幂函数与反比例函数幂函数与反比例函数的像和性质
幂函数与反比例函数的像和性质
一、幂函数的像和性质
幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数常数，且x为定义域内大于0的实数。幂函数的像和性质主要包括指数的正负和取值范围、幂函数的图像特征及对称性。
1. 指数的正负和取值范围
当指数a大于0时，幂函数的定义域为正实数集(0, +∞)，这是因为幂函数要求x大于0，否则会得到非实数结果。
当指数a小于0时，幂函数的定义域为非零实数集R*，这是因为幂函数求倒数时，要求x不能等于0，否则会得到无穷大的结果。
根据指数的正负和取值范围的不同，幂函数的图像会有所区别。
2. 幂函数的图像特点
当指数a大于1时，幂函数的图像呈现上开弯曲的形状，随着x的增大，函数值也越来越大，增长速度逐渐加快。
当指数a介于0和1之间时，幂函数的图像呈现上开但趋于平缓的形状，随着x的增大，函数值增长速度逐渐减慢。 当指数a等于1时，幂函数的图像为一条直线，斜率为1，函数值与x成正比。
当指数a小于0时，幂函数的图像呈现下开的形状，随着x的增大，函数值趋于0但不等于0。
3. 幂函数的对称性
当指数为偶数时，幂函数具有y轴对称性，即f(x)=f(-x)，图像关于y轴对称，左右两侧形状相同。
当指数为奇数时，幂函数具有原点对称性，即f(x)=-f(-x)，图像关于原点对称，左右两侧形状颠倒。
二、反比例函数的像和性质
反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数常数。反比例函数的像和性质主要包括定义域、图像特征及其与幂函数的关系。
1. 反比例函数的定义域
反比例函数的定义域为除去x=0之外的所有实数集，因为反比例函数的分母不能为零。
2. 反比例函数的图像特点
反比例函数的图像为一个以原点为对称中心的一条曲线，其左右两侧的形状相似但关于y轴对称。
随着x的增大，函数值逐渐逼近0但不会等于0；随着x的减小，函数值也逐渐逼近0但不会等于0。 3. 反比例函数与幂函数的关系
新人教A版必修1《幂函数》教案
一、教学内容
新人教A版必修1《幂函数》教案，本节课主要依据教材第二章第二节内容进行设计。教学内容包括：
1. 幂函数的定义与性质
- 幂函数的一般形式：f(x) = x^a（a为常数）
- 幂函数的性质：单调性、奇偶性、过定点等
2. 常见幂函数的图像与性质
- 正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像与性质
3. 幂函数的应用
- 解决实际问题，如计算面积、体积等
- 探究幂函数在数学竞赛中的应用
本节课旨在帮助学生掌握幂函数的定义、性质，学会绘制常见幂函数的图像，并能运用幂函数解决实际问题。同时，通过本节课的学习，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和数学应用意识。
二、核心素养目标
新人教A版必修1《幂函数》教案，本章节核心素养目标如下：
1. 理解与运用：通过幂函数的学习，使学生理解函数的概念及其表达方式，掌握幂函数的定义、性质，并能运用幂函数解决实际问题，提高数学建模能力。
2. 探索与分析：培养学生通过观察、分析幂函数图像，发现幂函数性质的能力，提高学生数形结合的思维能力。
3. 逻辑推理：引导学生运用定义和性质进行推理，证明幂函数的相关性质，培养逻辑推理能力和数学论证素养。
4. 数学抽象：帮助学生从具体实例中抽象出幂函数的一般规律，培养学生的数学抽象思维。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 核心内容一：幂函数的定义及其一般形式
- 重点讲解幂函数的一般形式f(x) = x^a，强调a为常数的特点。
- 通过实例展示，让学生理解不同a值对应的幂函数图形差异。
- 核心内容二：幂函数的性质
- 强调幂函数的单调性、奇偶性、过定点等性质。
- 结合具体幂函数，如f(x) = x^2、f(x) = x^3等，讲解其性质并举例说明。
- 核心内容三：常见幂函数的图像与性质
- 详细分析正比例函数、反比例函数、二次函数、三次函数的图像及其性质。
- 引导学生观察图像，总结性质，并能运用性质解决相关问题。
交大二附中高2016届高一数学核心讲义 基本函数图像绘制
1 函数图像绘制
一次函数
()21fxx ()21fxx
一次函数图像绘制技巧：两点确定一条直线
二次函数
2()2fxxx 2()23fxxx
二次函数图像绘制技巧：顶点（配方），x、y轴交点（分解因式），对称轴
反比例函数
1()fxx 1()fxx
分式型函数
23()1xfxx 31()21xfxx
反比例和分式图像绘制技巧：双曲线；分离常数后寻找对称中心点，注意渐近线，通过分子的正负确定两分支的分布
简单幂函数
()fxx 3()fxx 3()fxx
交大二附中高2016届高一数学核心讲义 基本函数图像绘制
2 对勾函数
4()fxxx ()(0)afxxax
类对勾函数
1()fxxx 2()xfxxx
绝对值函数图像（系数为1）
()12fxxx ()12fxxx
槽型图； Z形图
()()fxxaxbab ()()fxxaxbab
含绝对值函数图像画法：（图像变换）
2()23fxxx 2()23fxxx
3.3 幂函数
课标要求 素养要求
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
教材知识探究
给出下列五个问题：①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数.
③如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S12，这里a是S的函数.
⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数.
问题1 上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
问题2 判断一个函数是幂函数的依据是什么？
问题3 幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上为增函数时，α满足的条件是什么？在区间(0，＋∞)上为减函数时，α满足的条件是什么？
提示 1.①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x12，⑤y＝x－1.
2.依据是幂函数的定义，即解析式符合幂函数解析式的形式.
3.当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
1.幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论：
(1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的幂指数由大变小.
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1
