第9章平面解析几何 (4)

平面解析几何 章节验收测试卷B 卷姓名班级准考证号1．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线 【答案】B 【解析】在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：BCACλ=， 当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β， 则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线， 当2λ=时，2BC AC =，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则22BC CD h =+， 在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，则22()CA x a y =++，22()CD x a y =-+，222()CB x a y h =-++，∴22222()2()x a y h x a y -++=++，化简可得2222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.∴C 的轨迹是圆． 故选：B ．2．已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．36-D ．33-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3，又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =u u u u r u u u u r ，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k=-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴3k =. 故选：C ．3．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ） A ．5π B ．4π C ．6π D ．3π 【答案】D 【解析】由题意可得22121216132PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得212)4PF PF -=（， 可得1222PF PF a -==，可得a=1，22213b =-可得渐近线方程为：3y x =，可得双曲线的渐近线的夹角为3π， 故选D.4．已知,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-,且满足MA MB ^,则MA BA ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（ ） A ．[]3,4 B ．9,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,9D ．9,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】,A B 为椭圆22143x y +=上的两个动点，()M 1,0-为其左焦点.MA MB ^，则有0MA MB ⋅=u u u r u u u r.2()MA BA MA MA MB MA ⋅=⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .设(,)M x y ，则223(1)4x y =-.222222211(1)(1)3(1)24(4)444x MA x y x x x x =++=++-=++=+u u u r .由[2,2]x ∈-，得221(4)[1,9]4MA x =+∈u u u r .故选C.5．长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==， 12BB =，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．12【答案】C 【解析】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使MP AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，13AD =，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，3BE =，所以11PC =. 故选C .6．下列命题中：①若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；②将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ③“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件； ④已知()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则直线200x x y y R +=与该圆相交.其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】对于①，若命题0:p x R ∃∈，2000x x -≤，则:p x R ⌝∀∈，20x x ->；故①正确；对于②，将sin 2y x =的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到的图象对应函数为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故②错误；对于③，“0x >”是“12x x+≥”的充分必要条件，故③正确； 对于④，因为()0,0M x y 为圆222x y R +=内异于圆心的一点，则20022x y R +<，所以圆心()0,0到直线200x x y y R +=的距离d R =>，所以该直线与该圆相离，故④错误，故选C.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆()22:4C x y b +-=与l 交于第一象限A 、B 两点，若3ACB π∠=，且3OB OA =，其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．3 C．5D．3【答案】D 【解析】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为：b y x a =圆()22:4C x y b +-=的圆心坐标为()0,b ，半径为23ACB π∠=Q ABC ∆∴是边长为2的等边三角形∴2AB =，圆心到直线by x a=又2AB OB OA OA =-= 1OA ∴=，3OB = 在OBC ∆，OAC ∆中，由余弦定理得：2223414cos cos 62b b BOC AOC b b+-+-∠=∠==，解得：b =圆心到直线b y x a =c ab ==3c e a ∴===本题正确选项：D8．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的焦距为2c ，直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-；以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆Ω与直线l 交于,M N两点，若MN =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．35 B ．53C ．3D ．13【答案】C 【解析】双曲线的渐近线的方程为b y x a=±， ∵直线l 与双曲线C 的一条斜率为负值的渐近线垂直且在y 轴上的截距为2cb-，∴直线l 的方程为2a c y x b b=-，即20ax by c --=，∵双曲线的右焦点为(),0c ，其到l的距离d c a ==-，又∵半径为c 的圆Ω与直线l 交于,M N两点且MN =， ∴()22259c a c c -+=，化简得2251890c ac a -+=，即()()3530c a c a --=， 得3c a =或35c a =，即3ce a==或35（舍去），故选C.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2212a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b y xa =±b =，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1ba=，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±. 10．已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.11．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 是直线：3220x y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]10max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 3220x y +-=上任一点，可得31y x =， 可得312x y x x +=+-， 当0x ≤时，[]31112OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]31123OP x ⎛⎛=+-∈ ⎝⎝⎭； 当3x ≥[]3113OP x ⎛=-++≥ ⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++Q ，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4Q 点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]max OP ∴=()4正确． 则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ．12．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，M 为12PF F V 的内心，若121212MPF MPF MF F S S S =+V V V 成立，则双曲线的离心率为( )A ．4B ．52C ．2D ．53【答案】C 【解析】如图，设圆M 与12PF F V 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点E 、F 、G ，连接ME 、MF 、MG ， 则12ME F F ⊥，1MF PF ⊥，2MG PF ⊥，它们分别是12MF F V ，1MPF V ，2MPF V 的高， 111122MPF rS PF MF PF ∴=⨯⨯=V ，222122MPF rS PF MG PF V =⨯⨯=121212122MF F rS F F ME F F =⨯⨯=V ，其中r 是12PF F V 的内切圆的半径．121212MPF MPF MF F S S S =+V V V Q1212224r r rPF PF F F ∴=+ 两边约去2r得：121212PF PF F F =+121212PF PF F F ∴-=根据双曲线定义，得122PF PF a -=，122F F c =2a c ∴=⇒离心率为2ce a== 故选：C ．13．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点M ，若12F MF ∠4π=，则双曲线的离心率为______.【答案】3 【解析】设切点为N ，连接ON ，过2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ，如下图：由圆的切线性质可知：1ON F M ⊥,ON a =，由三角形中位线定理可知：22AF a =，21AF F M ⊥，在12Rt AF F ∆中，2211222AF F F AF b =-=，在2Rt AF M ∆中，12F MF ∠4π=，所以2MA a =，222F M a =，由双曲线定义可知：122F M F M a -=，即222b a a +-=，所以b =，而c =所以c ，因此ce a==即双曲线的离心率为.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点、右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为______. 【答案】13【解析】由题意知：P ，Q 关于原点对称，可设(),Q m n ，(),P m n -- 又(),0A a ，(),0F c ，则,22a m n M -⎛⎫-⎪⎝⎭ (),FQ m c n ∴=-u u u r ，,22a m n FM c -⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r Q Q ，F ，M 三点共线 //FQ FM ∴u u u r u u u u r()22n a m m c n c -⎛⎫∴--=- ⎪⎝⎭，整理可得：13c a = 即椭圆C 的离心率：13e =本题正确结果：1315．已知椭圆2243x y +=1的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点M ，设M 的坐标为()00,x y ，若12l l ⊥，则下列结论序号正确的有______．①204x +203y ＜1②204x +203y ＞1③04x +03y ＜1 ④2200431x y +>【答案】①③④ 【解析】()()121,0,1,0F F -，因为12l l ⊥，120MF MF =u u u u r u u u u rg ，所以()()()()0000110x x y y --⨯-+-⨯-=即22001x y +=，M 在圆221x y +=上，它在椭圆的内部，故2200143x y +<，故①正确，②错误； O 到直线143x y +=的距离为3412155⨯=>，O 在直线143x y+=的下方， 故圆221x y +=在其下方即00143x y +<，故③正确；22220000431x y x y +≥+=，但222200004,3x x y y ==不同时成立，故22220000431x y x y +>+=，故④成立，综上，填①③④．16．已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 在抛物线上，且ABF ∆的重心坐标为11(,)23，则FA FB AB-=__________．【答案】17【解析】设点A (),A A x y ,B (),B B x y ,焦点F(1,0),ABF ∆的重心坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭,由重心坐标公式可得1132A B x x ++=,0133A B y y ++=，即1=2A B x x +，=1A B y y + ， 由抛物线的定义可得()22=114A BA B A B y y FA FB x x x x --+-+=-=, 由点在抛物线上可得22=4=4A A B By x y x ⎧⎨⎩，作差2244A B A B y y x x -=-，化简得4=4+A B AB A B A By y k x x y y -==-，代入弦长公式得=--A B A B y y y y ，则17FA FB AB-=，17．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k--=+， 以k-替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥，∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，2222124||1313k k PQ k k --⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r 221602301396k k =≤++， 当2219k k =时，即33k =±时取等号， max 230||PQ =u u u r ， 又||10AB =u u u r，max23023310λ==，∴λ取得最大值时的PQ 的长为230． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=.（1）若点P 的坐标为()2,3，求椭圆C 的方程及λ的值；（2）若45λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围.【答案】（1）2211612x y +=；103λ=（2）37⎢⎣⎦【解析】（1）因为2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为()2,3， 所以2224a b c -==，22491a b +=， 解得216a =，212b =，所以椭圆的方程为2211612x y +=.所以()12,0F -，直线1PF 的方程为()324y x =+， 将()324y x =+代入椭圆C 的方程，解得267Q x =-，所以126210726327P Q F Q x x PQ FQ x x λ+-====--+. （2）因为2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，()0,P c y ，00y >.设()11,Q x y ，因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （方法一）因为()1,0F c -，由1PQ FQ λ=得，()11c x c x λ-=--，211by y aλ-=-，解得111x c λλ+=--，()211b y a λ=--，所以()21,11b Q c a λλλ⎛⎫+-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 因为点Q 在椭圆上，所以()222221111b e aλλλ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭-，即()()()2222111e e λλ++-=-，所以2(2)2e λλ+=-，从而222e λλ-=+. 因为45λ≤≤，所以21337e ≤≤.7e ≤≤， 所以椭圆C的离心率的取值范围⎣⎦.19．已知椭圆C ：()222211x y a b a b +=>>1x =（1）求椭圆方程；（2）设直线y kx m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线1x =上，求证：线段AB 的中垂线恒过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】（1）由直线1x =，得椭圆过点⎛ ⎝⎭，即221314a b +=，又2c e a ===，得224a b =， 所以24a =，21b =，即椭圆方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，由222222644(14)(44)1664160k m k m m k ∆=-+-=-++>， 得2214m k <+. 由122814kmx x k +=-+，设AB 的中点M 为()00,x y ，得024114kmx k=-=+，即2144k km +=-， ∴0021144m y kx m k k=+==-+. ∴AB 的中垂线方程为()1114y x k k+=--. 即134y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故AB 的中垂线恒过点3,04N ⎛⎫⎪⎝⎭. 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点． 【答案】（1）2；（2）见解析 【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=-+，所以1222ty y 3k 1+=+， 由于E 为线段AB 的中点，因此E E223kt tx y 3k 13k 1，=-=++， 此时E OE E y 1k x 3k ==-，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=-，又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1， 所以m 2+k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2． （2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k=-， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得22G 3k 13k 1⎛⎫ ++⎝，，又221E D 3k 3k 13k 1，，，⎛⎫⎛⎫- ⎪⎝⎭++⎝， 由距离公式及t ＞0得22222229k 1|OG |((3k 13k 13k 1+=+=+++，()22219k 1OD 3k +⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，2222223kt t 9k 1OE 3k 13k 13k 1⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．21．已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ，B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ，求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=（2）见证明【解析】（1）设(),P x y ，由动点P 到直线2x =的距离与动点P 到点F=2212x y +=.（2）设AB 的直线方程为1x my =+，则NF 的直线方程为()1y m x =--，联立()12y m x x ⎧=--⎨=⎩，解得()2,N m -，∴直线ON 的方程为2m y x =-，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222my y m +=-+，设AB 的中点为()00,M x y ，则120222y y my m +==-+， ∴002212x my m =+=+，∴222,22m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =-⋅=-++， ∴点M 在直线ON 上，∴ON 平分线段AB .22．已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>P的坐标为2⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1624 【解析】 （1）由已知2c e a ==，又222a b c =+，则2a b =. 椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=；（2）不妨设直线AB 的方程x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，∴0CA CB ⋅=u u u r u u u r，由11(2,)CA x y =-u u u r ，22(2,)CB x y =-u u u r得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0ky y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 则直线l 恒过点6(,0)5.∴1211||22ABCS DC y y ∆=-== 设211(0)44t t k =<≤+，则ABC S ∆=在1(0,]4t ∈上单调递增， 当14t =时，ABC S ∆取得最大值1624.。

课时规范练39两条直线的位置关系基础巩固组1.(2021四川资阳中学月考)若直线l1:(a+2)x+(1-a)y-3=0与l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则实数a 的值为()A.1B.-1C.±1D.-322.(2021北京昌平模拟)直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a2=0平行,则实数a的值为()A.1或-1B.0或-1C.-1D.13.已知直线mx+4y-2=0与直线2x-5y+n=0互相垂直,垂足为点(1,p),则m+n-p等于()A.24B.20C.4D.04.与直线l:2x-3y+1=0关于y轴对称的直线的方程为()A.2x+3y+1=0B.2x+3y-1=0C.3x-2y+1=0D.3x+2y+1=05.直线l0:4x-y-4=0与l1:x-2y-2=0及l2:4x+3y-12=0所得两交点间的距离为()A.32√17 B.314√17C.914√17 D.3√176.直线l1,l2是分别过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为()A.x+2y-3=0B.x-2y-3=0C.2x-y-1=0D.2x-y-3=07.(多选)(2021湖南雅礼中学月考)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则实数a的取值可以是() A.-1 B.1C.2D.58.若a>0,点A(2,a)到直线l:x-2y+3=0距离为√5,则a=.9.已知M(-1,2),直线l:2x+y-5=0,点M关于直线l的对称点Q的坐标是.综合提升组10.(2021北京高三二模)点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A.[125,17 5]B.[75,12 5]C.[75,17 5]D.[125,24 5]11.(多选)(2021福建漳州三中高三开学考试)等腰直角三角形ABC的直角顶点为点C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是()A.(2,0)B.(0,2)C.(4,6)D.(6,4)12.(多选)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是()A.不论a为何值,直线l1与直线l2都互相垂直B.当a变化时,直线l1,l2分别过定点A(0,1),B(-1,0)C.不论a为何值,直线l1与l2都关于直线x+y=0对称D.若直线l1与l2交于点M,则|MO|的最大值为√213.(2021河北高三二模)直线l1:x+ay-2=0(a∈R)与直线l2:y=34x-1平行,则a=,l1与l2的距离为.创新应用组14.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P,使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线是“切割型直线”的有.①直线y=x+1;②直线y=2;③直线y=43x;④直线y=2x+1.课时规范练39 两条直线的位置关系1.C 解析因为直线l 1:(a+2)x+(1-a )y-3=0与l 2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直, 所以(a+2)(a-1)+(1-a )(2a+3)=0,得a 2=1, 解得a=±1.故选C .2.C 解析因为直线x+ay+2=0与直线ax+y+2a 2=0平行, 所以{1×1-a ×a =0,1×2a 2-a ×2≠0即{a =±1,a ≠0,a ≠1,所以a=-1.故选C .3.D 解析由两直线垂直得2m+4×(-5)=0, 解得m=10,所以原直线为10x+4y-2=0.又因为垂足(1,p )同时满足两直线方程, 所以代入得{10×1+4p -2=0,2×1-5p +n =0,解得{p =-2,n =-12,所以m+n-p=10-12+2=0.故选D .4.B 解析设点M (x ,y )是所求直线上的任意一点,则其关于y 轴的对称点M'(-x ,y )在直线l :2x-3y+1=0上,所以-2x-3y+1=0,即2x+3y-1=0.故选B .5.C 解析由{4x -y -4=0,x -2y -2=0,得{x =67,y =-47,即直线l 0与l 1的交点A 的坐标为(67,-47),由{4x -y -4=0,4x +3y -12=0,得{x =32,y =2,即直线l 0与l 2的交点B 的坐标为(32,2), 所以|AB|=√(67-32)2+(-47-2)2=9√1714.故选C .6.A 解析当两条平行直线与直线AB 垂直时,两条平行直线间的距离最大.因为k AB =1-(-1)1-0=2,所以k 1=-12,所以直线l 1的方程为y-1=-12(x-1),即x+2y-3=0.故选A .7.CD 解析由题意可得直线x+y=0与x-y=0都过原点, 而无论a 为何值,直线x+ay=3不过原点,因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线x+ay=3与另两条直线不平行,所以a ≠±1.故选CD .8.5解析由点到直线的距离公式可得√5=√5=√5,即|5-2a|=5.又因为a>0,所以a=5.9.(3,4)解析设Q(x0,y0).因为点M(-1,2)关于直线l的对称点是点Q,所以{y0-2x0-(-1)×(-2)=-1,2×x0-12+y0+22-5=0,解得{x0=3,y0=4,即Q(3,4).10.C解析点P到直线的距离为d=√3+4=|5sin(θ+φ)-12|5,其中sin φ=35,cosφ=45.由三角函数性质易知,5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],故d∈[75,175].故选C.11.AC解析设B(x,y).根据题意可得{k AC k BC=-1, |BC|=|AC|,即{3-43-0·y-3x-3=-1,√(x-3)2+(y-3)2=√(0-3)2+(4-3)2,解得{x=2,y=0或{x=4,y=6,所以B(2,0)或B(4,6).故选AC.12.ABD解析对于A,因为a×1+(-1)×a=0恒成立,所以不论a为何值,直线l1与l2互相垂直恒成立,故A正确;对于B,易知直线l1恒过点A(0,1),直线l2恒过点B(-1,0),故B正确;对于C,在直线l1上任取点(x,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入直线l2的方程x+ay+1=0,可知左边不恒等于0,故C不正确;对于D,由{ax-y+1=0,x+ay+1=0,解得{x=-a-1a2+1,y=-a+1a2+1,所以M-a -1a2+1,-a+1 a2+1,所以|MO|=√(-a-1a2+1)2+(-a+1a2+1)2=√2a2+1≤√2,所以|MO|的最大值为√2,故D正确.故选ABD.13.-4325解析l2方程可化为3x-4y-4=0.因为l1∥l2,所以13=a-4≠-2-4,解得a=-43,所以直线l1:x-43y-2=0,即3x-4y-6=0,所以它们之间的距离为d=√3+(-4)=25.14.②③解析①点M到直线y=x+1的距离d=√2=3√2>4,故该直线上不存在点P,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”;②点M到直线y=2的距离d=2<4,故该直线上存在点P,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”;③点M到直线y=43x的距离d=4,故该直线上存在点P,使|PM|=4,该直线是“切割型直线”;④点M到直线y=2x+1的距离d=√5=11√55>4,故该直线上不存在点P,使|PM|=4,该直线不是“切割型直线”.故答案为②③.。

第九章 平面解析几何
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高考备考指南
文科数学
直线方程的综合应用
【考向分析】直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等
式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的考向：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数的几何意义相结合的问题；
(3)与圆相结合求直线方程的问题．
栏目索引
2．直线的斜率 (1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝__ta_n__θ_____.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，栏则目索k＝引 yx22－ －yx11.
第九章 平面解析几何
高考备考指南
文科数学
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
条件 斜率k与点(x0，y0)
文科数学
与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件：点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴 的直线；两点式方程不能表示垂直于x轴、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐 标轴和过原点的直线． (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零．在与截距有关的 问题中，要注意讨论截距是否为零． (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类栏目讨索引论，即应对 斜率是否存在加以讨论．
文科数学
直线的倾斜角与斜率
(1)直线2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是(
)
A．π6，π3
B．π4，π3
C．π4，π2
D．π4，23π
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段没有公共点，则直线

高中数学专题复习《平面解析几何初步直线圆的方程等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．1 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()13nx n N nx x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．72．在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ） A ．33B ．23C ．3D ．1（2020广东文）(解析几何)3．已知直线x=a （a>0）和圆（x －1）2+y 2=4相切，那么a 的值是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2（2020全国文3）4．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞5．下列说法正确的是 ． [答]( ) (1)若直线l 的倾斜角为α，则0απ≤<；(2)若直线l 的一个方向向量为(,)d u v =，则直线l 的斜率v k u=； (3)若直线l 的方程为220(0)ax by c a b ++=+≠，则直线l 的一个法向量为(,)n a b =．A .(1)(2) B. (1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)6．直线1:2l y k x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与圆22:1C x y +=的位置关系为（ ）． Ａ．相交或相切 Ｂ．相交或相离 Ｃ．相切 Ｄ．相交7．圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相外切C ．相离D ．相内切8．圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长为（ ） Ａ、6 Ｂ、522Ｃ、１ Ｄ、５9．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A 、425x y += B 、425x y -= C 、25x y += D 、25x y -=10． 直线l 过点（-1，2）且与直线垂直，则l 的方程是 A ．3210x y +-= B.3270x y ++=C. 2350x y -+=D.2380x y -+=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，且与直线x －y －3＝0相切，则圆C 的半径为 ▲ ． 解析：可设圆心为(2，b )，半径r ＝b 2＋1，则|－1－b |2＝b 2＋1，解得b ＝1．故r ＝2．12． 已知从点(2,1)-发出的一束光线，经x 轴反射后,反射光线恰好平分 圆:222210x y x y +--+=的圆周,则反射光线所在的直线方程为 13．圆2240x y x +-=在点(1,3)P 处的切线方程为 ▲ ．14．如果直线210mx y ++=与20x y +-=互相垂直，那么实数m ＝ ▲ ．15．两圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有_____条。