江苏省苏州市第五中学高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案苏教版必修2

直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若42AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1)若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线异侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,当2AOB π∠=时，求k 的值.（2）若1,2k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求四边形FGFH 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.5．已知圆22:9O x y +=，直线1l :x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、（如图），点P (-1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A B 、），直线A Q 、与1l 相交于点C ．（1）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程； （2）设直线BQ BC 、的斜率分别为BQ BC k k 、，求证：BQ BC k k ⋅为定值.6．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为3点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . （1）求圆C 的方程；（2）求证:AN BM 为定值；（3）当PA PB 取得最大值时，求MN ．7．如图，已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点. （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （Ⅱ）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 8．已知圆，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分别为，求：①的值；②的最大值.9．已知圆C ：()2244x y +-=，直线l ：()()31140m x m y ++--= （Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。

1直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.解∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°. ∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.∴k AC＝tan 30°＝33，k BD＝tan 120°＝－ 3.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．二、利用两点斜率公式例2直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率．解设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x－4，y＋3)．∵Q 点也在直线l 上， ∴k ＝(y ＋3)－y (x －4)－x＝－34.评注 ①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y )沿x 轴正方向平移a 个单位，再沿y 轴正方向移动b 个单位，坐标由(x ，y )变为(x ＋a ，y ＋b )．②直线过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在． 三、利用待定系数法例3 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率．分析 本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果． 解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为 y －1＝k (x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.由条件，知y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一条直线的方程． 比较系数，得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13.评注 本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.2 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距． 错解 由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.剖析 忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．正解 当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在； 当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.评注 在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论． 二、两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程． 错解 由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1.剖析 忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立．正解 当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1； 当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，知直线l 的方程为x －(a －1)(y －2)－1＝0.评注 一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0. 三、截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程． 错解 设直线的方程为x a ＋y－a＝1.因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a ＝1.解得a ＝－2.故所求的直线方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解． 正解 当直线的截距均不为0时，同错解； 当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k ＝2，直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0评注 事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m (m >0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况． 四、一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0的斜率不存在，求m 的值． 错解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0. 解得m ＝3或m ＝1.所以当m ＝3或m ＝1时，直线的斜率不存在．剖析 由于方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，本身隐含着(A ，B 不全为0)这一条件．当m ＝1时，方程(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0即为0·x ＋0·y ＝0，它不表示直线，应舍去． 正解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0，且m －1≠0.解得m ＝3. 所以当m ＝3时，直线的斜率不存在．评注 方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线.3 突破两条直线的位置关系在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型．下面举例说明． 题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值．例1 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.试求m 为何值时，l 1与l 2：(1)平行？(2)垂直？分析 (1)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0平行⇔－a b ＝－m n 且－c b ≠－dn ”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m 的值；(2)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔(－a b )·(－mn )＝－1”即可求解．解 (1)若l 1∥l 2，则－1m ＝－m －23且－6m ≠－2m3.解得m ＝－1.所以当m ＝－1时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，则(－1m )·(－m －23)＝－1.解得m ＝12.所以当m ＝12时，l 1⊥l 2.评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可． 题型二 有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交． 例2 若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解 根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为(2m ＋37，m －27)．因为交点在第四象限， 所以⎩⎨⎧2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是(－32，2)．评注 本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力． 题型三 有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等)． 例3 求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析 用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解 把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326.4 细说两点间的距离公式已知两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则该两点之间的距离可表示为AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用．因此应熟练掌握公式并且灵活运用． 一、判断三角形的形状例1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，－1)，B (－1,3)，C (3,0)．求证：△ABC 是直角三角形．分析 求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证． 证明 AB ＝(－1－1)2＋(3＋1)2＝25， 即AB ＝25，∴AB 2＝20， 同理AC 2＝5，BC 2＝25. ∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是以顶点A 为直角顶点的直角三角形．评注 在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可． 二、求点的坐标例2 已知点A (－3,4)，B (2，3)，在x 轴上找一点P 使得P A ＝PB ，并求出P A 的值． 分析 由于点P 在x 轴上，可设P (x,0)，再利用条件P A ＝PB 即可解决． 解 设P (x,0)，则有P A ＝(x ＋3)2＋(0－4)2＝x 2＋6x ＋25， PB ＝(x －2)2＋(0－3)2＝x 2－4x ＋7. 由P A ＝PB ，可得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7， 解得x ＝－95，从而得P ⎝⎛⎭⎫－95，0，且P A ＝21095. 评注 应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法． 三、证明三点共线问题例3 已知A (1，－1)，B (3,3)，C (4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上．分析 要证A ，B ，C 三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明．而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证AC ＝AB ＋BC 即可，要确定AC ，AB ，BC 的长，只需利用两点间的距离公式即可．证明 AB ＝(3－1)2＋(3＋1)2＝22＋42＝25， BC ＝(4－3)2＋(5－3)2＝12＋22＝5， AC ＝(4－1)2＋(5＋1)2＝32＋62＝3 5. ∵AB ＋BC ＝35，AC ＝35，∴AB ＋BC ＝AC ，即A ，B ，C 三点共线．评注 在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题． 四、证明平面几何问题例4 如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，试用坐标法证明：AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.分析 要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算．在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，则A (0,0)，B (x 1,0)，D (0，y 1)，AM ＝x 2＋y 2，BM ＝(x －x 1)2＋y 2，CM ＝(x －x 1)2＋(y －y 1)2，DM ＝x 2＋(y －y 1)2.∵AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， BM 2＋DM 2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， ∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.即如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2都成立． 评注 用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.5 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫做圆的一般方程．二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点： 一、二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆，截y 轴所得的弦长AB ＝2，求此圆的方程．解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上，∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0)． 作PQ ⊥AB 于Q ，连结AP ，在Rt △APQ 中，AQ ＝1， AP ＝r ，PQ ＝k ， ∴r ＝1＋k 2. 又r ＝|k ＋2k －1|12＋22，∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1， 整理得2k 2－3k －2＝0， 解得k ＝2或k ＝－12.当k ＝2时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝5， 故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. 当k ＝－12时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝52， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54. 因此所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54.例2 已知△ABC 的各顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程． 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程． 解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0－2D －2E ＋F ＋8＝05D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，∴其外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单． 二、二者的应用方面不同例3 若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y ＝33x (x ≥0)相切，求这个圆的方程． 分析 利用“半径为1的圆与y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．解 由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b ，则圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝1， ∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切， ∴⎪⎪⎪⎪33－b ⎝⎛⎭⎫332＋1＝1，解得b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．6 直线与圆相交时弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长．解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(0－3)2＋(0－3)2＝2 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法． 二、利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长AB ＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长AB . 解 把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25， 所以其圆心为(3,1)，半径r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3×1＋1×2|12＋22＝5，所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝4 5. 三、利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长AB .解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(x －3)2＋y 2＝9，消去y ，整理，得5x 2－14x ＋4＝0.则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45. ∴AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452－4×45＝21455. 评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y (或x )转化为关于x (或y )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.7 圆与圆相交的三个应用圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数．一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1 已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．分析 求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB 的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求．解析 两圆方程作差，得x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝0评注 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可．二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________．分析 两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB 的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题．解析 由平面几何知识，知AB 的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程．可求得直线的方程为3x －y －9＝0.答案 3x －y －9＝0评注 通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系．三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3 圆A ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆B ：(x －2)2＋(y －2)2＝9，则圆A 和圆B 的公切线有________条．分析 判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数．解析 因为圆心距AB ＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，R ＝3，r ＝2，且R ＋r ＝3＋2＝5，R －r ＝3－2＝1，所以有R －r <AB <R ＋r ，即两圆相交．所以两圆的公切线有两条．答案 2评注 判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距．8 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．例1 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为________．分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差．解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0配方得(x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为C (2,2)，半径r ＝32，则圆心到直线的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝52，所以圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝82，最小距离为d－r＝22，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为82－22＝6 2.答案6 2评注一般地，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r(r<d)，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为d＋r和d－r.例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是△ABC内切圆上的动点，试求点P 到△ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值．分析可以C点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理．解以点C为原点，使A、B分别位于x轴、y轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，则△ABC各顶点是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，内切圆半径r＝2S△ABCa＋b＋c＝AC·BCAC＋BC＋AB＝2.∴内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.设P(x，y)是圆上的动点，则S＝P A2＋PB2＋PC2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76＝3×4－4x＋76＝88－4x.∵点P在内切圆上，∴0≤x≤4，∴S max＝88，S min＝72.评注本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行.9空间点的对称问题解决此类问题可以类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．求对称点的问题经常借助“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法．如关于y轴的对称点坐标就是纵坐标不变，其余的两个变为原来的相反数；关于yOz平面的对称点，纵坐标、竖坐标都不变，横坐标变为原来的相反数．例(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是________．(2)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是________．(3)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标是________．解析(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的数不变，在y轴，z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的数不变，在z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．答案(1)(－2，－1，－4)(2)(－2,1，－4)(3)(6，－3，－12)评注解决此类问题的关键是明确关于各坐标轴、各坐标平面对称的两点，其点的坐标的数的关系，可借助于图形，也可直接借助记忆口诀“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”．。

第2章平面解析几何初步章末总结苏教版必修2一、待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的全部或部分系数是待定的，然后根据题中条件来确定这些系数的方法．直线、圆的方程常用待定系数法求解．例1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．变式训练1 求圆心在圆(x －32)2＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件．(在用二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直线方程时，要注意到斜率不存在的情形．例2 求与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程．变式训练2 求过点A (3,1)和圆(x －2)2＋y 2＝1相切的直线方程．三、数形结合思想的应用数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法，在做填空题时，有时常能收到奇效．数形结合思想在解决圆的问题时有时非常简便，把条件中的数量关系问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题用数量关系表示出来，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．例3 曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．变式训练3 直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是________．第二章 章末总结 答案重点解读例1 解 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0．由题意知|3k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝1或k ＝－17．所以所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0．当直线不经过原点时，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0．由题意知|3＋1－a |2＝2，解得a ＝2或a ＝6．所以所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0．综上可知，所求直线的方程为x －y ＝0或x ＋7y ＝0或x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0． 变式训练1 解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．因为圆(x －32)2＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a >－12．所以r ＝a ＋12，r ＝|b |．又圆心(a ，b )在圆(x －32)2＋y 2＝2上，所以(a －32)2＋b 2＝2，故有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是(x －12)2＋(y －1)2＝1或(x －12)2＋(y ＋1)2＝1．例2 解 (1)截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，则d ＝|0－2|1＋k 2＝1，解得k ＝±3， 所求直线方程为y ＝±3x ．(2)截距不为0时，设切线方程为x －y ＝a ，则d ＝|0－2－a |12＋12＝1， 解得a ＝－2±2，所求的直线方程为 x －y ＋2±2＝0．综上所述，所求的直线方程为 y ±3x ＝0和x －y ＋2±2＝0．变式训练2 解 当所求直线斜率存在时， 设其为k ，则直线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0． ∵直线与圆相切，∴d ＝|2k －0＋1－3k |1＋k2＝1， 解得k ＝0．当所求直线斜率不存在时，x ＝3也符合条件． 综上所述，所求直线的方程是y ＝1和x ＝3．例3 ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，由数形结合可得512<k ≤34．变式训练3 －1<b ≤1或b ＝－ 2解析 作出曲线x ＝1－y 2和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系， 寻找解决问题的办法．将曲线x ＝1－y 2变为x 2＋y 2＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线x 2＋y 2＝1相切时，则满足|0－0＋b |2＝1，|b |＝2，b ＝±2．观察图象，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第二章平面解析几何初步教案苏教版必修22．1直线与方程2．1.1 直线的斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率概念及他们间的关系．(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法(1)通过教学，使学生从生活中坡度自然迁移到数学中直线的斜率的过程，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．(2)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．3．情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．●重点难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．重难点突破：从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个刻画倾斜程度的量与斜率联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的计算公式，难点之一得以解决；然后以确定直线位置的几何要素为切入点，采用数形结合思想给出直线倾斜角的概念，并分析斜率同倾斜角的关系，从而化难为易，突破难点．(教师用书独具)●教学建议鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．●教学流程创设问题情境，引出问题：直线位置的倾斜程度如何刻画？⇒引导学生通过观察、思考，类比坡度给出斜率的计算方式．⇒通过引导学生回答所提问题理解倾斜角的概念及斜率与倾斜角的关系．⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化．⇒通过例2及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角同斜率的关系．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第38页)课标解读1.理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)直线的斜率【问题导思】如图，楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画．1．平面直角坐标系中，过点P (1,1)，Q (3,3)的直线，其倾斜程度如何刻画？ 【提示】 其倾斜程度如图所示，可用3－13－1＝1来刻画．2．对于平面直角坐标系中，过点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的倾斜程度如何刻画？【提示】 可用y 2－y 1x 2－x 1来刻画． 已知两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，如果x 1≠x 2，那么直线PQ 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，如果x 1＝x 2，那么直线PQ 的斜率不存在．直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.倾斜角α的范围为0°≤α<180°.直线的斜率与倾斜角的关系【问题导思】观察下图中的三条直线l 1、l 2和l 3，回答下列问题．1．直线l 1的斜率k 1与其倾斜角α1间存在怎样的等量关系？ 【提示】 k 1＝tan α1 2．直线l 3的斜率存在吗？ 【提示】 不存在．3．直线的斜率为正时，其倾斜角范围如何？直线的斜率为负时呢？【提示】 当直线的斜率为正时，其倾斜角α的范围为(0°＜α＜90°)；当直线的斜率为负时，其倾斜角α的范围为(90°＜α＜180°)．1．从关系式上看：若直线l 的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l 的斜率k ＝tan_α. 2．从几何图形上看 直线 情形α的0°0°<α<90°90°90°<α<180°大小k 的大小k ＝tan_α不存在k ＝tan_α＝－tan(180°－α)k 的范围0 k >0 不存在k <0(见学生用书第39页)求直线的斜率经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)A (－1,0)，B (0，－2)； (2)A (－3，2)，B (2，－3)； (3)A (a ，a ＋b )，B (c ，b ＋c )； (4)A (2，－1)，B (m ，－2)． 【思路探究】 当x 1≠x 2时，利用y 1－y 2x 1－x 2求解直线的斜率，否则斜率不存在． 【自主解答】 (1)∵－1≠0， ∴斜率存在，且k ＝－2－00－－1＝－2.(2)∵－3≠2， ∴斜率存在，且k ＝2－－3－3－2＝2＋3－2－3＝－1. (3)∵a ≠c (否则A ，B 两点重合为一点)， ∴斜率存在，且k ＝a ＋b －b ＋ca －c＝1.(4)当m ＝2时，斜率不存在．当m ≠2时，斜率k ＝－2－－1m －2＝12－m.1．本题(4)因m与2的关系不定而分m＝2和m≠2两种情况求解．2．注意事项：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．设A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．【解】依题意知直线AC的斜率存在且m≠－1，由k AC＝3k BC，得－m＋3－4 m－－1＝3×m－1－42－－1，∴m＝4.倾斜角与斜率的关系已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【思路探究】画图――→斜率公式斜率k的范围――→k＝tan α倾斜角α的范围【自主解答】如图所示，由题意可知k PA＝4－0－3－1＝－1，k PB＝2－03－1＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.1．本题在求解过程中应用了数形结合思想，求解的关键是分析边界点的斜率同其他点斜率间的关系．2．数形结合是解决数学问题的常用思想方法．当直线绕定点由与x 轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y 轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系，又可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围．已知直线AB 的斜率为－3，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．【解】 ∵k AB ＝－3，∴直线AB 的倾斜角是120°， ∴直线l 的倾斜角是60°，∴k l ＝tan 60°＝ 3.斜率公式的综合应用已知某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2，5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，求x 2，y 1的值．【思路探究】 直线l 的倾斜角α――→k ＝tan α直线l 的斜率――→三点共线kp 1p 2＝kp 2p 3――→解方程得x 2，y 1的值【自主解答】 由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.三点共线问题的求解策略 (1)从三点中任取两点，求其斜率．(2)若斜率存在且相等，则由两直线有公共点得到三点共线；若斜率都不存在，由两直线有公共点，也可得到三点共线．(2013·怀化检测)若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于________．【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k AC . ∴b －1－2－3＝11－18－3， 即b ＝－9.【答案】 －9(见学生用书第40页)因忽略斜率不存在的情况而致误求经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【错解】 由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】 在上述解题过程中遗漏了m ＝1的情况，当m ＝1时，斜率不存在． 【防范措施】 斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1的适用前提条件为x 1≠x 2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．【正解】 当m ＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k ＝3－2m －1＝1m －1.①当m >1时，k ＝1m －1>0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k ＝1m －1<0， 所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x 轴正方向的倾斜程度． 2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系，学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．3．运用两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)求直线斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1应注意的问题： (1)斜率公式与P 1，P 2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x 2－x 1，y 2－y 1中x 2与y 2对应，x 1与y 1对应)．(2)运用斜率公式的前提条件是“x 1≠x 2”，也就是直线不与x 轴垂直，而当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.(见学生用书第40页)1．直线l 的倾斜角α＝120°，则其斜率为________．【解析】 直线的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－ 3. 【答案】 － 32．与x 轴垂直的直线，其倾斜角α＝________. 【解析】 与x 轴垂直的直线，其倾斜角α为90°. 【答案】 90°3．(2013·广州检测)若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是________． 【解析】 过点(1,2)，(4,2＋3)的斜率k ＝2＋3－24－1＝33，由tan α＝33可得α＝30°.【答案】 30°4．求证：A (1,5)、B (0,2)、C (2,8)三点共线．【解】 利用斜率公式计算出AB 和AC 两条直线的斜率．k AB ＝5－21－0＝3，k AC ＝8－52－1＝3. ∵k AB ＝k AC ，又过同一点A ，∴A 、B 、C 三点共线.(见学生用书第101页)一、填空题1．(2013·中山检测)已知A (1,1)，B (2,4)，则直线AB 的斜率为________． 【解析】 由题意可知，k AB ＝4－12－1＝3.【答案】 32．(2013·无锡检测)过点P (2,3)和Q (－1,6)的直线PQ 的倾斜角为________． 【解析】 ∵k PQ ＝6－3－1－2＝－1，设直线PQ 的倾斜角为α，由tan α＝－1，可知α＝135°.【答案】 135°3．(2013·泰兴检测)已知两点A (1，－1)，B (3,3)，点C (5，a )在直线AB 上，则a ＝________.【解析】 由题意可知k AB ＝k AC ，即3－－13－1＝a －－15－1，解得a ＝7.【答案】 74．下列说法中正确的是__________． ①倾斜角为0°的直线只有一条； ②一条直线的倾斜角是－30°；③平面直角坐标系内，每一条直线都有惟一的倾斜角；④直线倾斜角α的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一对应关系． 【解析】 ①与x 轴平行或重合的直线的倾斜角都为0°，这样的直线有无数条，①错误；②直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，②错误；③平面直角坐标系内，每一条直线都有惟一的倾斜角，③正确；④一条直线的倾斜角确定时，直线位置不能确定，直线倾斜角α集合{α|0°≤α<180°}与直线集合不能建立一一对应的关系，④错误．【答案】 ③图2－1－15．如图2－1－1，已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系是________．【解析】 由图可知，直线l 3比直线l 2的倾斜度大，故k 3>k 2>0，又k 1<0，所以k 3>k 2>k 1. 【答案】 k 3>k 2>k 16．过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线斜率不存在，则m 的值等于________． 【解析】 由题意可知，点P 和Q 的横坐标相同，即m ＝－2. 【答案】 －27．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是________．【解析】 设P (a ，b )为l 上任一点，经过平移后，点P 到达点Q (a －3，b ＋1)，此时直线PQ 与l 重合．故l 的斜率k ＝k PQ ＝b ＋1－b a －3－a ＝－13.【答案】 －138．已知A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，使直线AB 的斜率为2，则B 点坐标为________． 【解析】 设B (x ，y )，则2＝y －4x －3，若x ＝0，则y ＝－2；若y ＝0，则x ＝1.故B 为(0，－2)或(1,0)．【答案】(0，－2)或(1,0)二、解答题图2－1－29．如图2－1－2所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．【解】l1的斜率：k1＝tan α1＝tan 30°＝3 3.∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.10．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(－3,5)，(0,2)；(2)(4,4)，(4,5)；(3)(10,2)，(－10,2)．【解】(1)k＝2－50－－3＝－1<0，∴倾斜角是钝角．(2)倾斜角是90°，斜率不存在．(3)k＝2－2－10－10＝0，∴倾斜角是0°.11．若直线l的斜率为函数f(a)＝a2＋4a＋3(a∈R)的最小值，求直线l的倾斜角α.【解】f(a)＝a2＋4a＋3＝(a＋2)2－1，∴f(a)的最小值为－1，∴k l＝－1＝tan α.又0°≤α<180°，∴α＝135°.(教师用书独具)过点M (0，－3)的直线l 与以点A (3,0)，B (－4，1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【思路点拨】 画图斜率公式,倾斜角α的取值范围k ＝tan α,斜率k 的取值范围【规范解答】 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值，∵tan α1＝0－－33－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值， ∵tan α2＝1－－3－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．直线l 过点M ，斜率变化时，可以理解为直线l 绕定点M 旋转，使直线l 与线段AB 的公共点P 从端点A 运动到端点B ，直线l 的倾斜角就由最小值α1变到最大值α2.这是数形结合的思想方法．2．当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律．但倾斜角是锐角或钝角不确定时，逆时针旋转，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．已知直线l 过P (－2，－1)，且与以A (－4,2)、B (1,3)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．【解】 根据题中的条件可画出图形，如图所示： 又可得直线PA 的斜率k PA ＝－32，直线PB 的斜率k PB ＝43，结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为[43，＋∞)；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 位置时，它的倾斜角由90°增大到PA 的倾斜角．故斜率的变化范围是(－∞，－32]，综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－32]∪[43，＋∞)．2.1.2 直线的方程第1课时点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围．(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程．(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．2．过程与方法(1)在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程．(2)学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别．3．情感、态度与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线的点斜式方程和斜截式方程．难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用．重难点突破：以“直角坐标系内确定一条直线的几何要素”为切入点，先由学生自主导出“过某一定点的直线方程”，再通过组内分析、交流，找出所求方程的差异，明其原因，最终达成共识，得出直线的点斜式的形式及适用前提，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，在帮助学生突出重点化解难点的同时，引出斜截式方程，并通过多媒体演示“截距”与“距离”的异同，化解难点．(教师用书独具)●教学建议解析几何的实质是“用代数的知识来研究几何问题”，而直线方程恰恰体现了这种思想．由于直线的点斜式方程是推导其它直线方程的基础，在直线方程中占有重要地位．故本节课易采用“启发式”的教学方法，从学生原有的知识和能力出发，寻找过某一定点的直线方程的求解方法，鉴于学生在“数”和“形”之间转换的难度，教师可引导学生通过合作、交流等方式，对难点予以突破；可通过多媒体直观演示，让学生明确点斜式方程和斜截式方程的适用条件．对于斜截式方程，明确以下三点：(1)他是点斜式方程的特殊形式；(2)讲清“截距”的概念；(3)了解其与一次函数的关系，其他问题不必扩充太多．由于点斜式方程是学习其他方程的前提，故教师可适当的补充教学案例，让学生在训练中进一步感知解析法的思想．●教学流程创设问题情境，引出问题：过某一定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的斜率公式，找出求“过某一定点的直线方程”的方法．⇒通过引导学生回答所提问题理解直线的点斜式方程及斜截式方程的适用条件．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线的点斜式方程的求法．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜截式方程的求法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第41页)课标解读 1.掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)直线的点斜式方程【问题导思】1．若直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．2．经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线l如何表示？【提示】x＝x0.1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.直线的斜截式方程【问题导思】经过点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？【提示】y＝kx＋b.斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距.(见学生用书第41页)直线的点斜式方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点D(1,1)，与x轴垂直．【思路探究】(1)(2)先求斜率，再利用点斜式求解；(3)利用垂直于x轴的直线方程形式求解．【自主解答】(1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．直线经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，求直线的点斜式方程，并画出直线l.【解】直线经过点P(2，－3)，且斜率k＝tan 45°＝1，代入点斜式方程可得x－y －5＝0.画图时，根据两点确定一条直线，只需再找出直线l上的另一点即可．如点Q(5,0)在该直线上，则过P，Q两点的直线即为所求．如图所示．直线的斜截式方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.【思路探究】求直线的斜率k→求直线在y轴上的截距→得方程y＝kx＋b.【自主解答】 (1)根据题意得直线的斜截式方程是y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴直线的斜截式方程是y ＝3x ＋5. (3)∵k ＝tan 30°＝33， ∴直线的斜截式方程是y ＝33x .1．使用斜截式方程的前提是直线的斜率必须存在，在利用斜截式求解直线方程时，应对直线的斜率是否存在进行讨论．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．3．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．【解】 由题意可知，直线l 的斜率必存在，设l 的方程为y ＝kx －3，则l 与两坐标轴的交点分别为(3k，0)和(0，－3)．由它与两坐标轴围成的三角形的面积为6可知 2×|3k |×3＝6，解得k ＝±34.故直线l 的方程为y ＝±34x －3.(见学生用书第42页)因忽略点斜式方程的适用条件致误已知直线l 的倾斜角为α，且经过点(1，－2)，求直线l 的方程．【错解】 由直线l 的倾斜角为α，得该直线的斜率k ＝tan α，由点斜式得，直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)．【错因分析】 上述解法的错误在于忽略了倾斜角α＝90°时，tan α不存在的情形． 【防范措施】 在使用点斜式求直线方程时，应分“斜率存在”与“斜率不存在”两种情况分别考虑，以免丢解．故本题在求解时，应分α＝90°和α≠90°两类分别求直线l 的方程．【正解】 当α≠90°时，直线l 的斜率为tan α，由点斜式得，直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)．当α＝90°时，直线的斜率不存在，故过点(1，－2)的直线方程为x ＝1. 综上，可得直线l 的方程为y ＋2＝tan α(x －1)或x ＝1.1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的直线方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x 的一次函数．(见学生用书第42页)1．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1 x＝12．过点(0,1)，且斜率为－1的直线方程为________．【解析】由斜截式方程得，所求直线方程为y＝－x＋1.【答案】y＝－x＋13．直线方程为y＋2＝2x－2，则直线的斜率为________，在y轴上的截距为________．【解析】直线的方程可以化为y＝2x－4，故斜率为2，在y轴上的截距为－4.【答案】 2 －44．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A(2,5)，斜率为4；(2)过点B(－2，2)，倾斜角为30°；(3)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【解】(1)y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0.(2)由斜率k＝tan 30°＝33，得直线方程为y－2＝33(x＋2)，即33x－y＋63＋2＝0.(3)由直线y＝－3x＋1的斜率为－3可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所求直线的斜率k＝ 3.直线在y轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y＝3x－10，即3x－y－10＝0.(见学生用书第103页)一、填空题1．(2013·湖南师大附中检测)已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为2，则此直线方程为________．【解析】 由题意可知，该直线的倾斜角为45°，故其斜率k ＝tan 45°＝1.所以由斜截式得，所求方程为y ＝x ＋2.【答案】 y ＝x ＋22．(2013·广州检测)过点P (－2,0)，且斜率为3的直线的方程是________． 【解析】 设所求直线方程为y ＝3x ＋b ，由题意可知3×(－2)＋b ＝0. ∴b ＝6，故y ＝3x ＋6. 【答案】 y ＝3x ＋63．(2013·郑州检测)直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________． 【解析】 直线x ＋y ＋1＝0变成斜截式得y ＝－x －1，故该直线的斜率为－1，在y 轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.【答案】 135°，－1图2－1－34．如图2－1－3，直线y ＝ax －1a的图象如图所示，则a ＝________.【解析】 由图知，直线在y 轴上的截距为1，∴－1a＝1，∴a ＝－1.【答案】 －15．斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________．【解析】 ∵直线y ＝32x 的斜率为32，∴过点(－4,3)且斜率为32的直线方程为y －3＝32(x ＋4)．【答案】 y －3＝32(x ＋4)6．直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，则斜率k 和在y 轴上的截距b 满足的条件为________．【解析】 直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，如图所示，故直线的斜率k <0，在y 轴上的截距b <0.【答案】 k ＜0，b ＜07．下列关于方程y ＝k (x －2)的说法正确的是________．(填序号)①表示通过点(－2,0)的所有直线 ②表示通过点(2,0)的所有直线 ③表示通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ④通过(2,0)且除去x 轴的直线．【解析】 直线x ＝2也过(2,0)，但不能用y ＝k (x －2)表示． 【答案】 ③8．将直线l ：y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°得到直线l ′，则直线l ′的方程为________．【解析】 因为直线的倾斜角为120°，并且(2,0)是该直线与x 轴的交点，绕着该点顺时针旋转30°后，所得直线的倾斜角为120°－30°＝90°，此时所得直线恰好与x 轴垂直，方程为x ＝2.【答案】 x －2＝0 二、解答题9．求倾斜角为直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)经过点(－4,1)； (2)在y 轴上的截距为－10.【解】 由直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3可知此直线的倾斜角为120°，由题意知所求直线的倾斜角为60°，所求直线的斜率k ＝ 3.(1)直线过点(－4,1)，由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)，即为3x －y ＋1＋43＝0.(2)直线在y 轴上的截距为－10，由直线的斜截式方程得y ＝3x －10，即为3x －y －10＝0.10．(2013·临沂检测)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°，故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是23，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12·23·2＝233.11．已知△ABC 在第一象限中，A (1,1)、B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边、BC边所在直线的方程．【解】(1)∵A(1,1)，B(5,1)，∴直线AB的方程是y＝1.(2)由图可知，k AC＝tan 60°＝3，∴直线AC的方程是y－1＝3(x－1)，即3x－y－3＋1＝0.∵k BC＝tan(180°－45°)＝－1，∴直线BC的方程是y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.(教师用书独具)已知直线l经过点P(－1，－2)，在y轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．【思路点拨】解答本题可先写出点斜式方程，再化为斜截式方程，求出直线在y轴上的截距，最后解不等式求斜率的取值范围．也可设出直线l的斜截式方程，再将点P坐标代入找到斜率与在y轴上截距的关系，从而求出斜率的范围．【规范解答】法一设直线l的斜率为k，由于这条直线过点P(－1，－2)，所以，它的点斜式方程是y－(－2)＝k[x－(－1)]，可化为斜截式方程是y＝kx＋k－2，。

2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。

第２章平面解析几何初步值为１，求这两条直线的方程．思路探究:考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k.[解](1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为x=－１,x=0，它们在x轴上截距之差的绝对值为１,满足题意；（2)当直线的斜率存在时,设其斜率为ｋ,则两条直线的方程分别为y＝k（ｘ＋1），y＝kｘ+2.令y=0,分别得ｘ＝-1，x=-＼f(2,k).由题意得错误!＝1,即k＝１.则直线的方程为y=x+1，y=x＋2,即x－y＋1=0，x-y＋２=0。

ﻬ综上可知,所求的直线方程为x＝-１,x＝０,或ｘ-ｙ+1＝0，x-ｙ＋2＝0。

1．直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣,在使用时要根据题目条件灵活选择,尤其在选用四种特殊形式的方程时,注意其适用条件,必要时要对特殊情况进行讨论．2．两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系,其判定如下:1．求经过两直线2x－3ｙ－3=0和ｘ+y＋2=0的交点且与直线３x-y－1=0平行的直线l的方程.[解]法一:由方程组错误!得错误!未定义书签。

∵直线l和直线３x－y-１=0平行，∴直线l的斜率k=３，∴根据点斜式有y-错误!=３错误!未定义书签。

.即所求直线方程为15ｘ-5y+2=0。

法二：∵直线l过两直线2ｘ－3y-3＝０和x+y＋2＝0的交点,∴可设直线l的方程为:2x－３y－3＋λ（x＋ｙ+2)=0，即（λ＋2）x＋（λ－3)y＋２λ－３=0．∵直线l与直线3x－y-1=０平行，∴错误!未定义书签。

=错误!≠错误!未定义书签。

,解得λ=错误!.从而所求直线方程为15ｘ－５y＋2＝0.ﻬ1２２+(y-5）2=4。

(1)若直线l过点Ａ（4,0）,且被圆Ｃ1截得的弦长为2错误!未定义书签。

，求直线l的方程;(2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C１和圆C2相交,且直线l1被圆C１截得的弦长与直线ｌ２被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标．思路探究：(１)设出方程,求出弦心距,由点到直线的距离公式求k。