线性代数第六章练习题
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第六章练习题
一、 填空题
1. 设110100100000110,011,010,020003013000003A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
, 在,,B C D 中, 与A 等价的有 ; 与A 相似的有 ;与A 合同的有 .
2. 二次型123113(,,)361139T f x x x X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,它的矩阵是 ,它是 定二次型.
3. 设112
3
32000000,000000a a A a B a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
, 则当C = 时, .T C AC B = 4. 参数a 的取值范围是 时,二次型
222123123121323(,,)23224f x x x x ax x x x x x x x =++-+-是正定的二次型.
二、计算与证明题
1. 设二次型123121323(,,),f x x x x x x x x x =+-
1) 写出二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =+-的矩阵;
2) 二次型123(,,)f x x x 是不是正定二次型?
3) 用非退化线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形, 并写出所用的线性替换.
2. 已知二次型2212313121323(,,)33484f x x x x x x x x x x x =++++,
(1) 写出二次型的矩阵A ;
(2)用正交线性替换X QY =, 化二次型123(,,)f x x x 为标准形;
(3) 求实对称矩阵B , 使得3
.A B =
3. 实二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩是2, 1)写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵表示;
2)求参数a 及二次型123(,,)f x x x 的矩阵特征值;
3)写出二次型123(,,)f x x x 的一个标准形.
4. 已知实二次型222123123(,,)()()()f x x x x x x x x x =-+-+-, 其中1231()3x x x x =
++, 1) 写出二次型123(,,)f x x x 的矩阵;
2)用正交线性替换X CY =化二次型123(,,)f x x x 为标准形.
5. 设A 是实对称矩阵, B 是正定矩阵, 求证: AB 的特征值全是实数.
6. 证明A 既是正定矩阵又是正交矩阵的充分必要条件为A 是单位矩阵.