高三（上）期末数学试卷4（附解析）
一、填空题：（每小题5分，共70分）
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝．2．（5分）命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是．
3．（5分）已知实数a，b满足a+bi＝i2019（i为虚数单位），则a+b的值为．4．（5分）某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，﹣4，﹣1，0，2，则该组数据的标准差为．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为．
6．（5分）根据如图所示的伪代码，若输出的y的值为，则输入的x的值为．
7．（5分）已知O为矩形ABCD的对角线的交点，现从A，B，C，D，O这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为．
8．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（φ＞0，＜φ＜π）的图象如图所示，则该函数的最小正周期为．
9．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6+a5＝4，a4+a3﹣a2﹣a1＝1，则a1的值为．
10．（5分）已知sin（2α+β）＝p sinβ，tan（α+β）＝p tanα，其中p为正的常数，且p ≠1，则p的值为．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），若圆（x ﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一对点M，N，使得△MAB的面积是△NAB的面积的2倍，则r的值为．
12．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＞a的解集为（a2，+∞），则实数a的所有可能值之和为．
13．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则•（+）＝．
14．（5分）设P（x，y）为椭圆＝1在第一象限上的点，则的最小值为
二、解答题：（本大题共6小题，共90分）
15．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥PC，M是AB的中点，点D在PB上，MD∥平面PAC，平面P AB⊥平面PMC，△CPM为锐角三角形，求证：
（1）D是PB的中点；
（2）平面ABC⊥平面PMC．
16．（14分）已知△ABC的面积为，且•＝﹣1．
（1）角A的大小及BC长的最小值；
（2）设M为BC的中点，且AM＝，∠BAC的平分线交BC于点N，求线段MN 的长．
17．（14分）一张边长为2m的正方形薄铝板ABCD（图甲），点E，F分别在AB，BC 上，且AE＝CF＝x（单位：m）．现将该薄铝板沿EF裁开，再将△DAE沿DE折叠，△DCF沿DF折叠，使DA，DC重合，且A，C重合于点M，制作成一个无盖的三棱锥形容器D﹣MEF（图乙），记该容器的容积为V（单位：m3）．（注：薄铝板的厚度忽略不计）
（1）若裁开的三角形薄铝板EFB恰好是该容器的盖，求x，V的值；
（2）试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D﹣MEF的容积V最大．
18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右顶点
分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2．
①k2＝3k1，求证：直线l过定点；
②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断是否为定值，并说明理由．
19．（16分）设k∈R，函数g（x）＝k（x﹣e），其中e为自然对数的底数．
（1）设函数f（x）＝．
①若k＝﹣1，试判断函数f（x）与g（x）的图象在区间（1，）上是否有交点；
②求证：对任意的k∈R，直线y＝g（x）都不是曲线y＝f（x）的切线；
（2）设函数h（x）＝2x﹣xlnx+xg（x）﹣ekx，试判断函数h（x）是否存在极小值，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（16分）（1）已知数列{a n}满足：a1＝1，a2＝λ，且a n2＝a n+1a n﹣1﹣λa n a n﹣1（λ为非零常数，n≥2，n∈N*），求数列{}（n≥2，n∈N*）的前n项和；
（2）已知数列{b n}满足：
（i）对任意的n∈N*，0＜b n≤b n+1；
•b n+1＝（μ＞0，q1＞0，q2（ii）对任意的n≥2，n∈N*，b n
﹣1
＞0），且＝．
①若μ＝1，q1＝q2，求数列{b n}是等比数列的充要条件；
②求证：数列b1，b2，b5，b6，b9，b10，…，b4m﹣3，b4m﹣2，…是等比数列，其中m∈N*．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分0分）
21．设点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y）．
（1）写出矩阵M，并求出其逆矩阵M﹣1
（2）若曲线C在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'：y2＝4x，求曲线C的方程．B．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分0分）
22．过极点O的直线l与曲线C：相交于极轴上方的两点A，B，且AB＝2．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）将直线l绕点O逆时针旋转，得到直线m，点P在直线m上，点Q在曲线C上，求线段PQ的长的最小值．
C．选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）
23．已知x，y，z均为正数，且x+y+z＝1，求的最小值．
【必做题】第22、23题，每小题0分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
24．从集合P＝{x|1≤x≤9，x∈N*}中等可能地取出m个不同元素，记所取元素之和为ξ．（1）若m＝2，求ξ为偶数的概率；
（2）若m＝3，η表示ξ被3带队的余数，求η的概率分布及数学期望E（η）．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点T（1，t）（t＜0）到抛物线y2＝2px（p ＞0）焦点的距离为2．
