等积变形问题PPT课件

2（x+x+10 ）=100 2(2x+10)=100 4x=80 X=20
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为 30米，宽为20米.
.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
.
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
.
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积 =小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是 _____?_r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2_?_x） （______0._3_2_×)0.5 ?
解：设水面将升高 x米, 根据题意得 方程为： _____0_._5_2_?_x_=__0_.3_2_×__0_.5 ? 解这个方程： _____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_. _0_.1_8m 。
.
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短 Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得： x=15
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根 15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；

(2)若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形 的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所 围成的长方形相比，面积有什么变化？
xm
(x+1.4) m
解：设此时长方形的宽为x米，则它的长为
（x+0.8）米.根据题意，得 (x+0.8 +x) ×2 =10 解得 x=2.1 2.1+0.8=2.9 此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为 2.9 ×2.1=6.09(平方米)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(平方米). 此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大 6.09－5.76=0.33(平方米).
{
审 设
列
④解 ⑤检 ⑥答
课后作业
见《学练优》本课时练习
2.根据表格中的分析，找出等量关系. 旧水箱的容积=新水箱的容积 3.列出方程并求解. π×22×4 = π×1.62×x 解得x=5 因此，水箱的高度变成了5 m.
例2 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都
挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌 牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还 是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用 多少次？
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形， 那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与
(2)中相比，又有什么变化？
xm
解：设正方形的边长为x米. 根据题意，得 (x +x) ×2 =10 解得 x=2.5 同样长的铁 丝可以围更 大的地方
正方形的边长为2.5米 正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(平方米)
6.答——注意单位名称.
做一做 1.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形 16 厘米 毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢_____

水槽，把一块石块完全浸入这个水槽，水 面上升了2分米，这块石块的体积是多少？
提示： V石块 = V水上升
圆柱的体积等积变形
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6、一根圆柱形木料底面周长是12.56分米，高是4米。
（1）它的表面积是多少平方米？ （2）它的体积是多少立方分米？ （3）如果把它截成三段小圆柱，表面积增加多少 平方分米？
3
基本练习：
× 1、圆柱的体积比表面积大。（ ）
2、侧面积相等的两个圆柱，它们的体积一定相等。
（× ）
3、等底等高的正方体、长方体和圆柱，它们的体积
都相等。（√ ）
4、一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高缩小
× 到原来的1/3,体积不变。（ ） √ 5、体积相等的两个圆柱不一定是等底等高。（ ）
圆柱的体积等积变形
4
一个圆柱形容器的底面直径是10厘米,把一块 铁块放入这个容器后,水面上升2厘米。这块铁 的体积是多少？
圆柱的体积等积变形
5
一个圆柱形容器的底面直径是8厘米,把一块铁 从这个容器的水中取出后,水面下降3厘米。这 块铁的体积是多少？
圆柱的体积等积变形
6
一个圆柱形鱼缸的底面直径是20 厘米,把一块珊瑚放入这个鱼缸后,水面 由35厘米上升到37厘米。这块珊瑚的 体积是多少？
+
｛
圆柱的体积等积变形
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一根方钢长50厘米，底面是边长 12厘米的正方形。如果把它锻造成底 面面积是90平方厘米的圆柱形钢材， 这根钢材长多少厘米？
长方体的体积=圆柱体的体积
12×12×50=7200（立方厘米） 7200 ÷90=80（厘米）
答：这根钢材长80厘米。
圆柱的体积等积变形
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体积变 一个形底面半径为3分米，高为8分米圆柱形

C
B
A
F
G
H
注：以定值AB为基础，作AB的平行线 即得。共6个点
3、如图,在平面直角坐标系中，已知点A坐标（2,4）， 直线X=2与X轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x2 从点O沿OA方向平移，与直线X=2交于P点，顶点M 到点A时停止移动:
（1）求线段OA所在直线的函数解析式；
• （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, • ①用m的代数式表示点P的坐标； • ②当m为何值时，线段PB最短； • （3）当线段PB最短时，相应的抛 • 物线上是否存在点Q，使△ PMA • 的面积与△QMA的面积相等，若 • 存在，请求出点Q的坐标；若不
今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展， 第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展 成△MGH (如图12－4)．求这两次扩展的区域(即阴影
部分)面积共为多少㎡ ？
S△DEA= 2S△DEC
S△DCA= 4.5
2、探究: 在如图12－1至图12－3中，△ABC的面积为a ．
(1)如图12－1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA ．若△ACD的面积为S1，则S1=___(用含a的代数式表示)； (2)如图12－2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，
• 存在，请说明理由．
五、小结:
1、常见图形：
2、常用方法： （1）、找中点分割拼图;(2)、利用全等、折叠、 对称、等底同高等方法进行转换。
六、方法变式：
1.在平行四边形ABCD中，E在AC上， AE=2CE，F在AD上，DF=2AF，如果△DEF 的面积是2，求□ABCD的面积.
S△DEF= 2S△AEF
学习目标：
1、熟悉等积变换对应的常见图形； 2、掌握等积变换需要具备的条件并能 用等积变换的方法解决实际问题。

1.基本公式 （1）长方体体积= 长×宽×高 （2）正方体体积= 棱长×棱长×棱长
（3）圆柱体体积= 底面积×高
解决此类问题时，常用几何图形的面积、 周长、体积计算公式进行相关运算。
常用的相等关系是：
（1）形变积不变；
（2）形变积也变，但质量不变。
ห้องสมุดไป่ตู้
练习1：一个长、宽、高分别为20cm、10cm、 5cm长方体 ，容器装满水，把容器中的水注 入到长40cm、宽20cm的长方体容器中，问 这个长方体的高至少为多少？
练习2 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的
圆柱形瓶内装水，再将瓶内的水倒入一个底 面直径6厘米、高厘米的圆柱形玻璃杯中， 能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还 有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的 距离。
练习3： 用一个底面半径为40mm，高为120mm
的圆柱形小玻璃杯向一个底面半径为100mm 的圆柱形大玻璃杯中倒水，倒了满满10小杯 水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm,则 大玻璃杯的高度是多少？

巩固提升
作业4：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是10厘米，求图中阴影部分的面 积.
巩固提升
作业5：四边形ABCD是梯形，DE//CF，已知三角形ADG、三角形BCH和三角形CDO的面积分别 是19、20和18，求五边形EFHOG的面积.
例题讲解
例2：正方形ABCD、BEFG、CHIJ如图放置，已知正方形ABCD的边长是8厘米，正方形BEFG的 边长是5厘米，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练2：正方形ABCD、CEFG、FHIJ如图放置，已知正方形CEFG的边长是7厘米，求图中阴影 部分的面积.
例题讲解
例3：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知三角形CEH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面 积.
作业1：正方形ABCD、CEFG如图放置，已知正方形ABCD的边长是8厘米，求图中阴影部分的面 积.
巩固提升
作业2：以AB为直径作半圆，C为AB上任意一点，D、E为弧AB的三等分点，求图中阴影部分的面 积.
巩固提升
作业3：如图，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD的对角线相交于O，三角形AOE的面积 比三角形BOD的面积小16平方厘米，求梯形AEBD的面积.
例题讲解
练一练2：如图，正六边形ABCDEF的面积是6，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
例7：如图，正八边形ABCDEFGH的面积是2020，求图中阴影部分的面积.
例题讲解
练一练7：如图，正八边形的面积是1，求图中两块阴影的面积比.
总结归纳
总结归纳
找平行线
找底边
移顶点
等积变形
巩固提升
巩固提升
例题讲解
例5：正三角形ABC、BDE如图放置，已知三角形F、G为BC、DE的中点，已知正三角形ABC的面 积是20平方厘米，求图中阴影部分的面积.

方法点拨： 当立体图形的形状发生变化时， 其高度、底面积等随之变化，
但体积保持不变. 此类型题也称为等积变形，即形状改变，体 积不变. 其隐含的等量关系：
变形前体积=变形后体积
例 1 如下图，用直径为 200mm 的圆柱体钢，锻造一 个长、宽、高分别是 300mm，300mm 和 90mm 的 长方体毛胚，应截取多少毫米的圆柱体钢 (计算时π取 3.14，结果精确到1mm)?
3、根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程; ③ 列
4、解这个方程，求出未知数的值;
5、检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出 答案（包括单位名称）.
④解 ⑤ 检验
探究新知
思考：要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
r h
πr2h
木桶内水面上升的圆柱体体积＝人的体积
对应练习
1、一圆柱形容器的内半径为 3cm，内壁高 30cm， 容器内盛有 18cm 高的水，现将一个底面半径为 2cm， 高为 15cm 的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水将 升高多少厘米？
h r (r为底面圆半径，h为高)
c
b a (a为长，b为宽，c为高)
圆柱体体积= 底面积×高 = πr2h (r为底面圆半径，h为高) 长方体体积= 长×宽×高 = abc (a为长，b为宽，c为高)
课前热身
2、请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？ (1) 把一小杯水倒入另一只大杯中； 水的高度、底面积发生了变化， 水的体积和质量都保持不变. (2) 用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球. 形状改变， 体积不变.
巩固练习
7、如图，一个饮料瓶的容积为 3dm3，它里面有高度 为 20cm 的饮料，把瓶子倒过来，其空余部分的高度为