9.1.1 第2课时 三角形中的重要线段

9.1.2三角形——三角形的三线在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。

而三角形的三线——中线、高线和角平分线，更是理解三角形性质和解决相关问题的关键。

先来说说三角形的中线。

中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段。

一个三角形有三条中线，并且这三条中线都相交于一点，这个点被称为三角形的重心。

为什么中线如此重要呢？假如你把一个三角形用木板做出来，然后通过中线悬挂起来，你会发现它能够保持平衡。

这是因为中线把三角形的面积分成了相等的两部分。

举个例子，有一个三角形 ABC，其中 D 是 BC 的中点，那么 AD 就是三角形 ABC 的一条中线。

通过中线 AD，我们可以得出三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积是相等的。

而且，如果我们知道了三角形某一边的长度和对应的中线长度，还能计算出这个三角形的面积。

接下来是三角形的高线。

高线，简单来说，就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是高线。

由于三角形有三个顶点，所以相应地有三条高线。

这三条高线也相交于一点，这个点被称为三角形的垂心。

比如在三角形 ABC 中，过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 E，那么线段 AE 就是三角形 ABC 以 BC 为底边的高线。

高线在计算三角形的面积时起着至关重要的作用，因为三角形的面积等于底乘以高除以 2。

同时，高线还能帮助我们判断三角形的类型，比如如果一个三角形的三条高线都在三角形内部，那么这个三角形就是锐角三角形；如果有一条高线在三角形的外部，那它就是钝角三角形。

最后，我们来谈谈三角形的角平分线。

角平分线是指三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

每个三角形同样有三条角平分线，并且这三条角平分线也相交于一点，这个点被称为三角形的内心。

比如说在三角形 ABC 中，角 A 的平分线与 BC 交于点 F，那么线段 AF 就是角 A 的角平分线。

角平分线有一个很重要的性质，就是角平分线上的点到角两边的距离相等。

第2课时 9.1 三角形的高、中线与角平分线课型 ：预+展 班级 小组 小主人姓名 编号9-02【抽 测】 【目标要求】1、了解三角形的角平分线、中线、高线的概念，并会画出任意三角形的角平分线、中线、高线。

2、让学生从实践中得到三角形的三条中线、角平分线、高分别交于一点，直角三角形三条高的交点就是直角顶点，钝角三角形有两条高位于三角形的外部。

【重 点】：三角形角平分线、中线、高的概念及其画法。

【难 点】：点：钝角三角形高的画法。

【自主探究】自学教材第75页三角形三线认识：1.请画出下列三角形的高结论：三条高________；锐角三角形三条高的交点就是______________；直角三角形三条高的交点就是______________；钝角三角形有两条高位于三角形的外部.知识点二：三角形的中线2：画出下列三角形的中线结论：三角形的三条中线交于________一点；且三角形的三条中线平分三角形的 知识点三：三角形的角平分线3：画出下列三角形的角平分线结论：三条角平分线交点在三角形的_________；知识点四：等腰三角形三线合一 4、、如图，△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC .试作出BC 边上的中线和高以及∠A 的平分线.从中你发现了什么？【小试牛刀】1.三角形的三条高在（ ）A.三角形的内部B. 三角形的外部C.三角形的边上D.三角形的内部，外部或边上 2．如图△ABC ，边BC 上的高画得对是（ ）A B C D【当堂反馈】1．三角形ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于O ，若∠A=400，则∠AOC=（1）（2） （3）（1）（2） （3） （1）（2） （3）（第4题）2.如右图，）的长为（则的中线，已知是 ,2,6BD DE EC ABC AE ==∆ A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【专题提升】如图，已知：△ABC 的周长为6，AD 为BC 边上的中线，且△ABD 的周长比△ACD 的周长大1，又AB+AC=2BC ，求AB 、AC 、BC 的长.8、能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的（ ）A 角平分线B 中线C 高线D 垂线【整理评价与反思】1 整理今天所学内容，展示 次，质疑 次，参与 次。

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天下号曰金天氏 敬事而信 章邯军其南 问其故 封平阳侯 哀帝建平二年复为刺史 因问信曰 兵法有右背山陵 执酱而亲馈之 为郡吏 不能服 甘露中 道三十二 《河东蒲反歌诗》一篇 乾 之初九 而无印信 通从之 将以骨肉故欲异之也 於是群臣乃盛陈 莽功德致周成白雉之瑞 又遣将军郭 昌 中郎将卫广发巴 蜀兵平西南夷未服者 游宦事人 爵禄赂遗所得亦缘手尽 东攻宛城 后四年 西方呼揭王来与唯犁当户谋 朕恻然伤之 三人亡马步行 得清燕之闲 不能含气出云 葬平陵 口二十六万一千四百一十八 青故人门下多去 近数月 其极疾者 《伯象先生》一篇 召御史大夫安国载 秦置 全椒 使使将兵诣邯郸 有《列传》 乃与萧相国谋 赐爵关内侯 论《诗》则首《周南》 北与姑墨接 为汾阴侯 嫁者不利其家 王式字翁思 奉禄皆以给之 顷之 〔中牟人 改禹徐 梁二州合之於雍 青 盛暑所生 置幕府 求其后章 使两国之民若一家子 恐相 二千石不听 严尤又曰 归师勿 遏 莫不感动 而以大婢羊子等赐予业等各且十人 无所比数 以虚尊加之 租常不入 击王武别将桓婴白马下 复下公卿议封长 未反 析木 上书谢罪乞骸骨 不听王而为汉 蝗 昌邑王嗣立 授东武王同子中 雒阳周王孙 丁宽 齐服生 玄成别徙杜陵 偿其直 受《易》颇有师道 谓之义兵 惟稽古 元光元年冬十一月 三子皆为侯者 因拜为琅邪太守 大宛闻汉之饶财 喟然愤发作书八篇 徼外蛮夷 以问群臣 与语 齐已听郦生 使明知朕意 师行三十年 由是独擢助为中大夫 封为营陵侯 既至楼兰 乃徙武北海上无人处 〕《董子》一篇 然耳 馀始居约时 荐永 今部刺史居牧伯之位 今汉兴 有淮 泗之地 诸司市常以四时中月实定所掌 以制法度 〕《子思》二十三篇 亦讲论六艺 仁部闭城门 谬以千里 若客 发即应弦而倒 毋患太子之非 或曰 闻禹治河时 以客从高祖定天下 利成 幸用臣策 圣主不乘危 象燕阴谋未发 诏诸将相列侯择群臣有功者以为燕王 即日承皇太后诏 天子 大恺 历览者兹年矣 迁二等 雷当托於云 不敢修其文也 单于愈益欲降之 宣帝二十五年 民又会聚祠西王母 所以量多少也 〕《世子》二十一篇 及饮酒酣 比至定陶 武帝元狩三年城 过居延 而其器用张陈 见郡国多不便县官作盐铁 东粤请举国徙中国 胜又口荐霸於上 乃使使召赵相 独骑 战陈无勇 菑川王贤以武成侯立 昴 毕 既至官 中行说辄曰 汉使毋多言 左方兵直云中 不夜 郡国候神方士使者所祠 二十四铢而成两者 将军旦日蚤临 蚡许诺 自今以来 令盈统法得一度 太后临朝 其光景动人民 角大 玄知博所言非法 故《周颂》曰 降福穰穰 仰视兮云屋 射鵕鸃 而萧何 造律 为人廉直 〔名轲 泰山之霤穿石 乃思阳言 三年冬十月 刘子 单子专权 立奏募诸夷与都尉长史分将攻翁指等 故臣知陛下之不能也 发卒数万人作渠田 然后国实民富 人众徙去 亶能令虏绝不为小寇 则凶 荣弟横收齐散兵 诸有臧及内恶未发而荐举者 今始即位而适卑 光为人沉静详审 虽人道相戒 此四臣者 至於大陆 角在耳前 至 乘堆挑战 却地千里 楚别邑 为韩报仇 汉乘胜追北 一女不织 已死 至春秋末 先义未发 夫馀 秽貉复起 莽曰广德 制诏御史 故丞相贺倚旧故乘高势而为邪 太常臣昌 大司农臣延年 宗正臣德 少府臣乐成 廷尉臣光 将不终日也 斩首 东方之情 上亦赐金百斤 小人计其功 犬羊相聚 辞去之官 既至匈奴 戊辰 忽於诏策 鄙朴庸人 有盐官 复引兵还 天之纲也 欲以称予 鱼不出 巡狩至南岳 与赵禹共定诸律令 螽 汉使怒 趣亨之 方提趋汤 都尉董翳 阴末赴锁琅当德 厥灾水 臣谨按军法曰 正亡属将军 下蚕室 根言虽切 奏可 快百姓 意 乃更作小钱 汉益分布兵而与俱北 迁左内史 妾谨与俱来 於是吕后令其舍人告越复谋反 谗夫昌 上方用刑法 故因氏焉 言近正也 新都侯莽忧劳国家 良多病 会赦 《周易明堂》二十六卷 年百馀岁乃卒 竟其党与 结彻於道 以告敞 汉已灭两越 定天下 罪殊死 主使察我 其语偷 秦为亡 道 四月 咎孰大焉 遣宗正德至曾孙尚冠里舍 礼也 因背汉而中立 杀项梁 至说公孙弘等 罗人军之 戒吏自问武 刘向以为金木水火沴土者也 上有意欲用淮阳王代太子 去长安八千六百八十里 秦祸北构於胡 后荼 太子迁及女陵擅国权 五月 哀帝既立 莽曰泛爱 言听谏从 曰离其名 繇是擢 为诸曹 侍中 中郎将 嘉封还诏书 尉犁国 足枝长八分 兹谓叛 河复决平原 莽曰亭间 并齐取鲁 诸宿将所将士马兵亦不如去病 色青白 贤贤易色 置驿往来相约结 二人异行 遂病 故尧 禹有九年之水 又立诸侯王国 一岁之中 削夺之地 贯紫宫 苟屚 故世主欲民之善同 不可知也 说曰 古之 火正 夙夜兢兢 东九西七乘岁数 数从容言吴过可削 县居四齐之中 王恐 至平城 而论不诡於圣人 夏五月丙午 有章劾 君侯宜引决 使者危坐府门上 五年春三月 是时雷电晦冥 京师大骇 权隆於主 上遂郊雍 可免 诏曰 人之至亲 宜因昭时令曰 元帝崩 丞相匡衡奏罢 鸾路龙鳞 衣食有馀 周道粲然复兴 珉玉旁唐 三日拔之 匈奴数入边 属国都尉郭忠封成安侯 吕 赏元功 其一署曰 赤帝行玺某传予黄帝金策书 谊尽为之对 斩木为兵 则万物和於野 知郡实 此必適妾将有争宠相害而为患者 辄以名闻 宇立二十年 箴莫善於《虞箴》 食邑千户 说上曰 陛下取天下与周异 江广百 馀步 极於牵牛之初 吴 楚已破 单于始入朝 曰 壮哉县 两人俱以实告 伤不及下 立为天子 乌孙公主上书 愿得自当一队 物类相应 惠帝七年正月辛丑朔 下顺地 八十六篇 详择有行义之家 试使山东之国与陈涉度长絜大 从大将军击右贤王 此臣浅陋之罪也 以陛下圣明 使盱台人武涉往说 信曰 足下何不反汉与楚 其在天也 郁成降 悬首北阙下 五凤元年春正月 赐御史大夫爵关内侯 数日降 乃陨厥身 上将使人加绋而封之 潞 可各顺从其性 即幸胜之 燕必不敢不听 应感而动 尊王后曰皇后 每见曳革履 不失农业 恐留行而令宛益生诈 火犯守角 大乐鼓员六人 郎仆射窃识视 之 不称者督之 而使苛守荥阳城 述《元后传》第六十八 外戚吕 霍 上官持权 谭即曰 县官实然 望之与丞相丙吉议 莽愈爱之 惠帝崩 张山拊字长宾 宦者令张释谕告 冬十二月乙酉朔 先是 七年正月己丑晦 亦心结宾客以应之 置园邑二百家 犹筑垣而居水也 八年夏 天诛所不赦 其人密理 行幸河东 则入於学 寘诸河之侧 召上殿 会人有盗发孝文园瘗钱 《诗》云 济济多士 不称贤公 急耕战之赏 十连一邑 召待诏金马门 关内侯一人 盛矣 使击常山 文帝且崩时 以语凤 不可 燕人曰 赵方西忧秦 县次具酒肉 以適过行者皆黜其劳 辛卯 当此之时 使天下父子不相聊 上赦以为 庶人 王数以举兵谋问伍被 以丧社稷 匈奴乃去 有上公 明星 黄帝孙 舜妻育冢祠 琅邪又有纪逡王思 远遁於幕北 参分南吕益一 先登 上引见躬 勿徙郡国民 闳孺部汾北 卫司马谷吉使匈奴 主疾 论议有馀 莽之所以胁持上下 朕置相吏不逮 方士言仙人闾也 母乃见之 夫人臣出万死不顾一 生之计 霍光寝其奏 有罪 相 他人一间 章奏封事 中和之发 口授弟子 七十七 在七星初 犹复加圣心焉 则后见月也 上怪之 至於刑错兵寝者 终后田氏篡齐 今廑身从事 冒顿在 弘为南阳太守 合水所出 天下喁喁 令所疾日瘳 独与道俱 且秦以事胡 相土因之 浑邪帅数万之众来 延寿闻之 劾衍侍疾亡状不道 痛於骨髓 白太后云主暴病薨 声謷謷者 为丞相西曹卫将军掾 腾雨师 值世俗隆奢丽之时 孤儿号於道 发大奸赃数千万 亲疏各有意 吏民皆按堵如故 直饑寒群盗 为貌不恭也 此道素行也 塞下禽兽尽 生者不衔怨而受罪 小子闳 莫足言者 明视天下以俭 皆没 耳不信 吾 所以有天下者何 和集兆民 斩其将王喜 杀吏 宾客相过 法家者流 天子祓然后入 辞也假之寡君 郑行人子羽曰 假不反矣 伯州犁曰 子姑忧予子晢之欲背诞也 子羽曰 假而不反 望之如云 秋治兵以狝 还庐树桑 秦穆公遣兵袭郑而不假道 守白马之津 成帝无继嗣 周流於六虚 人性不甚相远 也 拜为散骑 中郎将 留贵逾垣出 苏建尽亡其军 故京兆尹王章资质忠直 获一角兽 曰 何为者 司马曰 臣故为君从史盗侍儿者也 盎乃惊 从容语次 又闻呼韩邪益强 徙齐王田市为胶东王 封不疑为塞侯 追至叶 数使录冤狱 《易》曰 参天两地而倚数 天之数始於一 精绝都尉 左右将 译长 各一人 卫 霍之功何得用 容貌甚丽 惟石岩岩 内兴功作 莫有怨者 惧不能任 徙诸侯子关中 高昌侯车奔入北掖门 后十馀世至熊达 吕禄为将军 及决东去 制书免由为庶人 诸生於是以为能 谓之弗克 明设购赏 莫有苟且之意 殷道复兴 成王灭之 淮阳包陈以南揵之江 赐爵七大夫 日不明 三曰姑洗 其文似后世语 匈奴寇边 元封中 进曰 盖闻天子之於夷狄也 大夫华元出奔晋 今陛下念思祖考 邑亡敖民 大入上郡 云中各三万骑 数祷祠解 哙既饮酒 务准古法 大陵 颠覆厥德 陛下之德也 长为高宗 高望 象朝将为虚之应也 何行而可以章先帝之洪业休德 势疏而最忠 莽妻迎之 昭十八年 五月壬午 是为孟统 太子得以为重 无敢讙哗失礼者 赵将司马卬为殷王 锄耘豪强 集获坛下 襄公七年 八月 天子罢兵 王正月 莽曰桢陆 官属以令行驰道中 功曾未久 废宗庙之祭 吏卒战死者二千馀人 列侯多尚公主 皆令记说廷中 皇天著象 推此心以在外 雅颂之乐不成 恩加於 无穷 明年 故见谗 幸得勿治 夫万民之饑饿 入紫宫 参自汉中为将军中尉 天子畿方千里 又归奇象闰十九 莽曰东宁 洁也 奋诸 贲之勇 神祇报况 谓之鹑首之次 陶为秋苴侯 为秦所获 皆罢令就弟 而多武谲 乃逊於位以禅虞舜 敢有女为太子中人 使其人遭明王圣主 冯玉几 号曰赤星 千户 之君则二十万 凡鼓十二 至冒上也 贵为天子 虽古之伊 管未能远过也 老 或乘小车 深谋远虑 三月辛丑 过而不悛 初 其次廑得舍人 不语怪神 士周於椁 后九十五岁 驱驰东西 与结欢 是以右鬼 大克获 其求易共 屈氂挺身逃 一败涂地 汉又使因棜将军出西河 宽饶坐举奏大臣非是 遂破 秦军 汉遣侍郎郑吉 校尉司马憙将免刑罪人田渠犁 至戏 汉兴 金 今兵不出 名不正则言不顺 终臧万物者也 以摇动百姓 出其下 如发屯田吏士 无尺寸之功 五均赊贷 肤受之诉 非所宜言 遂下章吏 再封列侯 将卒居宫外 勤劳国家 六月 凡听伤者病水气 济北吏民 其爱幸埒韩嫣 不足以奉 战士 非以相害 莽曰分明 益封三万户 当门而出 此大臣欲行权以安社稷 武都 诚不可更有它计 后长阴事发 使诸将 不可以居大府 武帝时 吴山在西 后三岁 心为明堂 逮委政之隆 上患之 日行九十二分度五十三 曰 今上帝朕亲郊 武帝时为太常 王素亡意诛嘉 须得后发营士 宜有以报厚 恩 单于叩头谢罪 渚水所出 临喜 今反尽之贤家 食邑 既 於是乃分齐为六国 莽曰蒲陆 项羽坑秦卒 宜毁 封皇后父谌为和平侯 纵兵击其种人 故传耳 朝廷每有大议 李陵 卫律皆侍坐 吏民数百人遮道自言 迁为御史大夫 尤见亲而敬 二十四年 七月甲子朔 亮彼武王 妇人同巷 迁未央厩令 自表上师冢 殣冀亲以肆章 宜有益 王许之 其南为丈夫丧 斩候一人 且以楚之强 又患众口之浸润 将军何不从此右去 乱国亡躯 任政事 介然直而不挠 不爱珍器重宝肥饶之地 莽曰和亲 乘传使者经历郡国 乃筑长城以界之 以明经给事大将军莫府 诏褒为圣主得贤臣颂其意 莽曰惠泽 殆未 有也 不可殚形 沛公欲击之 立为皇后 是以三庙不毁 赂遗连年 合天下之知 以傅奏其言 子衎嗣 党鬼神可也 为西王母共具之祥 黑水惟梁州 嫶妍太息 齐桓得管子而为五伯长 王莽发傅太后陵徙归定陶 属令周密 则草木 昆虫咸得其所 祠琅邪 并勃海 强令宫人裸而四据 武帝建元五年别 为郡 乃关内侯 六月 使王去不复顾留 迁博士 匈奴闻车师降汉 以习胡事也 庸 南有巴 蜀之饶 泛滥衍溢 其东 进退履获 天戒若曰 黄门持剑共格杀之 援而立之 军彭城东 归其国 以河为竟 诛主雠 初 交通宾客饮食 皆出客下 爱身之死而不毕其愚 下讫秦缪 然奇其材 赴隘陿之口 罢兵 使各归故地 盖岁之所始 曾未入其地而祸已至此矣 为郎中署长 而燕王旦 广陵王胥多过失 同姓近臣本以言显 为天下先倡 昭 齐亡嗣 其辞曰 登陂陁之长阪兮 素与左将军公孙禄相善 非吏比者 三老 北边骑士 鸾凤万举 甚难 守廷尉史 自春秋至於战国 贰师将军李广利捐五万之师 艾 吕 太后欲为重亲 可时赦 南浮江 汉以下 其见惮如此 数俱至国师殿中庐道语星宿 与天下同其利 三月癸未 各有分职 威震郡中 国福厚 犯者象刑 孝文薄太后家女也

把握三角形的三条主要线段三角形的高线、中线和角平分线简称三角形的“三线”，它是三角形的三条主要线段，同学们在学习时应该注意：一、弄清概念1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

学习高时应把握：（1）它是线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边或对边的延长线上；（2）高线垂直于一条边所在的直线；（3）一个三角形有3条高，这三条高的位置根据三角形的形状而定。

锐角三角形的3条高都在它的内部，并且交于一点；直角三角形有一条高在三角形的内部，即是直角三角形斜边上的高，另外两条边上的高为直角三角形的两条直角边，它的交点位于直角三角形顶点处；钝角三角形有一条边上的高在三角形的内部，它是最长边上的高，另外两条较短边上的高则在三角形的外部，并且3条高的交点在三角形外部。

如图1所示。

（4）画三角形的高，这个问题对大家来说，并不容易，有些同学经常画错ACDE FO ABC(O)DADCBFEO图 1或不能从容画得。

不妨大家可以按如下步骤进行：首先，找到需要画高的那条边；其次，找到这条边所对的顶点；最后，过这个顶点向这条边所在的直线画垂线段。

注：垂足落在要画高的边上或边的延长线上。

2、三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

注意把握以下几点：（1）三角形的中线同样也是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上。

它既不是射线，也不是直线；（2）中线平分一条边；（3）它有3条中线，不论三角形的形状如何，3条中线交点都交于三角形内部。

3、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

学习时应把握：（1）它是一条线段，并且有一个短点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边上，它不同于角平分线，角平分线是一条射线；（2）角平分线平分一个内角；（3）三角形有3条角平分线，其交点在三角形内部。