专题实验四方程近似解的求法.

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专题实验四方程近似解的求法

(4)、fsolve(fun,x0)
%求非线性方程fun=0在
估计值x0附近的近似解
解：>>fsolve('x-exp(-x)',0)
结果： 0.56714316503697
(5)、fzero(fun,x0)
%求函数fun在x0附近的根
例：求方程x-10x+2=0在x0=0.5附近的根解：>>y=@(x)x-10^x+2;
qujian=input(‘请输入区间=');
err=input(‘请输入误差=');
a=qujian(1); b=qujian(2);
yc=1;
while((b-a)>err)&(yc~=0);
c=(a+b)/2;
ya=subs(f,x,a); yb=subs(f,x,b); yc=subs(f,x,c);
>>fplot(y,[-1,1]) %注意不能用plot
>>fzero(y,0.5)
结果：0.3758
三、函数极值的求法
（1）一元函数极值的求法
Matlab中，求一元函数极值的函数为 fminbnd
1、此函数最简输入格式为：x=fminbnd(f,a,b)
含义为：求函数f在区间[a,b]上的最小值点(自变量值).
f 1 0与f x同号所以取x0=1为迭代初始值
运用以上程序，得结果：x0=0.67065731072581
练习：
1、用二分法求方程 x3 x 1 0 在区间（1，1.5）
内的实根（要求准确到小数点后的第2位）
2、用迭代法求方程 x ex 在附近的一个根，要求精度

方程的近似解法Word版

第二章方程求根在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。

当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。

对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。

本章主要介绍求非线性方程根的一些常用方法。

它们是增值寻根法、二分法、迭代法、牛顿法及割线法。

这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的精度为止。

也即求非线性方程根的数值方法。

第一节第一节增值寻根法与二分法 2.1.1 增值寻根法设非线性方程f(x)=0的根为*x ，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x 开始，按规定的一个初始步长h 来增值。

令 1n x +=n x +h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1n x +)。

在增值的计算过程中可能遇到三种情形：(1) f(1n x +)=0，此时1n x +即为方程的根*x 。

(2) f(n x )和f(1n x +)同符号。

这说明区间［n x , 1n x +］内无根。

(3) f(n x )和f(1n x +)异号，即有f(n x )·f(1n x +)＜0此时当f(x)在区间［n x , 1n x +］上连续时，方程f(x)=0在［n x , 1n x +］一定有根。

也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，n x 或1n x +均可以视为根的近似值。

下一步就是设法在该区间内寻找根 *x 更精确的近似值，为此再用增值寻根法把n x 作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100h h =，这样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)更接近于零的n x ，作为*x 更精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1n x +-n x ｜＜ε(ε为所要求的精度)为止。

此时f(n x )或f(1n x +)就可近似认为是零。

方程的近似解

方程的近似解大家好，我今天要谈论的是“方程的近似解”。

令()为有限多元函数，求解()=0的根，称为求解方程。

求解方程的方法很多，但它们能够准确求得根却不多。

在实际工作中，很多时候我们需要寻找近似解。

近似解指的是某个方程的接近解，但不完全等于0。

近似解的意义在于它们比根更容易求得，但仍可以用于算法的一些计算和应用。

通常来说，要找到近似解，就需要定义某个误差量来度量它们之间的差异。

在具体应用中，我们可以将误差量作为近似解的公式来计算。

以下是一些常用的近似解求取方式：（1）平方根法：平方根法是其中一种最古老的方法，可以用来计算一个方程的近似解。

它使用迭代法求出方程的近似解，直到解收敛为偶函数为止。

（2）牛顿法：牛顿法是另一种比较古老的方法，它使用多项式近似函数和偏导数来对方程求解。

它最初是由牛顿发明的，后来被改进。

牛顿法可用来计算一个特定方程的近似解，但它也有其缺点，即在特定情况下，它可能无法收敛到解。

（3）梯度下降法：梯度下降法是一种非常流行的数值方法，它可以用来求解一个多变量函数的极小值。

它使用步长来移动步长，以便在每个步骤上求出一个近似解。

该方法也有一定的局限性，它有可能陷入局部最小值。

（4）拟牛顿法：拟牛顿法是一种近似求解方程的近似方法，它使用迭代法更新解，直到解收敛到某个精度为止。

它的优点在于它的执行速度很快，而且可以在高精度下求得一个近似解。

以上就是关于求取方程的近似解的介绍。

有了这些算法，我们可以更容易地求出近似解，让方程更容易求解。

它们可以帮助我们更快地解决一些复杂的数值问题。

在实际应用中，我们还可以组合使用这些方法，在一定精度范围内，以更快的速度解决一些复杂的数值问题。

总之，方程的近似解对于许多数值计算问题来说是非常有用的，近似解的求取方法也有很多，比如平方根法、牛顿法、梯度下降法和拟牛顿法等。

我们可以根据实际应用情况，灵活选择这些方法，帮助我们更快地解决这些问题。

用数学实验探究方程的近似解例析

用数学实验探究方程的近似解例析（秦皇岛市第一中学河北秦皇岛066000）史洪杰李会娥摘要用数学实验的方法在计算机上利用数学软件的交互功能，现场演示数据与图像之间的关系，把不常见的、难以理解的内容变为直观的、浅显的动态感性材料，使学生既可以看到图形产生的过程，又有了一种真实的感受，享受数学美的过程，让学生轻松、快乐地学习数学，掌握数学知识。

关键词数学实验GeoGebra方程的近似值一、问题的提出信息技术与数学课堂整合，使用信息技术改进数学教学已经引起广泛的重视。

一些过去只能通过思维、表象和想像领会的数学内容，可以直观的表示和处理。

一些与数据处理有关的繁难计算，都能通过计算机进行。

现代信息技术强大的认知工具作用，无疑将极大地影响数学课程的发展。

我们的数学课程，应该提供给学生越来越充分的自主探索、合作交流、积极思考和实践操作的机会。

现实的、有趣的和探索性的数学学习活动将成为数学课程内容的有机组成部分。

本文试就教师如何利用计算机数学软件GeoGebra为学生创设实验情境，提高学生思维能力进行探讨。

GeoGebra是整合几何、代数、微积分及统计的动态数学软件，它是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授MarkussHo-henwarters所设计的。

一方面，GeoGebras为一套动态的几何系统，可用点、向量、线段、直线、圆锥曲线来作图，并随后动态修改。

另一方面，可在命令框中直接输入代数表达式，输入完成后回车，所输入的代数表达式即可在代数区中显示，同时相应的几何图形也会在绘图区出现。

在展示函数图象上比几何画板具有强大的优势。

问题1：用二分法求方程lnxx+2xs-s6s=s0的近似解（精确到0.1）用二分法求方程的近似解是求方程近似解的常用方法，学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想。

但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难。

方程的近似解析解

x
第一步：把Cauchy问题转化为等价的积分方程：
y ( x) y0 f (t , y (t )) dt
x0
第二步：构造Picard逼近序列：
yn ( x) y0 f (t , yn 1 (t )) dt , n 1,2,
x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
y1 ( x) y0 f (t , y0 (t )) dt
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结束
解：（2）对于平面上任一点p=(x,y),x≠0,方向斜率为
x tan y
这与向径OP的方向垂直，因此方向场略图为
解：（3）这个微分方程的方向场没有如上所示的简单规律。
p (0,0) 处 tan 0, 0; p (1,0) 处 tan 1, ; 4 p (0,1) 处 tan 1, ; 4 2 2 3 1 p( , ), , ( , ) 处 tan 1, ; 4 2 2 2 2
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例2.11作出下列微分方程的方向场略图
y x (1) y ; (2) y ; (3) y x 2 y 2 x y
解：（1）对于平面上任一点p=(x,y),x≠0,方向斜率为
y tan x
这与向径OP的方向一致，因此方向场略图为
机动
x
x
第2.4节正交方向场和正交轨线
已知方向场另一个方向场
令T1，T2表示平面区域D上的两个方向场，若对D上任一点， T1和T2 的方向斜率均正交，则称T1，T2为正交的方向场。例如.微分方程
xdy ydx 0
, xdx ydy 0

牛顿法用导数方法求方程的近似解

引例：已知方程 x3 x 1 0 ，
（1）判断方程根的个数；
（2）已经学习过求方程近似解的方法有哪些？
牛顿法：
(x0 , f (x0 ))
x1,0
问题：试找出 x0与x1 的关系。
同理，xn与xn1的关系式如何表达？
xn1
xn
f (xn ) ( f f ' (xn )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
' (xn ) 0)
1, n
N*)。
xn
1 xn
,
n
N
*,
x1
3 2
（1）求证： 2 xn1 xn;
（2）求证：
xn1 xn
2 2
1 4
；
（3）求证： xn 2 41n1。
作业：
已知数列xn 满足xn1
xn xn ln xn, n N*, x1
1 2
，
（1）求证：1 xn xn1;
（2）求证：
xn
1
1 2
(1 ln 2)n1(n
问题：不同的初始值对方程的近似解有什么影响？
问题：如果是电脑计算方程的近似解，如何确定停止运算的条件？
精度的概念:
1 xn1 xn
z0
问题：通过刚才的例子能否感受到牛顿法求方程近似解的优点与缺点？
实际应用：例1：试用牛顿法估算 2 的值。
数列链接：
例3：已知数列
xn
满足：xn1
1 2
由于我们已知函数 f (x) x3 x 1 ，于是：
xn1
xn
xn3 xn 1 3xn2 1
化简后可得：
xn1
2xn3 3xn2
1 1
下面我们将以小组为单位，当给出不同的初始值 x0 时，分别计算 x1, x2 , x3 ，并将计算好的结果填入表格。

初中数学如何求解一元二次方程的近似解

初中数学如何求解一元二次方程的近似解在初中数学中，求解一元二次方程的近似解是一个重要的概念。

在这里，我将详细解释如何使用近似方法来求解一元二次方程，并提供一些实例和解题技巧。

希望这能帮助你更好地理解和应用一元二次方程的近似解。

首先，让我们回顾一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是实数，且a不等于0。

对于一些复杂的一元二次方程，我们可能无法通过代数方法精确求解得到方程的根。

这时，我们可以使用近似方法来获得一个接近于真实解的估计值。

一元二次方程的近似解可以通过以下方法来获得：方法1：图像法通过绘制方程的图像，我们可以观察到方程的根在哪个区间内，并获得一个近似解的估计值。

我们可以使用计算机或手绘图像来帮助我们更准确地确定方程的根所在的位置。

例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。

我们可以绘制方程的图像，并观察到方程的根位于x=1和x=3之间。

因此，我们可以估计方程的近似解为x ≈ 2。

方法2：二分法二分法是一种常用的近似求解方法，适用于对于一个在某个区间内连续的函数进行求解。

我们可以通过迭代的方式逼近方程的根。

具体步骤如下：1. 选择一个初始的区间[a, b]，确保方程在这个区间内连续。

2. 计算区间中点c = (a + b) / 2。

3. 计算方程在中点c处的函数值f(c)。

4. 如果f(c)接近于0，我们可以认为c是方程的近似解。

如果不是，则根据f(c)与0的关系，更新区间[a, b]。

5. 重复步骤2至4，直到我们获得一个满足要求的近似解。

例如，考虑方程x^2 - 4x + 3 = 0。

我们可以选择初始的区间[a, b]为[1, 3]。

计算中点c = (1 + 3) / 2 = 2，然后计算f(c) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1。

由于f(c)不接近于0，我们可以更新区间为[a, b] = [2, 3]，然后重复上述步骤，直到获得一个满足要求的近似解。

方程近似解的两种求法

方程近似解的两种求法
二分法，又称分半法，是一种方程式根的近似值求法。

对于区间[a,b]上连续不断且f(a) ·f(b)\uc0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)。

1如果要求已知函数 f(x) = 0 的根 (x 的解)，那么
2先要找到一个区间 [a, b]，使f(a)与f(b)异号。

根据介值定理，这个区间内一定包含着方程式的根。

3求该区间的中点m=(a+b)/2，并找到 f(m) 的值。

4若 f(m) 与 f(a) 正负号相同，则取 [m, b] 为新的区间, 否则取 [a, m]。

5重复第3步和第4步，直至获得理想的精确度年才。

方程近似解法

由定理条件2和微分中值定理,得
xn xn 1 ' n xn 1 m xn 1
m n x0 ,
i xi 1 , , i n, n 1,,1
证毕。
由于 0 m 1, 所以有 lim xn . n
图（略）
f x x3 2 x 2 4 x 7 0 在[3,4]内的根, 例.求方程
(准确到十五位有效数字). (下略).
20
§2.6 用牛顿法解方程组
牛顿迭代公式也可用下述方法得到
x ( x) f ( x) ( x) x f ( x )
2
若
f ( x) f ( x) f ( x) ( x) 1 2 f ( x)
f ( x) f ( x)
f ( x)
2
m 1
则迭代收敛.于是有定理 [定理] 若 f ( x) 在根附近不为0,f x 存在,且
第二章方程的近似解法
§2.1
问题：
引言
求f ( x ) 0 的实根。
几何意义: 求曲线y f ( x ) 与x 轴交点的横坐标。求根步骤 : 1. 根的隔离（作图法、试值法） 2.根的精确化
§2.2
根的隔离
一.根的隔离求 f ( x) 0的近似根时,首先要确定出若干区间,
使每个区间上有且仅有 f x 0 的一个根, 这个步骤，就叫做根的隔离。对一般方程来说，隔离根的方法通常有以下两种：（1）试值法。（2）作图法。
对于代数方程有如下定理：
设有 f x a0 x n a1 x n 1 an (a0 0) [定理] 且 A max a1 、 2 、、 n a a

牛顿法求方程的近似解

牛顿法求方程的近似解牛顿法是一种用于求解方程近似解的迭代方法。

它由英国科学家艾萨克·牛顿于17世纪提出，是数值分析中广泛应用的一种方法。

牛顿法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，从而得到方程的近似解。

牛顿法的具体步骤如下：1. 选择一个初始近似解x0；2. 计算方程在x0处的函数值f(x0)以及其导数f'(x0)；3. 根据切线的性质，求出通过(x0, f(x0))点的切线方程，即y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)；4. 求出切线方程与x轴的交点，即求解f'(x0)(x - x0) + f(x0) = 0，得到近似解x1；5. 将x1作为新的近似解，重复步骤2-4，直到满足预设的停止条件。

牛顿法的原理是利用切线逼近曲线，通过不断迭代逼近方程的根。

其迭代公式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)。

牛顿法的优点是收敛速度快，精度高，适用于求解非线性方程的解。

但也存在一些限制，如迭代过程中可能出现发散现象，初始值的选择对结果有较大影响等。

接下来，我们通过一个具体的例子来说明牛顿法的应用。

假设我们要求解方程f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0的近似解。

首先，我们选择一个初始近似解x0 = 2。

计算出f(x0) = 1和f'(x0) = 10。

根据牛顿法的迭代公式，我们可以得到x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 2 - 1/10 = 1.9。

接下来，我们再次计算f(x1) = -0.059和f'(x1) = 9.41。

再次代入迭代公式，得到x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = 1.9 - (-0.059)/9.41 = 1.895。

重复以上步骤，我们可以得到更精确的近似解。

经过若干次迭代，我们得到的近似解越来越接近方程的真实解。

需要注意的是，牛顿法的收敛性和稳定性与初始近似解的选择密切相关。

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ezplot('x^4+x^2-0.8*x-32', [2,3]); grid on
在运行程序之前，先在命令窗口输入: >>syms x; >>format long 然后运行程序输入：
请输入函数f(x)= x^4+x^2-0.8*x-32
输入区间=[-3,-2] 请输入误差=0.00001 最后两次的结果：
若f a f c 0，则b c，返回步骤 3，若f c f b 0，则a c，返回步骤 3.
f=input(‘请输入函数f(x)='); qujian=input(‘请输入区间='); err=input(‘请输入误差='); a=qujian(1); b=qujian(2); yc=1; while((b-a)>err)&(yc~=0); c=(a+b)/2; ya=subs(f,x,a); yb=subs(f,x,b); yc=subs(f,x,c); if ya*yc<0 b=c; else a=c; end x0=c end 注意：输入函数前先符号化变量x
2、以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直到求得满足精确度要求的根的近似值。完成这一步工作有多种方法，这里介绍二分法、迭代法和切线法。
（1）二分法
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止
数学原理：介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定
目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。
这里主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法和切线法。同时要求大家学会如何利用MATLAB 来求方程的近似解.
相关概念
线性方程与非线性方程
( x*)
f ( x*) 0
注：若得到的点列发散，则迭代法失效！
例：求方程f(x)=x3-x-1=0在x=1.5附近的根x0
将方程 x3 x 1 0改写成下列形式 x 3 x 1
由此得到迭代公式： xk 1 3 xk 1k 1,2,3,
迭代初值x0=1.5，MATLAB程序如下 x0=1.5;

f (x) = 0 f (x) 的零点
等价变换
x = (x)
(x) 的不动点
收敛性分析
若
xk x * ，假设 (x) 连续，则 xk 收敛，即 lim k
lim xk 1 lim ( xk ) lim xk x*)
专题实验四：方程近似解的求法
实验目的：
（1）掌握求方程近似解的二分法、迭代法和牛顿迭代法的算法原理，会用MATLAB语言编程实现以上方法。（2）学会使用MATLAB中内部函数fzero、fsolve、 roots求解方程。
一、代数方程近似求解
解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。
f ( x) 0
如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程；否则称之为非线性方程这里主要讨论非线性方程的数值求解。
求方程的近似解，可分两步来做：
1、确定根的大致范围，就是确定一个区间[a,b]，使所求的根是位于这个区间内的唯一实根，这一步工作称为根的隔离，区间[a,b]称为所求实根的隔离区间。为了确定根的隔离区间，可以先画出y=f(x)的图形，然后从图上定出它与x轴交点的大概位置。
x0= -2.240280151367188
x0= -2.240287780761719
（2）迭代法
构造 f (x) = 0 的一个等价方程：从某个近似根 x0 出发，计算
x ( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
xk k 0
例：用二分法求方程x4+x2-0.8x-32=0的实根的近似值，使误差不超过10-3 （1）求根的初始隔离区间输入命令：ezplot('x^4+x^2-0.8*x-32'); grid on
通过观察，根应在-3到-2之间和2到3之间，进一步画出该部分的图形。
ezplot('x^4+x^2-0.8*x-32', [-3,-2]); grid on
f xk xk 1 xk f xk
牛顿法迭代公式
牛顿迭代公式
f ( x0 ) x x0 f '( x0 )
k = 0, 1, 2, ... ...
xk 1
取该端点为x0，则点(x0,f(x0))处的切线方程为：
y f x0 f x0 x x0
y=0时，解出与x轴的交点的横坐标
f x0 x1 x0 f x0
它比x0更接近于方程的根，它可以作为根的近似值。在点(x1 , f (x1))作切线，可得根的近似值x2，如此下去，一般,在点(xk, f (xk))作切线，可得根的近似值
for i=1:20
x0=(x0+1)^(1/3) end
（3）牛顿迭代法
设f x 在a, b上具有二阶导数。 f a f b 0且f x 及f x
在a, b上保持定号，此时方程 f x 0在a, b 内有唯一实根。
[a,b]为根的一个隔离区间。如果在纵坐标与二阶导数同号的那个端点作切线，这切线与x轴交点的横坐标就比端点更接近于方程的根。
理可得，在 (a, b) 内至少存在一点使得 f()=0
算法如下：
步骤 1
步骤2 步骤3
步骤4
输入误差限 0;
a, b，使f a f b 0; 确定初始隔离区间
若b a ，则输出近似值 a停止；
ab c ，若f c 0，则输出解 c，否则 2

专题实验四方程近似解的求法.

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