一道无理函数值域求解方法纵横谈

＋
， ｎ
、 ／
下面用这一方法研究文［中的三个例子． １ 】
例 １ 求函数 ｙ ３ ／ ＝ 、
域．
＋ 、 ＿ 的值 ２／ ＿
解 设吼
（ 、丁 ） ， ０，／ 时
３） ，， ２
（
，
） ，
＋ ＋ Ｉ
２１２ 的域 、 值 ． ／ 一 ２ 解函可 为＝＇ 、 ＋ 数 化 ）Ｖ ’ ， Ｔ／ ３ ＋／ ２ ． ２１ 一 、２ ４
耐
：一、 ，） ： （３／ ２， 商
子作出变式 ， 用同样的方法来求解．
（ — — １，
的
＝
） －
，
例 ４ 求 函数 ｙ ３ ／ 一 、
值域．
解 设
＋ 、 ２／
如 图 ７所 示 ， 则 当点 Ｂ的 坐标
嚎
、 Ｏ 嗵 、
、、 一 ， ， ．
＝ 一 ，） （３２ ，
Ｙ
图５
故所求 函数值域为［３ ／ ， ］ 一 、丁 ２ ／ ． 例 ５ 求 函数 ｙ３ ＝
的值域．
故所求函数值域为［ １ ，９４ ／ ］ 一５一＋、 ．
采用本文所介绍的方法来完成这类无理 函数值域 的求解 ， 过程直观 ， 操作简便 ， 易于
大 ， ３ ｙ＝
・ 、 ｊ Ｄ 、 、 嫣
、
大值 、 ． ／
一 ，
故所求函数值域
，
＋
图４
２
为［ １、 丁 ］ 一 ，／ ．
例 ６ 求 函 数 ，Ｄ
、
、 ．
僻 ４
刚
．
ｙ
＋
取 最 小 值 ９ ４、 ； 当 点 Ｂ 的 坐 标 为 ＋ ／

求函数值域的几种常用方法函数的值域是指函数在定义域上所有可能的输出值的集合。

求函数值域的方法可以分为几种常用的途径，包括图像法、解析法、等价关系法和数列法等。

下面将详细介绍这些方法。

一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。

具体步骤如下：1.根据函数的定义域，确定合适的坐标系并绘制出函数的图像。

2.观察图像的上下边界，确定最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。

二、解析法解析法是通过对函数进行化简和分析，找出函数的特性来确定值域。

具体步骤如下：1.根据函数的定义表达式，观察函数的性质，例如函数的奇偶性、周期性等。

2.利用函数的性质，找出函数的最小值和最大值，并将这些值确定为函数的值域的下边界和上边界。

三、等价关系法等价关系法是通过将函数与其他已知函数进行比较来确定函数的值域。

具体步骤如下：1.将函数的定义表达式进行变形，使其更容易与已知函数进行比较。

2.将函数与已知函数进行比较，找出它们的区别和相似之处。

3.根据已知函数的值域，可以确定函数的值域的下边界和上边界。

四、数列法数列法是通过构造特定的数列来逼近函数的值域。

1.根据函数的定义域，构造一个数列，使得数列中的每一个数都在函数的定义域内。

2.计算函数在数列中每一个数的值，并将这些值确定为函数的值域的一部分。

3.根据数列的性质，可以逼近函数的值域的下边界和上边界。

需要注意的是，这些方法都只能对一些简单的函数有效，对于复杂的函数，求值域可能需要借助数学分析工具、数值计算方法或者计算机模拟来进行。

此外，不同的方法可以结合使用，以增加求值域的准确性。

教 与学，２ ０ （０ ：２ － ３ ｏ９ １ ） ２ ２ ． ［ ］杨云显．“ ３ 向量代数 法”和 “ 向量 几何 法”在解 决平面
故 ≤ ０≤
ห้องสมุดไป่ตู้
．
向量 问题 中的应 用举例 ［ ］ ｊ ．中国数 学教育 （ 中版） 高 ，
２０ （） ５４ ０ ９ ６ ：４ — ６
４１
国数学教育 （ 中版） ０ ０ ９ ：３ － ０ 高 ，２ １ （ ） ７ ４ 。 ［ ］张 中发 ，倒 谈 等价 转化 思 想在解 高考题 中的应 薅 ［］ ２ ｊ．
ｌ ｌ ＝
限的西分之一圆上运 动，如 图３ ．因为
６／ 万 ， ・ ＝ ｌ Ｉｓ 其中０ 两 量 、 露 ｉ ｃ ０（ ｌ ｏ 为 个向
８ ｛学 ） ０ ｌ， ．
【 评注】本题考查 向量 的数 量积的定 义及 向量减法 的几何 意
义 ，考 查数形 结合 的数 学思想 ，关键是利 用正弦定理 构造方 程 进行求解 ，与 ２ ０ ０ ５年浙江卷理科 第 ｌ Ｏ题一样属 于难题．该题 立
意 新颖 ，构 思巧 妙 ，深 入 考 查 学 生 的思 维 能 力．
＝
二 ＝ ＿
的值域． ，
【 评注】通 过这两个例子 的解决 ，我们发现可 以利 用 向量不
ｉ ［ ＋、 ／
等 式 Ｉ — Ｉ Ｉ Ｉ ｎｌ Ｉ ＋ Ｉ Ｉ ｔ Ｉ ｎ ≤ ｔ ≤ ｍ １ ， ，解决 形 如 Ｙ＝ ｎ ｎ± ｌ
、 ＿ ／ ＝ ＝ ±、 ＝ ／ ｒ这 类 “ 妹 ” 函数 的值域 ．与 姐
解 ：构 造 向量
：（ ，４ ， ３ ）
＝（ ／ 、
，、 ／
），
以用来解决无理 函数 的值域 问题 ． 兹举例说明．

函数值域问题解法归纳
函数值域问题解法归纳
通过值域的定义求值域是最简单直接的一种方法，但是有时也是我们最常忽略的一种方法，因为它的简单，所以是我们在学习值域中最早接触过的一种方法，但是在一些考察思维能力的大题中，伴随着一些阅读信息出现时，往往会给我们造成一些困扰。

今天的学习希望大家就从定义出发理解函数值域。

分离常数，是高中数学的常用方法，分离常数的思路是将变量和常量分开研究，是解决矛盾的一种重要思路。

该方法在求函数值域中也有非常广泛的应用。

今天我们就一起来看看如何用分离常数的方法求函数值域。

在求值城的问题中，往往问题可以转化为我们常见的基本函数，这些函数的性质你是否都很熟悉，并能灵活应用呢？今天我们就通过几个例子来看看基本函数，在求值域题目中的应用。

判别式法实际上体现了一种方程思想，将函数的值域问题转化为方程有解的问题。

同学们在学习时要注意什么形式的函数可以考虑这种方法，同时要注意，它有哪些适用条件。