求数列通项公式之累加法
数列通项公式是指对于给定的数列，可以通过计算来得到数列中第n项的表达式。在数学中，有很多方法可以求解数列的通项公式，其中之一就是累加法。
首先，我们先来介绍一下数列及累加的概念。数列是按照一定规律排列的一串数，通常用$a_1,a_2,a_3,...$表示，其中$a_i$表示数列中的第i项。累加则是将一系列数进行求和的操作。
对于一个数列$a_1,a_2,a_3,...$，我们可以通过累加法求解其通项公式。具体步骤如下：
Step 1：观察数列的差分序列
首先，我们观察原数列的差分序列，即将连续两项之间的差值构成一个新的序列。通过观察原数列和其差分序列之间的规律，我们可以找到一种递推关系式，从而推导出原数列的通项公式。
Step 2：尝试构造递推关系式
基于观察的差分序列，我们可以尝试构造递推关系式。递推关系式是指通过已知的几项数值，来计算下一项的公式。
假设原数列的差分序列为$b_1,b_2,b_3,...$，我们可以假设$b_n$与前几项的关系为：
$b_n = c_1 \cdot b_{n-1} + c_2 \cdot b_{n-2} + ... + c_k
\cdot b_{n-k}$
其中，$c_1,c_2,...,c_k$为待确定的系数。 Step 3：确定递推关系式中的系数
为了确定递推关系式中的系数，我们需要利用原数列的前几项进行迭代计算。对于差分序列，我们可以根据已知的几项计算出下一项。然后，将计算出的差分序列代入递推关系式，从而确定$c_1,c_2,...,c_k$的值。
Step 4：求解初始条件
通过递推关系式，我们可以得到原数列的通项公式。然而，为了完整地表示数列的通项公式，我们还需要确定初始条件，即$a_1,a_2,...,a_k$的值。初始条件可以通过已知的数列前几项来确定。
Step 5：整理得到通项公式
将所得的递推关系式和初始条件整理，就可以得到数列的通项公式。
数列累加法教案
【教学目标】
1.了解数列累加法的定义和公式
2.掌握使用数列累加法求解问题的方法
3.提高学生运用数列累加法解题的能力
【教学重点】
掌握使用数列累加法求解问题的方法
【教学难点】
培养学生运用数列累加法解题的能力
【教学方法】
讲授、演示、练习、讨论
【教学内容】
一、知识点讲解
1. 数列累加概念
数列累加即为将数列中的元素相加。比如将1，2，3，4，5相加得到15，表示为Σn=1^5n=1+2+3+4+5=15。
2. 数列累加公式
数列累加一般用大写希腊字母Σ表示，后面跟着要累加的内容和求和范围，如下所示：
Σn=1^10n=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
Σ3n=3+6+9+12=30
Σ(n+1)2=22+32+42+52+62+72=140
Σn2=12+22+32+42+...+n2
这里（n+1）2表示(n+1)的平方，Σ（n+1）2则表示将（n+1）的平方求和。 3. 数列累加的性质
数列累加有一些常用的性质，如：
（1）交换律：若a、b是整数，那么Σi=a^bi=Σi=b^ai。
（2）结合律：若a、b、c是整数，那么Σi=a^b(i+b+c)=Σi=a^bi+Σi=b^ci+Σi=c^b(i+b+c)。
（3）常数倍规律：若k为任意常数，那么Σi=1^ki=k(1+2+3+...+k)=kΣi=1^k。
这些性质在使用数列累加公式求和时非常有用。
二、例题演示
在讲解完基础知识后，我们来看一个例子：有一个等差数列，首项为5，公差为2，求其前10项的和。
解题思路：
有一种简单的方法是将10项都列出来然后进行相加，但这样显然效率低下，不利于我们培养解题思维。
第6讲 数列求通项 （累加法）
一、必备秘籍
累加法（叠加法）
若数列na满足)()(*1Nnnfaann，则称数列na为“变差数列”，求变差数列na的通项时，利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121nnffffaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
21(1)aaf
32(2)aaf
43(3)aaf
1(1)nnaafn
将上述1n个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
2132431()()()()nnaaaaaaaa=(1)(2)(3)(1)ffffn
整理得：1naa=(1)(2)(3)(1)ffffn
二、例题讲解
1．（2021·重庆垫江县·垫江第五中学校高三月考）已知在数列na中，1113,22nnnaaan.
（1）求数列na的通项公式；
【答案】（1）21nna
【分析】
（1）当2n时利用累加法得到21nna，再检验1n时也成立，即可得解；
【详解】
解：（1）因为1122nnnaan，所以1122nnnaan
当2n时，3122121341222nnnaaaaaaaa
所以1121212nnaa，2n，所以21nna，2n，又当1n时13a，满足条件，所以21nna；
2．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））在数列na中，1111,1(1)2nnnaaann．
（1）设nnabn，求数列nb的通项公式；
【答案】（1）*21nnbnN
【分析】
（1）将已知条件变形为121nnnaann，由此可得12nnnbb，再采用累加法求解出nb的通项公式；
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数列求解通项的方法总结
方法一、公式法
当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。
1、等差数列通项公式： dnaan)1(1
2、等比数列通项公式：
例1、设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
变式1、已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
11nnqaa第 2 页 共 8 页
方法二、利用前n项和与通项的关系
已知数列{ a n}前n项和S n，求通项公式，利用
a n＝)1()2(11nSnSSnn
特别地，当n=1的值与S1的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。
例2、（1）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．求{an}的通项公式；
（2）Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式.（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．
变式2、（2015·四川）数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
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方法三、利用递推关系式与通项的关系
类型1、累加法 形如)(1nfaann
例3、（2014·全国卷）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.
