苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》word教案

直线与圆综合（定点、定值、最值问题）一、解答题1．已知圆()222:2(0)M x y r r +-=>与曲线()():23430C y x y --+=有三个不同的交点. （1）求圆M 的方程；（2）已知点Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.①若42AB =，求MQ 及直线MQ 的方程； ②求证：直线AB 恒过定点.2．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上．(1)若圆分别与x 轴、y 轴交于点A 、B(不同于原点O)，求证：的面积为定值； (2)设直线与圆交于不同的两点，且，求圆M 的方程；(3)设直线与(2)中所求圆交于点E 、F ， P 为直线x=5上的动点，直线PE ，PF 与圆的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线异侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标.3．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-. （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ,当2AOB π∠=时，求k 的值.（2）若1,2k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线,PC PD ，切点为,C D ，探究：直线CD 是否过定点；（3）若,EF GH 为圆22:2O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求四边形FGFH 的面积的最大值.4．已知平面直角坐标系xoy 内两个定点()1,0A 、()4,0B ,满足2PB PA =的点(),P x y 形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点,当⊿COD 的面积最大时,求直线l 的方程(O 为坐标原点); (3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点,点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN 交x 轴于点E 、连结QM 交y 轴于F .求证四边形MNEF 的面积为定值.5．已知圆22:9O x y +=，直线1l :x =6，圆O 与x 轴相交于点A B 、（如图），点P (-1,2)是圆O 内一点，点Q 为圆O 上任一点（异于点A B 、），直线A Q 、与1l 相交于点C ．（1）若过点P 的直线2l 与圆O 相交所得弦长等于，求直线2l 的方程； （2）设直线BQ BC 、的斜率分别为BQ BC k k 、，求证：BQ BC k k ⋅为定值.6．已知圆C 经过点()()0,2,2,0A B ，圆C 的圆心在圆222x y +=的内部，且直线3450x y ++=被圆C 所截得的弦长为3点P 为圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . （1）求圆C 的方程；（2）求证:AN BM 为定值；（3）当PA PB 取得最大值时，求MN ．7．如图，已知定圆22:(3)4C x y +-=，定直线:360m x y ++=，过(1,0)A -的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点. （Ⅰ）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （Ⅱ）当||23PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅲ）设t AM AN =，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由. 8．已知圆，相互垂直的两条直线都过点，（1）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线都相切，求圆的方程；（2）当时，记被圆所截得的弦长分别为，求：①的值；②的最大值.9．已知圆C ：()2244x y +-=，直线l ：()()31140m x m y ++--= （Ⅰ）求直线l 所过定点A 的坐标；（Ⅱ）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；（Ⅲ）已知点()3,4M -，在直线MC 上（C 为圆心），存在定点N （异于点M ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PM PN为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数。

第二章平面解析几何初步第三节空间直角坐标系第 16课时空间直角坐标系2.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;3.感受类比思想在探索新知识过程中的作用. 【课堂互动】自学评价 1.空间直角坐标系从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴, 这样就建立了一个空间直角坐标系 xyz O -. 点 O 叫做坐标原点, x 轴、 y 轴、 z 轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面, 分别称为 xOy 平面、 yOz 平面和 zOx 平面.2.空间右手直角坐标系的画法通常,将空间直角坐标系画在纸上时, x 轴与 y 轴、 x 轴与 z 轴均成 135 , 而 z 轴垂直于 y 轴. y 轴和 z 轴的单位长度相同, x 轴上的单位长度为 y 轴(或 z 轴的单位长度的一半 .3. 空间点的坐标表示对于空间任意一点 A , 作点 A 在三条坐标轴上的射影, 即经过点 A 作三个平面分别垂直于 x 轴与 y 轴与 z 轴,它们与 x 轴与 y 轴和 z 轴分别交与 R Q P , , . 点 R Q P , , 在相应数轴上的坐标依次为 x , y , z ,我们把有序实数对 (, , x y z 叫做点 A 的坐标 , 记为(, , A x y z . 【精典范例】例 1:在空间直角坐标系中 , 作出点 (5,4, 6 P . 分析:可按下列步骤作出点P , 541x y O P −−−−−−→−−−−−−→从原点出发沿轴正沿与轴平行的方向方向移动个单位向右移动个单位62z P P −−−−−−→沿与轴平行的方向向上移动个单位【解】所作图如下左图所示: 例 2:如上右图 , 已知长方体 D C B A ABCD ''''-的边长为 5, 8, 12='==A A AD AB . 以这个长方体的顶点 A 为坐标原点,射线 A A AD AB ', , 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标. 【解】因为 5, 8, 12='==A A AD AB , 点 A在坐标原点, 即 0, 0, 0(A , 且 A D B ', , 分别在 x 轴、 y 轴、 z 轴上,所以它们的坐标分别为 5, 0, 0(, 0, 8, 0(, 0, 0, 12(A D B '. 点 D B C '', , 分别在 xOy 平面、 zOx 平面和 yOz 平面内 , 坐标分别为 0, 8, 12(C , 5, 8, 0(, 5, 0, 12(D B ''. 点 C '在三条坐标轴上的射影分别是点 A D B ', , ,故点 C '的坐标为 5, 8, 12(. 例 3:(1在空间直角坐标系 xyz O -中,画出不共线的 3个点 R Q P , , ,使得这 3个点的坐标都满足3=z ,并画出图形; (2 写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件. 【解】 (1 取三个点 (0, 0, 3 , P (4, 0, 3 , Q (0, 4, 3 R . (2 R Q P , , 三点不共线, 可以确定一个平面, 又因为这三点在 xOy 平面的同侧,且到 xOy 平面的距离相等,所以平面 P QR 平行于 xOy 平面 , 而且平面 PQR 内的每一个点在 z 轴上的射影到原点的距离都等于 3, 即该平面上的点的坐标都满足 3=z .听课随笔追踪训练一1. 在空间直角坐标系中,画出下列各点: (0,0, 3, (1,2, 3 A B答案略2. 已知长方体 D C B A ABCD ''''-的边长为 6, 4, 7AB AD AA '===. 以这个长方体的顶点 B 为坐标原点, 射线 , , BA BC BB '分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标. 答案:(6,0, 0 A , (0,0, 0 B , (0,4, 0 C , (6,4, 0 D , (6,0, 7 A ', (0,0, 7 B ', (0,4, 7 C ', (6,4, 7 D '.3.写出坐标平面 yOz 内的点的坐标应满足的条件.答案:yOz 平面上的点的 x 坐标都为 0. 【选修延伸】一、对称点例 4: 求点 (2, 3, 1 A --关于 x O y 平面, zO x 平面及原点的对称点.【解】 (2,3, 1 A --在 xOy 平面上的射影为 (2,3, 0, C -在 zO x 平面上的射影为 (2, 0, 1 B -, ∴(2,3, 1 A --关于 xOy 平面的对称点为 (2,3,1, C -关于 z O x 平面及原点的对称点分别为 (2,3, 1 B '-、 (2, 3,1 A '-点评 :一般的,点 (, , x y z 关于 xOy 平面的对称点为 (, , x y z -,关于 yOz 平面的对称点为 (, , x y z -,关于 zO x 平面的对称点为 (, , x y z -, 关于原点的对称点 (, , x y z ---追踪训练二1.写出分别在坐标轴、坐标平面上的点 (, , A x y z 的坐标所满足的条件. 答案:若点 A 在 x 轴上,则 0y z ==; 若点 A 在 y 轴上,则 0x z ==; 若点 A 在 z 轴上,则0x y ==; 若点 A 在 xOy 平面上,则 0z =; 若点 A 在 yOz 平面上,则 0x =; 若点 A 在 zO x 平面上,则 0y =.。

第2章平面解析几何初步第1课时直线的斜率(1)教学过程一、问题情境1.情境:多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线.2.问题:在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x,y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢?两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线?二、数学建构(一)生成概念1.探究活动学生进行思考、联想、讨论.学生回答并演示(①过两点;②过一点及确定的方向)观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系.问题1我们熟悉的坡度是怎样确定的?利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的.问题2如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗?由学生讨论引出课题:直线的斜率.2.数学概念直线斜率的定义:已知两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为:k=(x1≠x2).(二)理解概念1.因为k==(x1≠x2),所以斜率公式与P,Q两点的顺序无关.2.如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.3.对于与x轴不垂直的直线PQ,斜率可看作:k===.*问题3对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关?为什么?设直线l不与x轴垂直.在直线l上有P(x1,y1),Q(x2,y2),其斜率为k=,在直线l上再取两点M(x3,y3),N(x4,y4),根据定义,直线l斜率应为k'=,≠0,因为与共线,所以=λ,即(x4-x3,y4-y3)=λ(x2-x1,y2-y1),x4-x3=λ(x2-x1),y4-y3=λ(y2-y1),k'===k.这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.(三)巩固概念问题4一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少?解答在直线上取两点(0, 1)与,根据斜率公式知,其斜率为-2.三、数学运用【例1】(教材P78例1)如图1,直线l1,l2,l3都经过点P(3, 2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2, -1),Q2(4,-2),Q3(-3, 2),试计算直线l1,l2,l3的斜率.(图1)解根据斜率的定义,直线l1的斜率为k1==,直线l2的斜率为k2==-4,直线l3的斜率为k3==0.变式1若点Q1的坐标变为(m,-1),(1)求直线l1的斜率.(2)若此时l1的斜率为2,求m的值.解(1)当m=3时,l1的斜率不存在;当m≠3时,直线l1的斜率为k1==.(2)若直线l1的斜率为2=,则m=.变式2在例1的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线l4,并比较这些直线相对于x轴的倾斜程度与斜率的关系.解从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1);当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2);当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(与y轴垂直)(l3);当直线的斜率不存在时,直线与x轴垂直(l4).【例2】(教材P78例2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1);(2)-.让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢.解(1)根据斜率=,斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后得点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图2所示.(图2)(图3)(2)∵-=,∴将点(3, 2)沿x轴方向向右平移5个单位,再沿y轴方向向下平移4个单位后得点(8,-2),因此经过点(8,-2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图3所示.画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点.【例3】已知三点A(a, 2),B(3, 7),C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.解因为3≠-2,所以直线BC的斜率存在,据题意可知直线AB与直线BC的斜率相等,即=,解得a=2或.利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在,要进行分类讨论.问题5两个点可以确定一条直线,一个点及直线的斜率也可以确定一条直线,斜率既能反映直线的倾斜程度,也能反映直线的方向,方向还可以用什么来描述?让学生分组讨论.通过讨论认为:选用直线的上方与x轴正方向所形成的角α能最自然、最简单的刻画直线的方向,从而引出倾斜角的概念.四、数学概念1.直线的倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,对于与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.巩固概念指出下列图中直线的倾斜角:(1)(2)(3)(4)(图4)问题6直线的倾斜角能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角?倾斜角的取值范围如何?引导学生观察,当直线从x轴位置旋转180°后又回到x轴位置的过程中,直线的倾斜角如何变化,从而得出结论.2.直线的倾斜角的范围是: 0°≤α<180°.五、课堂练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率.(1)(3, 2),(5, 4).(2)(-1, 2),(3, 0).(3)(-2,-2),(3,-2).(4)(-2, 6),(2,-2).2.根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线.(1)P(1, 2),k=;(2)P(2, 4),k=-2;(3)P(-1, 3),斜率不存在;(4)P(-2, 0),k=0.3.分别判断下列三点是否在同一条直线上.(1)(1, 0),(3, 3),(4, 5).(2)(0, 2),(3,-1),(-1, 3).解答1.(1) 1;(2)-;(3) 0;(4)-.2.略.3.(1)不在同一条直线上;(2)在同一条直线上.六、课堂小结1.在本节课中,你学到了哪些新的概念?2.怎样求出已知两点的直线的斜率?3.斜率与倾斜角在刻画直线倾斜程度方面有什么区别?(直线的倾斜角侧重于几何直观形象,而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向)第2课时直线的斜率(2)教学过程一、问题情境1.经过点原点(1, 0)与B(2,)两点的直线斜率为,倾斜角为60°.2.已知两点P(x1,y1),Q(x1,y1),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率与倾斜角有什么关系?二、数学建构(一)生成概念1.分直线的倾斜角为锐角(见图①)和直线的倾斜角为钝角(见图②)启发学生利用斜率的定义发现:k=tanα(注:tan(180°-α)=-tanα).①②(图1)2.用几何画板演示,引导学生观察,当直线绕一定点旋转时,斜率与倾斜角的变化关系.(二)理解概念(1)①当α≠90°时,k=tanα;②当α=90°时,k不存在;③当α=0°时,k=0;④当α为锐角时,k>0;⑤当α为钝角时,k<0.(2)当倾斜角α=90°时,斜率k不存在,这就是说任何直线都有倾斜角,但不是任何直线都有斜率,与x 轴垂直的直线就没有斜率.(图2)(三)巩固概念判断下列命题的真假:(1)若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;(2)若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等;(3)若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率不一定大;(4)若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角不一定大.答(1)假;(2)真;(3)真;(4)真.三、数学运用【例1】(1)直线l1,l2,l3如图2所示,则l1,l2,l3的斜率k1,k2,k3的大小关系为,倾斜角α1,α2,α3的大小关系为.(2)填写下表直线平行于x轴从左向右上升垂直于x轴从左向右下降倾斜角α的大小斜率k的范围斜率k的增减性可以利用几何画板动态地显示斜率与倾斜角的关系.解答(1)k1>k2>k3,α3>α1>α2.(2)填写下表直线平行于x轴从左向右上升垂直于x轴从左向右下降倾斜角α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°斜率k的范围0k>0不存在k<0斜率k的增减性k随α的增大而增大k随α的增大而增大这道题阐明倾斜角与斜率在变化过程中的关系,讲解中注意用从特殊到一般的方法.如果学过必修4课本,可以从正切函数的单调性上去分析.【例2】已知直线过点A(2m, 3),B(2,-1),根据下列条件,求实数m的值(或范围):(1)直线的倾斜角为135°.(2)直线的倾斜角为90°.(3)直线倾斜角为锐角.(4)直线倾斜角为钝角.此题让四个学生板演.解(1)斜率为k=tan135°==-1,解得m=-1.(2)因为AB⊥x轴,所以2m=2,解得m=1.(3)据题意,k=>0,解得m>1.(4)据题意,k=<0,解得m<1.【例3】已知直线l的斜率的取值范围为,求其倾斜角的取值范围.可以利用数形结合的思想(如图3)及例1的结果,分两段直接写出,也可利用正切函数的性质解题.解①当斜率k∈0, 1题后反思5处理建议1,+∞),倾斜角的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.此题利用数形结合方法较好,直线的旋转,引起直线的斜率、倾斜角的变化:在不同的两段上,都是随直线的逆时针旋转而增大的.四、课堂练习1.已知y轴上的点B与点A(-, 2)连线所成直线的倾斜角为60°,则点B的坐标是(0, 5).2.已知直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2垂直于l1,则l2的斜率为-.3.直线l的倾斜角的正弦值为,求直线l的斜率.4.已知A(4, 2),B(-8, 2),C(0,-2),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角?解答3.设直线l的倾斜角为α,则sinα=.当α为锐角时,cosα==,斜率为k=tanα==;当α为钝角时,cosα=-=-,斜率为k=tanα==-.综上所述,直线l的斜率为或-.4.直线AB的斜率为k AB==0,直线AB的倾斜角为0°;直线BC的斜率为k BC==-,直线BC的倾斜角是钝角;直线CA的斜率为k CA==1,直线CA的倾斜角是45°.五、课堂小结1.直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么?2.倾斜角为特殊角时与直线斜率的对应关系.倾斜角30°45°60°90°120°135°150°斜率3.为什么不用直线的倾斜角的正弦来作直线的斜率呢?解答:1.当倾斜角α≠90°时,斜率k=tanα,此时倾斜角与斜率一一对应;当倾斜角α=90°时,斜率不存在.2.倾斜角30°45°60°90°120°135°150°斜率1不存在--1-3.倾斜角的正弦与倾斜角不能一一对应,互补的两个倾斜角的正弦相等.第3课时直线的方程(1)教学过程一、问题情境问题1确定一条直线需要几个独立条件?请举例说明.归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率.问题2给出直线l上一点及斜率两个条件:经过点A(-1, 3),斜率为-2,(1)你能在直线l上再找一点,并写出它的坐标吗?(2)这条直线l上的任意一点P(x,y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢?二、数学建构(一)生成概念1.探究问题情境中的问题.2.直线l经过点P1(x1,y1),且斜率为k.设点P(x,y)是直线l上的任意一点,请建立x,y与k,x1,y1之间的关系.(图1)学生根据斜率公式,可以得到,当x≠x1时,k=,故y-y1=k(x-x1)①问题3过点P1(x1,y1),斜率是k的直线l上的点(包括点P1),其坐标都满足方程①吗?坐标满足方程①的点都在经过P1(x1,y1),斜率为k的直线l上吗?答过点P1(x1,y1),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程①,且坐标满足方程①的点都在经过P1(x1,y1),斜率为k的直线l上.3.直线的点斜式方程.我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.问题4直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用点斜式方程表示.问题5经过点P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程是什么?经过点P1(x1,y1)且垂直于y轴的直线方程又是什么?4.两种特殊的直线方程.经过点P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程是x=x1;经过点P1(x1,y1)且垂直于y轴的直线方程是(二)理解概念1.为什么方程=k不称为直线l的点斜式方程?因为直线l上的点P1(x1,y1)不满足方程=k.2.把直线方程y=kx+6k-5写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点?方程y=kx+6k-5可变形为y-(-5)=k,这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6,-5).三、数学运用【例1】一条直线经过点P1(-2, 3),斜率为2,求这条直线方程.解根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为y-3=2(x+2)即2x-y+7=0.【例2】直线l斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),求直线l的方程.解根据点斜式方程形式,直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b.数学概念(1)直线l与x轴交点(a, 0),与y轴交点(0,b),称a为直线l在x轴上的截距,称b为直线l在y轴上的截距(截距可以大于．．．．．．0．,．也可以等于或小于．．．．．．．．0．).(一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要)(2)方程y=kx+b由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定,叫做直线的斜截式方程.问题6你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b?一次函数中k和b的几何意义是什么?一次函数y=kx+b中,常数k是直线的斜率,常数b为直线在y轴上的截距.问题7直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用斜截式方程表示.【例3】在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征?(1)y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2.(2)y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=2x-4.解(1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.(2)图略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线.画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程形式上的联系(相同点).【例4】(1)求直线y=-(x-2)的倾斜角.(2)求直线y=-(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解(1)设直线的倾斜角为α,从方程可知,直线的斜率是-,所以tanα=-,又因为0°≤α<180°,所以直线y=-(x-2)的倾斜角为120°.(2)所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为x=2.方程为y=k(x+a)+b的直线的斜率为k,第(2)题注意直线的旋转的方向.*【例5】已知直线l经过点P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,求直线l的点斜式方程.引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如何把“面积为8”用上,能否转化为关于斜率k的方程,用点斜式方程要注意哪些呢?解根据题意,直线l不垂直于x轴,其斜率存在且为负数,故可设直线l的方程为y-1=k(x-4), (k<0),在方程中令y=0得x=4-,令x=0得y=1-4k,故直线l与两坐标轴交于点与(0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为S=(1-4k)=8,解得k=-,故直线l的点斜式方程为y-1=-(x-4).利用点斜式或斜截式设直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论,此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,还要注意取舍.四、课堂练习1.经过点(3,-1),斜率为3的直线的点斜式方程为y+1=3(x-3).2.经过点(2, 2),斜率为的直线的点斜式方程为y-2=(x-2).3.斜率为-3,在y轴上的截距为-4的直线的斜截式方程为y=-3x-4.4.斜率为,在x轴上的截距为6的直线的方程为y=(x-6).5.直线x=m(y+1)的图象恒过定点(0,-1).五、课堂小结1.本节课我们学了哪些知识?2.直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?3.求一条直线的方程,要知道多少个条件?4.如何根据直线方程求出直线的斜率及y轴上的截距?第4课时直线的方程(2)教学过程一、问题情境1.情境:能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(学生活动):(1)直线经过点(1, 2),.(2)直线经过点(1, 2),(-1, 2).(3)直线经过点(0, 2),(1, 0).(4)直线经过点(x1,y1),(x2,y2),其中x1≠x2.2.问题:如果已知直线经过的两个点,或已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,如何求直线方程?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生研究上面的问题.根据直线的点斜式方程,经过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2)直线l的方程为:y-y1=(x-x1).2.直线的两点式方程.若x1≠x2,y1≠y2,经过两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)的直线l的方程为=,我们把方程=叫做直线的两点式方程.(二)理解概念1.方程=的左右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形?答左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点(x1,y1)的一条直线.2.方程=和方程=表示同一图形吗?前者表示经过两定点(x1,x2),(x2,y2)但除去点(x1,y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1,x2), (x2,y2)完整的一条直线.所以才把后者称为两点式方程.3.若两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2,此时直线P1P2方程能否用两点式方程表示?如果不能,应该如何表示?这说明了什么?答因为有分母为0,所以不能用两点式方程表示,若x1=x2,直线P1P2方程为x=x1,若y1=y2,直线P1P2方程为y=y1,这说明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(三)巩固概念已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.①A(3, 1),B(2,-3);②A(2, 1),B(0,-3);③A(0, 5),B(4, 0).解答①直线的两点式方程为:=;②直线的两点式方程为:=;③直线的两点式方程为:=.三、数学运用【例1】(教材P84例1)已知直线l经过两点A(a, 0),B(0,b),其中ab≠0,求直线l的方程(如图1).(图1)解根据两点式方程形式,直线l的方程为=,即+=1.数学概念直线的截距式方程及适用范围:我们把方程+=1叫做直线的截距式方程.因为ab≠0,所以截距式方程不能表示过原点的直线,因为纵、横截距必须存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线.【例2】(教材P84例2)已知三角形的顶点是A(-5, 0),B(3,-3),C(0, 2)(图2),试求这个(图2)三角形三边所在直线的方程.解根据两点式方程,直线AB的方程为=,即3x+8y+15=0;直线BC的方程为=,即5x+3y-6=0;根据截距式方程,直线CA的方程为+=1,即2x-5y+10=0.用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件是否满足.【例3】求过点(3,-4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.在做此题之前,画一条通过原点的直线,问问学生:直线在x,y轴上的截距是什么?相等吗?横截距是纵截距的几倍?根据以往经验,采取先错后纠正的方法不理想,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”非常重要.解①当截距不为0时,设所求直线的方程为+=1,将坐标(3,-4)代入这个方程得+=1解得a=-1,此时所求直线的方程为+=1;②当截距为0时,直线过原点(0, 0),根据两点式方程,此时所求直线的方程为=,即y=-x.综上,所求直线的方程为x+y+1=0或y=-x.要准确理解截距的概念,直线过原点时,它在x,y轴上截距都为0,当然相等,当直线斜率为1且不过原点时,截距互为相反数,当然不等.【例4】求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b的直线方程.先引导学生分析,此题会有几解?解①当a=0时,b=0,此时直线方程为y=-x;②当a≠0时,b≠0,根据截距式方程,此时直线方程为+=1,把P(2,-1)代入方程得+=1,解得b=-,此时a=-1.综上,所求直线方程为x+3y+1=0或y=-x.当截距不能确定是否为0时,使用截距式方程,要注意分类讨论.四、课堂练习1.过两点(2, 2),(-1, 3)的直线的两点式方程为=.2.过两点(0, 3),(-1, 0)的直线的截距式方程为-x+=1.3.已知两点A(5, 1),B(10, 11).(1)求出直线AB的方程.(2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.解(1)根据两点式方程,直线AB的方程为=,即2x-y-9=0.(2)因为点C(-2,a)在直线AB上,所以2×(-2)-a-9=0,因此实数a的值为-13.4.(1)如果两条直线有相同的斜率,但在x轴上的截距不同,那么它们在y轴上的截距可能相同吗?(2)如果两条直线在y轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在x轴上的截距可能相同吗?解答(1)假设它们在y轴上的截距也相同.则它们的方程都可写成y=kx+b,而这只表示一条直线,与前提矛盾,所以假设不成立.因此它们在y轴上的截距不相同.(2)它们在x轴上的截距可能相同,如:直线y=2x与直线y=x.五、课堂小结1.任何一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗?2.什么样的直线不能用两点式、截距式方程?第5课时直线的方程(3)教学过程一、问题情境问题1直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x,y的什么方程?问题2关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)是否一定表示一条直线?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生研究上面的问题.(1)直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于x,y的二元一次方程.(2)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)是否一定表示一条直线呢?这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1这五种形式之一.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-,它表示斜率-,在y轴上的截距为-的直线.(2)当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-,它表示垂直于x轴的直线.综上:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线.问题3平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示呢?平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与x轴垂直的直线,第二类是与x轴不垂直的直线.与x轴垂直的直线的方程为x=x1,可化为x+0·y-x1=0,(1与0不全为0)与x轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而y=kx+b可化为kx-y+b=0,(k与-1不全为0)所以平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示.2.数学概念直线的一般式方程方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)叫做直线的一般式方程.(二)理解概念1.直线方程的一般式Ax+By+C=0中,A,B满足条件不全为0;当A=0,B≠0时,方程表示垂直于y轴的直线;当B=0,A≠0时,方程表示垂直于x轴的直线.2.直线方程的一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线.3.直线方程的一般式Ax+By+C=0中,因为A,B不全为0,总可以两边同除以A,B之一,从而转化为只有两个参量的方程:mx+y+n=0或x+my+n=0.不与y轴垂直的直线方程可设为x=py+t.4.因为方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.(三)巩固概念1.把方程y-y1=k(x-x1)化为一般式为kx-y+y1-kx1=0.2.把方程+=1(ab≠0)化为一般式为bx+ay-ab=0.3.把方程=化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.三、数学运用【例1】(教材P86例1)求直线l:3x+5y-15=0的斜率及它在x轴、y轴上的截距,并作图.可以把例1、例2放在一起让学生板演.解直线l的方程可化为y=-x+3,也可化为+=1,直线的斜率为-,它在x轴、y轴上的截距分别为5和3.(图略)根据方程求斜率,可把方程化斜截式.【例2】(教材P86例2)设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:(1)直线l在x轴上的截距为-3.(2)直线l的斜率为1.解(1)据题意直线l过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线l的方程得-3-2m+6=0,解得m=.(2)据题意,直线l的斜率存在,所以m≠0,直线l的方程可化为y=-x+2-,所以-=1,解得m=-1.【例3】求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程.引导学生分析,求直线方程,差什么量?如何构造此量的方程,如何设出直线方程,设直线方程需要注意什么?解法一据题意可设所求直线的方程为y=x+m,(m≠0),在方程中令y=0得x=-m,直线与两坐标轴交于A与B(0,m)两点,△AOB的面积为|m|=6.解得m=3或m=-3.因此,所求直线的方程为y=x+3或y=x-3,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.解法二据题意可设所求直线的方程为+=1(ab≠0),此方程可化为y=-x+b,据题意可知解得或因此,所求直线的方程为+=1或+=1,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的要求较高.*【例4】已知直线l:+=1.(1)如果直线l的斜率为2,求m的值.(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思?“三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形面积会有最大值?解(1)直线l的方程可化为y=x+m,所以=2,解得m=4.(2)直线l与两坐标轴的交点为(2-m, 0),(0,m),据题意直线l与两坐标轴围成三角形面积为S=m(2-m)=-(m-1)2+,因为0<m<2,所以m=1时,S取到最大值,故所求的直线l的方程为+=1,即x+y-1=0.注意挖掘条件此题可变为“已知直线l与两坐标轴的正半轴相交,在两坐标轴上的截距之和为2,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.”这样解法就多了,可以设斜截式方程,利用基本不等式求解.四、课堂练习1.直线3x+4y=6的斜率为-,在y轴上截距为.2.直线4x-3y-12=0在x轴、y轴上的截距分别为3,-4.3.填写下表直线l:Ax+By+C= 0(A,B不全为0)与坐标轴的关系直线过原点直线l垂直于x轴直线l垂直于y轴直线l与两坐标轴都相交A,B,C满足的关系C=0B=0A=0AB≠04.过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为x-2y+4=0.5.过两点(3, 0)和(0,-1)的直线的一般式方程为x-3y-3=0.五、课堂小结1.到目前为止研究了直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化.2.学会根据条件选用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量A,B,C.第6课时两条直线的平行与垂直(1)教学过程一、问题情境问题1平面内两条不重合直线的位置关系有几种?如何判断这种关系?问题2初中学习过平面内两条直线的位置关系,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量)来判定两条直线的平行与垂直(几何量)呢?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生探究两直线平行的判定条件问题3直线有哪些代数量?直线的倾斜角、斜率、在x轴、y轴上的截距.问题4当l1∥l2时,它们的代数量满足什么关系?l1∥l2,首先想到平行线的判定方法:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,三角形中位线平行于第三边.在直线的代数量中,直线的倾斜角是同位角,所以得到:若l1∥l2,则它们的倾斜角相等,如果倾斜角不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到,它们的斜率相等;再来考察它们在x轴、y轴上的截距,如果倾斜角不是0°也不是直角,因为l1,l2不重合,所以,它们在x轴上的截距不等,在y轴上的截距也不等.于是l1∥l2时有如下表格:。

第2课时圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点圆的一般方程思考方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？★★答案★★对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．梳理1．圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ )2．二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程．( × ) 3．若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆，则E ≠0.( √ )类型一 圆的一般方程命题角度1 圆的一般方程的概念例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径．解 由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. 圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m .反思与感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，若D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1 (1)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为________．(2)点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积为________．★★答案★★ (1)(－2，－4) 5 (2)9π解析 (1)由圆的一般方程的形式知，a ＋2＝a 2，得a ＝2或－1. 当a ＝2时，方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意．当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－k2，－1， 由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k2＋1＋1＝0，得k ＝4，∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π.命题角度2 求圆的一般方程例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申探究若本例中将条件改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆C 的方程？ 解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52， ∴AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72，得⎩⎨⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫132，－132， r ＝⎝⎛⎭⎫132－22＋⎝⎛⎭⎫－132－22＝ 3702，∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －1322＋⎝⎛⎭⎫y ＋1322＝1852. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0，①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径长r ＝CP ＝(a －4)2＋(a ＋1)2.①由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入①整理得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5， ∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37. 类型二 圆的方程在实际生活中的应用例3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10.∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，将点A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251米．反思与感悟本类题一般是用解析法解决实际问题．解析法解决实际问题的步骤：建系、设点、列式、计算、总结．跟踪训练3 已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3 m ，高为3.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？解 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0)，将x ＝3代入得y ＝16－32＝7<9＝3<3.5， 即在离中心线3 m 处，隧道的高度低于货车的高度． 因此，该货车不能驶入这个隧道． 类型三 求动点的轨迹问题例4 已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．解 (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ⎪⎪MA ＝12MB . 由两点间的距离公式知，点M 适合的条件可表示为 (x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标为(x 1，y 1)． 由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以x 1＝2x －2，y 1＝2y .①由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以点M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 反思与感悟 求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x ，y )表示动点P 的坐标． (2)写出适合条件的点P 的集合M ＝{P |M (P )}． (3)用坐标表示条件M (P )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 在曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.1．圆2x 2＋2y 2＋6x －4y －3＝0的圆心坐标和半径分别为________． ★★答案★★ ⎝⎛⎭⎫－32，1，192解析 将圆的方程为化为x 2＋y 2＋3x －2y －32＝0，由圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，易知圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－32，1，半径为192. 2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是____________． ★★答案★★ ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 由x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆， 得D 2＋E 2－4F ＝1＋(－1)2－4m >0， 即4m <2，故m <12.3．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过点M 的最长弦所在的直线方程是________． ★★答案★★ x －y －3＝0解析 过点M 的最长弦应为过点M 的直径所在的直线．易得圆的圆心为(4,1)， 则所求直线的方程为y －10－1＝x －43－4，即x －y －3＝0.4．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________． ★★答案★★114解析 由题意知D 2＋E 2－4F 2＝4＋16－4m 2＝32，得m ＝114.5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是______________． ★★答案★★ (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设圆上任一点的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4.连线中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程．3．对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．一、填空题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为________．★★答案★★ 2解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2. 2．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是____________．★★答案★★ [1，＋∞)解析 由42＋(－2)2－4×5m ≤0，得m ≥1.3．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，且圆的面积为π，则圆心坐标为____________． ★★答案★★ (0，－1)解析 因为圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0的面积为π，所以圆的半径为1，而半径r ＝12k 2＋22－4k 2＝124－3k 2＝1， 所以k ＝0，此时圆心坐标为(0，－1)．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是____________．★★答案★★ 原点在圆外解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.★★答案★★ －2解析 由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心(－1，－a 2)， 则－1＋a 2＋2＝0，得a ＝－2. 6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________． ★★答案★★ 213解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1,0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫1，233 ， 则圆心到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 7．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋2y ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则D ＋F ＝________.★★答案★★ 0解析 方程化为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋(y ＋1)2＝D 24＋1－F . 由于圆与x 轴相切于原点，所以－D 2＝0， D 24＋1－F ＝1，解得D ＝0，F ＝0，故D ＋F ＝0. 8．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为____________．★★答案★★ (x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)解析 线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12AB ＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．9．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为________．★★答案★★ 2解析 ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)>0，∴m >1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.10．若方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为________．考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用★★答案★★ －2,4,4解析 由方程得圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a ，b 2，半径为r ＝ 4a 2＋b 2－4c 2.由已知，得－a ＝2，b 2＝2，4a 2＋b 2－4c 2＝2，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝4. 11．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．★★答案★★ (－∞，1)解析 由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4， 所以圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此得a －b ＜1.二、解答题12．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解 圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，所以－D 2<0，－E 2>0， 即D >0，E <0.所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4， 所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.13．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．考点 与圆有关的轨迹问题题点 求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题解 (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝⎛⎭⎫32，－12. 又k AB ＝－3，所以k m ＝13， 所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0得圆心C (－3，－2)， 则半径r ＝CA ＝(－3－1)2＋(－2－1)2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)．因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎨⎧ x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y . 又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25，即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25.整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 三、探究与拓展14．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为__________．★★答案★★ (2，＋∞)解析 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则曲线C 表示的是以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆．要使圆C 上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.15．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象，解得－17<t <1. ∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－17，1. (2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝ －7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝⎛⎭⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34，满足圆的定义．∴t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，34.。

2.1.2直线的方程第1课时点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图，直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？★★答案★★ 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0，则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？★★答案★★ 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0. 梳理知识点二直线的斜截式方程思考1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，直线l的方程是什么？★★答案★★将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b.思考2方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？★★答案★★y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．梳理1．对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝y－y0x－x0.(×)2．直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(√)3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(×)类型一直线的点斜式方程例1写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．反思与感悟(1)求直线的点斜式方程已知定点P(x0，y0)，若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k(x－x0)；若斜率k为0，则其方程为y－y0＝0；若斜率不存在，则其方程为x＝x0.(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．跟踪训练1(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝33x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．★★答案★★(1)x＝－3(2)y＋2＝3(x＋1)解析(1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，∴直线方程为x＝－3.(2)∵直线l2的方程为y＝33x，设其倾斜角为α，则tan α＝33，∴α＝30°，那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，则l1的点斜式方程为y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝3(x＋1)．类型二直线的斜截式方程例2(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________．(2)直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y 轴上的截距相等，则l的斜截式方程为______________．★★答案★★(1)y＝3x＋3或y＝3x－3(2)y＝－2x－2解析(1)∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝3x＋3或y＝3x－3.(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又直线l与l1的倾斜角相等，∴k l＝－2，由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴直线l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2 已知直线l 在y 轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l 的斜截式方程． (1)直线l 经过点M (m ，n )，N (n ，m )(m ≠n )； (2)直线l 与坐标轴围成等腰三角形．解 (1)由题意得直线l 的斜率为k ＝m －nn －m ＝－1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2. (2)因为直线l 在y 轴上的截距为－2， 所以l 与y 轴的交点为P (0，－2)， 而直线l 与坐标轴围成等腰三角形， 又是直角三角形，所以l 与x 轴的交点为Q (－2,0)或(2,0)． 由过两点的斜率公式得k ＝－1或1，所以直线l 的斜截式方程为y ＝－x －2或y ＝x －2. 类型三 直线方程的简单应用例3 求经过点A (－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程． 解 方法一 (点斜式)设直线方程为y －4＝k (x ＋3)(k ≠0)． 当x ＝0时，y ＝4＋3k ， 当y ＝0时，x ＝－4k－3，∴3k ＋4－4k －3＝12，即3k 2－11k －4＝0，∴k ＝4或k ＝－13.故直线方程为y －4＝4(x ＋3)或y －4＝－13(x ＋3)，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 方法二 (斜截式) 设直线方程为y ＝kx ＋b ， ∵直线经过点A (－3,4)， ∴3k －b ＋4＝0.①∵直线在两坐标轴上的截距和为12， ∴b ＋⎝⎛⎭⎫－bk ＝12.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝16或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝3.故直线方程为y ＝4x ＋16或y ＝－13x ＋3，即4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 反思与感悟 利用待定系数法求直线方程(1)已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率． (2)已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y 轴上的截距．跟踪训练3 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的直线方程．解 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.1．直线3x －y ＋m ＝0的倾斜角为________． ★★答案★★ 60°2．已知直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，且在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |＝________. ★★答案★★ 3解析 直线l 的方程为2x －5y ＋10＝0，令y ＝0，得a ＝－5，令x ＝0，得b ＝2，所以|a ＋b |＝|－5＋2|＝3.3．过点(1,0)且在y 轴上的截距为－12的直线方程是______________．★★答案★★ x －2y －1＝04．已知直线l 过点P (2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，则直线l 的方程为________． ★★答案★★ x －2y ＝0解析 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14，故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.5．已知直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3,3)，求直线l 的方程． 解 直线y ＝x ＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P (3,3)，所以直线l 的方程为x ＝3.1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x ＝x 1.2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b )点、斜率为k 的直线y －b ＝k (x －0)，即y ＝kx ＋b ，其特征是方程等号的一端只是一个y ，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.一、填空题1．若直线y＝1的倾斜角为α，则α＝________.★★答案★★0°2．若直线y＝ax－1的倾斜角是30°，则a＝________.★★答案★★3 33．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是_______．★★答案★★y－1＝2(x＋1)解析由题意知，直线的斜率为2，过点(－1,1)，故直线方程为y－1＝2(x＋1)．4．直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标为________．考点题点★★答案★★(2,3)解析直线方程改写为y－3＝k(x－2)，则过定点(2,3)．5．已知直线l经过点(－2,2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的方程为____________．★★答案★★2x－y＋6＝0解析由题意设直线l的方程为y＝kx＋6，将(－2,2)代入y＝kx＋6，得k＝2.所以直线l的方程为2x－y＋6＝0.6．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．★★答案★★ －2或1 解析 由题意可知a ≠0. 当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 7．直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 的图象可能是________．(填序号)★★答案★★ ③8．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． ★★答案★★ ⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32. 9．已知直线l 过点P (2，－3)，且与过点M (－1,2)，N (5,2)的直线垂直，则直线l 的方程为____________．★★答案★★ x ＝2解析 因为直线MN 的斜率k ＝2－25－(－1)＝0， 所以该直线平行于x 轴．又直线l 垂直于直线MN ，因此直线l 的倾斜角为90°，又直线l 过点P (2，－3)，所以直线l 的方程为x －2＝0，即x ＝2.10．直线y ＝bx －1a的图象如图所示，则a ＋b ＝________.★★答案★★ 2解析 由图象知，直线斜率为－1，在y 轴上截距为1，故a ＝b ＝－1，a ＋b ＝－2.11．已知直线y ＝12x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是________．★★答案★★ (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 令y ＝0，则x ＝－2k .令x ＝0，则y ＝k ，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12|k |·|－2k |＝k 2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k 2≥1，所以k 的取值范围是k ≥1或k ≤－1.12．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，则直线l 的斜截式方程为________________．★★答案★★ y ＝32x －35解析 由题意知，直线l 的斜率为32， 故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ， l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35， 所以直线l 的方程为y ＝32x －35. 二、解答题13．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边上的高所在的直线方程．解 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k AD ·k BC ＝－1，即2＋30－3·k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在的直线方程为y －0＝35(x ＋5)， 即y ＝35x ＋3. 三、探究与拓展14．设点A (－1,0)，B (1,0)，若直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． ★★答案★★ [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值． ∴b 的取值范围是[－2,2]．15．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求l ′的方程，使得：(1)l ′与l 平行，且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直，且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4.解 (1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34. ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′的方程为y ＝43x ＋b . 则l ′在y 轴上的截距为b ，l ′在x 轴上的截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·|－34b |＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463.。

1直线斜率的三种求法直线的斜率是用来衡量直线的倾斜程度的一个量，是确定直线方程的重要因素，还能为以后直线位置关系及直线与圆位置关系的进一步学习打好基础．一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD的∠ADC＝120°，求两条对角线AC与BD所在直线的斜率．分析由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tan θ.解∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ABC＝120°.又菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°. ∴∠DBx＝180°－∠DBA＝120°.∴k AC＝tan 30°＝33，k BD＝tan 120°＝－ 3.评注本题解答的关键是根据几何图形中直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率．二、利用两点斜率公式例2直线l沿y轴正方向平移3个单位，再沿x轴的负方向平移4个单位，恰好与原直线l重合，求直线l的斜率k.分析由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现．因此，本题可以采取在直线上取一点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率．解设P(x，y)是直线l上任意一点，按平移后，P点的坐标移动到Q(x－4，y＋3)．∵Q 点也在直线l 上， ∴k ＝(y ＋3)－y (x －4)－x＝－34.评注 ①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x ，y )沿x 轴正方向平移a 个单位，再沿y 轴正方向移动b 个单位，坐标由(x ，y )变为(x ＋a ，y ＋b )．②直线过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＝x 2，y 1≠y 2，则倾斜角等于90°，不能利用两点坐标的斜率公式，此时，斜率不存在． 三、利用待定系数法例3 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l 的斜率．分析 本题可以利用例2的解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解．除此之外，还可以考虑直线l 的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果． 解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为 y －1＝k (x ＋3)＋b ，即y ＝kx ＋3k ＋b ＋1.由条件，知y ＝kx ＋3k ＋b ＋1与y ＝kx ＋b 为同一条直线的方程． 比较系数，得b ＝3k ＋b ＋1，解得k ＝－13.评注 本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果.2 直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距． 错解 由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.剖析 忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．正解 当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在； 当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.评注 在直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，非常直观地表示了该直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .研究直线的斜率与在y 轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理．但要注意当y 的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论． 二、两点式中分式“缺陷”例2 已知直线l 过点A (1,2)，B (a,3)，求直线l 的方程． 错解 由两点式，得直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1.剖析 忽视了a ＝1，即直线与x 轴垂直的情况，若a ＝1，则y －23－2＝x －1a －1不成立．正解 当a ＝1时，直线l 的方程为x ＝1； 当a ≠1时，直线l 的方程为y －23－2＝x －1a －1. 综上所述，知直线l 的方程为x －(a －1)(y －2)－1＝0.评注 一般地，过P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点的直线方程，不能写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，而应写成(x 2－x 1)(y －y 1)－(y 2－y 1)(x －x 1)＝0. 三、截距式中截距“缺陷”例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程． 错解 设直线的方程为x a ＋y－a＝1.因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a ＝1.解得a ＝－2.故所求的直线方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.剖析 直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解． 正解 当直线的截距均不为0时，同错解； 当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k ＝2，直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0评注 事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m (m >0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况． 四、一般式中系数“缺陷”例4 如果直线(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0的斜率不存在，求m 的值． 错解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0. 解得m ＝3或m ＝1.所以当m ＝3或m ＝1时，直线的斜率不存在．剖析 由于方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，本身隐含着(A ，B 不全为0)这一条件．当m ＝1时，方程(m －1)x ＋(m 2－4m ＋3)y －(m －1)＝0即为0·x ＋0·y ＝0，它不表示直线，应舍去． 正解 因为直线的斜率不存在，所以m 2－4m ＋3＝0，且m －1≠0.解得m ＝3. 所以当m ＝3时，直线的斜率不存在．评注 方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线.3 突破两条直线的位置关系在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型．下面举例说明． 题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值．例1 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0.试求m 为何值时，l 1与l 2：(1)平行？(2)垂直？分析 (1)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0平行⇔－a b ＝－m n 且－c b ≠－dn ”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m 的值；(2)由“两直线ax ＋by ＋c ＝0与mx ＋ny ＋d ＝0垂直⇔(－a b )·(－mn )＝－1”即可求解．解 (1)若l 1∥l 2，则－1m ＝－m －23且－6m ≠－2m3.解得m ＝－1.所以当m ＝－1时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，则(－1m )·(－m －23)＝－1.解得m ＝12.所以当m ＝12时，l 1⊥l 2.评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点．利用此法只需把直线方程化为一般式即可． 题型二 有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交． 例2 若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求实数m 的取值范围．分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标．由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m 的取值范围．解 根据题意，由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，可得这两条直线的交点坐标为(2m ＋37，m －27)．因为交点在第四象限， 所以⎩⎨⎧2m ＋37>0，m －27<0.解得－32<m <2.所以实数m 的取值范围是(－32，2)．评注 本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力． 题型三 有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离．这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式是d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x ，y 的系数分别对应相等)． 例3 求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0的距离．分析 用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x ，y 的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离．解 把l 1：2x ＋3y －8＝0变形为l 1：4x ＋6y －16＝0. 利用公式，可得l 1与l 2的距离为d ＝|(－16)－(－1)|42＋62＝151326.4 细说两点间的距离公式已知两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则该两点之间的距离可表示为AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用．因此应熟练掌握公式并且灵活运用． 一、判断三角形的形状例1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1，－1)，B (－1,3)，C (3,0)．求证：△ABC 是直角三角形．分析 求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证． 证明 AB ＝(－1－1)2＋(3＋1)2＝25， 即AB ＝25，∴AB 2＝20， 同理AC 2＝5，BC 2＝25. ∵AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 是以顶点A 为直角顶点的直角三角形．评注 在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可． 二、求点的坐标例2 已知点A (－3,4)，B (2，3)，在x 轴上找一点P 使得P A ＝PB ，并求出P A 的值． 分析 由于点P 在x 轴上，可设P (x,0)，再利用条件P A ＝PB 即可解决． 解 设P (x,0)，则有P A ＝(x ＋3)2＋(0－4)2＝x 2＋6x ＋25， PB ＝(x －2)2＋(0－3)2＝x 2－4x ＋7. 由P A ＝PB ，可得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7， 解得x ＝－95，从而得P ⎝⎛⎭⎫－95，0，且P A ＝21095. 评注 应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法． 三、证明三点共线问题例3 已知A (1，－1)，B (3,3)，C (4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上．分析 要证A ，B ，C 三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明．而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证AC ＝AB ＋BC 即可，要确定AC ，AB ，BC 的长，只需利用两点间的距离公式即可．证明 AB ＝(3－1)2＋(3＋1)2＝22＋42＝25， BC ＝(4－3)2＋(5－3)2＝12＋22＝5， AC ＝(4－1)2＋(5＋1)2＝32＋62＝3 5. ∵AB ＋BC ＝35，AC ＝35，∴AB ＋BC ＝AC ，即A ，B ，C 三点共线．评注 在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题． 四、证明平面几何问题例4 如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，试用坐标法证明：AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.分析 要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算．在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，C (x 1，y 1)，则A (0,0)，B (x 1,0)，D (0，y 1)，AM ＝x 2＋y 2，BM ＝(x －x 1)2＋y 2，CM ＝(x －x 1)2＋(y －y 1)2，DM ＝x 2＋(y －y 1)2.∵AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， BM 2＋DM 2＝x 2＋y 2＋(x －x 1)2＋(y －y 1)2， ∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.即如果四边形ABCD 是长方形，则对任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2都成立． 评注 用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.5 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫做圆的一般方程．二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点： 一、二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆，截y 轴所得的弦长AB ＝2，求此圆的方程．解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上，∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0)． 作PQ ⊥AB 于Q ，连结AP ，在Rt △APQ 中，AQ ＝1， AP ＝r ，PQ ＝k ， ∴r ＝1＋k 2. 又r ＝|k ＋2k －1|12＋22，∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1， 整理得2k 2－3k －2＝0， 解得k ＝2或k ＝－12.当k ＝2时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝5， 故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5. 当k ＝－12时，圆的半径为r ＝k 2＋1＝52， 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54. 因此所求圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54.例2 已知△ABC 的各顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)，求其外接圆的方程． 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程． 解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A (－1,5)，B (－2，－2)，C (5,5)代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0－2D －2E ＋F ＋8＝05D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，∴其外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单． 二、二者的应用方面不同例3 若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y ＝33x (x ≥0)相切，求这个圆的方程． 分析 利用“半径为1的圆与y 轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．解 由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b ，则圆的方程为(x －1)2＋(y －b )2＝1， ∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切， ∴⎪⎪⎪⎪33－b ⎝⎛⎭⎫332＋1＝1，解得b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．6 直线与圆相交时弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长．解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0或⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝3.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(0－3)2＋(0－3)2＝2 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法． 二、利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长AB ＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长AB . 解 把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25， 所以其圆心为(3,1)，半径r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3×1＋1×2|12＋22＝5，所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝4 5. 三、利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长AB .解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(x －3)2＋y 2＝9，消去y ，整理，得5x 2－14x ＋4＝0.则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45. ∴AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452－4×45＝21455. 评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y (或x )转化为关于x (或y )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.7 圆与圆相交的三个应用圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数．一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1 已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．分析 求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB 的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求．解析 两圆方程作差，得x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝0评注 求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可．二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________．分析 两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB 的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题．解析 由平面几何知识，知AB 的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，－3)与(3,0)两点的直线的方程．可求得直线的方程为3x －y －9＝0.答案 3x －y －9＝0评注 通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系．三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3 圆A ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆B ：(x －2)2＋(y －2)2＝9，则圆A 和圆B 的公切线有________条．分析 判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数．解析 因为圆心距AB ＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，R ＝3，r ＝2，且R ＋r ＝3＋2＝5，R －r ＝3－2＝1，所以有R －r <AB <R ＋r ，即两圆相交．所以两圆的公切线有两条．答案 2评注 判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距．8 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．例1 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差为________．分析 利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差．解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0配方得(x －2)2＋(y －2)2＝18，即圆心为C (2,2)，半径r ＝32，则圆心到直线的距离d ＝|2＋2－14|12＋12＝52，所以圆上的点到直线的最大距离为d＋r＝82，最小距离为d－r＝22，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为82－22＝6 2.答案6 2评注一般地，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r(r<d)，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为d＋r和d－r.例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P是△ABC内切圆上的动点，试求点P 到△ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值．分析可以C点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理．解以点C为原点，使A、B分别位于x轴、y轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，则△ABC各顶点是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，内切圆半径r＝2S△ABCa＋b＋c＝AC·BCAC＋BC＋AB＝2.∴内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.设P(x，y)是圆上的动点，则S＝P A2＋PB2＋PC2＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－16x－12y＋100＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76＝3×4－4x＋76＝88－4x.∵点P在内切圆上，∴0≤x≤4，∴S max＝88，S min＝72.评注本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行.9空间点的对称问题解决此类问题可以类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．求对称点的问题经常借助“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的说法．如关于y轴的对称点坐标就是纵坐标不变，其余的两个变为原来的相反数；关于yOz平面的对称点，纵坐标、竖坐标都不变，横坐标变为原来的相反数．例(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是________．(2)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是________．(3)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标是________．解析(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的数不变，在y轴，z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的数不变，在z轴的数变为原来的相反数，所以对称点P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．答案(1)(－2，－1，－4)(2)(－2,1，－4)(3)(6，－3，－12)评注解决此类问题的关键是明确关于各坐标轴、各坐标平面对称的两点，其点的坐标的数的关系，可借助于图形，也可直接借助记忆口诀“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”．。