六大几何模型.等积变形第1部分(动图版)pptx

平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝）等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。

模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。

bS 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：等积变化原理之四边形应用S 4S 3s 2s 1O DC BA141423213S S =S S S S DO OB S S +==+模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）(1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b2（2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ；（4）141423213S S =S S S S DO OB S S +==+ :模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2︰A 2hh H cb a CB Aac b HC B模型五：燕尾定理F ED CBAS △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4，S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

小升初几何常考五大模型（等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾）下面给大家整理小升初数学几何常考五大模型（等积变换模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型、燕尾定理）（一）等积变换模型性质与应用简介平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。

1.等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；(3)如右图夹在一组平行线之间的等积变形，S△ACD=S△BCD反之，S△ACD=S△BCD，则可知直线AB∥直线CD等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.【总结】要找准那两个三角形的高相同。

【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。

【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。

事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座'桥梁'，请同学们体会一下。

（二）鸟头定理（共角定理）模型平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1. 等积变换基础模型1)等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB⎳CD，则S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB⎳CD。

图1图2图32)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC=BD∶DC。

如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC=BE∶CF。

1(山东省临沂市2023-2024学年八年级月考)如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE= 1EC，△ABD的面积是3，则△BED的面积是()2A.4B.3C.2D.12(河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考)如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE是△ABD 的边BD上的中线，BF是△ABE的边AE上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积是()A.9B.12C.18D.203(湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考)如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA ，AB 的中点，具有性质：AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1．已知△AFG 的面积为2，则ΔABC 的面积为．4(浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题)如图，CD 是△ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且BE =2CE ，AE 、CD 相交于F ，四边形BDFE 的面积为6，则△ABC 的面积是．5(2023春·江西萍乡·八年级统考期中)基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，AD 是△ABC 边BC 上的中线，则S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．理由：因为AD 是△ABC 边BC 上的中线，所以BD =CD ．又因为S △ABD =12BD ×AH ，S △ACD =12CD ×AH ，所以S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，△ABC 的面积为a ．(1)如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=(用含a的代数式表示)；(2)如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=(用含a的代数式表示)；(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图4)．若阴影部分的面积为S3，则S3=(用含a的代数式表示)；拓展应用：(4)如图5，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为8a，则△BEF的面积为(用含a的代数式表示)，并写出理由．6(2023春·上海·九年级期中)解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有与△ABC的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则△BAE的面积为．②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB =60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF的面积．(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由)．模型2.蝴蝶(风筝)模型蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。

图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。

A ．4B ．3【答案】D【分析】利用三角形面积公式，【详解】解：∵BD 是ABC 边A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:CG GF=∴的面积为4，∴△ACG【答案】14.4【分析】连接BF ,据2BE CE =，可得建立方程3182a -=【详解】解：连接∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =，S∴2ABCBDCSS∴==3322ABCABESS ==即3189.2a a -=+解得【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题例5．（2023春·江西萍乡如图1，AD 是ABC=，连接DA (1)如图2，延长ABC的边BC到点D，使CD BC的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使则2S=（用含a的代数式表示）；=，连接FD，(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB则3S=（用含a的代数式表示）；延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE ∴12ACD AED ECD S S S ∆∆∆==，ACD ABC S ∆，22ECD ABC S S a ∆∆∴==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S ∆∆==22S S a ==2BFD S a ∆=，3ECD EFA S S S S ∆∆∴=++，理由如下：理由：∵点E 是线段AD 的中点，1BCEABCS =．C 作CE AB ∥，连接AE模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。

图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。

A ．4B ．3C ．2的边，则阴影部分的面积是（A．9B．12八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．=，连接DA．若(1)如图2，延长ABC的边BC到点D，使CD BC的代数式表示）；=(2)如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD BC则2S=（用含a的代数式表示）；=，连接FD，FE，得到(3)在图3的基础上延长AB到点F，使BF AB上，当点模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系如图1，结论：①1243::S S S S =或1324S S S S ⨯=⨯；②()()1243::AO OC S S S S =++。

梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系如图2，结论：①2213::S S a b =；②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。

等积变换模型—五大模型一、等积模型简介。

1. 等底等高的两个三角形面积相等；2. 两个三角形高相等，面积之比等于底之比；如图1所示，CD :BD :△△=ACD ABD S S ;3. 两个三角形底相等，面积之比等于高之比；如图2所示，BF :AE :△△=BCD ACD S S4. 在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，BCD ACD S S △△=；反之，如果BCD ACD S S △△=，则直线AB//CD 。

二、将三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？练习：1.画一画：用三种不同方法，把下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为2:1:1。

2.画一画：用三种不同的方法将下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为4:3:1。

3.如图，在梯形ABCD中，共有8个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？三、三角形中的等积变换。

例1：在如图三角形ABC中BD:DC=2:3，AE=EB，甲乙两个图形的面积比是多少？例2：如图所示，三角形ABC 被分成四个小三角形，其中三个三角形的面积分别为8平方厘米、6平方厘米、12平方厘米，求阴影部分的面积。

例3：如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点。

已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE 的面积。

例4：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

练习：1. 如图所示，在三角形ABC 中，CE=ED=DB ，AF=FB ，三角形ABC 的面积是24平方分米，那么，三角形FDE 的面积是多少平方分米？2. 已知一个大三角形被分成四个小三角形，其中有三个三角形的面积分别是3，4，6，求阴影部分的面积？3. 已知图中△ABC 的每边长都是96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，则线段CE 和CF 的长度之和是多少厘米？4. 如图，已知三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

专题07 三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1. 等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB //CD 。

图1 图2 图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BE ∶CF 。

A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、V V ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．V【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:QCG GF=【答案】14.4【分析】连接BF , 12BDC ABC S S =V V ；根据示为2BDC S V 和3S V∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE =， S \V 2ABC BDC S S \==V V(1)如图2，延长ABC V 的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA （用含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB =，连接FD ，积为3S ，则3S =（用含a 的代数式表示）；Q 延长ABC V 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC =，AE \12ACD AED ECD S S S D D D ==，ACD ABC S D ，22ECD ABC S S a D D \==，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S D D ==同理：22EFA ABC S S a D D ==，2ECD BFD S a D D =，3ECD EFA S S S S D D \=++∵点E 是线段AD 的中点，12BCE ABC S =V ．∥，连接，若过C作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

一、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积＝边长×边长＝对角线×对角线÷2S 正方形＝a ×a S 正方形＝b×b÷2（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型【共角三角形】定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

规律：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型：一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===；②22::ADE ABCS S AF AG=△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

模型一：等高模型定义：三角形面积的大小，三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

取决于三角形底和高的乘积。

取决于三角形底和高的乘积。

如果固定三角形的如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。

六种基本类型：两个三角形高相等，两个三角形高相等，面积比等于底之比；面积比等于底之比；面积比等于底之比；两个三角形底相等，两个三角形底相等，两个三角形底相等，面积比等于高之比面积比等于高之比公式：DC BD S S ADC ABD ；FCED S S ABC ABD 其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：1 DEFABC S S 夹在一组平行线之间的等积变形公式：1 ABD ABC BCD ACDS S S S等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：1 CDEFABCD S S三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半公式：ABCDEDC S S 21两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：EFAB S S DEFG ABCD 例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？5.135.41818543681211836212136212121 BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGHDGH CFH BFH BEHAEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EBAE HCBH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接模型二：相似模型定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。

小学求面积六大模型之：等积模型
很多同学喜欢数学，尤其是喜欢做图形面积题，但是课本上的知识是有限的，完全按照三角形、平行四边形和梯形面积公式解题，不仅方法少，而且视野不够宽阔。

如果您对数学面积题感兴趣，今天给您介绍一下小学面积题里的六大模型。

第一部分★等积模型
☞结论1:
❶等底等高的两个三角形面积相等；
❷等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
一句话:等底等高，面积相等。

☞结论2:三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
☞结论3:
❶两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

❷两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比。

例题:
练习:已知大正方形边长为6，求阴影面积。

解:。