非线性方程根的求解(2)
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8 第二章 非线性方程根的求解
§1．引 言
本章将介绍单个非线性方程
f(x)=0 （2-1）
的求解几种常用的方法。通常我们把（2-1）的解也称为根或函数f(x)的零点。
我们在本章介绍的方法中，一般要求通过对所涉及函数f(x)的分析，尽量找出一个区间 [ a，b ]，使方程（2-1）在此区间内有根，称这样的区间为根的隔离区间。一般情况下根的隔离区间长度越小越好。这样可以保证后面所用方法有较好的收敛效果。而根的隔离区间的取得，一般可通过应用零点的存在定理来确定。
定理：（零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)f(b)<0，则必存在(a,b)，使f()=0。
例：求方程3x-2x-5=0实根的隔离区间
解：设f(x)=3x-2x-5，则'2()32fxx，由此可知在2(,)3内()fx单调增，在22(,)33内()fx单调减，2(,)3内()fx单调增。但22()0,()033ff，所以()fx最多有一个实根。又因(2)10,(3)160ff，所以[2，3]是一个根的隔离区间。
为了以后叙述的方便，我们还给出以下定义。
定义：如果函数f(x)可以因式分解为：
f(x)=)x(g)x(m
且g()0,则称是f(x)的m重零点，也称为方程f(x)=0的m重根。如果m=1，则称为f(x)的单重零点或f(x)=0的一重根。如果m>1，则称为f(x)的m重零点或f(x)=0的m重根。
性质：如果函数f(x)充分可微函数，则是f(x)的m重零点的充要条件是：
f()=f ()=…=0)(f)1m(，但0)(f)m(
下面分别介绍求方程（2-1）实根的方法。
§2. 二 分 法 9
二分法的思想相当简单，其数学基础为零点存在定理。具体做法如下，假设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，令2bax0计算f(0x)，如果f(0x)与f(a)同号，则令bb,xa101，否则令011xb,aa，这样可知f(x)必在[11b,a]中有零点；再对分，令2bax112计算f(2x),…，如此反复，可得到有根的区间套：
[a,b][11b,a] …[kkb,a]…
对分k次后，区间长度kkk2abab，如此下去{ka}及{kb}必收敛于一点x，此点即为f(x) =0的一个根。如果以中点2baxkkk作为x的近似，则误差为：
|1k1kkk2ab|xx||xx （2-2）
注意：①如果f(x) =0在[a,b]内有多个根，二分法尽管能求根，但求出的根是其中的那一个带有偶然性。最后得到其中的那一个根的近似值，一般与区间[a，b]的端点有关。
②如果f(x)=0在[a,b]内有唯一的根，则对分法得到的序列{kx},必收敛到方程的唯一根x，误差表达式（2-2）仍成立。
例：求方程3x-2x-5=0在[2，3]内的根的近似值，并指出其误差。
解：设f(x)=3x-2x-5，则
有根区间
f(2)=-1<0
f(3)=16>0 (2，3)
f(2.5)>0
f(2.25)>0
f(2.125)>0
f(2.0625)<0
f(2.09375)<0
f(2.109375)>0 (2，2.5)
(2，2.25)
(2，2.125)
(2.0625，2.125)
(2.09375，2.125)
(2.09375，2.109375)
取1015625.22109375.209375.2x,则x与根的绝对误差限为 10 721=0.0078125，即以x作为（2，3）间根的近似值，至少保证有2位有效数字。
对分法的优点是方法简单，只要函数f(x)连续，一定能求出根的近似值，并且可以预报迭代的大致次数。缺点是速度太慢，且无法知道是否是重根。下面是对分法的计算框图，是误差限。(见下页)
§3．迭 代 法
迭代法可分为单点迭代法和多点迭代法。单点迭代法的一般形式为：
)x(Fxi1i (i=0,1,…) （2-3）
其中F(x)是迭代函数，对于不同的方法可有不同的形式。一般依赖于（2-1）中的f(x)及
开始
输入a、b
2bax1ax1
计算)x(f1
0)a(f)x(f1
1xb 1xa 停止 Ｎ Ｙ
Ｙ Ｎ 输入a、b
输出1x 11
其各阶导数。F(x)的选取，要保证在给出合适的初始值0x后，由（2-3）产生的序列{nx}收敛到方程f(x)=0的根。
多点迭代法的一般形式为：
1ni1ii1ix,,x,x(Fx） i=0，1，… （2-4）
其中迭代函数F（n1y,,y）的选取也可有不同的形式，但选取的目的是：给出合适的初始值1n20x,,x,x，由（2-4）产生的序列{kx}应收敛到方程f(x)=o的根。
但不管那一种方法，都希望所选用的迭代函数所产生的序列是收敛的，且恰好收敛到所求方程f(x)=0的根。那么怎样选取迭代函数F及初始值？在介绍方法之前，先介绍两个重要概念。
1．局部收敛性：设是（2-1）的根，若存在的一个邻域，当迭代初值属于时，迭代法得到的序列{kx}收敛到，则称该迭代法关于根具有局部收敛性。
2． 收敛速度：设ix为第i次迭代值，是（2-1）的根，令iix，且假设迭
代收敛，即iixlim。若存在实数P1，使 c||||limpi1ii0
则称此方法关于根具有P阶收敛速度。C称为渐近误差常数，渐近误差常数C与f(x)有关。C0保证了P的唯一性。对于特殊的函数，C可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。
一、 简单迭代法
简单迭代法具体做法如下：把方程f(x)=0写成与其同解的方程：
x=F(x) （2—5）
然后建立迭代格式)x(Fxk1k。
但这种同解方程可有无穷多种。如果选取的F（x）满足如下定理的条件，则产生的序列必收敛。
定理：设F(x)满足条件：
（1）当x[a,b]时，F(x) [a,b]
（2）F（x）在[a,b]上满足Lipschitz条件，且Lipschitz常数L<1。则：
方程x=F(x)在[a,b]上存在唯一的根，且对0x[a,b]，迭代（2-3）产生的序列{ix}收敛 12 于，且有如下误差估计式：
i1iixxL11|x| （2-6）
或 10||1iiLxxxL （2－7）
证明：因为F(x)在［a,b］上满足Lipschitz条件，则F(x)在[a,b]上连续。由于F(x)
[a,b],x[a,b]，则方程x=F(x)在[a,b]中至少有一根。如果方程x=F(x)在[a,b]中还有一个根，则由Lipschitz条件知：
||L|)(F)(F|||
由于0L<1,故必有，即根唯一。现仍取]b,a[x0，下证由 )x(Fxk1k产生的序列收敛于。
由于|x|L|)(F)x(F||x|kk1k0|x|L01k（k）
从而知)k(xk
再证（2－6）式，由于|)x(F)x(F||xx|2ik1ik1ikik
|xx|L2ik1ik
……
|xx|Li1i1k
从而知：||xx||xx||xx||xxi1i2in1in1ininiin
|xx|)1LL(i1i2n1n
<111iixxL|
令n，则得：
|xx|L11|x|i1ii
而（2—7）由上式继续递推即可得。
此定理告诉我们，如果L不是很接近于１的情况下，第i次迭代值ix与所求根间的误 13 差，可近似地用|i1ixx|来表示。由（2—7）还可预测要达到某一精度，需迭代的次数。
例：求92x-sinx-1=0在[0，1]内的一个实根。
解：令：f(x)=91xsinx2，由于f(x)=18x-cosx，故f(x) 在[0，+)先降而后升，因f(0)=－1<0，故可知f(x)在[0，+)只有一个零点，又因f（1）>0，故f(x)在[0，1]有且只有一个零点，现令：F (x)=1xsin31，则x=F(x)在[0，1]与原方程同解，易知F(x)满足定理的条件，从而令：
)x(Fxk1k，即：1xsin31xk1k
由于'cos()6sin1xFxx，所以.1()6Fx。因此可令L=16，如取0x=0.4，1x=0.392911969如要求误差不超过810，则由（2—7）可估计迭代次数i如下：810||101iiLxxxL
108ln10lnln(1)lnxxLiL=7.62025
而实际计算得如下结果：
=0.39186907 这与上面所分析的结果是一致的。
如果F (x)不满足定理条件就很难保证所得序列收敛。如取F (x)=arcsin(91x2)， 0x 0.4 6x 0.391846948
1x 0.392911969 7x 0.391846912
2x 0.391986409 8x 0.391846907
3x
4x 0.391865185
0.391849302 9x 0.391846907
5x 0.391847220
