求代数方程的近似根22页PPT

主要内容
本实验讨论的数值算法
对分法 不动点迭代法
不动ห้องสมุดไป่ตู้迭代一般形式 松弛加速迭代法
牛顿迭代法
8
不动点迭代法
基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程：x 从某个近似根 x0 出发，计算
( x)
xk 1 ( xk )
得到一个迭代序列
k = 0, 1, 2, ... ...
11
k
迭代法收敛性判断
q 越小，迭代收敛越快
’(x*) 越小，迭代收敛越快
以上所给出的收敛性定理中的条件的验证都比较 困难，在实际应用中，我们常用下面不严格的判别 方法：
当有根区间 [a, b] 较小，且对某一 x0[a, b] ，
|’(x0)| 明显小于 1 时，则我们就认为迭代收敛 例：用不动点迭代法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。
例：用对分法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。（fuluA.m）
6
对分法收敛性
收敛性分析
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的 区间序列 {[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。 设方程的根为 x* (ak , bk ) ，又 xk
基本思想
将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后 再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止
数学原理：介值定理
设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)<0，则由介值定 理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 使得 f()=0
适用范围
求有根区间内的 单重实根 或 奇重实根

不动点迭代一般格式
2019年8月28
感谢你的观看
8
不动点迭代法
不动点迭代基本思想
构造 f (x) = 0 的一个等价方程： x ( x)
从某个近似根 x0 出发，计算
xk1 ( xk ) k = 0, 1, 2, ... ...
得到一个迭代序列
x k k0
(4) 返回第一步
例：用对分法求 x3 - 3x + 1 = 0 在 [0, 1] 中的解。 fuluA.m
2019年8月28
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6
对分法收敛性
收敛性分析
根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列
{[ak , bk ]} ，在 (ak , bk ) 中含有方程的根。
设方程的根为 x* (ak , bk ) ， 又
fuluE.m
2019年8月28
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17
牛顿迭代
牛顿迭代法
2019年8月28
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18
牛顿迭代法
牛顿法基本思想
用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法
设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 x0 处的 Taylor 展开为
f (x)
f ( x0 )
f '( x0 )( x x0 )
f (x) = 0 等价变换 x = (x)
f (x) 的零点
(x) 的不动点
2019年8月28
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9
迭代法的收敛
收敛性分析
若
xk
收敛，即
lim
k
xk

x，* 假设
(x)

”
次函数图像的顶点落在点P处，写出平移后二次函数图像对应的函数表达式，并判断点P是否




在函数y ＝ x＋ 的图像上，请说明理由．
能力提升
(1) 图略
(2)图略
方程x2＋x＝1的近似根为x1≈－1.6，x2≈0.6
由图像，可知当x＜－1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值
(3)由y＝x2＋x＝
2x＋2


点P在函数y＝ x＋ 的图像上




×(－1)＋ ＝1.∴




理由：在y＝ x＋ 中，令x＝－1，得y＝




点P(－1，1)在函数y＝ x＋ 的图像上．


完成备作业。
课堂小结
1.利用图像法求一元二次方程的根的方法.
2.怎样利用二次函数的图像求一元二次不
等式的解集？
“ THANKS
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.4.2利用函数图像求一元二次
方程的根或根的近似值
1.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
2.会利用表格求一元二次方程的近似解。
3. 二次函数的图像与不等式问题。
函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，你能看出
方程x2－2x－3＝0的解吗？
函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方
观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0.
【归纳总结】
根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值
范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，

观察上表可以发现，当x分别取-0.
通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
3.2 3.3 (1) ①-x2+x+2=0;
解：画出函数 y=xx²-2x-1
的图象（如下图…），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在…2与3之间.
பைடு நூலகம்
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽
量要准确．
y=ax +bx+c （1）方程
的解2是什么？
5，利用计算器进行探索，见下表：
与直线y=m（m是实数）图象交点的横
分析：一元二次方程 x²-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x²-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出
分析：令y=x²-2x-1-3=x²-2x-4，则x²-2x-1=3的根就是抛 物线 y=x²-2x-4 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以 先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的 横坐标.
解：y=x²-2x-4的图象如图所示.
ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.
x1
2
x2
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，
x2≈0.5.故选B.
方法总结
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再 根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度， 直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
例2：求一元二次方程 x22x13的近似根（精确到
0.1）.

第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数求方程的近似根
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的 交点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
二次函数 y = ax2
一元二次方程
+ bx + c 的图象 与 x 轴交点
ax2 + bx + c = 0 的根 Δ = b2 - 4ac
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
2. 小颖用计算器探索方程 ax2+bx+c=0 的根，作出如图
所示的图象，并求得一个近似根 x=-3.4，则方程的另
一个近似根（精确到 0.1）为（ D ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4
D．1.4
3.已知二次函数 y x2 6x 8 的图象，利用图象回
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是__−_1__<_x__<_3___.
y
拓广探索：
(−2，2) 2
O 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， −2 −1
(4，2)
x 34
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是_x_1_=__−_2_，__x_2_=_4__； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是_x__<_−_2__或__x__>_4__；
A. x1≈－2.1，x2≈0.1
B. x1≈－2.5，x2≈0.5
C. x1≈－2.9，x2≈0.9

解：y=x²-2x-4的图象如图所示.
2
解：由图象可知方程的一根在3到 4之间，另一根在-1到-2之间. (1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：
x
…
3.2
3.3
…
y
…
-0.16
0.29
…
因此，x=3.2是方程的一个近似根. (2)可类似地求出另一个根为x=-1.2.
第12页，共24页。
例2变式：你还能利用y=x²-2x-1 的图象求一元二次方程
答问题：
（1）方程 x2 6x 8 0的解是什么？ y
（2）x取什么值时，y>0 ？
8
（3）x取什么值时，y<0 ？
解：（1）x1=2,x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4.
O2 4 x
第24页，共24页。
问题3 • 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么 • 函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有_____0_个交点； • 不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解； (2)当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
第18页，共24页。
当堂练习
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x
的范围是（
）C