞0…．．（8分）又原点到直线l的距离为d=，|PQ|=，…．（10分）==∴S△OPQ==2•=2•=2•≤1，当且仅当k=时取等号，∴△OPQ面积的最大值为1．…．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣kx（x∈R）（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0且对任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（e n+1）+2）（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=e x﹣e，令f′（x）=0，解得x=1，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）单调递增；当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）单调递减；…（4分）（Ⅱ）因为f（|x|）为偶函数，∴f（|x|）＞0恒成立等价于f（x）＞0对x≥0恒成立，当x≥0时，f′（x）=e x﹣k，令f′（x）=0，解得x=lnk当lnk＞0，即k＞1时，f（x）在（0，lnk）递减，在（lnk，+∞）单调递增，∴f（x）min=f（lnk）=k﹣klnk＞0，解得0＜k＜e，∴实数k的取值范围0＜k＜e；…（9分）（Ⅲ）函数F（x）=f（x）+f（﹣x）=e x﹣e﹣x，F（1）=e+e﹣1，F（n）=e n+e﹣n，F（1）F（n）=e n+1+e﹣1+n+e1﹣n+e﹣1﹣n＞e n+1+2F（2）F（n﹣1）=e n+1+e﹣3+n+e3﹣n+e﹣1﹣n＞e n+1+2…F（n）F（1）＞e n+1+2以上各式相乘得[F（1）•F（2）…F（n）]2＞（e n+1+2）n∴F（1）•F（2）…F（n）＞（e n+1+2）（n∈N*）．…（14分）请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分．22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB切圆O于点B，BC是圆O的直径，AC交圆O于点D，DE是圆O 的切线，CE⊥DE于E，DE=3，CE=4，求AB的长．【解答】解：连接OD，∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE，又∵CE⊥DE于E，∴OD∥CE，∴∠ECD=∠ODC=∠OCD，∵DE=3，CE=4，∴CD=5，∴tan∠ECD=tan∠ODC=tan∠OCD=，∴cos∠OCD=，故OC==，∴BC=2OC=，故AB=BC•tan∠OCD=23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设P（2，0），求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y﹣2=0，曲线C：；（2）将直线l的方程与曲线C联立方程组得，消去y得7x2﹣36x﹣32=0，所以，P（2，0），|PA|•|PB|=|x1﹣2|+|x2﹣2|=|x1﹣x2|===．24．设函数f （x ）=|2x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）＞2的解集； （2）∀x ∈R ，使f （x ）≥t 2﹣t ，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x ＜﹣5 当，∴1＜x ＜2当x ≥2，x +3＞2，x ＞﹣1，∴x ≥2 综上所述 {x |x ＞1或x ＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x ∈R ，恒成立， 则只需，综上所述．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

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黑龙江省双鸭山市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

黑龙江省双鸭山市第一中学2014-2015学年高一下学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

高一数学（理）下学期期末考试题（时间：120分钟总分：150分）一、选择题（包括1--12小题，每小题5分，共60分）1．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．在中，分别是角的对边，若则（）A . B. C. D. 以上答案都不对3．在空间直角坐标系中，，在点关于面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.4．不等式的解集是（）A. B. C. D.5．设实数满足约束条件，则的最大值为（）A．10 B．8 C．3 D．26．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）7．四面体ABCD中，公共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，6，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A．B．C．D．8．已知等比数列数列满足，，则（）A．21 B．42 C．63 D．849．如图所示，棱长皆相等的四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值是( )α∙AB ∙βA. B. C. D.10. 设是等比数列的前项和，成等差数列，且，则等于（）A．6 B．C． D ．1011.某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则此人将（）A.不能作出满足要求的三角形B. 作出一个钝角三角形C.作出一个直角三角形D. 作出一个锐角三角形12．圆锥的底面半径为，母线长是底面圆周上两动点，过作圆锥的截面，当的面积最大时，截面与底面圆所成的（不大于的）二面角等于（）A．B．C．D．二、填空题（包括13--16小题，每小题5分，共20分）13.正方形的边长为2，利用斜二测画法得到的平面直观图的面积为________.14．设，且，则的最小值为____________________.15．如图，二面角的大小是30°，线段.，与所成的角为60°.则与平面所成的角的正弦值是 .16．如图，为正方体，下面结论中正确的是________________________（把你认为正确的结论序号都填上）①平面；②平面；③与底面所成的角的正切值是；④二面角的正切值是；⑤过点与异面直线和成角的直线有2条.三、解答题（包括17—22小题，共70分）17．（10分）关于的不等式的解为.（1）求的值；（2）求关于的不等式的解集.18．（本题12分）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点.（1）求证：平面；（2）设为的中点，为的重心，求证:面平面.19．（本题12分）已知中，对边分别为，是边上的中线，.（1）若且，求的长；（2）若，求的最大值．20．（本题12分）如图所示, 四棱锥底面是直角梯形, 底面,为的中点,（1）证明:;（2）证明:;（3）求三棱锥的体积.21．（本题12分）设数列的前项和为，点在直线上，设，是数列的前项和。

2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)

2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥12．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式运算结果为向量的是（）①（﹣）﹣；②（+）﹣；③（﹣）﹣；④（﹣）+．A．①②B．②③C．③④D．①④4．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）5．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．6．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=07．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，CC1的中点，P为A1B1上的一动点，则PF与AE所成的角为（）A．45°B．60°C．90°D．不确定8．（5分）过抛物线y2=10x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，]D．[﹣，0]10．（5分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=4 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2=211．（5分）已知A（0，7）、B（0，﹣7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（）A．y2﹣=1（y≤﹣1）B．y2﹣=1C．y2﹣=﹣1 D．x2﹣=112．（5分）已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）A．，B．，C．，D．，π]二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=．14．（5分）双曲线4x2﹣9y2=36上一点P，与两焦点F1F2构成△PF1F2，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N的坐标为．15．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．16．（5分）+=1上有一动点P，圆E：（x﹣1）2+y2=1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆F：（x+1）2+y2=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值为．三、解答题（包括6小题，共70分）17．（10分）设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q 的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．19．（12分）如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．20．（12分）在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x．（1）设点A的坐标为（，0），求曲线上距点A最近的点P坐标及相应的距离|PA|；（2）设点A的坐标为（a，0）a∈R，求曲线上的点到点A距离的最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式．21．（12分）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的正切值．22．（12分）抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x 0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上；（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选：D．2．（5分）方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的充要条件是（）A．＜m＜1 B．m＜或m＞1 C．m＜D．m＞1【解答】解：由（4m）2+4﹣4×5m＞0知m＜或m＞1．故选：B．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式运算结果为向量的是（）①（﹣）﹣；②（+）﹣；③（﹣）﹣；④（﹣）+．A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：如图：①（﹣）﹣=﹣=；②（+）﹣=﹣=；③（﹣）﹣=﹣=；④（﹣）+=+．故选：A．4．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），A．若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件．B．若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件．C．若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件．D．若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件．故选：B．5．（5分）椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知点F（﹣c，0）直线AB斜率为=，直线BF的斜率为=∵∠FBA=90°，∴（）•=﹣=﹣1整理得c2+ac﹣a2=0，即（）2+﹣1=0，即e2+e﹣1=0解得e=或﹣∵0＜e＜1∴e=，故选：C．6．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，CC1的中点，P为A1B1上的一动点，则PF与AE所成的角为（）A．45°B．60°C．90°D．不确定【解答】解：建立空间直角坐标系D﹣xyz设正方体的边长为1，则：A（1，0，0），E（），F（0，1，），P（1，λ，1）（0≤λ≤1）则：，由于所以：PF与AE所成的角为90°故选：C．8．（5分）过抛物线y2=10x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在【解答】解：过抛物线y2=10x的焦点（，0），作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于5，适合．再设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x﹣），代入抛物线y2=10x得，k2x2﹣（5k2+10）x+k2=0，∵A、B两点的横坐标之和等于5，∴=5，解得k∈∅，则这样的直线有且仅有一条，故选：A．9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，]D．[﹣，0]【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．10．（5分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=4 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2=2【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为d==5．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故选：C．11．（5分）已知A（0，7）、B（0，﹣7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（）A．y2﹣=1（y≤﹣1）B．y2﹣=1C．y2﹣=﹣1 D．x2﹣=1【解答】解：由题意|AC|=13，|BC|=15，|AB|=14，又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，∴|AF|﹣|BF|=|BC|﹣|AC|=2＜14．故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．又c=7，a=1，b2=48，所以轨迹方程为y2﹣=1（y≤﹣1）．故选：A．12．（5分）已知双曲线的离心率，2]．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（）A．，B．，C．，D．，π]【解答】解：根据定义e==，∵，2]．∴b≤a≤b而渐近线的斜率k=所以1≤k≤所以45°≤≤60°所以90°≤θ≤120°，即，；故选：C．二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=2．【解答】解：由题意向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2所以（﹣）•（2）=（0，0，1﹣x）•（2，4，2）=2（1﹣x）=﹣2，可得x=2，故答案为：2．14．（5分）双曲线4x2﹣9y2=36上一点P，与两焦点F1F2构成△PF1F2，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．【解答】解：双曲线4x2﹣9y2=36即为=1，设△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N，与边PF1的切点为M，与边PF2上的切点为Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．由双曲线的定义，|PF1﹣PF2|=2a=6．由圆的切线性质|PF1﹣PF2|=|F I M﹣F2Q|=|F1N﹣F2N|=6，∵F1N+F2N=F1F2=2c=2，∴F2N=3，或﹣3，ON=3，即N的横坐标为±3．故答案为：（3，0）或（﹣3，0）．15．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．16．（5分）+=1上有一动点P，圆E：（x﹣1）2+y2=1，过圆心E任意做一条直线与圆E交于A、B两点，圆F：（x+1）2+y2=1，过圆心任意做一条直线交圆F于C、D两点，则•+•的最小值为6．【解答】解：设P（a，b）则由已知得与互为相反向量，且长为1．又∵=，=，∴=+•（）+=+0﹣1=﹣1；同理可得=﹣1．故•+•=+﹣2=（a﹣1）2+b2+（a+1）2+b2﹣2=2（a2+b2）①．又因为点P（a，b）在+=1上，所以有=1⇒b2=3（1﹣）②．把②代入①整理得，•+•=2（3+）≥6．故答案为6．三、解答题（包括6小题，共70分）17．（10分）设p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若￢p是￢q 的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：∵p：|4x﹣3|≤1；q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，∴p：﹣1≤4x﹣3≤1，解得{x|≤x≤1}，q：{x|a≤x≤a+1}，∵￢p是￢q的必要而不充分条件，∴￢q⇒￢p，￢p推不出￢q，可得p⇒q，q推不出p，∴解得0≤a≤，验证a=0和a=满足题意，∴实数a的取值范围为：a∈[0，]；18．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．【解答】解：（1）因为圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0⇒（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．所以圆心为（2，3），半径为1．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为kx﹣y﹣3k+5=0，所以=1，所以k=，所以切线方程为：3x﹣4y+11=0；而点（3，5）在圆外，所以过点（3，5）做圆的切线应有两条，当切线的斜率不存在时，另一条切线方程为：x=3．（2）|AO|==，经过A点的直线l的方程为：5x﹣3y=0，故d=，故S=d|AO|=19．（12分）如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=0，连接NO，MO，则NO∥PA．∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD，∴NO⊥AB，∵MO⊥AB，∴AB⊥面MNO∴MN⊥AB，而CD∥AB，∴MN⊥CD…（6分）（2）∵∠PDA=45°∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CMB，得PM=CM，又∵N为PC的中点，∴MN⊥PC又MN⊥CD，PC∩CD=C∴MN⊥平面PCD…（12分）20．（12分）在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x．（1）设点A的坐标为（，0），求曲线上距点A最近的点P坐标及相应的距离|PA|；（2）设点A的坐标为（a，0）a∈R，求曲线上的点到点A距离的最小值d，并写出d=f（a）的函数表达式．【解答】解：（1）设点P（x，y）是抛物线y2=2x上任意一点，∴|PA|2=（x﹣）2+y2=x2﹣x+2x=（x）2+，当x=0时，|PA|min=，此时P（0，0）．（2）设P（x，y）为y2=2x上任意一点，∴|PA|2=（x﹣a）2+y2=x2﹣2ax+a2+2x=[x﹣（a﹣1）]2+2a﹣1（x≥0）①当a≥1时，x=a﹣1≥0，即a≥1处|PA|min=；②当a＜1时，x=0，|PA|min=|a|．综上所述，d=．21．（12分）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的正切值．【解答】（1）证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点，∵D为AB中点，∴DO∥BC1，又∵DO⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）解：以CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D为AB中点．∴=（﹣2，2，2），设二面角D﹣CA1﹣A的大小为θ，则∵平面ACA1的法向量是=（0，1，0）∴cosθ==，∴tanθ=，∴二面角D﹣CA1﹣A的正切值是．22．（12分）抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上；（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，﹣1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax2（a＜0）得，焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣．（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y﹣y0=k1（x﹣x0），直线PB的方程为y﹣y0=k2（x﹣x0）．点P（x0，y0）和点A（x1，y1）的坐标是方程组的解．将②式代入①式得ax2﹣k1x+k1x0﹣y0=0，于是x1+x0=，故x1=﹣x0 ③．又点P（x0，y0）和点B（x2，y2）的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得ax2﹣k2x+k2x0﹣y0=0．于是x2+x0=，故x2=﹣x0．由已知得，k2=﹣λk1，则x2=﹣﹣x0．⑥设点M的坐标为（x M，y M），由=λ，可得x M=．将③式和⑥式代入上式得x M==﹣x0，即x M+x0=0．所以线段PM的中点在y轴上．（Ⅲ）因为点P（1，﹣1）在抛物线y=ax2上，所以a=﹣1，抛物线方程为y=﹣x2．由③式知x1=﹣k1﹣1，代入y=﹣x2 得y1=﹣（k1+1）2．将λ=1代入⑥式得x2=k1﹣1，代入y=﹣x2得y2=﹣（k2+1）2．因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A（﹣k1﹣1，﹣k12﹣2k1﹣1），B（k1﹣1，﹣k12+2k1﹣1）．于是=（k1+2，k12+2k1），=（2k1，4k1），•=2k1（k1+2）+4k1（k12+2k1）=2（k1+2）（2+k11）．因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有•＜0．求得k1的取值范围是k1＜﹣2，或﹣＜k1＜0．又点A的纵坐标y1满足y1=﹣（k1+1）2，故当k1＜﹣2时，y1＜﹣1；当﹣＜k1＜0时，﹣1＜y＜﹣．即y1∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，﹣）．。

2014-2015年黑龙江省绥化市三校联考高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2014-2015年黑龙江省绥化市三校联考高三上学期数学期末试卷(理科)与解析

2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）绥化市三校2014-2015学年度高三第一学期期末联考理科数学120分钟，满分60分WMF图片文件一共有173个；1．（5分）若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22B．23C．24D．254．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1B．2C．3D．45．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则此数列的奇数项的前n项和是（）A．B．）C．D．6．（5分）在如图所示的程序框图中，当n∈N*（n＞1）时，函数f n（x）表示函数f n（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数f n（x）﹣1可化为（）A．sin（x﹣）B．﹣sin（x﹣）C．sin（x+）D．﹣sin（x+）7．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣28．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．99．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180B．180C．45D．﹣4510．（5分）已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于．14．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．15．（5分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是．16．（5分）已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x ∈R，都有成立，当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x 的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对x∈[﹣3，3]恒成立，则a的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知向量=（，﹣1），=（cos，sin），记f（x）=2•sin．（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；（2）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（c）=1，且b2=ac，求sinA的值．18．（12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AD=BC=，PC=，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于？若存在，指出F点位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l：y=kx+（k＞0）与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．四、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB切圆O于点B，BC是圆O的直径，AC交圆O于点D，DE是圆O 的切线，CE⊥DE于E，DE=3，CE=4，求AB的长．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设P（2，0），求|PA|•|PB|的值．六、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）绥化市三校2014-2015学年度高三第一学期期末联考理科数学120分钟，满分60分WMF图片文件一共有173个；1．（5分）若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：M={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x﹣1＜2}={x|1＜x＜3}；={x|0＜x＜2}；所以M∩N={x|1＜x＜2}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：∵===+i，故复数z的虚部是，故选：B．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22B．23C．24D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选：A．4．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则此数列的奇数项的前n项和是（）A．B．）C．D．【解答】解：∵S n=2n﹣1=2（n﹣1）﹣1∴S（n﹣1）∴a n=S n﹣S（n﹣1）=2（n﹣1）而a1=1∴a n=2（n﹣1）设奇数项组成数列{b n}∴b n=22n﹣2∴{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列．∴=故选：C．6．（5分）在如图所示的程序框图中，当n∈N*（n＞1）时，函数f n（x）表示函数f n（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数f n（x）﹣1可化为（）A．sin（x﹣）B．﹣sin（x﹣）C．sin（x+）D．﹣sin（x+）【解答】解：由框图可知n=2011时输出结果，由于f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=﹣sinx+cosx，f3（x）=﹣sinx﹣cosx，f4（x）=sinx﹣cosx，f5（x）=sinx+cosx，所以f2009（x）=f4（x）=sinx+cosx=sin（x+）．×501+5故选：C．7．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：平面内一点M满足=+，则||=||=2，=2×cos60°=6，则•=（）•（）=（）•（）=﹣﹣+=﹣×12﹣×12+=﹣2．故选：D．8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．9【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．∴抛物线y2=16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a=．故选：A．9．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180B．180C．45D．﹣45【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r∴其展开式的通项为T r+1令r=8得a8=4C108=180故选：B．10．（5分）已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，∵ABC是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心（此时四心合一）∵PQ是直径，∴∠PCQ=90°．∴PC=4cos30°=2，∴PO=2•cos30°=3．OC=2sin30°=O是等边△ABC的重心∴OC=OH∴等边三角形ABC的高OH=，AC=sin60°=3．=×=．三棱锥P﹣ABC体积=PO•S△ABC故选：B．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），则当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．∵=2＞20.2＞1＞ln2＞0．∴c＜a＜b．故选：B．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）A．B．C．D．【解答】解：点P沿着线段AB运动时X=1，Y∈[0，1]此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2y，1﹣y2），消掉参数y后，得到动点P'的轨迹是v=点P沿着线段BC运动时X∈[0，1]，Y=1此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2x，x2﹣1），消掉参数x后，得到动点P'的轨迹是v=故动点P'的轨迹是故选：A．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于64+32．【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图：其中直棱柱的侧棱长为8，底面为直角三角形，且AB=BC=4，SA=4，SB=4，AC=4∴几何体的表面积S=×4×4+×+×4+×4+8×4=64+32．故答案为：64+32．14．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为﹣1．【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，，则x1•x2•x3…•x n=×…×=，从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1•x2…x2014）=．故答案为：﹣1．15．（5分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是．【解答】解：令f（x）=x2+（a+1）x+a+2b+1，∵关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴a+2b+1＞0，1+a+1+a+2b+1＜0，即a+2b+1＞0，2a+2b+3＜0，设，即b=ka，联立，解得P．∴，故答案为：．16．（5分）已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x ∈R，都有成立，当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x 的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对x∈[﹣3，3]恒成立，则a的取值范围a≥1或a≤0．．【解答】解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）在R上恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+2|对x∈[﹣，]恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由于当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x，求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣3，0），（0，0），（3，0），且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，又由于对任意的x∈R都有f（+x）=﹣f（x），∴f（2+x）=﹣f（+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2，所以函数f（x）在x∈[﹣，]的最大值为2，所以令2≤|a2﹣a+2|解得：a≥1或a≤0．故答案为：a≥1或a≤0．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知向量=（，﹣1），=（cos，sin），记f（x）=2•sin．（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；（2）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（c）=1，且b2=ac，求sinA的值．【解答】解：（Ⅰ）=．∵x∈[0，π]，∴，∴，∴0，∴f（x）的值域为[0，1]．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，又C∈（0，π），∴，∴，在Rt△ABC中，∵b2=ac，c2=a2+b2，∴，又c＞a，解得，∴．18．（12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．【解答】解：（I）获得参赛资格的人数m=（0.005+0.0043+0.032）×20×500=125（2分）（II）平均成绩：=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48（5分）（III）设甲答对每一道题的概率为．P则（1﹣p）2=，∴p=，∴ξ可能取得值为3，4，5，P（ξ=3）=P3+（1﹣P）3=，P（ξ=4）=+=，P（ξ=5）=1﹣=，∴ξ的分布列为ξ345P．（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AD=BC=，PC=，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于？若存在，指出F点位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取线段BC中点E，连结AE．因为，∠PDA=30°，所以PA=1．因为AD∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．又因为AB=AC，所以AE⊥BC，而，所以．因为，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC．因为PA⊥AD，且AD，AC⊂平面ABCD，AD∩AC=A，所以PA⊥平面ABCD．（2）解：以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则P（0，0，1），，，．设F（x1，y1，z1），因为点F在线段PD上，设，则（0＜λ≤1）．即，所以．设平面PBC的法向量为，则，所以，所以．因为直线CF与平面PBC成角正弦值等于，所以．所以，即．所以点F是线段PD的中点．20．（12分）已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l：y=kx+（k＞0）与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．【解答】解：（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y﹣4=k （x﹣2）．（2分）则：=2，解得k=，此时切线方程为：y=x+，切线方程与圆方程联立，可得x2+（x+）2=4，从而可得x=﹣，y=，则直线AB的方程为x+2y=2…．（4分）令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2故所求椭圆方程为+y2=1．…．（6分）（2）联立，整理得，令P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，即：2k2﹣1＞0…．．（8分）又原点到直线l的距离为d=，|PQ|=，…．（10分）==∴S△OPQ==2•=2•=2•≤1，当且仅当k=时取等号，∴△OPQ面积的最大值为1．…．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（﹣x）=e x+e﹣x，∴F（x1）F（x2）=，∴F（1）F（n）＞e n+1+2，F（2）F（n﹣1）＞e n+1+2，F（n）F（1）＞e n+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）][F（n）F （1）]＞（e n+1+2）n故，n∈N*．四、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB切圆O于点B，BC是圆O的直径，AC交圆O于点D，DE是圆O的切线，CE⊥DE于E，DE=3，CE=4，求AB的长．【解答】解：连接OD，∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE，又∵CE⊥DE于E，∴OD∥CE，∴∠ECD=∠ODC=∠OCD，∵DE=3，CE=4，∴CD=5，∴tan∠ECD=tan∠ODC=tan∠OCD=，∴cos∠OCD=，故OC==，∴BC=2OC=，故AB=BC•tan∠OCD=五、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设P（2，0），求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y﹣2=0，曲线C：；（2）将直线l的方程与曲线C联立方程组得，消去y得7x2﹣36x﹣32=0，所以，P（2，0），|PA|•|PB|=|x1﹣2|+|x2﹣2|=|x1﹣x2|===．六、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。

2014-2015年黑龙江省双鸭山一中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015年黑龙江省双鸭山一中高一(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设A={x|2014≤x≤2015}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．a＞2014 B．a＞2015 C．a≥2014 D．a≥20152．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称3．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=|x|，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=，g（x）=5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．26．（5分）若2lg（x﹣2y）=lgx+lgy（x，y∈R），则的值为（）A．4 B．1或C．1或4 D．7．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．（5分）（文科做）函数的值域为（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）9．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．（5分）函数y=得单调递增区间是（）A．B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．11．（5分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）12．（5分）设函数，若f（x）是奇函数，则当x∈（0，2]时，g（x）的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．15．（5分）如果f（）=，则当x≠0且x≠1时，f（x）=．16．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）计算：（1）（2）﹣9.60﹣（3）+1.5﹣2（2）﹣5log94+log3﹣5﹣（）．18．（12分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，（1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁R B）；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．（12分）已知f（x）=（x≠a）．（1）若a=﹣2，试证f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增；（2）若a＞0且f（x）在（1，+∞）内单调递减，求a的取值范围．20．（12分）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．21．（12分）集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；②函数f（x）的值域是[﹣2，4）；③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f （x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．22．（12分）定义已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m 恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．（1）判断函数f（x）=x2﹣2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性质？说明理由；（2）若f（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省双鸭山一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设A={x|2014≤x≤2015}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．a＞2014 B．a＞2015 C．a≥2014 D．a≥2015【解答】解：由题意，则a＞2015，故选：B．2．（5分）函数f（x）=﹣x的图象关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【解答】解：∵∴﹣，=，可得f（﹣x）=﹣f（x）又∵函数定义域为{x|x≠0}∴函数f（x）在其定义域是奇函数根据奇函数图象的特征，可得函数f（x）图象关于原点对称故选：C．3．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【解答】解：∵a=20.5＞1，1＞b=logπ3＞0，c=log20.3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=|x|，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=，g（x）=【解答】解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，B选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为R，后面函数的定义域为[0，+∞），C选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为{x|x≠1}，后面函数的定义域为R，D选项两个函数的定义域不同，前面函数的定义域为[1，+∞），后面函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故选：A．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故选：B．6．（5分）若2lg（x﹣2y）=lgx+lgy（x，y∈R），则的值为（）A．4 B．1或C．1或4 D．【解答】解：∵2lg（x﹣2y）=lgx+lgy（x，y∈R），∴lg（x﹣2y）2=lgxy，（x﹣2y）2=xy，∴x2+4y2﹣5xy=0，∴4（）2﹣5（）+1=0，解得=，或=1（舍），∴的值为．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：A．8．（5分）（文科做）函数的值域为（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，+∞）C．（0，1]D．[1，+∞）【解答】解：∵1+2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+2≤2∴=﹣1故函数的值域为（﹣∞，﹣1]故选：B．9．（5分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．10．（5分）函数y=得单调递增区间是（）A．B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．【解答】解：∵指数函数y=是R上的单调减函数，下面只要求函数y=的单调减区间，也就是要考虑函数：y=﹣x2+x+2的单调减区间，由﹣x2+x+2≥0得：﹣1≤x≤2，且抛物线的对称轴是x=，∴函数的单调递增区间是．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）【解答】解：∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴解得0＜a≤．故选：A．12．（5分）设函数，若f（x）是奇函数，则当x∈（0，2]时，g（x）的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数且f（x）是奇函数，x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），所以﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x⇒f（x）=﹣2﹣x（x∈（0，2]）所以g（x）=（x∈（0，2]），利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数，所以函数．故答案选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）函数的定义域为（﹣1，1）．【解答】解：∵x+1＞0，∴x＞﹣1，又∵﹣x3﹣3x+4＞0，即x3+3x﹣4=（x3﹣1）+3（x﹣1）=（x﹣1）（x2+x+4），且x2+x+4≥＞0，故﹣x3﹣3x+4＞0⇔x﹣1＜0，解得，x＜1从而，﹣1＜x＜1故答案为：（﹣1，1）14．（5分）若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=．【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案为：15．（5分）如果f（）=，则当x≠0且x≠1时，f（x）=．【解答】解：∵x≠0且x≠1，令=t，则x=，∴f（t）==，∴f（x）=，故答案为：．16．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是②③．（写出所有真命题的编号）【解答】解：∵若x1，x2∈A，且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数∴①函数f（x）=x2不是单函数，∵f（﹣1）=f（1），显然﹣1≠1，∴函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数；②∵函数f（x）=2x（x∈R）是增函数，∴f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，即②正确；③∵f（x）为单函数，对于任意b∈B，若∃x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）=b，则x1=x2，与x1≠x2矛盾∴③正确；④例如①函数f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数；故④不正确．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）计算：（1）（2）﹣9.60﹣（3）+1.5﹣2（2）﹣5log94+log3﹣5﹣（）．【解答】解：（1）（2）﹣9.60﹣（3）+1.5﹣2==．（2）﹣5log94+log3﹣5﹣（）=﹣3﹣=﹣2﹣3﹣=﹣．18．（12分）已知集合A={x|2﹣a≤x≤2+a}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，（1）当a=3时，求A∩B，A∪（∁R B）；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≤1或x≥4}，C R B={x|1＜x＜4}所以A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1或x≥4}={x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，A∪（C R B）={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1＜x＜4}={x|﹣1≤x≤5}；（2）A∩B=Φ所以或2﹣a＞2+a，解得a＜1或a＜0，所以a的取值范围是（﹣∞，1）19．（12分）已知f（x）=（x≠a）．（1）若a=﹣2，试证f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增；（2）若a＞0且f（x）在（1，+∞）内单调递减，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明任设x1＜x2＜﹣2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=．∵（x1+2）（x2+2）＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣∞，﹣2）内单调递增．（2）解任设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵a＞0，x2﹣x1＞0，∴要使f（x1）﹣f（x2）＞0，只需（x1﹣a）（x2﹣a）＞0恒成立，∴a≤1．综上所述，a的范围是（0，1]．20．（12分）设f（x）=log a（1+x）+log a（3﹣x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间[0，]上的最大值．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴log a（1+1）+log a（3﹣1）=log a4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），由，得x∈（﹣1，3）．∴函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log2（1+x）+log2（3﹣x）=log2（1+x）（3﹣x）=∴当x∈[0，1]时，f（x）是增函数；当x∈[1，]时，f（x）是减函数．所以函数f（x）在[0，]上的最大值是f（1）=log24=2．21．（12分）集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；②函数f（x）的值域是[﹣2，4）；③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数及是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f （x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵函数的值域[﹣2，+∞）∴f1（x）∉A对于f2（x），定义域为[0，+∞），满足条件①．而由x≥0知，∴，满足条件②又∵，∴在[0，+∞）上是减函数．∴f2（x）在[0，+∞）上是增函数，满足条件③∴f2（x）属于集合A．（2）f2（x）属于集合A，原不等式对任意x≥0总成立证明：由（1）知，f2（x）属于集合A．∴原不等式为整理为：．∵对任意，∴原不等式对任意x≥0总成立22．（12分）定义已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m 恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．（1）判断函数f（x）=x2﹣2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性质？说明理由；（2）若f（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+2，x∈[1，2]∴f（x）min=1≤1∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质；（2）f（x）=x2﹣ax+2x∈[a，a+1]其对称轴为x=，①当≤a即a≥0时，f（x）min=f（a）=a2﹣a2+2=2，若函数f（x）具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2，②当a＜＜a+1时，即﹣2＜a＜0时，+2，若函数f（x）具有“DK”性质，则有﹣+2≤a总成立，解得：a∈∅，③当≥a+1时，即a≤﹣2时，f（x）min=f（a+1）=a+3，若函数f（x）具有“DK”性质，则有a+3≤a，解得：a∈∅．综上所述：若函数f（x）在[a，a+1]上具有“DK”性质，则有a≥2．。