线代第六章习题解答

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第六章 线性空间 .设

M N , 证明：

M N M , M N N 。

1

证 任 取 M , 由 M N , 得 N , 所 以 M N , 即 证 M N M 。 又 因

M N M , 故 M N M 。再证第二式，任取 M 或 N , 但 M N , 因此无论

哪 一种情形，都有 N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。

2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) ， M (N L) ( M N ) (M L ) 。

证 x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形， 于是 x M N或 x M L.

所以 x (M N ) (M L) ，由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之，若

x (M N ) ( M L) ，则 x M N或 x M L. 在前一情形， x M , x N , 因此

x N L. 故 得 x M ( N L ), 在 后 一 情 形 ， 因 而 x M , x L, x N L ， 得

x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L),

于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。

若 x M （ N L），则 x M ， x N L 。

在前一情形 X x M N ， 且 X M L，因而 x （ M N）（ M L）。

在后一情形， x

N ,x 因而

x M

N ,且

X M ，即 X （ M N）（M L）所以

第6章

接下来的问题是如何求矩阵的特征值和特征向量？一个方案是从定义A*ai=λi*ai出发，直接寻找满足这样要求的λi 和ai，但这一般是不容易做到的，故还有必要去建立一种更为普遍的方法。

设A*ai=λi*ai＜＝＞（A-λi*E）*ai=0＜＝＞ 对λi来说，ai是齐次线性方程组（A-λi*E）*X=0的一个非零解（因为ai构成的向量组线性无关）＜＝＞ 方程组的系数行列式det（A-λi*E）=0由此可见，每一个特征值λi都是多项式det（A-λ*E）在指定数域（一般是实数域）上的根，我们称这个多项式为矩阵A的特征多项式，不难验证，它是一个λ的n次多项式。依据特征方程det（A-λ*E）=0，即可求出矩阵A的全部特征值。

对矩阵A的每个特征值λi，求齐次线性方程组（A-λi*E）*X=0的解，得到的全部非零解（一般可用基础解系表示）就是A的属于特征值λi的全部特征向量。由此可得到两点启示：对同一个特征值来说，特征向量不唯一；对同一特征值来说，特征向量的线性组合仍为特征向量。

相似的矩阵有相同的特征多项式和特征值，但有相同特征多项式的两个矩阵不一定相似。相似的矩阵有相同的秩，故一个可对角化矩阵的非零特征值的数目即为其秩。

在求出矩阵的全部特征值和全部特征向量以后，剩下的问题就是判断这些所有的特征向量中有没有n个是线性无关的？如果有，意味着矩阵可对角化，如果没有，则矩阵不可对角化。

对一个矩阵A来说，考虑到其n个特征值可能相同也可能不同，故最一般的情况应该是把A的这n个特征值分为m组，分别为λ1, λ2, …, λm，每组的个数分别为j1，j2，…，jm（注意有j1+j2+…+jm=n），对每个λi（i=1，2，…，m），齐次线性方程组（A-λi*E）*X=0的基础解系解向量的个数分别为r1，r2，…，rm，这些基础解系各自当然都是A的线性无关的特征向量，自然会进一步联想，把这m组共r1+r2+…+rm个向量合在一起情况如何，是否仍线性无关？

1

第六章 线性空间练习题参考答案

一、填空题

0 0 0

1.已知V

a b c 0 a,b,c R 是 R1 2

3 3 的一个子空间，则维(V)

0 c b 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

3

V 的一组 基是 1 0 0 ,

1 0 0 , 0 1 0 .

0 0 0 0 1 0 0 1 0

在 P4 中, 若 1 (1, 2,0,1), 2 (1,1,1, 1), 3 (1, k, 1,1), 4 (0,1, k,1)线性无

关，则k的取值范围是k 3(以1, 2, 3, 4为行或者列构成的行列式不为零)

3•已知a是数域P中的一个固定的数，而W {(a,x1,L ,xn) xi P,i 1,2,L ,n}

是Pn+1的一个子空间，贝U a = 0 ，而维(W)=巴

4. 维数公式为 dimVi dimV2 dim(Vi V2) dim(Vi I V2).

5•设1, 2, 3是线性空间V的一组基， Xi 1 X2 2 X3 3，则由基1, 2, 3

0 0 1

到基2, 3, 1的过渡矩阵T = 1 0 0，而在基3, 2, 1下的坐标是

0 1 0

0 1 1

(X3,X2,X1)由基1, 2, 3到基2 3, 3 1, 1 2的过渡矩阵为T二10 1.

阵全体构成数域P上凹 卫维线性空间，数域P上n级对交矩阵全体构成数域

1 1 0

6 •数域P上n级对称矩阵全体构成数域 P上如 B维线性空间，数域P上 2

n级反对称矩阵全体构成数域P上晋维线性空间，数域P上n级上三角矩 2

2

P上n维线性空间，数域P上n级数量矩阵全体构成数域 P上_1_维线性空间.

二、判断题

1•设V Pn n，则W {A A Pnn,A 0}是V的子空间.

错•行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零， 因此W中矩阵关于矩阵

的加法运算不封闭，不能成为子空间.)

2. 已知V {(a bi,c di) a, b, c, d R}为R上的线性空间，且维(V)= 2.

机密★考试结束前

浙江省2008年初中毕业生学业考试（丽水市卷）

数学试题卷

考生须知：

1、全卷满分为150分，考试时间为120分钟．

2、答题前，请在答题卡上先填写姓名和准考证号，再用铅笔将准考证号和科目对应的括号或方框涂黑．

3、请在“答题卷Ⅱ”上填写座位号并在密封线内填写县（市、区）学校、姓名和准考证号．

4、本卷答案必须做在答题卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上，做在试卷上无效．答题时，允许使用计算器．

温馨提示：带着愉悦的心情，载着自信与细心，凭着沉着与冷静，迈向理想的彼岸！

试 卷 Ⅰ

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1. －2的绝对值是

A．－2 B．2 C．12 D．－12

2．右图是一个“众志成城，奉献爱心”的图标，图标中两圆的位置关系是

A．外离 B．相交

C．外切 D．内切

3．下列事件是必然事件的是

A．明天是晴天 B．打开电视，正在播放广告

C．两个负数的和是正数 D．三角形三个内角的和是180°

4．左边圆锥的主视图是

5．今年1月10日以来的低温雨雪冰冻，造成全国19个省（市、自治区）发生不同程度的灾害，直接经济损失已达到了537.9亿元，537.9亿元用科学记数法表示为

A．5.37910亿元 B．25.37910亿元 C．35.37910亿元 D．45.37910亿元

6．不等式组1024xx的解是

A．x＞1 B．x＜2 C．1＜x＜2 D．无解

7．在“我为震灾献爱心”的捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下：