六年级下册数学小升初等积变形人教版人教版

六年级下册数学讲义-⼩升初培优：第02讲三⾓形⾯积——等积变形（下）（解析版）全国通⽤第02讲三⾓形⾯积——等积变形（下）教学⽬标：1、能正确运⽤等积变形的思想⽅法解决三⾓形⾯积的计算问题，并解决⼀些简单的实际问题，培养学员的图形认知能⼒；2、把等积变形的知识点与⽣活实际问题结合起来，并加强计算能⼒和综合能⼒；3、在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，进⼀步体会等积变形、转化等数学思想⽅法，发展空间观念，发展初步的推理能⼒。

教学重点：掌握等积变形的思想⽅法。

教学难点：等积变形在实际问题中的应⽤。

教学过程：【环节⼀：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）等积变形⼀般指三⾓形的等积变形，就是使三⾓形⾯积相等的变化，经常⽤到的结论有：1.等底等⾼的两个三⾓形⾯积相等；2.两个三⾓形的底在同⼀条直线上⽽且相等，底所对的⾓顶点是同⼀个，则⾯积相等；3.如果两个三⾓形的底（⾼）相等，⼀个三⾓形的⾼（底）是另⼀个三⾓形的⼏倍，则这个三⾓形⾯积也是另⼀个三⾓形⾯积的⼏倍；4.⼏个三⾓形的底相等，都在两条平⾏线的同⼀直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平⾏线的另⼀条上，则这⼏个三⾓形的⾯积相等。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，三⾓形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三⾓形ADE的⾯积是20平⽅厘⽶，三⾓形ABC的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析部分：把△AED的⾯积看成⼀份，根据题⽬条件，可以知道△ACD的⾯积是4份，同理可得△ABD的⾯积是2份。

故⽽△ABC的⾯积是6份。

给予新学员的建议：对图形进⾏认真观察，然后在图形上进⾏实际的尝试操作。

哈佛案例教学法：引导学员多多进⾏纸上的亲⾃动⼿操作，提升画图能⼒并进⾏综合处理。

参考答案：20×6=120（平⽅厘⽶）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在三⾓形ABC中，BE=2EC，AD=BD，已知三⾓形ABC的⾯积是18平⽅厘⽶，解析部分：连结AE，如下图所⽰，根据已知条件可以知道三⾓形ACE的⾯积是三⾓形ABC的三分之⼀，⽽三⾓形ADE的⾯积是三⾓形ABE⾯积的⼀半。

人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。

包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。

圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。

教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。

几何知识一向是小学生学习的难点。

特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。

造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。

不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。

我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。

围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。

“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。

生活中大量存在其身影。

在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。

围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。

“面积变形”是为了使计算简便。

“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。

利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。

教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。

2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。

3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。

体会转化的思想价值。

教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。

难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。

六年级数学等积变形在六年级数学学习中，等积变形是一个重要的知识点。

通过等积变形，我们可以将一个数学问题转化为另一种形式，从而更容易解决。

本文将介绍等积变形的定义、常用方法和实例，帮助同学们更好地理解和掌握这个概念。

等积变形是指在求解数学问题时，通过对等式两边同时乘以或除以相同的数，使得等式的形式改变，但等式的解并未改变。

常用的等积变形方法包括倍数变形、倒数变形和分解因式等。

首先，我们来看一下倍数变形。

倍数变形是指通过等式两边同时乘以或除以相同的数，从而改变等式中数的大小，但保持等式的成立性。

举个例子，假设有一个等式：2x = 10，我们可以将等式两边同时乘以2，得到4x = 20。

通过倍数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解仍然保持不变。

其次，倒数变形也是一种常用的等积变形方法。

倒数变形是指通过等式两边同时乘以或除以数的倒数，从而改变等式中数的倒数，但保持等式的成立性。

例如，对于一个等式：3y = 9，我们可以将等式两边同时除以3，得到y = 3。

通过倒数变形，我们改变了等式中的系数，但等式的解依然是相同的。

最后，分解因式也是一种常见的等积变形方法。

分解因式是指将等式中的一个或多个数进行因式分解，从而改变等式的形式。

例如，对于一个等式：2x + 4 = 10，我们可以将等式中的2进行因式分解，得到2(x + 2) = 10。

通过分解因式，我们改变了等式的结构，使得解决问题更为简便。

接下来，让我们通过一些实例来进一步理解等积变形的应用。

假设有一个问题：小明买了一些苹果，若每个苹果的价格为2元，总共花费10元。

现在，若每个苹果的价格变为3元，小明只能买到几个苹果？我们可以通过等积变形来解决这个问题。

首先，我们设小明原本买了x个苹果，根据题意，我们可以列出等式：2x = 10。

现在，苹果的价格变为3元，我们可以设小明能够买到的苹果数量为y，列出等式：3y = 10。

通过倍数变形，我们可以得到3(2x) = 2(3y)。

第五节 等积变换【知识要点】1．等积形： 面积相等的两个图形称为等积形． 2．三角形的等积变换：三角形的等积变换指的是使三角形面积相等的变换． 3．三角形等积变形中常用到的几个重要结论： （1）平行线间的距离处处相等． （2）等底等高的两个三角形面积相等．（3）底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形面积相等． （4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等．【典型例题】例1 用五种以上的方法将三角形ABC 分解成面积相等的四个小三角形．你能找出十种以上的方法吗？例，是例例2，求△DBE 的面积？例5 ABC ∆中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点．若224cm S ABC =∆，则=∆MCN S ？例6 如图：将一个三角形（有阴影的）两条边分别延长 2倍，得到一个大三角形的面积是原三角形，这个大三角 形的面积是原三角形面积的多少倍？练习 成绩：1．ABC ∆中，D 是BC 边中点，连接AD ，ABC ∆与ACD ∆的面积有什么关系？ 2．△ACD 的面积为4cm 2,CD=2BD,求△ABC 的面积．3．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点．已知△ABC 的面积是108平方厘米， 求△CDE 的面积．C B C B CDA C A A C4．下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F 是AE 的中点，△ABC 的BC 边上的高是4厘米，阴影面积是多少 平方厘米？5．在△ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的 面积是20平方厘米．求△ABC 的面积．6．已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ， 求三角形DBE 的面积．7．如图中：如果△ABC 中的BD ＝DE ＝EC ，BF ＝FA ， △EDF 的面积是1个面积单位，△ABC 的面积是多少？作业1．图中CD ＝3BD ，ABD ∆的面积为2cm 2，求ABC ∆2．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AE 的中点，图中与△ADE 等积的三角形有哪几个？3．图中阴影部分面积是10平方厘米，AD=DB ， CE=EB ，求ABC ∆的面积．4．如图中：如果三角形ABC 中的BD=DE=EC ，2BF=FA ， 三角形EDF 的面积是1个面积单位，三角形ABC 的面积 是多少？5．将一个正方形分成六个等腰直角三角形，已知ABC 面积 为2，求正方形的面积．6．边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的 正三角形的多少倍？7．下图中三角形ABC 的面积为12cm ，其中AE=4AB ， BD=3BC ，求三角形BED 的面积．【图形】。

第02讲三角形面积——等积变形（下）教学目标：1、能正确运用等积变形的思想方法解决三角形面积的计算问题，并解决一些简单的实际问题，培养学员的图形认知能力；2、把等积变形的知识点与生活实际问题结合起来，并加强计算能力和综合能力；3、在操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动过程中，进一步体会等积变形、转化等数学思想方法，发展空间观念，发展初步的推理能力。

教学重点：掌握等积变形的思想方法。

教学难点：等积变形在实际问题中的应用。

教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）等积变形一般指三角形的等积变形，就是使三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等。

【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）如图，三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析部分：把△AED的面积看成一份，根据题目条件，可以知道△ACD的面积是4份，同理可得△ABD的面积是2份。

故而△ABC的面积是6份。

给予新学员的建议：对图形进行认真观察，然后在图形上进行实际的尝试操作。

哈佛案例教学法：引导学员多多进行纸上的亲自动手操作，提升画图能力并进行综合处理。

参考答案：20×6=120（平方厘米）【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）如图，在三角形ABC中，BE=2EC，AD=BD，已知三角形ABC的面积是18平方厘米，求四边形ADEC的面积。

解析部分：连结AE，如下图所示，根据已知条件可以知道三角形ACE的面积是三角形ABC的三分之一，而三角形ADE的面积是三角形ABE面积的一半。

第五节 等积变换【知识要点】1．等积形： 面积相等的两个图形称为等积形． 2．三角形的等积变换：三角形的等积变换指的是使三角形面积相等的变换． 3．三角形等积变形中常用到的几个重要结论： （1）平行线间的距离处处相等． （2）等底等高的两个三角形面积相等．（3）底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一个，这样的两个三角形面积相等． （4）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．（5）若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等．【典型例题】例1 用五种以上的方法将三角形ABC 分解成面积相等的四个小三角形．你能找出十种以上的方法吗？例，是例例2，求△DBE 的面积？例5 ABC ∆中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点．若224cm S ABC =∆，则=∆MCN S ？例6 如图：将一个三角形（有阴影的）两条边分别延长 2倍，得到一个大三角形的面积是原三角形，这个大三角 形的面积是原三角形面积的多少倍？练习 成绩：1．ABC ∆中，D 是BC 边中点，连接AD ，ABC ∆与ACD ∆的面积有什么关系？ 2．△ACD 的面积为4cm 2,CD=2BD,求△ABC 的面积．3．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点．已知△ABC 的面积是108平方厘米， 求△CDE 的面积．C B C B CDA C A A C4．下图中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F 是AE 的中点，△ABC 的BC 边上的高是4厘米，阴影面积是多少 平方厘米？5．在△ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的 面积是20平方厘米．求△ABC 的面积．6．已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ， 求三角形DBE 的面积．7．如图中：如果△ABC 中的BD ＝DE ＝EC ，BF ＝FA ， △EDF 的面积是1个面积单位，△ABC 的面积是多少？作业1．图中CD ＝3BD ，ABD ∆的面积为2cm 2，求ABC ∆2．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AE 的中点，图中与△ADE 等积的三角形有哪几个？3．图中阴影部分面积是10平方厘米，AD=DB， CE=EB ，求ABC ∆的面积．4．如图中：如果三角形ABC 中的BD=DE=EC ，2BF=FA ， 三角形EDF 的面积是1个面积单位，三角形ABC 的面积 是多少？5．将一个正方形分成六个等腰直角三角形，已知ABC 面积 为2，求正方形的面积．6．边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的 正三角形的多少倍？7．下图中三角形ABC 的面积为12cm ，其中AE=4AB ， BD=3BC ，求三角形BED 的面积．【图形】。

奇妙的等积变形人教版小学数学六年级下册《立体图形的复习》教学设计一、教材分析《奇妙的等积变形》是人教版小学数学六年级下册中的一个重要知识点。

本章主要内容包括立体图形的复习，包括长方体、正方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆台等立体图形的基本概念、性质和计算。

为了让学生更好地掌握立体图形的相关知识，必须针对性地进行认真的教学设计。

二、教学目标1.知识目标（1）掌握立体图形（长方体、正方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆台）的基本概念、性质以及计算方法。

（2）理解立体图形的相互之间的关系及应用。

2.能力目标（1）能够正确地绘制长方体、正方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆台的草图和正视图。

（2）能够熟练地进行立体图形的计算，如表面积、体积等。

（3）能够通过实际生活中的问题，灵活运用所学知识解决问题。

3.情感目标（1）培养学生对数学的兴趣和学习兴趣。

（2）使学生能够通过学习，增强自信心，积极参与课堂活动，主动思考问题，勇于探索求解问题的方法。

三、教学内容本次教学的主要内容是立体图形的复习，包括长方体、正方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆台等立体图形的基本概念、性质和计算。

四、教学方法1.探究式教学方法在讲授每一种立体图形时，可以运用探究式教学方法引导学生探究其性质以及计算方法，提高学生的思维能力和创新能力。

2.小组合作学习法对于一些较难的问题，可以引导学生进行小组合作学习，鼓励学生相互讨论与交流，激发团队合作意识，增强学生的合作意识。

3.归纳总结法在每一课结束后，教师应引导学生总结本节课所学的知识点，让学生通过归纳总结，更好地掌握所学知识点。

五、教学流程1.引入先出一个问题给学生：如果你要盖房子，你会用什么图形来盖房子？让学生讨论，引出下面的内容。

2.教学内容的讲解和探究（1）长方体了解长方体的基本概念和性质，并探究长方体的体积、表面积和正视图等。

（2）正方体了解正方体的基本概念和性质，并探究正方体的体积、表面积和正视图等。

六年级等积变形的知识点等积变形是小学六年级数学课程中的一个重要内容，它是指在保持图形面积不变的情况下，通过调整图形的形状和大小，使其形成一个新的图形。

等积变形的学习不仅有助于培养学生的观察力、想象力和创造力，还能提升他们的逻辑思维和问题解决能力。

以下是六年级等积变形的一些基本知识点。

1. 相似图形的性质相似图形是等积变形中最常见的类型，它们具有相等的形状但不一定有相等的大小。

在学习等积变形时，我们首先需要了解相似图形的性质。

相似图形的对应边两两成比例，对应角相等。

利用相似图形的性质，我们可以进行等积变形的有序推导和解决问题。

2. 相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有多种方法，其中常用的方法有AAA判定、AA判定和SAS判定。

AAA判定是指如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的；AA判定是指如果两个三角形的对应角相等，并且有一个对应边相等，那么它们是相似的；SAS判定是指如果两个三角形的一个对应边与两个对应角分别相等，那么它们是相似的。

3. 相似三角形的性质相似三角形是等积变形中最常用的图形，它们不仅在几何形状上相似，而且在面积上也成等比例关系。

利用相似三角形的性质，我们可以通过测量或计算已知图形的边长和角度，来确定未知图形的边长和面积。

4. 图形的放大缩小在等积变形中，放大和缩小是常用的变形方式。

放大是指将原图形的所有边按比例增加，使得新图形的大小大于原图形；缩小则是指将原图形的所有边按比例减小，使得新图形的大小小于原图形。

放大和缩小有利于观察、分析和解决问题，能够帮助我们更清楚地了解图形的变化规律。

5. 图形的旋转除了放大和缩小，旋转也是一种常见的等积变形方式。

旋转是指将图形绕某一点旋转一定角度，使得图形的形状发生改变，但面积保持不变。

旋转可以使图形的对称性更加明显，有助于观察图形的性质和解决问题。

6. 图形的对称性对称性是等积变形中一个重要的观察点。

图形的对称性可以分为轴对称和中心对称两种形式。

A三 角 形 等 积 变 形1、等积形：面积相等的两个图形称为等积形。

2、三角形的等积变形。

三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。

3、三角形面积计算公式。

S ∆ = 底⨯高÷ 24、三角形等积变形中惯用到的几个重要结论。

（1） 平行线间的距离到处相等。

（2） 等底等高的两个三角形面积相等。

（3） 底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的顶点是同一种，这样的两个三角形面积相等（4） 若两个三角形的高（或底）相等，其中一种三角形的底（或高）是另一种三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一种三角形面积的几倍。

（5） 若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同始终线上，并且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。

分别作出下面三个三角形各边上个高，并对应指出。

（如：BC 边上的高是 AD ）ACB CCBAEE E典型例题：例 1、∆ABC 中，D 是BC 边中点，连接 AD ， ∆ABC 与∆ACD 的面积有什么关系？B D E C例 2、三角形 ABC 中，BD=DC ，AE=2BE ，已知△ACD 的面积是 60 平方厘米，求阴影部分的面积。

ABDC例 3、在三角形 ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是 20 平方厘米。

求三角形 ABC 的面积。

BDC例 4、长方形 ABCD 的面积是 16 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．ADFBCEBO例 5、以下图，图中 BO=2DO ，阴影部分的面积是 10 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ADBC知识反馈：1、思考：已知平行四边形的底是 16 厘米，高是底的二分之一，求阴影部分的面积。

2、如图所示 CD=2BD ，△ABC 中的面积为 6，求△ACD 的面积是多少？ABDC3、已知三角形 ABC 面积为 8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形 DBE 的面积？DCA4、平行四边形 ABCD 的面积是 32 平方厘米,E 、F 分别为 AD 、DC 边上的中点，求阴影部分的面积．AFEADO5、图中 CD ＝3BD ， ∆ABD 的面积为 2，求∆ABC 的面积是多少？ABDC6、如图，在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 、F 是 AC 的三等分点。

空间与图形学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容平面图形和立体图形的拓展应用课型一对一/一对N教学目标1、能灵活运用计算公式求较复杂的平面图的周长或面积；2、能灵活运用计算公式求较复杂的立体图形的表面积或体积。

重、难点1、平面图形的特征、周长和面积公式的应用；2、立体图形的特征、表面积和体积公式的应用。

课首沟通1.回顾小学所学平面图形的特征、周长和面积公式。

2.回顾小学所学立体图形的特征、表面积和体积公式。

知识导图课首小测1.如右图，正方形的面积是5平方厘米，圆的面积是（）平方厘米。

2.（黄埔区单元试题）用多种方法计算下面图形的面积。

3.下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。

4.（广州市第二外国语学校面试真题）一个由27块小正方体组合而成的大正方体，表面被涂为黑色。

测量后发现，这个大正方体的棱长为2，那么所有小正方体未被涂黑部分的表面之和是多少？5.（省实天河面谈题）一个半圆里有一个小圆，求谁的面积大。

导学一：平面图形知识点讲解 1：求组合图形周长的方法。

组合图形的周长：围成组合图形的所有线段的长度和。

例 1. 如图所示，圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？【学有所获】当发现无法用求半径或直径的方法去求阴影部分的周长时，要转换思考方向，考虑用其它方法来解答。

我爱展示1.计算下列图形的周长2.如右图为某楼梯的形状及长度（单位:米），要在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要（）米.3.如图，用一根铁丝将四根直径2dm的管子紧紧捆住(接头处不计)，至少需要铁丝多少分米？知识点讲解 2：求组合图形面积的常用方法。

1.平移法：将一个组合图形中的一部分平移，与另一部分组合成一个新的图形，再求出它的面积。

2.分割法：把一个组合图形分割成几个学过的规则图形，分别求出它们的面积后，再求它们的面积和。

3.割补法：把一个不规则图形的空缺部分补上一块或从其它地方割下一块补上，组成一个学过的规则图形，再求出其面积。

三角形五大模型模型一：等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图12::S S a b =； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直平行于CD ；④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。

模型二：等分点结论（“鸟头定理”） 如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型三：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） ① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） ① S 1︰S 3=a 2︰b2②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质D CBAbs 2s 1S 4S 3s 2s 1O DCBA S 4S 3s 2s 1ba如何判断相似(1)相似的基本概念：两个三角形对应边城比例，对应角相等。

(2)判断相似的方法：①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。

①a b c h A B C H === ② S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头” 【考点挖掘】1. 三角形面积等高成比2. “鸟头定理”3. “蝴蝶定理”【例1】（难度等级 ※）如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。

这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。

用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。

用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。

则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。

当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。

如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。

第2讲几何问题——等积变形、加减法、旋转法思维启航一、训练目标知识传递：学习如何巧妙的计算组合图形的面积，运用不同方法去解决复杂的面积问题。

能力强化：通过该讲培养学生分析能力、综合能力、观察能力、操作能力、空间思维能力。

思想方法：等积变形、加减法、旋转法。

二、知识方法归纳组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。

组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。

由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。

要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：1、切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2、仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。

3、对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。

思维进阶例1.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。

阴影部分的面积是多少？例2.如图19－14所示，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）。

思维训练1.如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，阴影部分的面积是多少？例3.如图是个对称图形，阴影部分的面积是多少？例4.如图，已知ABC为扇形，BDF为扇形，CBDE为长方形。

CE=8厘米，CB=10厘米，图中阴影部分的面积是多少？例5.如图，已知AC=4厘米，CB=6厘米，阴影部分的面积是多少？思维训练2.下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）是多少？例6.如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？ 思维深化 （训练时间： 满分：120分，训练得分： ）1.计算题。

（每小题10分，共20分）（1）31243119.421427.1÷⨯+÷）（（2）595491474371353241÷+÷+÷（3）（1847 +1449 ）÷（37 ＋39 ）＋523（4）12 +14 +18 +116 +132 +164 +11282.填空题。