柱体、锥体、台体的表面积和体积
【知识梳理】
1．几种几何体的表面积公式
图形 表面积公式
多面体
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积
旋转体 圆柱
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)
锥体的体积公式V＝13Sh(S为底面面积，h为高)
台体的体积公式V＝13(S′＋S′S＋S)h
【常考题型】
题型一、柱、锥、台的表面积
【例1】 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
[解析] 由三视图，画出几何体的直观图易求得基本量，如图所示，其表面积S＝2＋5×42×2＋4×(2＋4＋5＋5)＝28＋64＝92.
[答案] 92
【类题通法】
1．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．
2．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解．
【对点训练】
1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)．
同理可得SB＝40(cm)，
所以AB＝SB－SA＝20(cm)．
所以S表＝S侧＋S上＋S下
＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202
1 人教版高中数学必修二知识点汇总
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ①侧面是梯形 ①侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；①母线与轴平行；①轴与底面圆的半径垂直；①侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；①母线交于圆锥的顶点；①侧面展开图是一个扇形。
2 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；①侧面母线交于原圆锥的顶点；①侧面展开图是一个弓形。
1 第一章 立体几何初步
特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线）
chS直棱柱侧面积
'21chS正棱锥侧面积
')(2121hccS正棱台侧面积
rhS2圆柱侧 lrrS2圆柱表
rlS圆锥侧面积 lrrS圆锥表
lRrS)(圆台侧面积 22RRlrlrS圆台表
柱体、锥体、台体的体积公式
VSh柱
13VSh锥
''1()3VSSSSh台
2VShrh圆柱
hrV231圆锥
''2211()()33VSSSShrrRRh圆台
（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R ； S球面=24R
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
B∈L => l
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.
L A
· α
C · B · A
· α
P
· α L β
2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1
空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
7.3 球的表面积和体积
学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).
知识点一 柱、锥、台体的体积公式
几何体 体积公式
柱体 圆柱 V柱体＝Sh
S—柱体底面积 h—柱体的高 棱柱
锥体 圆锥 V锥体＝13Sh
S—锥体底面积 h—锥体的高 棱锥
台体 圆台 V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)·h
S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高 棱台
【预习评价】
简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？
提示 表面积变大了，体积不变.
知识点二 球的体积公式与表面积公式
1.球的体积公式V＝43πR3(其中R为球的半径).
2.球的表面积公式S＝4πR2.
【预习评价】
球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
提示 球没有底面，球的表面不能展开成平面.
题型一 柱体、锥体、台体的体积
【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，因此该几何体的体积V＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m3).
答案 83π
(2)在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，2AB＝3CD，M为AE的中点，设E－ABCD的体积为V，那么三棱锥M－EBC的体积为多少？
解 如图，设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.
连接MD.
因为M是AE的中点，
所以VM－ABCD＝12V.
所以VE－MBC＝12V－VE－MDC.
而VE－MBC＝VB－EMC，VE－MDC＝VD－EMC，
所以VE－MBCVE－MDC＝VB－EMCVD－EMC＝h1h2.
