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反正弦函数 教案设计教学目标：1、 知识与技能：理解反正弦函数的概念，掌握反正弦函数的图像和基本性质；2、 过程与方法：经历在正弦函数的某个单调区间上建立反正弦函数的过程，会求反正弦函数值，会用反正弦函数值的形式表示角的大小；在研究问题的过程中体会数形结合和等价转化等数学思想方法。
教学重点：反正弦函数的概念；反正弦函数的图像和性质。
教学难点：反正弦函数的概念。
教学过程：一、 探索发现（1） 已知1sin ,[0,]22x x π=∈，求x 。
（2） 已知1sin 3x =，求x 。
教师提问：一般地，已知角x 的正弦值，如何求x ？ 问题转化为：在正弦函数sin y x =中，已知函数值y ，如何求自变量x ？师生讨论正弦函数是否具有反函数。
二、 问题驱动问题1：结合正弦函数sin ,y x x R =∈的图像，考虑它是否具有反函数？复习反函数的概念。
问题2：你能否创设条件，使sin y x =能够存在反函数？即如何从R 中寻找一个区间，使x 与y 一一对应。
选取区间的三个依据：①sin y x =在此区间上存在反函数；②能够取到sin y x =在[1,1]-的一切函数值；③区间关于原点对称，应用方便。
所以选取闭区间[,]22ππ-，则sin y x =在该区间上存在反函数。
三、 概念提出1、反正弦函数的概念及表示 明确sin ,[,]22y x x ππ=∈-存在反函数后，考虑它的反函数。
回顾求反函数的步骤——反解，互换，求定义域。
反解x ，引入新的符号arcsin ，即arcsin ,[1,1]x y y =∈-，将x 与y 互换，得arcsin ,[1,1]y x x =∈-，称为反正弦函数。
定义：函数sin ,[,]22y x x ππ=∈-的反函数叫做反正弦函数，记作arcsin ,[1,1]y x x =∈-。
3.反正弦函数的图像与性质①图像与原函数关于直线y x =对称；②定义域：原函数的值域[1,1]-；值域：原函数的定义域[,]22ππ-；最值：min max 1,;1,22x y x y ππ=-=-==；③奇偶性——奇函数：arcsin()arcsin x x -=-；④单调性——在[1,1]-上单调递增；⑤性质1：sin(arcsin ),[1,1]x x x =∈-；⑥性质2：arcsin(sin ),[,]22x x x ππ=∈-。
课 题：6.4反三角函数（1）教学目的：1．要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤．教学重点：已知三角函数值求角教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用教学过程：一、复习引入：诱导公式应用广泛，不仅已知任意一个角，(角必须属于这个函数的定义域)，可以求出它的三角函数值，而且反过来，如果已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．这就是本节课的主要内容．二、讲解新课：简单理解反正弦函数的意义：由y =sin1︒在R 上无反函数2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y = x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单 ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数 记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，注意：“arcsin x ”表示0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的一个角，且这个角的正弦值等于x 如：11arcsin ,arcsin(),arcsin1,arcsin(1)262622ππππ=-=-=-=- arcsin00=性质：1、定义域：[]1,1x ∈- 2、值域：,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦3、单调性：在[]1,1x ∈-上单调递增；4、奇偶性：奇函数注意：（1）由图知：当[1,0)x ∈- 时，arcsin [,0),2x π∈-当(0,1]x ∈ 时，arcsin (0,]2x π∈，当0x = arcsin 0x =(2)恒等式：()[]()sin arcsin 1,1x x x =∈- ()arcsin sin ,22x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭已知三角函数求角：首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的三、讲解范例：例1 、求下列各式值：()1 ()2arcsin0 ()13arcsin 2⎛⎫- ⎪⎝⎭()34sin 2arcsin 5⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()55cos arcsin 313π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2、求下列函数的定义域和值域：()()11arcsin 212y x =- ()2y =()3sin arcsin y x x =+例3、用反正弦函数值的形式表示各式中的x ：()1sin ,,522x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦()12sin ,,422x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦()[]3sin 0,3x x π=∈ ()234sin ,,52x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭五、小结 求角的多值性法则：1、先决定角的象限2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角六、课后作业：一课一练。
6.4反三角函数（1）——反正弦函数【教学目标】1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.【教学过程】一、 情景引入 1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数；（2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-.可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质： ①图像； ②定义域[-1，1]； ③值域[-2π，2π]；④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]； ⑤单调性：增函数。
沪教版高中数学高一下期课程目录与教学计划表
教材课本目录是一本书的纲领，是教与学的路线图。
不管是做教学计划、实施教学活动，还是做学习计划、复习安排、工作总结，都离不开目录。
目录是一本书的知识框架，要做到心中有书、胸有成竹，就从目录开始吧！
课程目录教学计划、进度、课时安排
第4章幂函数、指数函数和对数函数(下)
三对数
4.4对数概念及其运算
本节综合
四反函数
4.5反函数的概念
本节综合
五对数函数
4.6对数函数的图像与性质
本节综合
六指数函数和对数函数
4.7简单的指数方程
4.8简单的对数方程
本节综合
本章综合与测试
第5章三角比
一任意角的三角比
5.1任意角及其度量
5.2任意角的三角比
本节综合
二三角恒等式
5.3同角三角比的关系和诱导公式
5.4两角和与差的余弦、正弦和正切
5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切
本节综合
三解斜三角形
5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形本节综合
本章综合与测试
第6章三角函数
一三角函数的图像与性质
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质6.2正切函数的图像与性质
6.3函数y=Asin(wx@)的图像与性质本节综合
二反三角函数与最简三角方程
6.4反三角函数
6.5最简三角方程
本节综合
本章综合与测试。
6.4反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[-2π，2π]，那么函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]就存在反函数，为什么要选取[-2π，2π]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arcsinx 是[-2π，2π]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]是奇函数，且单调递增. 二、教学目标设计1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.四、教学用具准备 直尺、多媒体设备 五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入 1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin 在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数； （2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-. 可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像②定义域[-1，1]③值域[-2π，2π] ④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2π，2π]与函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin6π=21，且6π∈[-2π，2π]，所以arcsin21=6π. （2）因为sin0=0，且0∈[-2π，2π]，所以arcsin0=0.（3）因为sin （-3π）=-23，且-3π∈[-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3π.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：（1）sinx=32，x ∈[-2π，2π]； （2）sinx=-51，x ∈[-2π，2π]； （3）sinx=-33，x ∈[-π，0].解：（1）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin32； （2）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin （-51）=- arcsin 51； （3）在区间[-2π，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-33）=- arcsin 33； 在区间[-π，-2π]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin33，满足 sinx=-33.因此x= arcsin33或x=-π+arcsin 33. 例3．化简下列各式：（1）arcsin （sin7π）；（2）arcsin （sin54π）；*（3）arcsin （sin20070） 解：（1）因为7π∈[-2π，2π]，设sin7π=α，所以arcsin α=7π，即arcsin （sin7π）=7π.（2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 54π=α，所以arcsin （sin54π）= arcsin （sin 5π）= arcsin α=5π. （3）因为sin20070=sin （5×3600+2070）=sin2070=sin （1800+270）=-sin270所以arcsin （sin20070）= arcsin （-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x ，则2y= arcsin2x ，因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2π]，所以x ∈[-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y ，x=21 sin 2y ，将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21]. 3．问题拓展例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x又因为arcsin （-x ）∈[-2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2π]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ， x ∈[-1，1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x ∈[2π，23π]，sinx=31，用反正弦函数值表示x. 解：因为x ∈[2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 31. [说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-2π，2π]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）arcsin23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2π，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin 3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin 6π=21. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2π]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义； （2）反正弦函数的性质.五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f （x ）=2π-arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1．关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.。
a 高一数学下册知识点梳理第4 章幂函数、指数函数和对数函数1、内容要目：幂函数的概念及其在(0, +∞) 内的单调性。
对数；反函数；指数函数、对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。
2、基本要求：掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在(0, +∞) 内的单调性。
会画幂函数的图像，熟练地将指数式与对数式互化。
对数积、商、幂的运算性质，掌握换底公式并会灵活运用，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像上的关系。
指数函数与对数函数互为反函数的结论，会解简单的指数方程和对数方程。
3、重难点：幂函数性质的探求及其运用。
对数的意义与运算性质，反函数的概念，指数函数与对数函数的图像和性质（单调性）。
说明：① 幂函数y =x (∈Q ,是常数) 的定义域 D 由常数确定，但总有（0，+∞）⊆D. D不外乎是（0，+∞）, [ 0, +∞) , ( - ∞, 0) ⋃( 0, +∞) , ( - ∞, +∞) 四种。
当D = (-∞, 0) (0, +∞)或D=( - ∞, +∞) 时，幂函数y =x是奇函数或偶函数，因此研究幂函数的性质，主要是研究幂函数在(0, +∞) 上的性质。
当> 0时，y =x在（0，+∞）是增函数；当< 0时，y =x在（0，+∞）上是减函数，幂函数的图像都经过(1,1) 。
②指数函数y =a x(a > 0,且a ≠ 1) 有些同学常会与幂函数y =x (∈Q ,是常数) 混淆。
③换底公式log N =logaN.(其中a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0) ④函数y = f (x) 的定义域是它b log b的反函数y = f -1(x) 的值域；函数y = f (x) 的值域就是它的反函数y = f -1(x) 的定义域。
互为反函数的两个函数的图像关于直线y =x 对称。
⑤ 对数函数y = logax(a > 0,且a ≠ 1) 与指数函数y =a x(a > 0,且a ≠1) 互为反函数。
6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数【教学目标】1．理解函数y=cosx （x ∈R ），y=tanx （x ≠k π+2π，k ∈Z ）没有反函数；理解函数y=cosx ，x ∈[0，π]，y=tanx ，x ∈（-2π，2π）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx ，反正切函数y=arctanx 的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-2π，2π）. 2．知道反余弦函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx ，x ∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos （arccosx ）=x ，x ∈[-1，1]，arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]和tan （arctanx ）=x ，x ∈（-∞，∞），arctan （-x ）=- arctanx ，x ∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos （-x ）=π-arccosx 、arctan （-x ）=-arctanx 的证明及其使用. 【教学过程】一、 情景引入 1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx ，x ∈R ，不存在反函数；但在[ππ-,22]存在反函数. 2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一余弦值y 和正切值y 都有无数个角值x 与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得x y cos =或y=tanx 在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y cos =或y=tanx 存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y cos =和y=tanx 在所取对应区间上存在反函数； （2）能取到x y cos =的一切函数值[]1,1-，y=tanx 一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得x y cos =在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-2π，2π），使得y=tanx 在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx ， x ∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx ，x ∈[-1，1]； 正切函数y=tanx ， x ∈（-2π，2π）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx ，x ∈（-∞，∞）；（2）反正弦函数的性质： ①图像y=arccosx y= arctanx②定义域：函数y=arccosx 的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx 的定义域是R. ③值域：函数y=arccosx 的值域是[0，π]；函数y= arctanx 的值域是（-2π，2π）. ④奇偶性：函数y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]；函数y= arctanx 是奇函数，即arctan （-x ）=-arctanx. ⑤单调性：函数y=arccosx 是减函数；函数y= arctanx 是增函数. [说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=cosx ，x ∈[0，π]与函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称；函数y=tanx ，x ∈（-2π，2π）与函数y=arctanx ，x ∈R 的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos21；（2）arccos （-23）；（3）arccos0； （4）arctan1；（5）arctan （-33） 解：（1）因为cos3π=21，且3π∈[0，π]，所以arccos21=3π. （2）因为cos65π=-23，且65π∈[0，π]，所以arccos （-23）=65π. （3）因为cos2π=0，且2π∈[0，π]，所以arccos0=2π. （4）因为tan4π=1，且4π∈（-2π，2π），所以arctan1=4π.（5）因为tan （-6π）=-33，且-6π∈（-2π，2π），所以arctan （-33）=-6π.例2．在△ABC 中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A 、∠B 、∠C.解：因为AC 2=AB 2+BC 2，所以∠B 是直角，于是有 ∠A= arcsin1312= arccos 135=arctan 512；∠B=2π= arcsin1= arccos0； ∠C= arcsin135= arccos 1312=arctan 125. 例3．化简下列各式：（1）arccos （cos 7π）；（2）sin[arccos )21(-]；（3）cos[arctan（-1）] 解：（1）因为7π∈[0，π]，设cos7π=α，所以arccos α=7π，即arccos （cos 7π）=7π. （2）因为arccos )21(-=32π，所以sin[arccos )21(-]=sin 32π=23.（3）因为arctan （-1）=-4π，所以cos[arctan （-1）]= cos(-4π)=22.例4．求下列函数的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.(1) f （x ）=2π+arccos2x；（2）f （x ）=3π-arctan （2x-1） 解：（1）设y=2π+arccos2x ，则arccos 2x = y-2π，因为2x ∈[-1，1]，arccos 2x ∈[0，π]，所以x ∈[-2，2]，y ∈[2π，23π]，根据反余弦函数的定义，得2x =cos （y-2π），即x=2cos（y-2π）.将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=2cos （x-2π），定义域是[2π，23π]，值域是[-2，2].（2）设y=3π-arctan （2x-1），即arctan （2x-1）=3π-y ，因为（2x-1）∈R ，arctan （2x-1）∈（-2π，2π），所以x ∈R ，y ∈（25π，27π），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan （3π-y ）=-tany ，即x=21（1-tany ），将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21（1-tanx ），定义域是（25π，27π），值域是R.3．问题拓展例1．证明等式：arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴cos[arccos （-x ）]= -x ，cos （π-arccosx ）=-cos （arccosx ）=-x又因为arccosx ∈[0，π]，所以（π-arccosx ）∈[0，π]，又arccos （-x ）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]. 例2．证明等式：arctan （-x ）=-arctanx ，x ∈R.证明：因为tan arctan （-x ）=-x ，tan （-arctanx ）=-tan arctanx ， 又由arctanx ∈（-2π，2π），得-arctanx ∈（-2π，2π），再有arctan （-x ）∈（-2π，2π），且正切函数在（-2π，2π）上单调递增，所以arctan （-x ）=-arctanx ，x ∈R.[说明]可以通过以上恒等式的证明形成学生严密的逻辑推理能力，但教师应根据学校学生的实际情形进行选择.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由.（1）cos （arccos2π）=2π；（2）arctan3π=3；（3）arcsin （-23）= arcos(-21)；（4）arccos32+ arccos(-32)=0；（5）arctan 3π+ arc tan(-3π)=0. 解：（1）式不成立，因为2π∉[-1，1]，故arccos 2π无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin （-23）=-3π，而arcos(-21)=32π，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos （-x ）=π-arccosx 错记成arccos （-x ）=-arccosx ；（5）式成立，因为等式arctan （-x ）=-arctanx . 四、课堂小结教师引导学生总结：（1）反余弦函数和反正切函数的定义； （2）反余弦函数和反正切函数的性质. 五、蓝面书。
6.4反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[-2π，2π]，那么函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]就存在反函数，为什么要选取[-2π，2π]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arcsinx 是[-2π，2π]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]是奇函数，且单调递增.二、教学目标设计1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π].2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1].4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.四、教学用具准备直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数； （2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-. 可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像②定义域[-1，1]③值域[-2π，2π]④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2π，2π]与函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin6π=21，且6π∈[-2π，2π]，所以arcsin21=6π. （2）因为sin0=0，且0∈[-2π，2π]，所以arcsin0=0.（3）因为sin （-3π）=-23，且-3π∈[-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3π.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：（1）sinx=32，x ∈[-2π，2π]；（2）sinx=-51，x ∈[-2π，2π]； （3）sinx=-33，x ∈[-π，0]. 解：（1）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin 32；（2）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin （-51）=- arcsin 51； （3）在区间[-2π，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-33）=- arcsin 33； 在区间[-π，-2π]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin33，满足 sinx=-33.因此x= arcsin 33或x=-π+arcsin 33. 例3．化简下列各式：（1）arcsin （sin7π）；（2）arcsin （sin54π）；*（3）arcsin （sin20070） 解：（1）因为7π∈[-2π，2π]，设sin 7π=α，所以arcsin α=7π，即arcsin （sin 7π）=7π.（2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 54π=α，所以arcsin （sin54π）= arcsin （sin 5π）= arcsin α=5π. （3）因为sin20070=sin （5×3600+2070）=sin2070=sin （1800+270）=-sin270所以arcsin （sin20070）= arcsin （-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x ，则2y= arcsin2x ， 因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2π]，所以x ∈ [-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y ，x=21 sin 2y ，将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21]. 3．问题拓展例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x又因为arcsin （-x ）∈[-2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2π]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x ∈[2π，23π]，sinx=31，用反正弦函数值表示x. 解：因为x ∈[2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 31.[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-2π，2π]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）arcsin 23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2π，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin6π=21.解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2π]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义； （2）反正弦函数的性质. 五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f （x ）=2π-arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1．关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用.2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.。
